값매김환

추상대수학에서 값매김환(-環, 영어: valuation ring) 또는 부치환(賦値環)은 정수의 환의 국소화 $\mathbb {Z} _{(p)}$ 와 유사한 성질을 가지는 정역이다.

정의

정역 $D$ 위의 값매김(영어: valuation) $(\Gamma ,\leq ,\nu )$ 은 다음과 같은 순서쌍이다.

아벨 군 $\Gamma$ . 이를 값군(값群, 영어: value group)이라고 한다.
$\Gamma$ 위의 전순서 $\leq \subseteq \Gamma ^{2}$
군 준동형 $\nu \colon (\operatorname {Frac} D)^{\times }\to \Gamma$

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

(전순서의 병진 불변성) 임의의 $g,h,k\in \Gamma$ 에 대하여, $g\leq h$ 라면 $g+k\leq h+k$ 이다.
$D=\{x\in (\operatorname {Frac} D)^{\times }\colon 0\leq \nu (x)\}\cup \{0\}$

$D$ 가 정역이고, 그 분수체가 $\operatorname {Frac} D$ 이라고 하자. 그렇다면 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 정역을 값매김환이라고 한다.

임의의 $x\in \operatorname {Frac} D$ 에 대하여, $x=0$ 이거나 $x\in D$ 이거나 $x^{-1}\in D$ 이다.
베주 정역이자 국소환이다.
$D$ 의 아이디얼들은 포함 관계에 대하여 전순서 집합을 이룬다.
$D$ 의 주 아이디얼들은 포함 관계에 대하여 전순서 집합을 이룬다.
임의의 $a,b\in D$ 에 대하여, $a\mid b$ 이거나 $b\mid a$ 이다.
적어도 하나 이상의 값매김을 갖는다.

임의의 값매김환 $D$ 에 대하여, 다음과 같은 표준적인 값매김을 정의할 수 있다.

\Gamma =(\operatorname {Frac} D)^{\times }/D^{\times }

\nu \colon (\operatorname {Frac} D)^{\times }\to G

\nu \colon x\mapsto [x]=x+D^{\times }

[x]\leq [y]\iff xy^{-1}\in D

즉, 값군 $G$ 는 분수체 가역원군의, 정역 가역원군에 대한 몫환이며, 값매김 $\nu$ 는 몫환의 자연스러운 사영 준동형이며, 값군에서 양의 원소들은 $(D\setminus \{0\})/D^{\times }$ 이다.

또한, 통상적으로 $\nu (0)=\infty$ 이며, $\nu (0)>\nu (a)\forall a\neq 0$ 이라고 하자. 그렇다면 값매김 $\nu$ 는 다음과 같은 성질을 만족한다.

$\nu (ab)=\nu (a)+\nu (b)$
$\nu (a+b)\geq \min\{\nu (a),\nu (b)\}$
$\nu (a)=\infty$ 일 필요충분조건은 $a=0$

이 가운데, 두 번째는 삼각 부등식 $-|a+b|\geq -|a|-|b|$ 를 강화한 것이다.

성질

모든 값매김환은 국소환이며, 베주 정역이다.

값매김환에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

뇌터 환이다.
주 아이디얼 정역이다.
체이거나 아니면 이산 값매김환이다.

값매김환의 아이디얼

값매김 $(\Gamma ,\nu )$ 를 갖춘 값매김환 $D$ 의 아이디얼은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

값군 $\Gamma$ 의 선분(영어: segment)은 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 $\Delta \subseteq \Gamma$ 이다.

임의의 $\delta \in \Delta$ 에 대하여, $[-\delta ,\delta ]\subseteq \Delta$ 이다. 여기서 $[,]$ 는 전순서에 대한 닫힌구간이다.

값군 $\Gamma$ 의 고립 부분군(영어: isolated subgroup)은 선분이자 부분군인 진부분 집합이다.

$D$ 의 진 아이디얼 ${\mathfrak {a}}\subsetneq D$ 에 대하여, 다음과 같은 함수를 생각하자.

{\mathfrak {a}}\mapsto \Gamma \setminus \bigcup _{a\in {\mathfrak {a}}\setminus \{0\}}\{\nu (a),-\nu (a)\}

그렇다면, 이 함수는 다음과 같은 성질을 가진다.

이 함수는 $D$ 의 진 아이디얼들과, $\Gamma$ 의 선분들 사이의 일대일 대응을 정의한다.
이 함수는 $D$ 의 영 아이디얼이 아닌 소 아이디얼들과, $\Gamma$ 의 고립 부분군들 사이의 일대일 대응을 정의한다.

예

유리형 함수

원점에서 극점을 갖지 않는, 복소평면 위의 유리형 함수들의 환은 값매김환이며, 그 분수체는 모든 복소 평면 위의 유리형 함수들의 체다. 이 경우, 값매김은 원점에서의 영점의 계수 (또는 극점의 계수 × −1)이다.

정수환의 국소화

$p$ 가 임의의 소수라고 하자. 그렇다면 국소화 $\mathbb {Z} _{(p)}$ 는 이산 값매김환이며, 그 분수체는 유리수체 $\mathbb {Q}$ , 값매김군은 $\mathbb {Z} \cong \{p^{n}\colon n\in \mathbb {Z} \}$ 이다. 이 경우, 그 값매김은 $\nu (p^{n}(a/b))=n$ ( $a,b$ 는 $p$ 와 서로소)가 된다. 이를 p진 값매김(영어: p-adic valuation)이라고 하며, 이는 대수적 수론에서 오스트롭스키 정리에 따라 유리수체의 유한 자리들을 구성한다.