Diskussion:Primzahl

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Primzahlgenerator

dieser artikel scheint mit redundant zum absatz Formeln zur Generierung von Primzahlen .. allerdings kenne ich mich eher nicht aus und überlasse daher euch das vergnügen ggf. anpassungen vorzunehmen ;) ...Sicherlich ^Post 12:19, 18. Mär 2006 (CET)

(zurückgesetzt. "genau zwei" impliziert "verschieden")

Ach ja ?!

Es zeugt von Sprachschluderei, in einer Definition folgendes zu sagen:

• "Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl mit genau zwei natürlichen

Teilern, nämlich 1 und sich selbst."

Erstens: "nämlich" bezeichnet die Namensgebung, nicht die Definition.

Zweitens: "1 und sich selbst." reicht nicht hin, weil "sich selbst" undefiniert ist.

Drittens: Was eine Definition nicht klarer macht, schwächt diese Definition.

Viertens: Um eine Definition zu veranschaulichen, verwendet man Beispiele.

Fünftens: Beispiele zur Veranschaulichung einer Definition sind nicht Teil dieser Definition.

Sechstens: Die Definition einer Primzahl lautet:

• "Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl mit genau zwei natürlichen

Teilern.

Siebtens: Ein Beispiel könnte lauten: "Diese Teiler sind eins und die Primzahl selbst"

Achtens: Anstelle von "eins" kann man auch "1" und anstelle von "Primzahl selbst" kann man auch "Primzahl" schreiben.

Neuntens (3 mal 3): Wenn jemand die gegenwärtige Einleitung liest, dann kann sie sich wohl einen Reim darauf machen. Aber wir sind keine Poeten, also verzichten wir besser auf schlechte Reime. Hans Rosenthal (ROHA) (hans.rosenthal AT t-online.de -- ersetze AT durch @ ) (09042006) PS: (In Klammern: Von der lächerlichen Seitensperrung will ich hier erst gar nicht reden.) (nicht signierter Beitrag von 84.148.96.94 (Diskussion | Beiträge) 07:57, 9. Apr. 2006 (CEST))

Nutzen

wozu noch groessere primzahlen?

haie,

bei der praktischen Anwendung steht etwas von Kryptographie; nur wozu braucht man dann noch größere Primzahlen? ist es das streben nach dem rekord oder gibt es auch richtigen Nutzen daraus? wenn ja sollte der in den artikel (und es würde mich auch interessieren ;) ) ...Sicherlich ^Post 23:30, 6. Sep 2006 (CEST)

Drei Bearbeitungs-Vorschläge

Ich habe drei Änderungsvorschläge zu dem Artikel, den ich aber nicht selbst bearbeiten kann. Vielleicht nimmt sich mal jemand dieser Vorschläge an (falls diese sinnvoll erscheinen).

1. In "Eigenschaften von Primzahlen" würde ich folgende Ergänzung (kursiv) vorschlagen:
Jede Primzahl mit Ausnahme der 2 lässt sich einer der beiden Klassen „Primzahl der Form 4k + 1“ oder „Primzahl der Form 4k + 3“ zuordnen, wobei k eine natürliche Zahl ist. Darüber hinaus hat jede Primzahl p > 3 die Form p = 6k + 1 oder p = 6k - 1, wobei k eine natürliche Zahl ist. Nach dem dirichletschen Primzahlsatz gibt es in jeder dieser vier Klassen unendlich viele Primzahlen.

2. In "Formeln zur Generierung von Primzahlen" würde ich vor dem bisherigen ersten Satz noch einen Link und ein kurzes Illustrationsbeispiel zum Sieb des Eratosthenes eingefügt. Ich denke, dass dieser Algorithmus in einem Artikel über Primzahlen erwähnt werden sollte, und obwohl im verlinkten Artikel alles erklärt ist, kann man sicher hier an Ort und Stelle ein kleines Beispiel anführen, um (ohne Nachzuschlagen) die Arbeitsweise des Algorithmus zu verstehen. Das könnte etwa so aussehen:
Einer der ältesten Algorithmen zur Bestimmung von Primzahlen ist das Sieb des Eratosthenes, bei dem nacheinander aus einer Liste der natürlichen Zahlen >1 die Zahlen gestrichen werden, die Vielfache der jeweils kleinsten noch nicht gestrichenen Zahl sind. Dadurch bleiben die Primzahlen (innerhalb der Ausgangsliste) übrig. Gehen wir z.B. von allen Zahlen <=20 aus, so werden in der Liste

