Diskussion:Sinus und Kosinus

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Methode zur Berechnung sin(x)

Hallo, ich frage mich ob es nützlich wäre hier noch folgende Methode zur Berechnung des Sinus einzufügen. Ich persönlich traue mich nicht an eine so komplexe Seite heran um da irgendetwas einzufügen wovon ich nicht mal wüsste in welchen Bereich ich es zu packen hätte.

Die Formel wäre dies:

$sin\left({\frac {\alpha }{2}}\right)={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1-{\sqrt {1-sin^{2}\alpha }}\right)}}$

Die Formel findet sich bereits am Ende des Abschnitts "Berechnung der Ableitung aus den Additionstheoremen". --NeoUrfahraner

Sinus, Cosinus und Tangens im Einheitskreis

Hi, ich gebe Mathenachhilfe und habe dafür ne kleine Animation zum besseren Verständniss mit Z.u.L. (ich glaub freeware) erstellt. Von mir aus könnte man einen Link in Wikipedia / direkt einfügen (falls das geht ... es ist eigentlich ein Java Applett). Da ich jedoch des öfteren Copyright u.ä. verletze, weil ich mich da nicht so auskenne, mach ichs nicht. Hier der link http://www.blackpanter.net/php/school/zirkel.html

sin²(x) und cos²(x)

Eine genaue Erklärung was genau das sein soll wäre noch vorteilhaft.

Mathematische Näherung der Sinus- und Kosinuswerte

Guten Tag,

ich möchte anmerken, dass sich sowohl die Kosinuswerte als auch die Sinuswerte, rein mathematisch nähern lassen. (Bei einer indirekten Inkremention um Pi/180stel, ergeben sich Sinuswerte, mit einer maximaler Abweichung von den üblichen Werten im 1000stel bis 100000stel Bereich)

Theoriefindung? --NeoUrfahraner 07:21, 14. Mai 2010 (CEST)

Ich vermute "Theoriefindung?" soll bedeuten: Auf Grund welcher Theorie sich diese Formel fand.

Nein, Theoriefindung soll das bedeuten, was dort steht, worauf es verlinkt:

Die Wikipedia bildet bekanntes Wissen ab. Sie dient der Theoriedarstellung, nicht der Theoriefindung ... Überprüfbar ist, was mithilfe von verlässlichen Informationsquellen belegt werden kann. Ob Aussagen wahr sind oder nicht, ist, insbesondere in umstrittenen Fällen, nicht in der Wikipedia zu klären.

Siehe auch WP:Q. --NeoUrfahraner 15:33, 14. Mai 2010 (CEST)

Ok. bedanke mich für die Information, hat mich gefreut, dass sich überhaupt jemand gemeldet hat.

Die oben aufgeführte Berechnung der Sinuswerte ist meine eigene Formel, das heißt: kein "bekanntes Wissen" (^WP:Q).

Wollte ich in einem Wikipedia Artikel meine Formel darlegen, müsste ich vorher dafür sorgen, dass sie zu "bekanntem Wissen" gehört, hmm..grübel.

Naja, werde mich dahingehend bemühen,

thxs_bcn.

MvonBrüsewitz (nicht signierter Beitrag von 92.192.23.117 (Diskussion) 16:04, 14. Mai 2010 (CEST))

Oder in der Literatur suchen, ob schon jemand mal darauf gekommen ist und das als bemerkenswertes Kuriosum oder als Knobelaufgabe notiert hat. Es ist zweifelhaft, dass diese Konstruktion effizienter ist als die bekannten Näherungsverfahren.--LutzL 18:20, 14. Mai 2010 (CEST)

Ok, meine Herren, habe mich nochmal bemüht, allerdings nur mathematisch:

Zur Berechnung von Sinuswerten ist die Formel doch recht griffig geworden. Ich weiß, man soll hier nicht "behaupten", sondern "Bewiesenes" darstellen, deswegen bewege ich mich bloß im "Diskussionsraum". Die bewiesenen Grundlagen, auf die sich die Formel stützt, sind gängige, gültige mathematische Praxis, nicht mal höhere Mathematik, ohne Faktorisierung, keine Zerlegung (der Sinuskurve) in Abschnitte, usw.

