Cantor-Verteilung

Die Cantor-Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die singulär bezüglich des Lebesgue-Maßes ist. Die dazugehörige Verteilungsfunktion wird als Cantorfunktion oder auch Teufelstreppe bezeichnet.

Plot der Cantorfunktion (10 Iterationen)

Konstruktion der Cantor-Verteilung

Die Cantorverteilung $\mu :{\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\rightarrow [0,1]$ (mit ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ als Borelsche σ-Algebra) kann nicht einfach explizit angegeben werden. Sie muss rekursiv konstruiert werden, ähnlich wie die Cantormenge.

1. Variante der Konstruktion

Wenn man vom gleichverteilten Maß auf der Menge $\{0,1\}$ ausgeht, erhält man auf der Menge $2^{\mathbb {N} }$ ein Produktmaß. Dieses Maß $\mu$ lässt sich so interpretieren: Man betrachtet ein Experiment, in dem unendlich oft eine faire Münze geworfen wird; Elemente von $2^{\mathbb {N} }$ lassen sich als Ausgänge des Experiments interpretieren (die Folge $(0,1,0,1,\ldots )$ bedeutet zum Beispiel, dass immer abwechselnd Kopf und Zahl aufgetreten sind). Das Maß $\mu$ weist einer Teilmenge von $2^{\mathbb {N} }$ nun seine Wahrscheinlichkeit zu. Zum Beispiel besagt das starke Gesetz der großen Zahlen, dass die Menge $G$ der „gleichverteilten“ Folgen Wahrscheinlichkeit 1 hat, wobei $G$ die folgenden Menge ist:

G=\left\{(x_{0},x_{1},\ldots )\left|\ \lim \limits _{n\to \infty }{\frac {|\{i<n:x_{i}=0\}|}{n}}={\frac {1}{2}}\right.\right\}.

Das oben genannte Maß $\mu$ lässt sich durch die oben genannte Bijektion in ein Wahrscheinlichkeitsmaß $\mu$ auf der Cantormenge übersetzen. (Eine alternative Beschreibung von $\mu$ ergibt sich als Hausdorffmaß zur Dimension $\ln 2/\ln 3$ .)

Dieses Wahrscheinlichkeitsmaß $\mu$ ist die Cantor-Verteilung, ein Beispiel für ein Maß, dessen Verteilungsfunktion zwar stetig, aber nicht absolut-stetig ist. Die Verteilungsfunktion

{\begin{aligned}F:[0,1]&\to [0,1]\\x&\mapsto \mu ([0,x]\cap C)\end{aligned}}

heißt Cantorfunktion (auch „cantorsche Treppenfunktion“). Dabei ist C die Cantormenge, die durch den im zugehörigen Artikel beschriebenen rekursiven „Drittelungs“-Prozess konstruiert werden kann. Auf jedem Intervall im Komplement der Cantormenge ist diese Funktion konstant; auf dem Intervall $\left({\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}}\right)$ hat sie zum Beispiel den Wert 1/2, und auf dem Intervall $\left({\tfrac {1}{9}},{\tfrac {2}{9}}\right)$ hat sie den Wert 1/4.

2. Variante der Konstruktion

Bei dieser Konstruktion wird die Cantorfunktion $F:\mathbb {R} \rightarrow [0,1]$ konstruiert, welche nach dem Korrespondenzsatz die Cantor-Verteilung $\mu$ eindeutig bestimmt.

Sei ${\mathcal {G}}$ das System aller Teilmengen von $[0,1]$ , welche als Vereinigung von endlich vielen disjunkten abgeschlossenen nichtleeren Intervallen dargestellt werden kann. Ferner sei $\varphi :{\mathcal {G}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ gegeben durch (mit $i,m\in \mathbb {N} ,a_{i},b_{i}\in [0,1],a_{i}\leq b_{i}$ )

\varphi (\bigcup _{i\in \{1,\ldots ,m\}}[a_{i},b_{i}]):=\bigcup _{i\in \{1,\ldots ,m\}}([a_{i},{\frac {2a_{i}+b_{i}}{3}}]\cup [{\frac {a_{i}+2b_{i}}{3}},b_{i}])

(Dies entspricht der bereits angesprochen rekursiven Drittelung der Intervalle, wobei nur das untere und das obere Drittel mitgenommen werden, während das mittlere Drittel „ausgewischt“ wird).

Sei weiterhin mit $n\in \mathbb {N}$

C_{n}:=\varphi ^{n}([0,1])\,.

Schließlich sei die Cantormenge $C$ definiert durch

C=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }C_{n}\,.

Nun wird das Maß $\mu _{n}:{\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\rightarrow [0,1]$ folgendermaßen definiert:

\mu _{n}:=\int ({\frac {2}{3}})^{n}\chi _{C_{n}}(x)d\lambda (x)

,

wobei $\lambda$ das eindimensionale Lebesgue-Maß bezeichnet. $\mu _{n}$ ist offensichtlich ein Wahrscheinlichkeitsmaß, die dazugehörige Verteilungsfunktion sei $F_{n}:\mathbb {R} \rightarrow [0,1]$ . Für $F_{n}$ gilt:

F_{n}(x)=({\frac {2}{3}})^{n}\lambda (C_{n}\cap [0,x])

Für $F_{n}$ gilt insbesondere $F_{n}(0)=0$ und $F_{n}(1)=1$ .

Da $F_{n}|_{[0,1]}$ gleichmäßig konvergent ist, ist die Cantorfunktion $F$ durch

F(x):={\begin{cases}0&{\text{falls }}x\in (-\infty ,0]\\\lim \limits _{n\rightarrow \infty }F_{n}|_{[0,1]}(x)&{\text{falls }}x\in (0,1)\\1&{\text{falls }}x\in [1,\infty )\end{cases}}

eindeutig definiert. Die dazugehörige Verteilung im Sinne der Maßtheorie ist die Cantor-Verteilung.

Eigenschaften

Die Cantorverteilung ist singulär bezüglich des Lebesgue-Maßes.
Die Cantorverteilung ist eine symmetrische Verteilung.
Die Cantorverteilung besitzt keine Lebesgue-Dichte.
Die Cantorfunktion ist stetig und monoton-nichtfallend zwischen 0 und 1.
Die Cantorfunktion ist fast überall differenzierbar mit Ableitung 0, aber dennoch nicht konstant.

In der Integrationstheorie machen also Ausdrücke der Form $\int _{0}^{1}{\rm {d}}\,F(x)\cdot g(x)$ Sinn, nicht dagegen der Ausdrücke der Form $\int _{0}^{1}{\rm {d}}x\,{\frac {{\rm {d}}\,F}{{\rm {d}}x}}(x)\cdot g(x)\,,$ weil im ersten Fall der Limes vor der Summe, im zweiten Fall dagegen nach der approximierenden Summe zu bilden wäre. Dabei ist g(x) eine beliebige, im Intervall [0,1] Lebesgue-integrierbare Funktion.