환론 에서 균형 잡힌 쌍가군 (영어 : balanced bimodule )은 한쪽 환의 작용에 대한 임의의 자기 사상 을 항상 반대쪽 환의 작용으로 나타낼 수 있는 쌍가군 이다. 이 개념은 모리타 동치 이론에 등장한다.
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
환
R
{\displaystyle R}
환
S
{\displaystyle S}
쌍가군
R
M
S
{\displaystyle _{R}M_{S}}
이 경우, 자연스러운 환 준동형
R
→
End
(
M
S
)
{\displaystyle R\to \operatorname {End} (M_{S})}
S
op
→
End
(
R
M
)
{\displaystyle S^{\operatorname {op} }\to \operatorname {End} (_{R}M)}
이 존재한다.
만약 이 두 환 준동형 이 둘 다 전사 함수 라면
R
M
S
{\displaystyle _{R}M_{S}}
균형 잡힌 쌍가군 (영어 : faithfully balanced bimodule )이라고 한다. 만약 이 두 환 준동형 이 둘 다 전단사 함수 라면
R
M
S
{\displaystyle _{R}M_{S}}
충실하게 균형 잡힌 쌍가군 (영어 : faithfully balanced bimodule )이라고 한다.[ 1] :488, Definition/Corollary 18.21
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
환
R
{\displaystyle R}
R
{\displaystyle R}
왼쪽 가군
R
M
{\displaystyle _{R}M}
그렇다면, 아벨 군 의 자기 사상환
End
(
M
Z
)
{\displaystyle \operatorname {End} (M_{\mathbb {Z} })}
을 정의할 수 있으며,
M
{\displaystyle M}
End
(
M
Z
)
{\displaystyle \operatorname {End} (M_{\mathbb {Z} })}
왼쪽 가군 을 이룬다. 자연스러운 환 준동형
ϕ
M
:
R
→
End
(
M
Z
)
{\displaystyle \phi _{M}\colon R\to \operatorname {End} (M_{\mathbb {Z} })}
을 생각하자. 그렇다면,
R
{\displaystyle R}
왼쪽 가군 자기 사상환 은 (정의에 따라)
R
{\displaystyle R}
상 의 중심화 부분환 이다.
End
(
R
M
)
=
C
End
(
M
Z
)
(
ϕ
M
(
R
)
)
{\displaystyle \operatorname {End} (_{R}M)=\operatorname {C} _{\operatorname {End} (M_{\mathbb {Z} })}(\phi _{M}(R))}
또한,
R
{\displaystyle R}
End
(
R
M
)
{\displaystyle \operatorname {End} (_{R}M)}
End
(
End
(
R
M
)
M
)
=
C
End
(
M
Z
)
(
End
(
R
M
)
)
{\displaystyle \operatorname {End} (_{\operatorname {End} (_{R}M)}M)=\operatorname {C} _{\operatorname {End} (M_{\mathbb {Z} })}(\operatorname {End} (_{R}M))}
이에 따라, 다음 세 조건이 서로 동치 이며, 이를 만족시키는 왼쪽 가군
R
M
{\displaystyle _{R}M}
균형 잡힌
R
{\displaystyle R}
이라고 한다.
C
End
(
M
Z
)
(
End
(
R
M
)
)
=
ϕ
M
(
R
)
{\displaystyle \operatorname {C} _{\operatorname {End} (M_{\mathbb {Z} })}(\operatorname {End} (_{R}M))=\phi _{M}(R)}
아벨 군 준동형
f
:
M
→
M
{\displaystyle f\colon M\to M}
f
{\displaystyle f}
R
{\displaystyle R}
왼쪽 가군 자기 준동형과 가환한다면,
f
{\displaystyle f}
r
⋅
{\displaystyle r\cdot }
r
∈
R
{\displaystyle r\in R}
C
End
(
M
Z
)
(
C
End
(
M
Z
)
(
ϕ
M
(
R
)
)
)
=
ϕ
M
(
R
)
{\displaystyle \operatorname {C} _{\operatorname {End} (M_{\mathbb {Z} })}(\operatorname {C} _{\operatorname {End} (M_{\mathbb {Z} })}(\phi _{M}(R)))=\phi _{M}(R)}
ϕ
M
(
R
)
{\displaystyle \phi _{M}(R)}
중심화 부분환 연산의 고정점 이다.
M
{\displaystyle M}
(
R
,
End
(
R
M
)
op
)
{\displaystyle (R,\operatorname {End} (_{R}M)^{\operatorname {op} })}
균형 잡힌 오른쪽 가군 의 개념 역시 마찬가지로 정의된다. 즉, 환
S
{\displaystyle S}
오른쪽 가군
M
S
{\displaystyle M_{S}}
환 준동형
ϕ
M
:
S
op
→
End
(
Z
M
)
{\displaystyle \phi _{M}\colon S^{\operatorname {op} }\to \operatorname {End} (_{\mathbb {Z} }M)}
을 정의하였을 때, 다음 세 조건이 서로 동치 이며, 이를 만족시키는
R
{\displaystyle R}
균형 잡힌
R
{\displaystyle R}
이라고 한다.
C
End
(
Z
M
)
(
End
(
M
S
)
)
=
ϕ
M
(
S
op
)
{\displaystyle \operatorname {C} _{\operatorname {End} (_{\mathbb {Z} }M)}(\operatorname {End} (M_{S}))=\phi _{M}(S^{\operatorname {op} })}
아벨 군 준동형
f
:
M
→
M
{\displaystyle f\colon M\to M}
f
{\displaystyle f}
R
{\displaystyle R}
왼쪽 가군 자기 준동형과 가환한다면,
f
{\displaystyle f}
r
⋅
{\displaystyle r\cdot }
r
∈
R
{\displaystyle r\in R}
C
End
(
Z
M
)
(
C
End
(
Z
M
)
(
ϕ
M
(
S
op
)
)
)
=
ϕ
M
(
S
op
)
{\displaystyle \operatorname {C} _{\operatorname {End} (_{\mathbb {Z} }M)}(\operatorname {C} _{\operatorname {End} (_{\mathbb {Z} }M)}(\phi _{M}(S^{\operatorname {op} })))=\phi _{M}(S^{\operatorname {op} })}
ϕ
M
(
S
op
)
{\displaystyle \phi _{M}(S^{\operatorname {op} })}
중심화 부분환 연산의 고정점 이다.
M
{\displaystyle M}
(
End
(
S
M
)
,
S
)
{\displaystyle (\operatorname {End} (_{S}M),S)}
물론, 만약
R
{\displaystyle R}
가환환 이라면 왼쪽·오른쪽을 구별할 필요가 없다.
반단순환 의 모든 왼쪽 가군 은 균형 잡힌 왼쪽 가군이며, 모든 오른쪽 가군 은 균형 잡힌 오른쪽 가군이다.
임의의 왼쪽 아르틴 환 의 단순 왼쪽 가군 은 균형 잡힌 왼쪽 가군이다.[ 2] :187, Chapter 12
