Kreis- und Hyperbelfunktionen

Sowohl die Kreisfunktionen (z. B. Sinus, Kosinus) als auch die Hyperbelfunktionen (Sinus Hyperbolicus, Cosinus Hyperbolicus, Tangens Hyperbolicus und Cotangens Hyperbolicus) sind mathematische Funktionen, die sowohl für alle reellen als auch komplexen Zahlen definiert sind.

In diesem Artikel werden nur die Sinus- und Kosinus-Funktionen detailliert behandelt. Auch die Tangens-, Kotangens-, Secans- und Kosecans-Funktionen sowie ihre analogen Hyperbelfunktionen zeigen Ähnlichkeiten vom unten beschriebenen Typ.

Definitionen

Beide Gruppen von Funktionen lassen sich unter anderem durch die Exponentialfunktion oder ihre Taylorreihenentwicklung definieren. Die ähnlichen Namen (z. B. Sinus, Sinus Hyperbolicus) lassen sich durch die ähnlichen Definitionen und Eigenschaften verstehen.

Oft unterscheiden sich die Kreis- und Hyperbelfunktion in Definition oder Eigenschaften nur darin, dass die Funktionsvariable der Kreisfunktion durch das Produkt aus imaginärer Einheit mit der Funktionsvariablen ersetzt wird, oder das positive und negative Vorzeichen vertauscht sind.

Die imaginäre Einheit, abgekürzt i, wird wegen $i^{2}:=-1$ oft auch als "Quadratwurzel aus minus 1" bezeichnet.

Definition über die Exponentialfunktion

Die Definitionen von Kreis- und Hyperbelfunktionen über die Exponentialfunktion erlauben es, das Funktionsverhalten auf eine bekannte Funktion zurückzuführen. Sie sind daher viel genutzt.

${\begin{matrix}\sin(z)&=&{\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\\\sinh(z)&=&{\frac {e^{z}-e^{-z}}{2}}\\\cos(z)&=&{\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\\\cosh(z)&=&{\frac {e^{z}+e^{-z}}{2}}\end{matrix}}$

Definition über Reihenentwicklung

Die Taylorreihen unterscheiden sich nur in den Vorzeichen jedes zweiten Summengliedes. Bei den Hyperbelfunktionen werden alle Reihenglieder addiert; bei den Kreisfunktionen wird jedes zweite Reihenglied subtrahiert.

${\begin{matrix}\sin(z)&=&z-{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}-{\frac {z^{7}}{7!}}+\dots \\\sinh(z)&=&z+{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}+{\frac {z^{7}}{7!}}+\dots \\\cos(z)&=&1-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}+\dots \\\cosh(z)&=&1+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+{\frac {z^{6}}{6!}}+\dots \end{matrix}}$

Hier steht der Ausdruck n! für die Fakultät von n, das Produkt der ersten n natürlichen Zahlen:

$n!=1\cdot 2\cdot ...\cdot n$

Eigenschaften der Funktionen

Kreis und Hyperbel

Der Name Kreis- bzw. Hyperbelfunktionen stammt daher, dass die Kreisfunktionen einen Kreis und die Hyperbelfunktionen eine Hyperbel beschreiben. u sei die eingeschlossene Fläche zwischen x-Achse, dem Graphen y(x) und der Verbindungsgeraden zwischen Ursprung und einem Punkt auf dem Graph. Für die Kreisfunktionen ist u ebenfalls gleich dem Winkel zwischen der Verbindungsgeraden zwischen Ursprung und einem Punkt auf dem Graph und der x-Achse. Man erhält somit bei der Umkehrung der Funktion eine Winkel: daher Arcussinus, Arcuscosinus. Für die Hyperbelfunktionen gilt nur die Definition mit der Fläche. Daher ergibt sich bei der Umkehrfunktion eine Fläche: Areasinus Hyperbolicus, Areacosinus Hyperbolicus.

Kreisfunktionen:

$\sin ^{2}(u)+\cos ^{2}(u)=1\quad {\rm {mit}}\quad y=\sin(u)\quad {\rm {und}}\quad x=\cos(u)$

$\Longrightarrow \quad {\rm {Kreisgleichung}}\quad y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}$

Hyperbelfunktionen:

${\rm {cosh}}^{2}(u)-{\rm {sinh}}^{2}(x)=1\quad {\rm {mit}}\quad y=\sinh(u)\quad {\rm {und}}\quad x=\cosh(u)$

$\Longrightarrow \quad {\rm {Hyperbelgleichung}}\quad y=\pm {\sqrt {x^{2}-1}}$

Umwandlung zwischen Kreis- und Hyperbelfunktionen

Für jede komplexe Zahl z gilt:

${\begin{matrix}\sin(i\cdot z)&=&i\cdot \sinh(z)\\\sinh(i\cdot z)&=&i\cdot \sin(z)\\\cos(i\cdot z)&=&\cosh(z)\\\cosh(i\cdot z)&=&\cos(z)\end{matrix}}$

beziehungsweise:

${\begin{matrix}\sin(z)&=&-i\cdot \sinh(i\cdot z)\\\sinh(z)&=&-i\cdot \sin(i\cdot z)\\\cos(z)&=&\cosh(i\cdot z)\\\cosh(z)&=&\cos(i\cdot z)\end{matrix}}$

Ableitungen

Auch die Ableitungen der Kreis- und Hyperbelfunktionen sind einander ähnlich.

${\begin{matrix}\sin '(z)&=&\cos(z)\\\sinh '(z)&=&\cosh(z)\\\cos '(z)&=&-\sin(z)\\\cosh '(z)&=&\sinh(z)\end{matrix}}$

Additionstheoreme

Für die Kreis- wie auch für die Hyperbelfunktionen gelten die folgenden Additionstheoreme:

${\begin{matrix}\sin(x+y)&=&\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)\\\cos(x+y)&=&\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)\end{matrix}}$

bzw. (man beachte beim Cosh das Vorzeichen)

${\begin{matrix}\sinh(x+y)&=&\sinh(x)\cosh(y)+\cosh(x)\sinh(y)\\\cosh(x+y)&=&\cosh(x)\cosh(y)+\sinh(x)\sinh(y)\end{matrix}}$

Siehe auch

Auf den Seiten der englischsprachigen Wikipedia gibt es noch etliche weitere Informationen.