매끄러운 함수

해석학에서 매끄러운 함수(영어: smooth function)는 무한 번 미분이 가능한 함수이다. $C^{\infty }$ 함수로 표기하기도 한다.

만약 함수가 매끄럽고 모든 점에서의 테일러 급수 값이 함수값과 같을 경우에는 해석 함수가 된다.

함수의 미분가능성 계층

어떤 함수가 $k$번 미분가능하고 그 미분한 함수가 모두 연속일 경우, 그 함수를 $C^{k}$ 함수라고 부른다. 예를 들어, $C^{0}$는 연속인 함수를 의미하며, $C^{1}$는 연속 미분 가능한 함수, 즉 미분 가능하고 도함수가 연속 함수인 함수를 의미한다.

함수가 무한 번 미분가능할 경우 $C^{\infty }$로 표기하며, 해석 함수일 경우는 $C^{\omega }$로 표기한다.

$C^{k}$ 집합은 $C^{k+1}$ 집합을 진부분집합으로 가지며, $C^{k+1}$에 속하지 않는 $C^{k}$ 함수가 존재한다. 마찬가지로 $C^{k}$는 $C^{\infty }$를 진부분집합으로, $C^{\infty }$는 $C^{\omega }$를 진부분집합으로 가진다.

예

$x\geq 0$이면 $f(x)=x$, $x<0$이면 $f(x)=0$. $C^{0}$이지만 $C^{1}$은 아닌 함수

$f(x)$가 $x$가 0 이상일 때 $f(x)=x$, 0보다 작을 때 $f(x)=0$일 경우, 이 함수는 연속함수이지만 $x=0$에서 미분값이 존재하지 않는다. 따라서 이 함수는 $C^{0}$이지만 $C^{1}$은 아니다.

매끄럽지만 해석적이지는 않은 함수

$f(x)={\begin{cases}e^{-1/(1-x^{2})}&{\mbox{ if }}|x|<1,\\0&{\mbox{ otherwise }}\end{cases}}$

인 함수는 무한 번 미분이 가능하므로 매끄러운 함수이다. 하지만 $x=\pm 1$일 때 해석적이지 않고, 따라서 이 함수는 해석함수는 아니다.

성질

유클리드 공간의 열린 집합 $U\subset \mathbb {R} ^{n}$에 대하여, ${\mathcal {C}}^{\infty }(U;\mathbb {R} )$가 $U$ 위의 매끄러운 실수값 함수들의 집합이라고 하자.

이 공간 위에는 다음과 같은 일련의 반노름들이 주어진다. 모든 콤팩트 공간 $K\subset U$ 및 다중 지표 $\alpha \in \mathbb {N} ^{n}$에 대하여,

$\|f\|_{K,\alpha }=\sup _{K}|\partial ^{\alpha }f|$

따라서, 이 반노름들을 사용하여 ${\mathcal {C}}^{\infty }(U;\mathbb {R} )$ 위에 프레셰 공간의 구조를 줄 수 있다.

외부 링크

• “Smooth function” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Smooth function” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “C^infty function” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.