골롬-딕맨 상수

골롬-딕맨 상수(Golomb-Dickman constant) 또는 골롬 상수 $\;\lambda \;$

수학에서 골롬-딕맨 상수(Golomb-Dickman constant)는 무작위 순열 (랜덤 순열)이론과 수 이론에서 각각 보여진다.이것은 정수들의 확장에서 소수들간의 출현길이와 무작위한 랜덤 순열을 가장 크게 확장했을 때의 분포가 일치하는 값을 보이고 있다는 사실을 보여주는 놀라운 상수들간의 관계이다. 딕맨(Dickman,1930)에 의해 가장 큰 정수들 집합$\{1,....,n\}$중에서 균일하게 선택된 임의의 정수의 소수(prime number) 요소$P_{1}$에서, $E\left({{logP_{1}} \over {logn}}\right)\to 0.62432$ 딕맨 함수로 알려진 이 상수는 가장 큰 소수의 자릿수로 예상되는 수에서 해석된다. 이러한 "가장 크다고 여겨질수있는 무작위 정수의 자릿수에 대한 비율문제" 이후로, 골롬(Golomb,1964)이 무작위 순열에서 가장 긴 주기의 길이 $L_{1}$을 연구했을때, $S_{n}$에서 $E\left({{L_{1}} \over n}\right)\to 0.62432$를 발견했다. 여기서 딕맨의 상수가 골롬이 발견한 상수와 동일함에도 이 두 상수의 상관관계가 곧 바로 강하게 연관되지는 못했다.

그러나 이들의 관계가 확률상의 푸아송 분포와 정규 분포

$\lim _{n\to \infty }P(\alpha _{1}=0)={1 \over e}$

$\lim _{n\to \infty }P(\alpha _{j}=k)={1 \over k!}e^{-1 \over j}j^{-k}$

$\lim _{n\to \infty }P\left(\left(\sum _{j=1}^{\infty }\alpha _{j}-\ln n\right)(\ln n)^{-1 \over 2}\leq x\right)=\Phi (x)$

로 약하게 연관되어 설명되고나서(Shepp and Lloyd 1966, Wilf 1990),

$F(x)=\lim _{n\to \infty }P(x,n)={\begin{Bmatrix}1&if\;x\geq 1\\\int _{0}^{x}F\left({{t} \over {1-t}}\right){{dt} \over {t}}&if\;0\leq x<1\end{Bmatrix}}$에서

딕맨 상수

$\mu =\lim _{n\to \infty }\left\langle x\right\rangle$

$\;\ =\lim _{n\to \infty }\left\langle {{\ln P} \over {\ln n}}\right\rangle$

$\;\;=\int _{0}^{1}x{{d\;F} \over {d\;x}}dx$

$\;\;=\int _{0}^{1}F\left({{1} \over {1-t}}\right)dt$

$\;\;=0.62432999...$는 골롬 상수$\lambda$가 $f(x)=1\;\;(1\leq x\leq 2)\;\;,{{df} \over {dx}}=-{{f(x-1)} \over {x-1}}$에서,

$\lambda =\int _{1}^{\infty }{{f(x)} \over {x^{2}}}dx\;\;,f(x)=1\;\;(x>2)$

$\lambda =\int _{0}^{\infty }exp\left(-x-\left(\int _{x}^{\infty }{{e^{-y}} \over {y}}dy\right)\right)$

$\lambda =\int _{0}^{1}exp\left(\int _{0}^{x}{{dy} \over {\ln y}}\right)dx$

$\lambda =0.62432998854355087099293638310083724\dots (OEISA084945)$

로 쉐프 와 로이드(Shepp and Lloyd , 1966)가 유도됨을 보였다.

이것은 구간 $\;x\in (0,1)$에서,

$\mu =\lim _{n\to \infty }\left\langle x\right\rangle =\lim _{n\to \infty }\left\langle {{\ln P} \over {\ln n}}\right\rangle =\int _{0}^{1}x{{d\;F} \over {d\;x}}dx=\int _{0}^{1}F\left({{1} \over {1-t}}\right)dt=\lambda =\int _{0}^{1}exp\left(\int _{0}^{x}{{dy} \over {\ln y}}\right)dx$이다.

확률 이론에서, $\lambda n$은 균일 분포에서 가장 긴주기의 예상 크기 $n$세트의 랜덤순열이다.

수 이론에서 골롬-딕맨 상수는 정수의 가장 큰 소수 인자의 평균 크기와 관련되어 나타난다.

$\lambda =\lim _{n\ \to \infty }{\frac {a_{n}}{n}}$

$\lambda =\lim _{n\to \infty }{1 \over n}\sum _{k=2}^{n}{{\log(P_{1}(k))} \over {\log(k)}}$

여기서 $P_{1}(k)$는 $k$의 가장 큰 소수 인자이다. 따라서 $k$가 $d$자릿수 인 경우, $\lambda d$는 $k$의 최대 소수 자릿수의 평균 자릿수이다.

커누스의 $\beta$ 와 $B$에 대한 추측

커누스(Knuth 1981)의 임의의 상수 $\beta$ 와 $B$에 대한 추측

$\lim _{n\to \infty }n^{\beta }\left(\left\langle M(x)\right\rangle -\gamma n-{1 \over 2}\gamma \right)=B$

이 있었고, 고든(Gourdon 1986)이 아래과 같이 증명하였다.

$j=e^{{2\pi i} \over {3}}$에서,

$\left\langle M(\alpha )\right\rangle =\lambda \left(n+{1 \over 2}\right)-{{e^{\gamma }} \over {24n}}+{{1 \over 48}e^{\gamma }-{1 \over 8}(-1)^{n} \over {n^{2}}}+{{{17 \over 3840}e^{\gamma }+{1 \over 8}(-1)^{n}+{1 \over 6}j^{1+2n}+{{1 \over 6}j^{2+n}}} \over {n^{3}}}$

$E(M(\alpha ))=\lambda n+{\lambda \over 2}-{e^{\gamma } \over 24}{1 \over n}+\left({{e^{\gamma }} \over 48}-{{(-1)^{n}} \over 8}\right){1 \over n^{2}}+\left({{17e^{\gamma }} \over 3840}+{(-1)^{n} \over 8}+{{e^{2(2n+1)\pi i} \over 3} \over 6}+{{e^{2(n+2)\pi i} \over 3} \over 6}\right){1 \over n^{3}}+O\left({1 \over n^{4}}\right)$

$M(\alpha )={\underset {j}{max}}\{j:\alpha _{j}>0\}$

$\gamma$오일러-마스케로니 상수

관련 상수 및 함수

• 지수 적분

$\lambda =\int _{0}^{\infty }e^{-t-E_{1}(t)}dt$

$E_{1}(t)$ 지수 적분 함수

• 딕맨 함수

$\lambda =\int _{0}^{\infty }{\frac {\rho (t)}{t+2}}dt$

$\lambda =\int _{0}^{\infty }{\frac {\rho (t)}{(t+1)^{2}}}dt$

$\rho (t)$ 딕맨 함수(Dickman–de Bruijn function)

• 조화 수열

$\left\langle \sum _{j=1}^{\infty }\alpha _{j}\right\rangle =\sum _{i=1}^{n}{1 \over i}$

$\quad =\ln n+\gamma +O\left({1 \over n}\right)$

$\quad =H_{n}$

$H_{n}$는 조화수 $,\;\;big\;O$ 점근 표기법

같이 보기

• 수학 상수
• 구간
• 푸아송 분포
• 완전순열

참고

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Golomb-Dickman Constant”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• "Sloane's A084945". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS Foundation(oeis.org)