et voila:

Mathematische Näherung des ersten Sinuswertes:

  r =Pi/180) (entspricht einem Grad, läßt sich für genauere Ergebnisse beliebieg verkleinern)

${\begin{aligned}x_{1}&=1-{\frac {r^{2}}{2}}\\y_{1}&={\sqrt {1-x_{1}{}^{2}}}\end{aligned}}$

Formel zur (Reihen-)Berechnung der Cosinus- und Sinuswerte:

${\begin{aligned}x_{n+1}&=x_{1}*x_{n}-y_{1}*y_{n}=(1-{\frac {r^{2}}{2}})*x_{n}-{\sqrt {r^{2}-{\frac {r^{4}}{4}}}}*{\sqrt {1-x_{n}{}^{2}}}\\y_{n+1}&={\sqrt {1-x_{n+1}{}^{2}}}\end{aligned}}$

n(max) = alpha (zu berechnender Winkel, er gibt an, wie oft die Formel sich in einer Reihenberechnung selber "speist").

genäherte Ergebnisse:

r = 0,0174532925

Grad	M_sinus	Excel_Sinus	Abweichung	Grad-Abweichung
1	0,0174524064	0,0174526279	0,0000002215	0,0000126928
30	0,5000057555	0,5000000000	0,0000057555	0,0003807848
45	0,7071138302	0,7071067812	0,0000070491	0,0005711772
60	0,8660320497	0,8660254038	0,0000066459	0,0007615696
90	0,9999999998	1,0000000000	-0,0000000002	-0,0011423542

Bitte belasse es dabei. Die Diskussionsseite dient der Verbesserung des Artikels, nicht der allgemeinen Diskussion des Themas. Dazu gibt es Foren wie Matheplanet, Matheboard, wer-weiss-was oder selbst xkcd. Wenn es keine nachprüfbaren Quellen gibt, dann kann diese Überlegung auch nicht den Artikel verbessern.--LutzL 14:14, 18. Mai 2010 (CEST)

Na gut ..,

:-(     ...murmelgrummel,

bedanke mich für die Aufmerksamkeit,

(.. aber die Weltformel knöpf ich mir noch vor...;-)

cu M. (nicht signierter Beitrag von 62.72.83.146 (Diskussion) 19:18, 18. Mai 2010 (CEST))

Ich habe mal die Formeln lesbarer gestaltet. Dabei fällt dann auf, dass in den Formeln einfach nur die Additionstheoreme kompliziert versteckt wurden. Das ist eine alte Technik. Wenn ein Winkel a im Bogenmass gegeben ist, dann finde man ein N, so dass r=a/N klein genug ist und nähere $(\cos r,\sin r)\approx (1-{\tfrac {1}{2}}r^{2},r)$, normiere dies in geeigneter Weise auf Länge 1 und verwende die Additionstheoreme, um nacheinander Sinus und Kosinus für Winkel mr=a*m/N zu finden. Üblicherweise arbeitet man mit Winkelhalbierungen und -verdoppelungen, um die Iteration abzukürzen, d.h. N=2^n und die Zwischenwinkel sind 2^m*r=a/2^(n-m).--LutzL 10:15, 19. Mai 2010 (CEST)

→ CORDIC, Gruß – Rainald62 20:17, 16. Mai 2011 (CEST)

Nun gut, da hab ich wohl eine alte Technik neu entdeckt, ich habe mir diese (Addition) unbemerkt durch Vektorrechnung erschlossen.

Die eigentliche Näherung des ersten Sinus/ Cosinuswertes ist eine (geometrische) Konstruktion im Koordinatensystem. Der Radius "r" (=Pi/180) entspricht hier dem Radius eines zweiten Kreises (um (1|0), welcher mit dem Einheitskreis einen gemeinsamen Schnittpunkt bildet, aus dem sich die Koordinate für den ersten Cosinuswert ergibt.

