Lévy-Verteilung

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Die Familie der Lévy-Verteilungen (benannt nach dem französischen Mathematiker Paul Lévy (1886–1971)) mit Parametern $\gamma >0,\,\delta \in \mathbb {R}$ ist definiert durch die Dichte

f(x)={\sqrt {\frac {\gamma }{2\pi }}}{\frac {1}{(x-\delta )^{3/2}}}\exp \left(-{\frac {\gamma }{2(x-\delta )}}\right),\,\,x>\delta

.

Die Verteilung, die entsteht, wenn als Parameter $\gamma =1$ und $\delta =0$ gewählt werden, wird auch als Standard-Lévy-Verteilung bezeichnet.

Eigenschaften

Die Standard-Lévy-Verteilung gehört (wie die Normalverteilung und die Cauchy-Verteilung) zur übergeordneten Familie der alpha-stabilen Verteilungen, d.h. sie erfüllt die Bedingung

X_{1}+X_{2}+\dotsb +X_{n}\sim n^{1/\alpha }X

,

Wobei $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n},X$ unabhängige Standard-Lévy-Variablen sind (hier ist $\alpha =1/2$ ). Da die Theorie der alpha-stabilen Verteilungen maßgeblich von Lévy mitgestaltet wurde, spricht man, um Verwechslungen vorzubeugen, auch oft von der eigentlichen Lévy-Verteilung.

Momente

Dichten von einigen Lévy-verteilten Zufallsgrößen

Die Lévy-Verteilung besitzt weder endlichen Erwartungswert noch endliche Varianz, denn $E(|X|)=\infty$ . Die Lévy-Verteilung gehört somit zu den sogenannten heavy-tailed distributions, die vor allem dazu verwendet werden, extreme Ereignisse (z.B. einen Börsencrash in der Finanzmathematik) zu modellieren.

Weblinks

Neville E. Sanjana, Lecture Notes for Spring 2003