Diskussion:Skalarprodukt

Hier sollte noch die axiomatische Definition hin und Spatprodukt sollte ein eigener Artikel werden. Coma 09:56, 11. Dez 2002 (CET)

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Ich verstehe nicht wieso der wichtigste Teil, nämlich die Definition des Skalarproduktes weichen musste. Was momentan an erster Stelle steht ist lediglich das euklidische Standard-Skalarprodukt. Ein Skalarprodukt im allgemeinen definiert sich durch seine Bilinearität, Symmetrie, und positive Definitheit.

Die Verzahnung der Artikel Skalarprodukt und Innenproduktraum ist noch nicht optimal; die Idee hinter dieser Aufteilung ist aber klar: der Artikel Skalarprodukt soll auf dem Niveau der Schulmathematik zugänglich sein und, in auch historisch korrekter Weise, das Skalarprodukt aus der Geometrie heraus begründen; nur wer das verinnerlicht hat, ist zu einem produktiven Umgang mit dem abstrakt definierten Skalarprodukt in einem beliebigen Innenproduktraum in der Lage. -- Weialawaga 10:07, 20. Jul 2004 (CEST)

Darstellung von Vektoren im Artikel

moin, warum werden im artikel die Vektoren dickgedruckt dargestellt, also A und nicht als ${\overrightarrow {A}}$ ? im artikel Spatprodukt zum beispiel wird weder auf die darstellung mittels pfeil noch mit disckschrift zurückgegriffen. ich denke sowas sollte mal angeglichen werden. - cu AssetBurned 23:53, 30. Nov 2004 (CET)

Stimmt. Das hat mich auch geärgert, als ich die verwendeten Symbole vor einigen Wochen umgearbeitet habe. Ich bin der Meinung, dass eine große Nähe zu einführenden Werken (aus der Schule, aber auch der FachHochschule) vorhanden sein muss. In diesem Sinne habe ich die Symbolik umgesetzt und bin auch gerne bereit, den gesamten Artikel noch einmal anzupassen. - Hhoffmann

gudn tach! waere es sinnvoll, den kompletten artikel mit dem jetzigen teil "notation" (in leicht geaenderter form) beginnen zu lassen? dass im artikel selbst dann verschiedene notationen verwendet werden, halte ich fuer _sinnvoll_, da somit der richtige gebrauch der verschiedenen notationen verdeutlicht wird. --seth 22:19, 18. Aug 2005 (CEST)

Klingt sinnvoll.--Gunther 13:56, 20. Aug 2005 (CEST)

dann wage ich einen formulierungsversuch:

== Einleitung ==

=== Notation ===

Bevor auf Bedeutungen und Definitionen des Skalarproduktes eingegangen wird, werden zunächst die verschiedenen hauptsächlich benutzten Schreibweisen vorgestellt.

[aufzaehlung wie bisher, spitze klammern, punkt, blabla]

Auch in diesem Artikel werden verschiedene Schreibweisen verwendet, um deren adäquate Anwendung zu demonstrieren.

ich wollte das noch nicht direkt im artikel aendern, weil ich mir bei dieser aenderung noch nicht so sicher bin. denn wenn jemand ueberhaupt keine ahnung von skalarprodukten hat, wird er das am anfang noch gar nicht aufnehmen koennen, oder? da hat doch bestimmt jemand eine bessere idee... --seth 20:26, 20. Aug 2005 (CEST)

Irgendein Einleitungssatz sollte schon dazu, irgendwas in der Art "In der Mathematik und vielen ihrer Anwendungsbereiche versteht man unter dem Skalarprodukt zweier Vektoren eine Zahl, die die Längen und die relative Lage der Vektoren zueinander (unvollständig) beschreibt: Zwei Vektoren stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt null ist; zeigen sie hingegen in dieselbe Richtung, so ist das Skalarprodukt das (gewöhnliche) Produkt ihrer Längen."--Gunther 10:53, 21. Aug 2005 (CEST)

fein. ich aendere das dann jetzt.--seth 12:16, 21. Aug 2005 (CEST)

positiv definit, sesquilinear, hermitesch.