Der Radius r ist beliebig wählbar, die Abweichungen verringern sich bei Verringerung dieses Radius'.

Danke für die "lesbar"-Gestaltung der Formel und für die mathematischen Erläuterungen.

Grüße MvB. (nicht signierter Beitrag von 92.192.82.245 (Diskussion) 23:35, 20. Mai 2010 (CEST))

Deine Formel ist nichts weiter als die Anwendung der Additionstheoreme, genauer dasjenige des Sinus. $x_{n+1}=x_{n}\cdot y_{1}+y_{n}\cdot x_{1}$ entsprechend $\sin((n+1)\phi )=\sin(n\phi )\cos(\phi )+\cos(n\phi )\sin(\phi )$. Die Bestimmung $y_{n}={\sqrt {1-x_{n}^{2}}}$ bestimmt nur den Betrag des Kosinus, d.h. lässt keine negativen Werte zu, denn es gilt nur $|\cos(n\phi )|={\sqrt {1-\sin ^{2}(n\phi )}}$. Je genauer dieses Vorgehen wird, desto mehr Rechenschritte und desto mehr Rundungsfehler akkumulieren sich. Deshalb ist Halbieren und Quadrieren besser, aber ebenfalls zu langsam. Man kann mit einfachen Manipulationen den Winkel nahe zur Null bringen,... aber das wird im Artikel und den verlinkten, wie schon mehrfach gesagt, schon ausführlich angesprochen.--LutzL 12:05, 23. Aug. 2011 (CEST)

Wie berechnet man denn jetzt nun eine Sinuskurve?

Ich wollte eigentlich in diesem Artikel nachsehen, wie man eine Sinuskurve berechnet, jedenfalls ist Sinuskurve eine Weiterleitung hierher. Leider sagt der Artikel es mir nicht. Sollte das nicht drinstehen? Gismatis 01:15, 8. Mai 2011 (CEST)

Um das zu entscheiden, sollte zunächst klar gemacht werden, was "Sinuskurve berechnen" überhaupt bedeuten soll. Was verstehst du darunter? Ein Ziel, das sich formulieren lässt, musst du ja gehabt haben, als du hier nachsehen wolltest. --Daniel5Ko 01:42, 8. Mai 2011 (CEST)

Ich möchte wissen, wie in einem Koordinatensystem eine Sinuskurve einer Schwingung mit gegebener Frequenz und Amplitude gezeichnet werden kann. Gismatis 02:19, 8. Mai 2011 (CEST)

Aha. Ich denke, der Artikel Schwingung enthält dann im oberen Teil alle gewünschten Informationen. Den könnte man an geeigneter Stelle vielleicht verlinken. (Das Plotten per Computer oder das per-Hand-sinnvolle-Stützstellen-Einzeichnen-und-Verbinden ist nicht das Problem, oder etwa doch?) --Daniel5Ko 02:52, 8. Mai 2011 (CEST)

Vielleicht doch. Erstens muss die Teilung der x-Achse zur Frequenz passen. Es macht selten Sinn, viel mehr als zehn oder weniger als eine Periode zu zeichnen. Also sollte der maximale x-Wert mal der Frequenz zwischen 360° und 3600° liegen (in Radiant (Einheit) zwischen 2π und 20π). Zweitens muss die Teilung der y-Achse zur Amplitude passen. Wenn z.B. die Amplitude 5 ist, von −6 bis +6. Drittens sind (je nach Genauigkeitsanforderungen und Geschick beim Verbinden der Punkte) zwischen 6 und 20 Punkte pro Periode nötig. – Rainald62 14:48, 8. Mai 2011 (CEST)

