舒士頓模型

二〇二〇年影到有人喺度同蕃茄做試味；好似味覺噉嘅感知過程，成日會涉及連續變數（蕃茄嘅化學成份）轉化做離散分類（答邊隻蕃茄較甜）噉嘅過程。

舒士頓模型係一類帶有潛在變數嘅統計模型。用術語講，呢種模型特徵係會描述點樣將連續量表，對應落去一啲離散嘅類別之上，當中呢啲類別可以係有次序高低之分，但唔一定要有。呢種情況喺應用上有一定價值，例如食品科學上有關試味嘅實驗就會用到舒士頓模型。

舒士頓模型個名，嚟自路易斯·里安·舒士頓個姓（英文：Thurstone）。舒士頓係二十世紀美國一位心理測量學者，佢就因素分析同智商測試等嘅課題做咗唔少有影響力嘅研究，而佢提出嘅比較判斷法則講人腦點樣做成對比較，就係舒士頓模型嘅概念基礎。

應用場景

睇埋：感知、產品測試同心理物理學

用神經科學同心理學做例子說明，舒士頓模型可以用嚟分析受試者對感官（例如味覺）刺激作出二元判斷嗰時嘅歷程。譬如依家研究人員設計咗實驗嚟研究味覺，叫受試者每次試兩款唔同嘅曲奇餅，然後判斷邊款味道比較甜；實驗會重複好次，每次對比嗰兩款曲奇餅糖份含量都稍有差異；喺呢場實驗裡便，每次判斷都可以理解為受試者喺腦入便對兩款曲奇嘅糖份含量（連續變數）做對比，然後俾出一個答案，答邊一方比較甜－答案只有 A 款甜啲同 B 款甜啲兩種，是為二元嘅離散判斷，而呢個判斷有次序高低（可以理解為 A 款甜啲對 A 款冇咁甜）。進階啲嘅實驗仲可以係考慮 n 款曲奇餅而 n > 2，並且進行若干次判斷，每次判斷都係比較其中兩款曲奇餅。事實係，類似嘅實驗做法喺食品科學上成日會用。

舒士頓模型講緊嘅，正正就係將呢種判斷過程變成數學模型，假設每款曲奇餅都掕咗一個分數（甜味強度感覺）而呢個分數無法直接觀察。受試者嘅腦要根據呢啲潛在數值去作出選擇，從而產生可以直接觀察嘅離散數值（答案：邊個甜啲）。研究人員可以收集大量數據，然後由數據建立舒士頓式模型，從而得出個估計，知道邊款曲奇餅能夠引起更大嘅甜味強度感覺，以及係呢啲差異係咪真係存在，抑或只係隨機揀錯。

統計模型

睇埋：訊號探測理論

若果要形式化啲，舒士頓模型所講嘅嘢可以噉嚟表達：設而家有 j 咁多件物件，當中每件都附帶咗一個隱藏特性，暫且稱呢個特性做 t 而 t_i 為第 i 件物件喺特性 t 上嘅數值或分數；喺每次試驗事件之中，受試者都會由 j 件物件中攞兩件，比較佢哋嘅 t 並且作答，答兩件物件中邊件嘅 t 高啲。喺實際應用上，通常會假設受試者唔能夠完美準確噉做判斷，因此佢哋喺某場試驗事件中嘅判斷 t 會模擬成係由常態分佈主宰：

$\mathbf {t} \sim {\mathcal {N}}(\mathbf {\mu } ,\mathbf {\sigma ^{2}} )$

t 接近真實嘅 t 但唔能夠完美反映 t。模型想像受試者會比較唔同選項嘅 t 值做判斷，假想要比較 a 同 b 兩件物件，受試者喺呢場試驗中嘅決定取決於

$\mathbf {t} _{a}-\mathbf {t} _{b}$

呢個無法直接觀察嘅數值。喺實用上，研究者好多時會將呢個判斷轉化成 1 或 0 嘅二元數值－設結果為 y，受試者揀咗 a 嘅話 y 就等於 1，否則 y 就等於 0。

上下兩幅圖，設打橫軸反映真實甜度（t）、兩條唔同色嘅線表示兩隻唔同牌子嘅曲奇餅嘅甜度（ta 同 tb）。上圖表示兩者差異唔大嘅情況，而下圖表示兩者差異頗大嘅情況。喺後者嗰種情況下，受試者比較大可能會次次都覺得藍色線嗰隻牌子嘅曲奇餅冇咁甜。 上下兩幅圖，設打橫軸反映真實甜度（t）、兩條唔同色嘅線表示兩隻唔同牌子嘅曲奇餅嘅甜度（ta 同 tb）。上圖表示兩者差異唔大嘅情況，而下圖表示兩者差異頗大嘅情況。喺後者嗰種情況下，受試者比較大可能會次次都覺得藍色線嗰隻牌子嘅曲奇餅冇咁甜。

做咗若干場試驗之後，研究人員手上嘅原始數據（未經任何處理嘅數據）會描述每位受試者喺每次試驗之中嘅選擇。喺實際應用上，受試者閒閒哋會有幾百個，而試驗次數可以有上千次咁多，呢啲原始數據嘅簡化版如下：

受試者號碼	試驗 1	試驗 2	試驗 3
0001	1	0	0
0002	1	1	0
0003	0	0	0

舒士頓模型就係一類嘅統計模型，能夠由噉嘅數據當中估計出隱藏特性 t 係幾多。用返曲奇餅嘅例子嘅話，即係攞住咁多次試味事件得到嘅數據，估計每款曲奇餅喺喺試味者腦內引起嘅甜度體驗呢一個特性上嘅數值。

用 SPSS AMOS 等嘅工具實作行舒士頓模型嗰陣，模型圖會有：一個潛在變數對應每一個 t；潛在變數之間會有箭咀表示佢哋之間嘅協方差；一拃二元嘅虛擬可觀察變數，代表受試者喺唔同試驗中嘅選擇；中介機制，將潛在變數轉化成二元嘅可觀察變數。

睇埋

• 比較判斷法則
• 結構方程模型
• 因素分析
• TrueSkill
• Q-矩陣

外拎

• （英文） Package 'thurstonianIRT'，教人用 R 程式語言嘅特化套件行舒士頓模型。
• （英文） thurstonianIRT，都係講用 R 程式語言嘅特化套件行舒士頓模型。