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

alle durch 2 teilbaren Zahlen gestrichen:

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

und nach Streichung der durch 3 teilbaren Zahlen:

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Als nächstes kämen die Streichungen der durch 5 bzw. 7 teilbaren Zahlen, dabei fallen aber keine weiteren Zahlen mehr weg, und die Vielfachen der nächsten noch nicht durchgestrichenen Zahlen (11, 13, usw.) liegen schon über dem Intervallende 20, so dass auch dadurch keine Zahlen mehr wegfallen. Deshalb erhält man als Primzahlen unter 21 die Zahlen

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20.

3. In "Primzahllücken" würde ich vor dem Link zu Primzahllücken noch den Satz über beliebig große Lücken einfügen, das wird zwar auch im verlinkten Artikel bewiesen, aber man kann sicher auch schon hier auf die Tatsache hinweisen. Also (Ergänzung kursiv):
Allgemein schwankt die Anzahl der zusammengesetzten Zahlen zwischen zwei beliebigen aufeinanderfolgenden Primzahlen. Und obwohl es unendlich viele Primzahlen gibt, gibt es auch beliebig große Lücken zwischen aufeinander folgenden Primzahlen. Siehe Primzahllücke.
--Jesi 16:34, 23. Jul. 2007 (CEST)

Definition und Äquivalenz

Ich hab mir im Zusammenhang mit der hier darüber stehenden Diskussion nochmal die Definition und die darauf folgenden Ausführungen angesehen und bin der Meinung, dass nur die erste Aussage eine wirklich äquivalente Definitionsmöglichkeit liefert. Die beiden anderen setzen ja schon den Begriff der Primzahl voraus und ich sehe auch sonst keine Möglichkeit, mit Hilfe dieser Sätze den Begriff Primzahl (sinnvoll) zu definieren. Ich hab die Formulierungen deshalb mal geändert. -- Jesi 14:07, 25. Aug. 2007 (CEST)

Praktische Anwendungen der PFZ

Sollte das nicht eher unter Primfaktorzerlegung stehen als hier? Es kam eine Anfrage in der Auskunft von jemandem, der unter PFZ nachgesehen und es nicht gefunden hatte. --Grey Geezer ^{nil nisi bene} 23:40, 27. Sep. 2009 (CEST)

Definition Primzahl ist mathematisch unpräzise

In der Definition Primzahl muss unbedingt stehen, dass sich um verschiedene Teiler handelt, ansonsten ist die Definition sinnlos, denn keine Zahl besitzt genau zwei Teiler!

Wähle z.B. zu einer gegebenen Zahl n als ersten Teiler die Zahl n, als zweiten Teiler wiederum die Zahl n und als dritten Teiler erneut die Zahl n. Diese Wahl wirkt vielleicht komisch, ist aber nicht verboten! Somit hat jede beliebige Zahl beliebig viele Teiler, und die Menge der Primzahlen, basierend auf der Definition "genau zwei Teiler" wäre die leere Menge. Aus diesem Grund muss unbedingt gesagt werden, dass es sich um "genau zwei verschiedene Teiler" handelt, nur dann erhält man das gewünschte Ergebnis.

Man beachte also, dass es sich um eine Tücke der mathematischen Notation handelt: Wählt man aus einer Menge zwei Elemente x und y aus, so muss nicht zwangsläufig x von y verschieden sein. Dies ist eine Eigenschaft, die man zusätzlich voraussetzen muss.

