Майже ціле число

Ед Пеґґ-молодший зазначив, що довжина d дорівнює ${\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{30}}(61421-23{\sqrt {5831385}})}}$, що дуже близько до 7 (приблизно 7,0000000857)

У розважальній математиці майже ціле число — будь-яке число, яке не є цілим, але дуже близьке до цілого. Майже цілі числа викликають інтерес, коли вони несподівано виникають у певному контексті.

Майже цілі числа, пов'язані з золотим перетином та числами Фібоначчі

Прикладами майже цілих чисел є деякі високі степені золотого перетину $\phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.618$, наприклад:

${\begin{aligned}\phi ^{17}&={\frac {3571+1597{\sqrt {5}}}{2}}\approx 3571.00028\\[6pt]\phi ^{18}&=2889+1292{\sqrt {5}}\approx 5777.999827\\[6pt]\phi ^{19}&={\frac {9349+4181{\sqrt {5}}}{2}}\approx 9349.000107\end{aligned}}$

Той факт, що ці степені наближаються до цілих чисел, невипадковий, оскільки золотий перетин є числом Пізо — Віджаяраґгавана.

Відношення чисел Фібоначчі або Люка також можуть дорівнювати майже цілим числам, наприклад:

• ${\frac {\operatorname {Fib} (360)}{\operatorname {Fib} (216)}}\approx 1242282009792667284144565908481.999999999999999999999999999999195$
• ${\frac {\operatorname {Lucas} (361)}{\operatorname {Lucas} (216)}}\approx 2010054515457065378082322433761.000000000000000000000000000000497$

Ці приклади можна узагальнити за допомогою таких послідовностей, які генерують майже цілі числа, що наближаються до чисел Люка зі зростальною точністю:

• $a(n)={\frac {\operatorname {Fib} (45\times 2^{n})}{\operatorname {Fib} (27\times 2^{n})}}\approx \operatorname {Lucas} (18\times 2^{n})$
• $a(n)={\frac {\operatorname {Lucas} (45\times 2^{n}+1)}{\operatorname {Lucas} (27\times 2^{n})}}\approx \operatorname {Lucas} (18\times 2^{n}+1)$

Зі зростанням n кількість послідовних дев'яток або нулів, починаючи від десятого знака $a(n)$, прямує до нескінченності.

Майже цілі числа, пов'язані з e і π

До невипадкових майже цілих чисел належать три найбільші числа Геґнера:

• $e^{\pi {\sqrt {43}}}\approx 884736743.999777466$
• $e^{\pi {\sqrt {67}}}\approx 147197952743.999998662454$
• $e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx 262537412640768743.99999999999925007$

де невипадковість можна краще оцінити, якщо подати їх у загальній простій формі:

$e^{\pi {\sqrt {43}}}=12^{3}(9^{2}-1)^{3}+744-(2.225\ldots )\times 10^{-4}$

$e^{\pi {\sqrt {67}}}=12^{3}(21^{2}-1)^{3}+744-(1.337\ldots )\times 10^{-6}$

$e^{\pi {\sqrt {163}}}=12^{3}(231^{2}-1)^{3}+744-(7.499\ldots )\times 10^{-13}$

де

$21=3\times 7,\quad 231=3\times 7\times 11,\quad 744=24\times 31$

і причиною появи квадратів є певний ряд Ейзенштейна. Число $e^{\pi {\sqrt {163}}}$ іноді називають сталою Рамануджана.

Майже цілі числа, які містять математичні сталі π і e, часто спантеличували математиків. Наприклад: $e^{\pi }-\pi =19.999099979189\ldots$ Пояснив цей, здавалося б, дивовижний збіг А. Доман у вересні 2023 року — це наслідок такої суми, пов'язаної з тета-функціями Якобі: $$\sum _{k=1}^{\infty }\left(8\pi k^{2}-2\right)e^{-\pi k^{2}}=1.$$Перший доданок домінує, оскільки сума доданків для $k\geq 2$ становить всього $\sim 0.0003436.$ Тому суму можна скоротити до $\left(8\pi -2\right)e^{-\pi }\approx 1,$ де розв'язок для $e^{\pi }$ дає $e^{\pi }\approx 8\pi -2.$ Переписуючи наближення для $e^{\pi }$ і використовуючи наближення для $7\pi \approx 22$ маємо $$e^{\pi }\approx \pi +7\pi -2\approx \pi +22-2=\pi +20.$$Після перетворення маємо: $e^{\pi }-\pi \approx 20.$ Між іншим, грубе наближення для $7\pi$ підвищує точність.

Ще один приклад із залученням цих констант: $e+\pi +e\pi +e^{\pi }+\pi ^{e}=59.9994590558\ldots$

Див. також

• Майже просте число
• Математичний збіг
• Шизофренічне число

Посилання

• Я. С. Маркович. Випадковість, стиснення даних і концепція економії мислення Маха (англ.)