Лінійне диференціальне рівняння

Лінійне диференціальне рівняння — звичайне диференціальне рівняння, в яке невідома функція та її похідні входять лінійно, тобто рівняння вигляду

y^{(n)}(x)+g_{(n-1)}(x)y^{(n-1)}(x)+\ldots +g_{1}(x)y(x)=f(x),

де $g_{i}(x)$ та $f(x)$ — функції, що залежать тільки від аргументу x.

Якщо $f(x)\equiv 0$ — рівняння є однорідним лінійним диференційним рівнянням.

Однорідне диференційне рівняння n-го порядку має n лінійно незалежних розв'язків.

Якщо відомий хоча б один частковий розв'язок лінійного диференційного рівняння, то його загальний розв'язок є сумою часткового розв'язку та лінійної комбінації n розв'язків однорідного диференційного рівняння.

Операторний запис

Лінійні диференціальні рівняння мають вигляд

Ly(x)=f(x)\,

де L — лінійний диференціальний оператор, у — невідома функція (наприклад, від $x$ ), а функція праворуч — ƒ є даною функцією такого ж характеру, як у . Також вживається запис

L[y(x)]=f(x).

Лінійний оператор можна розглядати у формі

L_{n}(y)\equiv {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+A_{1}(x){\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}+\cdots +A_{n-1}(x){\frac {dy}{dx}}+A_{n}(x)y\,

Лінійність умови на L виключає такі операції, як піднесення до квадрату похідної від у, але дозволяє, наприклад, брати другу похідну у. Зручно переписати це рівняння в операторній формі

L_{n}(y)\equiv \left[\,D^{n}+A_{1}(x)D^{n-1}+\cdots +A_{n-1}(x)D+A_{n}(x)\right]y

де D є диференціальним оператором д / д (тобто Dy = у ', D ² у = у ", …), і _я — задані функції.

Таке рівняння має порядок п, індекс старшої похідної у, у рівнянні.

Якщо у вважається функцією тільки однієї змінної, то говорять про звичайне диференціальне рівняння, в іншому разі похідні та їх коефіцієнти слід розуміти як вектори, матриці або тензори, тож одержимо (лінійне) диференціальне рівняння з частинними похідними.

Випадок, коли ƒ = 0, називається однорідним рівнянням . Воно особливо важливе для розв'язання у загального випадку, оскільки його розв'язки можна додавати до розв'язку неоднорідного рівняння, щоб дістати інший розв'язок (методом часткового і однорідного розв'язків). Коли _я — це числа, рівняння, називається рівнянням зі сталими коефіцієнтами.

Рівняння зі сталими коефіцієнтами

Докладніше: Лінійне диференційне рівняння зі сталими коефіцієнтами

Важливим частковим випадком є лінійне диференційне рівняння зі сталими коефіцієнтами, для яких $g_{i}(x)=a_{i}$ — певні сталі:

a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\ldots +a_{0}y=f(x)

.

Рівняння зі змінними коефіцієнтами

Простим прикладом є рівняння Коші — Ейлера, що часто використовується в машинобудуванні

x^{n}y^{(n)}(x)+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+\cdots +a_{0}y(x)=0.

Іншим прикладом є лінійне диференціальне рівняння першого порядку:

y'(x)+f(x)y(x)=g(x).

Див. також

Примітки

Посилання

Крижанівський С.Є. Диференціальні рівняння. — Х.: : ДНТВУ.НКТП, 1938. — 398 с.(укр.)
Ляшко І. І., Боярчук О. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. Математичний аналіз в прикладах і задачах. — 2025. — 1500+ с.(укр.)
Самойленко А. М.; Кривошея С.А.; Перестюк М. О. (1994). Диференціальні рівняння у прикладах і задачах (PDF). Київ: Вища школа. с. 455.
E.T. Whittaker, G. N. Watson(інші мови). A Course of Modern Analysis. — 5th. — Cambridge, 1902,1927. — 668 с.(англ.)

[1] напівлінійних диференціальних рівнянь (в диспергуючих PDE Wiki)
[2] квазілінійного диференціального рівняння (в диспергуючих PDE Wiki)
[3] повністю нелінійних диференціальних рівнянь (в диспергуючих PDE Wiki)
http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode.htm [Архівовано 30 червня 2007 у Wayback Machine.]
Jack K. Hale; Joseph P. LaSalle (1963). Differential Equations: Linearity vs. Nonlinearity (PDF). SIAM Review (англ. ) . 5 (3): 249—272. Архів оригіналу (PDF) за 4 жовтня 2015. Процитовано 4 грудня 2015.