Параметрична модель

У статистиці параметрична модель або параметричне сімейство або скінченновимірна модель — клас статистичних моделей. Зокрема, параметрична модель — сімейство розподілів імовірності, які мають обмежену кількість параметрів.

Визначення

Статистична модель — це сукупність розподілів імовірності на деякому просторі елементарних подій. Припустимо, що сукупність 𝒫 індексована деякою множиною Θ. Множину Θ називають множиною параметрів або простором параметрів. Для кожного θ ∈ Θ, нехай F_θ — відповідний член сукупності; тоді F_θ є кумулятивною функцією розподілу. Тоді статистичну модель можна записати як

${\mathcal {P}}={\big \{}F_{\theta }\ {\big |}\ \theta \in \Theta {\big \}}.$

Модель є параметричною моделлю, якщо для деякого додатного цілого числа k Θ ⊆ ℝ^k.

Якщо модель складається з абсолютно неперервних розподілів, вона часто визначається в термінах відповідних функцій густоти ймовірності:

${\mathcal {P}}={\big \{}f_{\theta }\ {\big |}\ \theta \in \Theta {\big \}}.$

Приклади

• Сімейство розподілів Пуассона параметризоване одним числом λ > 0:

${\mathcal {P}}={\Big \{}\ p_{\lambda }(j)={\tfrac {\lambda ^{j}}{j!}}e^{-\lambda },\ j=0,1,2,3,\dots \ {\Big |}\;\;\lambda >0\ {\Big \}},$

де p_λ — функція маси ймовірності. Це сімейство є експоненційним.

• нормальне сімейство параметризована θ = (μ, σ), де μ ∈ ℝ — параметр розташування, σ > 0 — параметр масштабу:

${\mathcal {P}}={\Big \{}\ f_{\theta }(x)={\tfrac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp \left(-{\tfrac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\ {\Big |}\;\;\mu \in \mathbb {R} ,\sigma >0\ {\Big \}}.$

Це параметричне сімейство є як експоненційним сімейством, так і сімейством на масштабі місця.

• Трансляційна модель Вейбулла має тривимірний параметр θ = (λ, β, μ):

${\mathcal {P}}={\Big \{}\ f_{\theta }(x)={\tfrac {\beta }{\lambda }}\left({\tfrac {x-\mu }{\lambda }}\right)^{\beta -1}\!\exp \!{\big (}\!-\!{\big (}{\tfrac {x-\mu }{\lambda }}{\big )}^{\beta }{\big )}\,\mathbf {1} _{\{x>\mu \}}\ {\Big |}\;\;\lambda >0,\,\beta >0,\,\mu \in \mathbb {R} \ {\Big \}},$

де $\beta$ — параметр форми, $\lambda$ — параметр масштабу, а $\mu$ — параметр розташування.

• Біноміальна модель параметризується за допомогою θ = (n, p), де n — невід'ємне ціле число, p — ймовірність (тобто p ≥ 0 та p ≤ 1):

${\mathcal {P}}={\Big \{}\ p_{\theta }(k)={\tfrac {n!}{k!(n-k)!}}\,p^{k}(1-p)^{n-k},\ k=0,1,2,\dots ,n\ {\Big |}\;\;n\in \mathbb {Z} _{\geq 0},\,p\geq 0\land p\leq 1{\Big \}}.$

Цей приклад ілюструє визначення моделі з деякими дискретними параметрами.

Загальні зауваження

Параметричну модель називають ідентифіковною, якщо відображення θ ↦ P_θ є оборотним, тобто не існує двох різних значень θ₁ і θ₂ таких, що P_θ1 = P_θ2.

Порівняння з іншими класами моделей

Параметричні моделі протиставляються напівпараметричним, напівнепараметричним та непараметричним моделям, опис яких має нескінченний набір «параметрів». Різниця між цими чотирма класами полягає в тому, що:

• у «параметричній» моделі всі параметри лежать у скінченновимірних просторах параметрів;
• модель є «непараметричною», якщо всі параметри лежать у нескінченновимірних просторах параметрів;
• «напівпараметрична» модель містить скінченновимірні параметри, які становлять інтерес, та нескінченновимірні завадні параметри;
• «Напівнепараметрична» модель має як скінченновимірні, так і нескінченновимірні невідомі параметри, які нас цікавлять.

Деякі статистики вважають, що поняття «параметричний», «непараметричний» та «напівпараметричний» неоднозначні. Також можна зазначити, що множина всіх мір імовірності має потужність континууму, і тому можна параметризувати будь-яку модель одним числом у інтервалі (0,1). Цієї складності можна уникнути, розглядаючи лише «гладкі» параметричні моделі.

Див. також

• Параметричне сімейство
• Параметрична статистика
• Статистична модель
• Специфікація статистичної моделі

Бібліографія

• Bickel, Peter J.; Doksum, Kjell A. (2001), Mathematical Statistics: Basic and selected topics, т. 1 (вид. Second (updated printing 2007)), Prentice-Hall
• Bickel, Peter J.; Klaassen, Chris A. J.; Ritov, Ya’acov; Wellner, Jon A. (1998), Efficient and Adaptive Estimation for Semiparametric Models, Springer
• Davison, A. C. (2003), Statistical Models, Cambridge University Press
• Le Cam, Lucien; Yang, Grace Lo (2000), Asymptotics in Statistics: Some basic concepts (вид. 2nd), Springer
• Lehmann, Erich L.; Casella, George (1998), Theory of Point Estimation (вид. 2nd), Springer
• Liese, Friedrich; Miescke, Klaus-J. (2008), Statistical Decision Theory: Estimation, testing, and selection, Springer
• Pfanzagl, Johann; with the assistance of R. Hamböker (1994), Parametric Statistical Theory, Walter de Gruyter, MR 1291393