Mir ist das dort zu kryptisch formuliert. Inzwischen habe ich wenigstens herausgefunden, wie ich einen Kreis berechnen kann. Ich würde für y also den Kreis nehmen, wobei der Radius der Amplitude entspricht und für x würde ich den Winkel in die Zeit umrechnen gemäß der Frequenz Schwingungsdauer. Zuerst rechne ich also y = r · cos t, wobei t der Winkel ist. Dann übersetze ich den Winkel in die Zeit, wobei 360° der Frequenz entsprechen. Ist das richtig so? Geht das nicht einfacher? Gismatis 17:22, 8. Mai 2011 (CEST)

360° entsprechen nicht der Frequenz, sondern der Schwingungsdauer (Periode). Ob das einfacher geht, hängt von den Hilfsmitteln ab, die dir zur Verfügung stehen. Und davon, ob du die Kurve skizzieren möchtest (qualitativ) oder eine genaue Zeichnung brauchst. Ist das Zeitintervall vorgegeben oder die Zahl der Perioden, die gezeichnet werden sollen? -- Digamma 21:20, 8. Mai 2011 (CEST)

Richtig, Schwingungsdauer meinte ich. Ich wollte einfach wissen, wie es geht. Aber jetzt habe ich ja eine Lösung gefunden. Auch habe ich herausgefunden, dass eine Bézierkurve, die von oben nach unten reicht, ziemlich genau einer Sinuskurve entspricht, wenn die beiden inneren Stützpunkte 25 % vom Nulldurchgang entfernt sind, wenn obere und untere Hälfte für sich betrachtet werden, die x-Werte der Punkte also 0, 0,75, 1,25 und 2 betragen. Gismatis 22:49, 9. Mai 2011 (CEST)

Berechnung mit elektronischer Hardware und Controllern

Ich hatte heute einen Artikel gelinkt, der aber wieder entfernt wurde! Begründung: Lookup-Tabelle ist nicht sehr originell und auch die Parabelapproximation (mit 12% Fehler) ist kein Mehrwert gegenüber den im Abschnitt "Berechnung". Dazu mein Kommentar: In Mikrocontrollern wird es aber genau so gemacht. Dabei geht es ja um die technische Umsetzung und in FPGAs und DDS-Bausteinen werden eben jene look-upTabellen verwendet. Darauf wollte ich hinweisen, aber hier scheinen nur Mathematiker zu sein. (nicht signierter Beitrag von 62.225.145.235 (Diskussion) 17:31, 9. Aug. 2011 (CEST))

Hast Du denn Sinus_und_Kosinus#Berechnung gelesen? Dort steht das schon und in den verlinkten Artikeln noch viel mehr. – Rainald62 17:45, 9. Aug. 2011 (CEST)

Literaturangaben

1J. Ruska, Zur Geschichte des "Sinus". In: Zeitschrift für Mathematik und Physik, Leipzig: Teubner, 1895 : Leider kann ich den Artikel im angegebenen Jahrgang nicht finden; stimmt das Zitat? --888344 12:13, 21. Jun. 2011 (CEST)

Herkunft

Ich habe in dem Absatz

Die lateinische Bezeichnung „Sinus“ 'Bogen, Krümmung, Busen' für diesen mathematischen Begriff wählte Gerhard von Cremona 1175 als Übersetzung der arabischen Bezeichnung „gaib oder jiba“ (جيب) „Tasche, Kleiderfalte“, selbst entlehnt von Sanskrit „jiva“ ‘Bogensehne‘ indischer Mathematiker (vielleicht nach dem Verlauf einer Sehne, die schraubenförmig um einen Stab gewickelt wird).

den Zusatz

(vielleicht nach dem Verlauf einer Sehne, die schraubenförmig um einen Stab gewickelt wird)

entfernt. Ich denke, dass das offensichtlich Unsinn (und Theoriefindung ist). Meiner Meinung nach (ich habe aber keinen Beleg), kommt die Bezeichnung "Sehne" von der Deutung am Kreis. Eine Sehne mit Mittelpunktswinkel $2\alpha$ hat die Länge $2r\sin \alpha$ (wobei $r$ der Radius des Kreises ist). -- Digamma 13:16, 21. Jun. 2011 (CEST)