Nabla-Operator

Der Nabla-Operator Kurz: "Nabla" Symbol: ${\begin{matrix}\nabla \end{matrix}}$ (eigentl. ${\begin{matrix}{\vec {\nabla }}\end{matrix}}$ )

Der Nabla-Operator ist ein Differentialoperator welcher in der Vektorrechnung mit diesem Symbol für Räume (in der Regel betrachtet man 3-dimensionale Räume) definiert ist. Der differenzierende Charakter des Operators wirkt nach rechts (auf die rechts stehenden Zeichen), während der Vektorcharakter wie ein normaler Vektor funktioniert.

Nabla wird für die kürzere Schreibung des Gradienten, der Divergenz und der Rotation benutzt. Im dreidimensionalen Ortsraum mit den rechtwinkligen Koordinaten x, y und z, angewandt auf ein Vektorfeld ${\begin{matrix}{\vec {V}}({\vec {x}},{\vec {y}},{\vec {z}})\end{matrix}}$ erhält man die Divergenz des Vektorfeldes als (formales) Skalarprodukt mit dem Vektorfeld:

${\begin{matrix}\operatorname {div\ } {\vec {V}}=\nabla \cdot {\vec {V}}&=&{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {V}}({\vec {x}},{\vec {y}},{\vec {z}})&=&{\frac {\partial V_{x}({\vec {x}},{\vec {y}},{\vec {z}})}{\partial x}}+{\frac {\partial V_{y}({\vec {x}},{\vec {y}},{\vec {z}})}{\partial y}}+{\frac {\partial V_{z}({\vec {x}},{\vec {y}},{\vec {z}})}{\partial z}}\\&=&{\frac {\partial {\vec {V}}}{\partial x}}+{\frac {\partial {\vec {V}}}{\partial y}}+{\frac {\partial {\vec {V}}}{\partial z}}\\\end{matrix}}$

Angewandt auf einen Skalar ${\begin{matrix}\Phi ({\vec {x}},{\vec {y}},{\vec {z}})\end{matrix}}$ erhält man den Gradienten des Vektorfeldes:

${\begin{matrix}\operatorname {grad\ } {\vec {V}}={\vec {\nabla }}\Phi &=&{\frac {\partial \Phi }{\partial x}}{\frac {\vec {x}}{x}}+{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}{\frac {\vec {y}}{y}}+{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}{\frac {\vec {z}}{z}}&=&{\frac {\partial \Phi _{x}}{\partial x}}{\frac {\vec {x}}{x}}+{\frac {\partial \Phi _{y}}{\partial y}}{\frac {\vec {y}}{y}}+{\frac {\partial \Phi _{z}}{\partial z}}{\frac {\vec {z}}{z}}\\\end{matrix}}$

Die Rotation ergibt sich durch (rechtsseitige) Verknüpfung mit dem Kreuzprodukt:

${\begin{matrix}\operatorname {rot\ } {\vec {V}}=\nabla \times {\vec {V}}&=&({\frac {\partial V_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial V_{y}}{\partial z}})\cdot {\frac {\vec {x}}{x}}+({\frac {\partial V_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial V_{z}}{\partial x}})\cdot {\frac {\vec {y}}{y}}+({\frac {\partial V_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial V_{x}}{\partial y}})\cdot {\frac {\vec {z}}{z}}+\end{matrix}}$...