Weibull-Verteilung

Die Weibull-Verteilung ist eine statistische Verteilung, die beispielsweise zur Untersuchung von Lebensdauern in der Qualitätssicherung verwendet wird. Man verwendet sie vor allem bei Fragestellungen wie Materialermüdungen von spröden Werkstoffen oder Ausfällen von elektronischen Bauteilen, ebenso bei statistischen Untersuchungen von Windgeschwindigkeiten. Benannt ist sie nach dem Schweden Waloddi Weibull (1887-1979).

Ein anschauliches Beispiel für die Anwendung der Weibull-Statistik ist die Ausfallwahrscheinlichkeit einer Kette. Das Versagen eines Glieds führt zum Festigkeitsverlust der ganzen Kette. Spröde Werkstoffe zeigen ein ähnliches Bruchverhalten. Es genügt ein Riss, der die kritische Risslänge überschreitet, um das Bauteil zu zerstören.

So erklärt sich auch die Abhängigkeit der Festigkeit spröder Werkstoffe von der Geometrie. Das Verlängern einer Kette (bzw. eines spröden Bauteils) reduziert die Festigkeit, eine Verstärkung der Kettenglieder (bzw. Vergrößerung des Bauteil-Querschnitts) erhöht sie.

Die Weibull-Verteilung kann zur Beschreibung steigender, konstanter und fallender Ausfallraten technischer Systeme verwendet werden.

In der Praxis ist die Weibull-Verteilung neben der Exponentialverteilung die am häufigsten verwendete Lebensdauerverteilung.

Definition

Die Dichtefunktion der Weibull-Verteilung $\operatorname {Wei} (\alpha ,\beta )$ ist

f(x)=\alpha \beta x^{\beta -1}e^{-\alpha x^{\beta }}

und ihre Verteilungsfunktion lautet

F(x)=1-e^{-\alpha x^{\beta }}

für $x>0$ , $\alpha >0$ und $\beta >0$ .

Die Grafik zeigt die Dichtefunktionen der Weibull-Verteilung für verschiedene Werte von $\beta$ . Man sieht, dass der Fall $\beta =1$ die Exponentialverteilung ergibt. $\beta <=1$ ergibt eine streng monoton fallende Sterberate.

Für $\beta =3,4$ ergäbe sich eine Verteilung ähnlich der Normalverteilung.

Verbreitete Darstellung

Weibullnetz

Die Verteilungsdichte lautet hierbei

f(t)={\frac {b}{T}}\,\left({\frac {t}{T}}\right)^{b-1}\,e^{-\left(\displaystyle {\frac {t}{T}}\right)^{\displaystyle b}}

mit der Verteilungsfunktion

F(t)=1-e^{-\left(\displaystyle {\frac {t}{T}}\right)^{\displaystyle b}}

für $t>0$ , $T>0$ und $b>0$ . Dabei ist $t$ die Zeit (oder Festigkeit, ...), $T$ die charakteristische Lebensdauer (d.h. Lebensdauer bei einer Ausfallwahrscheinlichkeit von 63,2 %, Festigkeitsniveau bei einer Ausfallwahrscheinlichkeit von 63,2 %, ...) und $b$ der sog. Weibull-Modul $m$ .

Trägt man die Verteilung in der Form

\ln {\ln {\frac {1}{1-F(t)}}}=b\ln(t)-b\ln(T)

auf, ergibt sich eine Gerade, bei der man den Parameter b leicht als Steigung ablesen kann. Der Parameter T kann dann folgendermaßen berechnet werden:

T=e^{-\left(\displaystyle {\frac {a}{b}}\right)}

Hierbei bezeichnet $a$ den y-Achsenabschnitt.

Oft kommt es vor, dass trotz Beanspruchung erst nach einer Betriebszeit $t_{0}$ Ausfälle überhaupt eintreten (Bremsbelag verschlissen, ...). Auch dies kann in der Weibull-Verteilungsfunktion berücksichtigt werden. Sie hat dann folgendes Aussehen:

F(t)=1-e^{-\left(\displaystyle {\frac {t-t_{0}}{T-t_{0}}}\right)^{\displaystyle b}}

Trägt man die Funktion wieder auf, ergibt sich keine Gerade, sondern eine nach oben konvexe Kurve. Verschiebt man alle Punkte um den Wert $t_{0}$ , so geht die Kurve in eine Gerade über.

Eigenschaften

Erwartungswert

Den Erwartungswert erhält man zu

\operatorname {E} (X)=\alpha ^{-1/\beta }\cdot \Gamma \left({\frac {1}{\beta }}+1\right)

.

Varianz

Die Varianz bestimmt sich zu

\operatorname {Var} (X)=\alpha ^{-2/\beta }\cdot \left(\Gamma \left({\frac {2}{\beta }}+1\right)-\Gamma \left({\frac {1}{\beta }}+1\right)^{2}\right)

,

wobei $\Gamma$ die Gammafunktion bezeichnet.

Schiefe

Die Schiefe ergibt sich zu

\operatorname {v} (X)={\frac {\left({\frac {1}{\beta }}+1\right)\left[{\frac {2}{\beta }}+1-\Gamma \left({\frac {1}{\beta }}+1\right)\right]}{\left({\frac {1}{\beta }}+1-\Gamma \left({\frac {1}{\beta }}+1\right)\right)^{\frac {3}{2}}\Gamma ^{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{\beta }}+1\right)}}-2{\frac {\Gamma ^{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{\beta }}+1\right)}{\left({\frac {1}{\beta }}+1-\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }}+1\right)\right)^{\frac {1}{2}}}}

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Exponentialverteilung

Man sieht, dass der Fall $\beta =1$ die Exponentialverteilung $\operatorname {Exp} (\alpha )$ ergibt. Mit anderen Worten: Die Exponentialverteilung behandelt Probleme mit konstanter Ausfallrate $\lambda$ . Untersucht man jedoch Fragestellungen mit steigender ( $\beta >1$ ) oder fallender ( $\beta <1$ ) Ausfallrate, dann geht man von der Exponentialverteilung zur Weibull-Verteilung über.
Ist der Parameter $\beta >1$ , dann wird ein System mit einer mit der Zeit ansteigenden Ausfallrate, also ein alterndes System, beschrieben.
Besitzt $X$ eine Exponentialverteilung $\operatorname {Exp} (\alpha )$ mit Parameter $\alpha$ , dann besitzt die Zufallsvariable $Y:=X^{c}~(c>0)$

eine Weibull-Verteilung $\operatorname {Wei} (\alpha ,1/c)$ . Zum Beweis betrachte man die Verteilungsfunktion von $Y$ :

F_{Y}(y)=P(Y\leq y)=P(X^{c}\leq y)=P(X\leq y^{1/c})=1-e^{-\lambda \cdot y^{1/c}},~y>0

.

Das ist die Verteilungsfunktion einer Weibull-Verteilung.

Siehe auch

Literatur

Lindgren, Bernard W.: Statistical Theory, New York etc., 1993
Fisz, Marek: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik, Berlin 1970
Hartung, Joachim, Elpelt, Bärbel, Klösener, Karl-Heinz: Statistik, München 2002
Rinne, Horst, Mittag, Hans-Joachim: Statistische Methoden der Qualitätssicherung, München, Wien 2002
Wilker, Holger: Weibull-Statistik in der Praxis, Leitfaden zur Zuverlässigkeitsermittlung technischer Produkte, Norderstedt 2004

Weblinks

Weibull-Verteilung in der Zuverlässigkeitsanalyse