삼차 형식

대수기하학과 대수적 수론에서, 삼차 형식(三次型式, 영어: cubic form)은 어떤 벡터 공간 또는 가군 위에 정의된 3차 동차 다항식이다. 즉, 선형 형식과 이차 형식의 다음 차수의 동차 다항식이다.

정의

표수 0의 경우

가환환 $K$가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

• $\alpha -\beta \subseteq \operatorname {Unit} (K)$인 $\alpha ,\beta \in \operatorname {Unit} (K)$가 존재한다.

여기서 $\operatorname {Unit} (K)$는 $K$의 가역원군이다.

특히, 만약 $K$에서 ½이 존재한다면, 이 조건이 충족된다. 이 경우

$(\alpha ,\beta )=(+1,-1)$

을 잡을 수 있다.

이 경우, $K$-자유 가군 $M$ 위의 삼차 형식은 다음 조건을 만족시키는 함수

$f\colon K\to M$

이다.

$f(\alpha x)=\alpha ^{3}f(x)\qquad \forall \alpha \in K,\;x\in M$

일반적 경우

일반적으로 삼차 형식의 분해를 잘 정의하기 위해서는 삼차 형식의 함수 말고도 스칼라 확대를 잘 정의하는 추가 데이터가 필요하다.^{:187–188, §Ⅱ.4.1}

가환환 $K$ 위의 가군 $M$ 위의 삼차 형식은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 함수 $f\colon M\to K$
• 함수 ${\tilde {f}}\colon M\otimes _{K}K[t]\to K[t]$

이는 다음과 같은 호환 관계를 만족켜야 한다.

• $f(\alpha x)=\alpha ^{3}f(x)\qquad \forall \alpha \in K,\;x\in M$
• $f({\tilde {\alpha }}{\tilde {x}})={\tilde {\alpha }}^{3}{\tilde {f}}({\tilde {x}})\qquad \forall {\tilde {\alpha }}\in K[t],\;{\tilde {x}}\in M\otimes _{K}K[t]$
• $\iota _{K\to K[t]}\circ f=f\circ \iota _{M\to M\otimes _{K}K[t]}$. 여기서 $\iota _{K\to K[t]}\colon K\to K[t]$ 및 $\iota _{M\to M\otimes _{K}K[t]}\colon M\to M\otimes _{K}K[t]$는 다항식환의 상수 다항식으로 가는 단사 환 준동형 또는 가군 준동형이다.

만약 $K$가 “충분히 크다면” (즉, 첫째 정의에 등장하는 조건을 만족시킨다면), ${\tilde {f}}$를 $f$로부터 재구성할 수 있으나, 이는 일반적으로 성립하지 못할 수 있다.

삼차 형식의 분해

삼차 형식 $f\colon M\to K$가 주어졌을 때, $f$를

$f(\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+\lambda _{3}x_{3})=\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}A(x_{1},x_{2},x_{3})+\sum _{i,j=1}^{3}\lambda _{i}^{2}\lambda _{j}B(x_{i},x_{j})+\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}^{3}f(x_{i})$

와 같이 분해할 수 있다. 여기서 $A$는 가군 준동형

$A\colon \operatorname {Sym} ^{3}(M;K)\to K$

을 정의하며,

$A(x,y,z)=B(x+z,y)-B(x,y)-B(z,y)$

$A(x,y,x)=2B(x,y)$

$A(x,x,x)=6f(x)$

이다.

즉, 만약 $K$에서 6이 가역원이라면, $A$로부터 $f$를 재구성할 수 있다.

분류

일반적으로 삼차 형식의 분류는 불가능하며, 그 분석은 복잡한 대수기하학을 요구한다. 다만, 비교적 간단한 체(복소수체, 실수체 등)에서 2항 삼차 형식은 분류될 수 있다. 이는 $n$항 삼차 형식은

${\binom {n+2}{3}}=(n+2)(n+1)n/6$

개의 계수를 갖는데, $n$차원 공간 위의 일반선형군 $\operatorname {GL} (n;K)$은 $n^{2}$차원이다. 즉, 그 모듈라이 공간은 일반적으로 $(n+2)(n+1)n/6-n^{2}$차원이 된다. $n=2$일 때 이는 0이지만, $n>2$일 때 이는 양수가 되게 된다.

복소수 2항 삼차 형식

모든 복소수 2항 삼차 형식은 $\operatorname {GL} (2;\mathbb {C} )$의 작용을 통해 다음과 같은 표준 형식 가운데 하나로 놓을 수 있다.^:§4.2

• $x^{3}$
• $x^{3}+y^{3}$
• $x^{2}y$
• $0$

실수 2항 삼차 형식

모든 실수 2항 삼차 형식은 $\operatorname {GL} (2;\mathbb {R} )$의 작용을 통해 다음과 같은 표준 형식 가운데 하나로 놓을 수 있다.^:§5.2

• $x^{3}$
• $x^{3}+y^{3}$
• $x^{2}y$
• $x(x^{2}-y^{2})$
• $0$

외부 링크

• “Cubic form” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Cubic hypersurface” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Cubic curve” (영어). 《nLab》.