Diskussion:Differentialrechnung

Die Summen- und Differenzregel sind doch eigentlich das gleiche! [moino]

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In gewissem Sinne finde ich, das Auf diesen Seiten (Analysis, Differentialrechnung, ... ) die Mathematik getötet wird. Sie wird, wie im Bronstein und Bartsch kategorisiert und Schubladen gestellt. Man kann die Formeln bestaunen, aber keiner ist Da, der das tut. Reines Papier.

Wie eine Programmiersprache, die irgendein hochgebildeter Mensch durchanalysiert und in ihre Bestandteile zerpflückt hat.

Nur wenn man das Ganze sieht, und ausprobiert hat, kann man es wirklich schätzen. Kopfschüttel!

arbol01 viel zu spät, 5. März 2004

Wenn du Vorschläge hast, wie diese Artikel verbessert werden können, dann schreib sie auf. Falls sie sich sehr weit vom bisherigen Aufbau der Artikel unterscheiden, tue das lieber erst auf der zugehörigen Diskussionsseite, aber hilf mit, die Artikel zu verbessern, wenn du kannst. --SirJective 12:05, 5. Mär 2004 (CET)

Zumindest kann ich jetzt schon sagen, daß es zwei Seiten gibt, nämlich Differentialrechnung und Ableitungsregeln, die nicht redundant sind. Ansonsten werde ich mal versuchen, was ich kann. --arbol01 12:19, 5.März 2004

Warum gilt d/dx ax^n = anx^(n-1) nur für n ≠ 0? Nach meiner Rechnung ist x^0=1 => ax^n=a => d/dx ax^n = an[x^(n-1)] = a · 0 · x^-1 = 0, was mit der ersten Regel übereinstimmt! -- Jan G 04:17, 22. Mai 2004 (CEST)

Exzellenter Artikel

Wenn das ein exzellententer Artikel werden soll, müsste man bei den Ableitungsregeln aber alles in TeX schreiben, sonst sieht das aus wie Kraut und Rüben. --Philipendula 17:26, 30. Aug 2004 (CEST)

Ich bin absolut dafuer, dass das ein exzellenter Artikel wird. Und das wird schon :-) --DaTroll 17:28, 30. Aug 2004 (CEST)

Wikipedia:Kandidaten für exzellente Artikel (19.-31.) August

• pro Ich bin auf diesen Artikel gestoßen und habe mich sehr gefreut. Das (für mich jedenfalls sehr) schwierige Thema ist anschauchlich dargestellt und gut erklärt. Dafür möchte ich den Autoren danken! --Larus1 18:13, 19. Aug 2004 (CEST)

• pro Ich find ihn gut. Trotzdem hab ich noch ein paar kleinere Mängel: die Grafiken find ich ein wenig pixelig und ein paar praktische Anwednungsfälle aus dem täglichen Leben wären ganz nett, so daß das Thema nicht ganz so esoterisch ist. --Huebi 08:53, 20. Aug 2004 (CEST)
• contra: der mathematische Teil gefällt mir eigentlich schon sehr gut, aber ein paar Dinge hängen noch in der Luft.
  Mathematik: der Zusammenhang mit der Integralrechung ist nicht mal erwähnt!
  Geschichte: Wann wurde das Konzept entwickelt? Wie kann es sein, dass es einen lange und erbittert geführten Streit um die Urheberschaft gibt? Ist die Differentialrechung aus dem Nichts entstande, das heißt hat niemand vor Newton/Leibniz sich mit diesem Problem beschäftigt?
  Anwendung: Warum hat die D. so eine große Bedeutung, auch außerhalb der Mathematik? Der kurze Satz zur "Ableitungen nach der Zeit" ist da entschieden zu wenig - der ganze physikalische Formalismus hätte sich ohne dieses Konzept nicht entwickeln können! Auch Optimierungsaufgaben sind eine weitverbreitete Anwendung, die m.E. auf alle Fälle rein muss.
  Literatur: es gibt also nicht ein einziges Buch, in dem man das Konzept detaillierter nachlesen kann ;-) -- srb 13:14, 20. Aug 2004 (CEST)
• contra. zusätzlich zu den von srb genannten punkten noch folgende:
  • die jahrhundertelange verwirrung um die "unendlich kleinen" dx und dy wird nicht erwähnt (nicht mal Infinitesimalrechnung war verlinkt, habe das nachgeholt - dort steht allerdings auch kaum was dazu)

ah, habe noch entdeckt, dass das bei Infinitesimalzahl behandelt wird - also wenigstens darauf verlinken. Hoch auf einem Baum 18:25, 20. Aug 2004 (CEST)

