Момент (математика)

У математиці моментами функції називають певні кількісні характеристики, пов’язані з формою графіка функції.

Якщо функція описує густину маси, то нульовий момент — це загальна маса, перший момент (нормований на загальну масу) — центр мас, а другий момент — момент інерції.

Якщо функція є ймовірнісним розподілом, то перший момент — це математичне сподівання, другий центральний момент — дисперсія, третій стандартизований момент — асиметрія, а четвертий стандартизований момент — крутість (чи ексцес).

Для розподілу маси або ймовірності на обмеженому інтервалі сукупність усіх моментів (усіх порядків — від 0 до ∞) однозначно визначає розподіл (задача моментів Гаусдорфа). На необмежених інтервалах це вже не завжди так (задача моментів Гамбургера).

Теорія ймовірностей

Моментом n-того порядку дискретної випадкової величини $\xi$, яка приймає значення $x_{i}$ з ймовірністю $p_{i}$, де $i=1,2,3...$, називається число $M\xi ^{n}=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}^{k}p_{i}$, якщо цей ряд збігається абсолютно, тобто $M|\xi ^{n}|=\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}^{k}|p_{i}<\infty$.

Величина $M|\xi ^{n}|$ називається абсолютним моментом випадкової величини $\xi$.

Моментом n-того порядку неперервної випадкової величини $\xi$ з густиною $p(x)$, називається число $M\xi ^{n}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{k}p(x)dx$, якщо інтеграл збігається абсолютно, тобто $M|\xi ^{n}|=\int _{-\infty }^{\infty }|x^{k}|p(x)dx<\infty$.

Якщо дана випадкова величина $\displaystyle X,$ визначена на деякому імовірнісному просторі, то центра́льним моментом (k -го порядку) випадкової величини $\displaystyle X$ називається величина

$\mu _{k}=\mathbb {E} \left[(X-\mathbb {E} X)^{k}\right],$

якщо математичне сподівання в правій частині цієї рівності визначене.

Початковим моментом k-го порядку називається величина:

$\nu _{k}=\mathbb {E} \left[X^{k}\right],$

якщо математичне сподівання в правій частині цієї рівності визначене.

$\displaystyle k$-им факторіальним моментом випадкової величини $\displaystyle X$ називається величина

$\mu _{k}=\mathbb {E} \left[X(X-1)...(X-k+1)\right],$

якщо математичне сподівання в правій частині цієї рівності визначене.

Зауваження

Враховуючи лінійність математичного сподівання центральні моменти можна виразити через початкові, і навпаки. Наприклад:

$\displaystyle \mu _{1}=0,$

$\displaystyle \mu _{2}=\nu _{2}-\nu _{1}^{2},$

$\displaystyle \mu _{3}=\nu _{3}-3\nu _{1}\nu _{2}+2\nu _{1}^{3},$

$\displaystyle \mu _{4}=\nu _{4}-4\nu _{1}\nu _{3}+6\nu _{1}^{2}\nu _{2}-3\nu _{1}^{4},$

$\mu _{k}=\sum \limits _{s=0}^{k}{(-1)^{s}C_{k}^{s}v_{k-s}v_{1}^{s}}$

Якщо визначені моменти $\displaystyle k$-го порядку, то визначені і всі моменти нижчих порядків $1\leqslant k'<k.$.

Геометрична інтерпретація деяких моментів

• $\displaystyle \nu _{1}$ дорівнює математичному сподіванню випадкової величини і показує відносне розташування розподілу на числовій прямій.
• $\displaystyle \mu _{2}$ дорівнює дисперсії розподілу випадкової величини $\displaystyle (\mu _{2}=\sigma ^{2})$ і показує розсіяння (розкид) довкола середнього значення.
• $\displaystyle \mu _{3}$, будучи відповідним чином нормалізований є числовою характеристикою симетрії розподілу. Точніше, вираз

$\gamma _{1}={\frac {\mu _{3}}{\sigma ^{3}}}$

називається коефіцієнтом асиметрії.

• $\displaystyle \mu _{4}$ контролює, наскільки яскраво виражена верхівка розподілу в околі математичного сподівання. Величина

$\gamma _{2}={\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}-3$

називається коефіцієнтом ексцесу розподілу в.в. $\displaystyle X.$

Обчислення моментів

• Моменти можна обчислити безпосередньо шляхом інтегрування відповідної функції випадкової величини. Зокрема, для абсолютно неперервного розподілу із щільністю$\displaystyle f(x),$ маємо:

$\nu _{k}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x^{k}\,f(x)\,dx,$

якщо

$\nu _{k}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|x|^{k}\,f(x)\,dx<{+\infty }$,

а для дискретних розподілів із функцією ймовірностей $\displaystyle p(x)$:

$\nu _{k}=\sum \limits _{x}x^{k}\,p(x),$

якщо $\nu _{k}=\sum \limits _{x}|x|^{k}\,p(x)<{+\infty }.$

• Також початкові моменти випадкової величини можна обчислити використовуючи її характеристичну функцію $\displaystyle \varphi (t)$:

$\nu _{k}=\left.-i^{k}{\frac {d^{k}}{dt^{k}}}\varphi (t)\right\vert _{t=0}.$

• Якщо розподіл такий, що для нього в деякому околі нуля визначена твірна функція моментів, $\displaystyle M_{X}(t),$, то початкові моменти можна обчислити використовуючи наступну формулу:

$\nu _{k}=\left.{\frac {d^{k}}{dt^{k}}}M_{X}(t)\right\vert _{t=0}.$

Можна також розглядати моменти в.в. для значень $k$, що не є цілими числами. Такий момент, момент, що розглядується як функція від дісного аргументу $k$, називається перетворення Мелліна.

Можна розглянути моменти багатовимірної випадкової величини. Тоді перший момент буде вектором тієї ж розмірності, другий — тензором другого порядку (див. матриця коваріації) над простором тієї ж розмірності (хоча можна розглянути і слід цієї матриці, що дає скалярне узагальнення дисперсії). Ітд.

Див. також

• Середнє степеневе
• Моменти зображення
• L-момент
• Метод моментів
• Твірна функція моментів

Джерела

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гнєденко Б. В. Курс теорії ймовірностей. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2010. — 464 с.
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
• Шефтель З. Г. Теорія ймовірностей. — 2-е. — Київ : Вища школа, 1994. — 192 с.(укр.)
• Сеньо П. С. (2007). Розділ 4.3. Теорія ймовірностей та математична статистика (вид. 2-ге.). Київ: Знання. с. 556.