--KMic 23:11, 20. Aug. 2010 (CEST)

Das ist falsch. Zwei Elemente sind zwangsläufig verschieden, sonst ist es nur eins. Die Menge {2,2} enthält nur ein Element. Missverständlich ist vielleicht noch die Formulierung "zwei Teiler". Im Artikel steht aber "zwei natürliche Zahlen als Teiler". Zwei natürliche Zahlen sind aber zwangsläufig verschieden. -- Digamma 23:06, 14. Jan. 2011 (CET)

Da Digammas Antwort ein bisschen an der Frage vorbei geht, wie ich finde, hier noch 'was von mir: Beim Zählen von Dingen zählt man jedes Ding nur ein mal. Man kann zwar $n$-mal aus $\{x\}$ ein Element auswählen, für beliebige $n$, daraus folgt aber nicht, dass $\{x\}$ $n$ Elemente hat (es hat nur eins). Auch ist das nicht das selbe wie $n$ Elemente aus $\{x\}$ auszuwählen. Im übrigen ist die gegenwärtige Fassung auch normaler Sprachgebrauch. Wenn dich jemand fragt, wieviel Geld du dabei hast, wirst du für eine Antwort wie "42 verschiedene €" komische Blicke ernten. Natürlich sind es verschiedene, ansonsten könnte man sich das Zählen ja sparen. --Daniel5Ko 01:31, 15. Jan. 2011 (CET)

Ok, wenn man die "Anzahl der Teiler einer Zahl" als die "Anzahl der Elemente der Teilermenge" definiert, ist die vorliegende Primzahldefinition (mathematisch gesehen) in Ordnung. Sollten wir diese Kenntnis aber auch beim Leser voraussetzen? Ich denke, wenn wir von "verschiedenen Teilern" sprechen, wird es einfach klarer und und auch für den Laien eindeutiger. Problematisch finde ich die vorhandene Definition beispielsweise bei der Frage, ob 1 eine Primzahl ist oder nicht. Wie wäre es mit der folgenden Argumentation: Klar ist 1 eine Primzahl, denn sie ist durch 1 und durch sich selbst teilbar, hat somit zwei Teiler und laut Definition ist sie damit eine Primzahl. Wollt ihr dann jedes Mal den Erklärbär spielen? ;-) Im übrigen spricht auch die englische Wikipedia von "distinct natural number divisors" und das zusätzliche Adjektiv frisst nun wirklich kein Brot.--KMic 22:45, 5. Feb. 2011 (CET)

Man ist überhaupt nicht darauf angewiesen, von Mengen zu sprechen. Der Behauptung: "1 hat zwei Teiler: schau her: 1,1" kann man entgegensetzen: "Nee, sie hat 7 Teiler: kuck: 1,1,1,1,1,1,1. Wir zählen offenbar nicht besonders sinnvoll!".

Die Formulierung "genau zwei Teiler" hat den großen Vorteil gegenüber "nur durch sich selbst und 1 teilbar, und größer als 1" in ihrer Einfachheit und Übersichtlichkeit. So haben gute Definitionen auszusehen: Keine unnötigen Fallunterscheidungen usw.

Die Brotfresserei des Adjektivs beginnt da, wo sich der Leser fragen muss, warum die Verschiedenheit denn nun eigentlich so explizit betont wurde (wie auch schon in einem Änderungskommentar geschrieben). So nach dem Motto: "Gibt es etwa Anwendungsfälle, wo man Teiler mehrmals zählen darf und dabei irgend etwas sinnvolles und interessantes 'rauskommt? Würde mich ja mal brennend interessieren. Leider verlinkt Primzahl auf nix dergleichen! Verdammt! Was soll die Geheimniskrämerei!?" --Daniel5Ko 23:56, 5. Feb. 2011 (CET)

Leeres Produkt und Fundamentalsatz

Ja, mir ist aufgefallen, dass der Fundamentalsatz auch meist mit > 1 formuliert wird. Das krankt aber an mehreren Stellen. Erstens könnte man genauso gut wie über ein leeres Produkt auch über ein einstelliges Produkt sagen, es sei in Wahrheit gar kein Produkt. Zweitens würde dies dazu führen dass man nicht nur > 1, sondern auch nicht-prim fordern müsste. Alles blöd. Es wäre vielleicht gut, wenn man eine Quelle für eine "moderne Variante" des Fundamentalsatzes fände. Oder spricht irgend etwas substanzielles gegen die 1? --Daniel5Ko 20:59, 15. Jan. 2011 (CET)

@Xario, du meinst in deinem Kommentar: "1.: aussage taucht mehrmals im artikel auf, 2.: 1 ist kein produkt von primzahlen! ihr das leere prod zuzuweisen ist konsistent, aber kein prod von primzahlen. Zurückgesetzt."