Das Skalarprodukt sollte erst wirklich über die drei Eigenschaften definiert werden, dann im Sinne der Schulmathematik erklärt werden und am Ende kann man auf andere Skalarprodukte verweisen. Ich finde man kann der Artikel zum Skalarprodukt nicht ohne die drei Eigenschaften schreiben. - sehe ich auch so, das skalarprodukt sollte als symmetrische bilinearform eingefuehrt werden und nicht also standardskalarprodukt auf dem R^n

Warum? ---NeoUrfahraner 11:36, 4. Feb 2005 (CET)

Hoffentlich ist mein Beitrag noch nicht zu spät. Ich kann der Meinung nur anschließen. Erst die korrekte (was heißt hier abstrakt? In einem mathematischen Lemma auf Abstraktheit hinzuweisen ist doch Quatsch) Definition. Und das sind bei mir nur vier Punkte:

• $\langle x+y,z\rangle =\langle x,z\rangle +\langle y,z\rangle$
• $\langle x,{\bar {\lambda }}y\rangle =\lambda \langle x,y\rangle =\langle \lambda x,y\rangle$
• $\langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}$
• $\langle x,x\rangle >0,$ falls $u\neq 0$. Falls $x=0$ ist $\langle x,x\rangle =0$

Der zweite Punkt im Artikel ist zur Definition nicht nötig. Er lässt sich aus der hier gegebenen Definition folgern. Außerdem ist die Unterteilung in reelle und komplexe Zahlen nicht nötig. Wer eine reelle Zahl komplex konjugieren möchte, kann das gerne tun. An der Zahl wird das nix ändern. Elasto 14:54, 27. Mai 2005 (CEST)

• Die Verwendung des Attributes "abstrakt" ist durchaus üblich, ob sie an dieser Stelle berechtigt ist, kann man diskutieren. ("Abstrakter" Vektorraum vs. $\mathbb {R} ^{n}$ oder "abstrakte" Mannigfaltigkeit vs. eingebettete Untermannigfaltigkeit des $\mathbb {R} ^{n}$.)
• Die Definition erklärt jeweils die Begriffe, die da stehen. Und für Bilinearität (ohne Symmetrie) ist die zweite Bedingung nicht überflüssig.
• Symmetrisch ist ein eigenständiger Begriff und nicht etwa ein Spezialfall von "hermitesch". Für die Definition eines reellen Skalarproduktes muss ich nichts über komplexe Zahlen wissen, auch nicht, dass die Konjugation reelle Zahlen invariant lässt.

Welchen Vorteil soll eine kürzere Definition haben?--Gunther 15:11, 27. Mai 2005 (CEST)

Eine kürzere Definition hat auf jeden Fall den Vorteil, dass ich, wenn ich wissen will, ob eine Abbildung ein Skalarprodukt ist, weniger überprüfen muss. Ein sehr praktischer Nutzen. Elasto 20:33, 27. Mai 2005 (CEST)

An diese Arbeitsersparnis glaube ich nicht, die wirklichen Schwierigkeiten liegen woanders. Dagegen helfen Bezüge zu anderen Begriffen, den neuen Begriff zu analysieren. Beispielsweise kann man jede Bilinearform auf einem endlichdimensionalen Vektorraum durch eine Matrix darstellen, und die Bilinearform ist genau dann symmetrisch, wenn die Matrix symmetrisch ist. Führt man Skalarprodukte über eine minimale Definition ein, muss man Bilinearformen als ganz neuen Begriff lernen.--Gunther 20:57, 27. Mai 2005 (CEST)

An Elasto: die Frage, warum zuerst die allgemeine Definition kommen soll, hast Du nicht beantwortet. Meiner Meinung nach ist das lediglich eine Geschmacksfrage; der eine geht lieber vom Konkreten ($\mathbb {R} ^{n}$) zum Abstrakten; der andere vom Abstrakten zum Konkreten. Wieder andere definieren lieber über den Kosinus (z.B. die englische Version en:Dot_product). Man kann es natürlich ändern, aber dann kommt vielleicht der nächste und sagt, der Artikel ist zu formal und unverständlich, und das Spiel geht von vorne los. Was das Wort "Abstrakte Definition" betrifft: gefällt Dir "Allgemeine Definition" in diesem Zusammenhang besser? --NeoUrfahraner 21:35, 27. Mai 2005 (CEST)

Hab ich glatt übersehen, hole ich aber gerne nach. Meine Meinung zur Stelle, an der die Allgemeine (das klingt gut!) Definition stehen sollte ist: Das ist gut so. Zuerst das, was jeder versteht, dann das Spezielle. Zu den Bilinearformen: Ich hab die Bilinearformen (und allgemein Multilinearformen) vor dem Skalarprodukt gelernt, also getrennt und das fand ich nicht schlecht.

