F-Verteilung

Die F-Verteilung oder Fisher-Verteilung, auch Fisher-Snedecor-Verteilung (nach Ronald Aylmer Fisher und George W. Snedecor), ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Eine F-verteilte Zufallsvariable ergibt sich als Quotient zweier jeweils durch die zugehörige Anzahl von Freiheitsgraden geteilter Chi-Quadrat-verteilter Zufallsvariablen. Die F-Verteilung besitzt zwei unabhängige Freiheitsgrade als Parameter und bildet so eine Zwei-Parameter-Verteilungsfamilie.

Die F-Verteilung wird häufig als Nullverteilung von Teststatistiken verwendet (F-Test), um festzustellen, ob sich die Varianzen zweier Grundgesamtheiten signifikant unterscheiden. Auch zum Beispiel im Rahmen der Varianzanalyse wird mit einer F-Statistik auf signifikante Unterschiede zwischen Grundgesamtheiten (Gruppen) getestet. ^[1]

Definition

Eine stetige Zufallsvariable genügt der F-Verteilung $F(m,n)$ , wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

f(x|m,n)=m^{\frac {m}{2}}n^{\frac {n}{2}}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {m}{2}}+{\frac {n}{2}})}{\Gamma ({\frac {m}{2}})\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\cdot {\frac {x^{{\frac {m}{2}}-1}}{(mx+n)^{\frac {m+n}{2}}}}

besitzt. Dabei ist mit $\Gamma (x)$ die Gammafunktion an der Stelle $x$ bezeichnet, $m$ und $n$ bezeichnen die Freiheitsgrade.

Eigenschaften

Erwartungswert

Der Erwartungswert ist nur für $n>2$ definiert und lautet dann

\operatorname {E} (X)={\frac {n}{n-2}}

.

Varianz

Die Varianz ist nur für $n>4$ definiert und lautet dann

\operatorname {Var} (X)={\frac {2n^{2}(m+n-2)}{m(n-2)^{2}(n-4)}}

.

Verteilungsfunktion

Die Werte der Verteilung $P(X\leq x)=F(x|m;n)$ werden meist numerisch ermittelt. Man wird sie deshalb meistens einer F-Verteilungstabelle entnehmen. Eine komplette Tabellierung bezüglich aller Freiheitsgrade ist i.a. nicht notwendig, so dass die meisten Verteilungstabellen die Quantile bezüglich ausgewählter Freiheitsgrade und Wahrscheinlichkeiten angeben. Man macht sich hier auch die Beziehung zunutze:

F(p;m;n)={\frac {1}{F(1-p;n;m)}}\;,

wobei $F(p;m;n)$ das $p$ -Quantil der F-Verteilung mit $m$ und $n$ Freiheitsgraden bedeutet.

Die F-Verteilung lässt sich geschlossen ausdrücken als

F(x|m;n)=I({\frac {m\cdot x}{m\cdot x+n}},{\frac {m}{2}},{\frac {n}{2}}),

wobei $I(z,a,b)={\frac {1}{B(a,b)}}\cdot \int _{0}^{z}t^{a-1}(1-t)^{b-1}\mathrm {d} t$ die regularisierte unvollständige Betafunktion darstellt.

Maximum

Für $m>2$ nimmt $f$ an der Stelle

x_{\mathrm {max} }={\frac {n(m-2)}{m(n+2)}}

das Maximum an.

Beziehungen zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Beta-Verteilung

Wenn $X\sim \operatorname {F} (m,n)$ und $Y={\frac {mX/n}{1+mX/n}}$ ist, dann verteilt sich $Y\sim \operatorname {Beta} (m/2,n/2)$

Beziehung zur Chi-Quadrat-Verteilung

Aus den $\chi _{m}^{2}$ und $\chi _{n}^{2}$ Chi-Quadrat-verteilten Zufallsgrößen mit $m$ bzw. $n$ Freiheitsgraden lässt sich

F(m,n)={\frac {\frac {\chi _{m}^{2}}{m}}{\frac {\chi _{n}^{2}}{n}}}

konstruieren. Dieser Ausdruck ist F-verteilt mit $m$ und $n$ Freiheitsgraden.

Beziehung zur nichtzentralen F-Verteilung

Für unabhängige Zufallsvariablen $\operatorname {X} \sim \chi ^{2}(\delta ,m)$ und $\operatorname {Y} \sim \chi ^{2}(n)$ ist

Z={\frac {\;{\frac {\mathrm {X} }{m}}\;}{\frac {\mathrm {Y} }{n}}}

verteilt nach der nichtzentralen F-Verteilung $\operatorname {Z} \sim F(\delta ,m,n)$ mit nichtzentralitäts-Parameter $\delta$ . Dabei ist $\chi ^{2}(\delta ,m)$ eine Nichtzentrale Chi-Quadrat-Verteilung mit nichtzentralitäts-Parameter $\delta$ und $m$ Freiheitsgraden. Für $\delta =0$ ergibt sich die zentrale F-Verteilung $F(m,n)$ .

Beziehung zur Normalverteilung

Wenn die identischen normalverteilten Zufallsvariablen $X_{1}^{(1)},X_{2}^{(1)},\dots ,X_{n}^{(1)}$ und $X_{1}^{(2)},X_{2}^{(2)},\dots ,X_{n}^{(2)}$ die Parameter