Zu 1.) Wo taucht sie denn noch auf. Ich hab' mal ganz intensiv überflogen, und nichts gefunden.

Zu 2.) Warum ist das leere Produkt kein Produkt von Primzahlen? Weil keine Primzahlen drin vorkommen, oder wie? Das stimmt natürlich. Andererseits sind aber alle Faktoren im leeren Produkt Primzahlen. Und das ist ja auch eigentlich die Forderung an die Zerlegung: Wir wollen nicht, dass eine Primzahl als Faktor irgendwo vorkommt (das wäre ja langweilig, und auch nicht besonders eindeutig), sondern, dass alle Faktoren Primzahlen sind.

Unser de-WP Fundamentalsatz der Arithmetik schränkt gegenwärtig übrigens auch nicht auf >1 ein.

--Daniel5Ko 21:15, 15. Jan. 2011 (CET)

zu oberem Beitrag: Den wichtigen Punkt, warum ich dich revertiert habe, fette ich mal in der folgenden Aussage: "Jede nat. Zahl (>1) lässt sich eind. als Produkt von Primzahlen darstellen." 1 hat halt keinen Primfaktor. Die Eins in die Aussage miteinzubeziehen liefert aber auch keine substanziellen Vorteile. Eins ist ja ne Einheit (Mathematik), als solche eigentlich von PFZ- Betrachtungen ausgeschlossen. (Bei den Gausszahlen z.B. gibt es derer ja schon vier verschiedene!) Die Zuordnung des leeren Produktes bei nat. Zahlen passiert imho hauptsächlich aus kombinatorischen Gründen.

zu 1: Äh ja, zweimal, hatte deinen zweiten Edit übersehen, is egal.

zu 2: ja, weil keine Primzahl drin vorkommt. Allaussagen, die sich auf die leere Menge beziehen, haben nicht wirklich viel Aussagekraft. Und der Artikel zur PFZ macht die Sonderstellung der 1 schon deutlich, ich nehme die Diskussion hier aber mal als Anlass, zu überlegen, ob das da noch weiter erläutert werden sollte. --χario 22:12, 15. Jan. 2011 (CET)

Zu 2.: Nun, meine Erfahrung ist, wenn All-Aussagen im vakuösen Fall falsch werden (sollen), hat man irgendwo ein ernsthaftes Problem.

Zu Gaußsche Zahl (oder auch ganze Zahl): Wenn man strikt zwischen Primelementzerlegung und Multiplikation mit einer Einheit (oder mehreren) trennt, kann man viel von der Eindeutigkeit retten. Mit ">1" hat das aber eher weniger zu tun, zumal das in den Gauß-Zahlen ohnehin nicht hübsch definiert werden kann (Ist $1-i>1$ ??). Auch damit, dass 1 das leere Produkt von Primzahlen (oder anderem Zeug) ist, hat das wenig zu tun. Die Tatsache, dass z.B. $-1\times -1=1$ tut der wie auch immer halbwegs geretteten Eindeutigkeit ja keinen Abbruch, weil $-1$ kein Primelement ist. Sehe ich 'was nicht? --Daniel5Ko 23:22, 15. Jan. 2011 (CET)

Kurz gefragt: gibt es ein Beispiel, wo es möglich ist, 1 in etwas anderes als das leere Produkt (von Primelementen!) zu faktorisieren? (Und in wie fern ist das nicht zu weit hergeholt, um für den vorliegenden Artikel von Bedeutung zu sein? ;) ) --Daniel5Ko 00:00, 16. Jan. 2011 (CET)

Nicht ">1" sondern " ungleich 1" und im Fall von ZPE-Ringen: "ungleich Einheiten" --χario 01:24, 16. Jan. 2011 (CET)

Was soll der Ausschluss von Einheiten bringen? Soweit ich sehe, kann das weder der Existenz noch der Eindeutigkeit einer Faktorisierung in sinnvoller Weise dienen. Abgesehen davon erinnere ich daran, dass es im vorliegenden Artikel eigentlich um natürliche Zahlen geht. Die Modifikation der Bedingung ">1" zu ">0" ist für die meisten Zahlentheoretiker gleichbedeutend mit dem Wegfall der Bedingung. Das ist das nützliche an der Sache. --Daniel5Ko 11:46, 16. Jan. 2011 (CET)