Meinst du wirklich, dass es dann zu formal wird? Ab dem Punkt "Allgemeine Definition" kann der Artikel meiner Meining nach ruhig etwas formaler werden. Nicht-Mathematiker werden ab dort sowieso zu lesen aufhören. Und als Mathematiker fänd ich eine kurze knackige Definition ganz gut.Elasto 23:46, 27. Mai 2005 (CEST)

Ich habe es jetzt auf "Allgemeine Definition" geändert. --NeoUrfahraner 00:00, 28. Mai 2005 (CEST)

Ich denke, man kann ja damit leben, dass das Standard-SKP als erstes kommt. Allerdings sollte im Intro gleich stehen, dass damit eben nicht das SKP, sondern der Spezialfall des Standard-SKP, der im endl. dim. die häufigste Wahl darstellt, erklärt wird. -- JFKCom 22:50, 12. Jul 2005 (CEST)

Wäre es nicht sinnvoller, mit der allgemeinen DEfinition anzufangen, und zwar mit zwei Abschnitten, je einen für das reelle und das komplexe Skalarprodukt und dann zu den konkreten BEispielen überzugehen? Dann könnte man z.B. auch auf Euklidisches_Skalarprodukt verweisen und dort hin das einfache Rechenbeispiel verschieben. Im übrigen ist das Skalarprodukt nicht in einem euklidischen Raum definiert, sondern ein reeller Vektorraum wird erst durch die Konstruktion eines skalaren Produktes zu einem euklidischen Raum. DEs weiteren weiß ich nicht, wie sinnvoll es ist weitere Beispiele anzugeben, z.B. ein Integral-Skalarprodukt auf einem Funktionenraum? --KapitanSpaltnagel 00:48, 30. Jul 2005 (CEST)

Inneres Produkt oder Skalarprodukt?

Was soll der Unterschied zwischen innerem Produkt und Skalarprodukt sein? Die Unterscheidung, dass das eine im endlichdimensionalen und das andere allgemein sei, habe ich weder auf der englischen Wikipediaseite noch in der Literatur gefunden. Rudin: Functional Analysis; Friedman: Modern Analysis, Collatz: Funktionalanalysis kennen diese Unterscheidung nicht. Ich habe daher die Formulierung gändert -NeoUrfahraner 17.1.2005

Problem: "komponentenweise"

Komponentenweise ist ein (ungebräuchliches) Adverb und kann deshalb nicht in der Form "Komponentenweise Berechnung" verwendet werden. Bitte einen in korrektem Deutsch gehaltenen Ersatz finden! Danke. -- Carbidfischer 19:47, 23. Jan 2005 (CET)

Nicht dass mich die Formulierung "mit Hilfe seiner Komponenten" stören würde - aber was soll an "komponentenweise" ungewöhnlich sein? Google findet das Wort ungefähr 9.580 Mal. ---NeoUrfahraner 14:45, 4. Feb 2005 (CET)

Mit ist der Ausdruck auch geläufig. Aber kann ja auch elementweise sagen. --Philipendula 14:43, 5. Feb 2005 (CET)

Inzwischen steht dort "mit Hilfe seiner Komponenten", und ich sehe keine Grund, das nochmals zu ändern. Ich finde es lediglich schade, wenn Energie verschwendet wird, um Scheinverbesserungen durchzuführen, die letztlich eine reine Geschmackssache sind. Es gibt in der Wikipedia genügend Möglichkeiten, echte Verbesserungen anzubringen. --NeoUrfahraner 16:09, 5. Feb 2005 (CET)

Das Problem ist, dass Wörter auf -weise Adverbien sind und die Verwendung als Adjektiv wie in "komponentenweise Berechnung" schlicht falsch ist. "...wird komponentenweise berechnet..." wäre o.k.--Gunther 13:55, 20. Aug 2005 (CEST)

allgemeine definition

gudn tach! die aktuellen letzten aenderungen gefallen mir teilweise gar nicht. in so ziemlich jedem mathebuch (welches ich kenne), in dem vom skalarprodukt die rede ist, wird es so $\langle x,{\bar {\lambda }}y\rangle =\lambda \langle x,y\rangle =\langle \lambda x,y\rangle$ und nicht so $\langle x,\lambda y\rangle =\lambda \langle x,y\rangle =\langle {\bar {\lambda }}x,y\rangle$ eingefuehrt/benutzt. dass es gelegentlich auch anders verwendet wird, stand ja schon im artikel. aber jetzt sieht es fuer mich so aus, als waere die ausnahme zur regel gemacht worden. da ich aber keinen edit-war ausloesen moechte, bitte ich um weitere meldungen dazu. --seth 16:00, 29. Sep 2005 (CEST)