Експоненційне зростання

Лінійна (червона), степенева (синя) і експоненційна (зелена) залежності

Експоненційне зростання — зростання величини, за якого швидкість зростання пропорційна значенню самої величини. Підпорядковується експоненційному закону. Експоненційне зростання протиставляється повільнішим (на досить довгому проміжку часу) лінійній або степеневій залежності. У випадку дискретної області визначення з рівними інтервалами його ще називають геометричним зростанням або геометричним розпадом (значення функції утворюють геометричну прогресію). Експоненційна модель зростання також відома як мальтузіанська модель зростання.

Властивості

Для будь-якої величини, яка зростає експоненційно, що більше значення вона має, то швидше зростає. Також це означає, що величина залежної змінної і швидкість її зростання прямо пропорційні. Але при цьому, на відміну від гіперболічної, експоненційна крива ніколи не йде в нескінченність за скінченний проміжок часу.

Як наслідок, експоненційне зростання виявляється швидшим, ніж будь-яке степеневе і тим більше будь-яке лінійне зростання.

Математичний запис

Експоненційне зростання описують диференціальним рівнянням:

${\frac {dx}{dt}}=kx$

Розв'язок цього диференціального рівняння — експонента:

$x=ae^{kt}$

Приклади

Прикладом експоненційного зростання є зростання числа бактерій у колонії до настання обмеження ресурсів. Іншим прикладом експоненційного зростання є складні відсотки.

Див. також

• Гіперболічне зростання
• Експонента
• Експоненційний розпад
• Інформаційний вибух
• Квадратичне зростання
• Логарифмічна шкала
• Логарифмічне зростання
• Показникова функція
• Складні відсотки

Джерела

• Крижанівський С.Є. Диференціальні рівняння. — Х.: : ДНТВУ.НКТП, 1938. — 398 с.(укр.)
• Ляшко І. І., Боярчук О. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. Математичний аналіз в прикладах і задачах. — 2025. — 1500+ с.(укр.)