加權模式

线性动态系统的加權模式（weighting pattern）^[1]是指其輸入 $u$ 和輸出 $y$ 之間的關係。假設以下的時變系統

{\dot {x}}(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)

y(t)=C(t)x(t)

,

其輸出可以寫成

y(t)=y(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}T(t,\sigma )u(\sigma )d\sigma

,

其中 $T(\cdot ,\cdot )$ 是系統的加權模式，對此一系統而言，其加權模式為 $T(t,\sigma )=C(t)\phi (t,\sigma )B(\sigma )$ 使得 $\phi$ 為狀態轉移矩陣。

加權模式可以決定一個系統，不過若存在一個對應加權模式的實現，也就表示會存在許多個可以對應同一加權模式的實現^[2]。因此加權模式對應的實現並不唯一。

線性非時變系統

在线性时不变系统中，其加權模式為：

其中 $e^{A(t-\sigma )}$ 為矩阵指数。

^ Rubio, J. E. The Theory of Linear Systems. Academic Press. 2013-10-22 [2025-07-05]. ISBN 978-1-4832-1987-5.
^ Brockett, Roger W. Finite Dimensional Linear Systems. John Wiley & Sons. 1970. ISBN 978-0-471-10585-5.

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