• • der haupttext fängt einfach so an mit Die Funktion f heißt differenzierbar..., ohne zu erklären, was eine funktion f hier genau ist (der in der einleitung verlinkte artikel Funktion (Mathematik) ist allgemein gehalten und leistet das nicht) - das ist sowohl für den absoluten laien wichtig als auch andererseits für die mathematische genauigkeit (wie muss der definitions- und wertebereich sein, etc)
  • anwendungen, anwendungen (nicht nur die geschwindigkeit in der physik. ich habe zb mal gelesen (im lehrbuch von heuser, weiß nicht, ob es korrekt ist), dass das problem der konstruktion von optischen linsen ein wesentliches motiv für leibniz war - um das brechungsgesetz auf linsenoberflächen anzuwenden, muss man tangenten berechnen können)
  • der abschnitt Differenzialquotient erweckt den eindruck, als hätte newton mit grenzwerten gearbeitet, das ist so schlicht falsch
  • und schließlich: die rubrik heißt "exzellente artikel" und dieser artikel behandelt eines der enzyklopädisch wichtigsten gebiete der mathematik überhaupt. ohne die leistung der autoren schmälern zu wollen (der mathematische teil ist sehr solide): für "exzellenz" bräuchte es hier schon wesentlich mehr inhalt und einen gewissen "wow"-faktor, der im moment einfach fehlt. grüße, Hoch auf einem Baum 16:42, 20. Aug 2004 (CEST)
• pro, umfassend und anschaulich, bebildert und mit Literatur. So muss es sein. Stern !? 11:30, 22. Aug 2004 (CEST)
• contra: Geschichte und Anwendungen faktisch nciht vorhanden, mathematischer Teil weitgehend unkommentiert aus einer Aneinanderreihung von Formeln und (zugegeben exzellenten) Grafiken bestehend. Die Artikel Satz des Pythagoras, Goldener Schnitt und Kreiszahl sollten m.E. der Maßstab sein, an dem sich dieser Artikel messen lassen muß. -- Necrophorus 11:54, 22. Aug 2004 (CEST)
• contra: Es wird sehr gut erklärt, was die Ableitung ist. Die Bedeutung und die Geschichte werden aber nicht klar. --DaTroll 20:57, 22. Aug 2004 (CEST)
• contra: Ich zweifle nicht daran, dass der Artikel fachlich für einen angehenden Mathematiker sehr brauchbar sein mag und die zahlreichen Illustrationen mögen auch die Formeln illustrieren; für mich ist der Artikel aber unverständlich und unbrauchbar. Nach ein paar recht abstrakten einleitenden Worten kommt gleich eine wuchtige Formel, die nicht so erklärt wird, dass ich sie verstehen würde, vom "Oma-Test" und dem Rest des Artikel mal ganz zu schweigen. Ketzerisch gesagt: Mich interessiert der ganze Formalkram nicht die Bohne, ich will nur wissen -- in einfachen Worten ausgedrück --, was das Wesen der Differenzialrechnung ist und wie und wo sie benutzt wird. Differenzialgleichungen sind ein Schlüsselbegriff der Technik und Naturwissenschaft seit dem 19. Jahrhundert, und da wüsste ich gerne warum. Auch die Geschichte fehlt, also wer wann was mit Differenzialen gemacht hat, welche (Allerwelts-) Probleme damit gelöst wurden und nochmal: warum die Dinger so wichtig sind. --asb 16:32, 31. Aug 2004 (CEST)

Sorry, da muss ich vehement widersprechen. Der Artikel bewegt sich auf dem Niveau der gymnasialen Oberstufe. Dein Kapitel ist das ueber "Motivation". Das ist naemlich gleich ein ganzes Kapitel (so zwei Bildschirmseiten...) zur Erklaerung der Definition. Bei allem anderen muss ich Dir Recht geben. Viele Gruesse --DaTroll 16:49, 31. Aug 2004 (CEST)

• contra: auch nachdem ich erhebliche Arbeit in den Artikel gesteckt habe, sehe ich uns noch ein gutes Stück von Exzellenz entfernt. Da sich bisher keineswegs eine Mehrheit pro abzeichnet, erlaube ich mir, die Kandidatur zu beenden (habe keine Regel gefunden, wie das normalerweise läuft). Nach weiterer Verbesserung können wirs dann gerne nochmal probieren. -- Weialawaga 23:44, 31. Aug 2004 (CEST)

stetig differenzierbar

Ich denke das der Begriff stetig differenzierbar und vorallem das Beispiel für eine nicht stetig differenzierbare Funktion zu speziell für eine Einführung in Differenzialrechnung sind und deshalb in einen eigenen Artikel (stetig differenzierbar) augelagert werden sollten. Beziehungsweise könnte man das auch in den Artikel differenzierbar verschieben. MFG Stefanwege 22:44, 30. Aug 2004 (CEST)

Ja, so langsam wird der Artikel voll. Man könnte schon was in "stetig differenzierbar" auslagern. Noch würde ich aber lieber den hier erweitern. Das Beispiel ist sehr klassisch und kann auch verständlich erklärt werden. Prinzipiell haben die Bearbeiter von "differenzierbar" übrigens gepennt: das hätte ein Redirect auf den Artikel hier werden müssen. Im Moment ist die Struktur einfach so, daß alles (bis auf Partielle Ableitung hier erklärt werden soll. Viele Gruesse --DaTroll 23:18, 30. Aug 2004 (CEST)

Logarithmische Differentiation

Fehlt bei den Ableitungsregeln nicht noch die Logarithmische Ableitung für solche Scheußlichkeiten wie

$f(x)=(1-x)^{1+x^{2}}$ ?

--Philipendula 09:55, 1. Sep 2004 (CEST)

Die logarithmische Ableitung ist vielleicht erwähnenswert; man kann Dein Beispiel, umgeformt in exp( ln(1-x) * (1+x^2) ) aber auch Schritt für Schritt mit bisher schon genannten Techniken lösen: Ableitung elementarer Funktionen (exp, ln) nachschlagen, Kettenregel und für die innere Ableitung Produktregel. Was aber definitiv fehlt, ist, dass im Text ein solches Beispiel (vielleicht kein ganz so gemeines Beispiel) explizit vorgerechnet wird. -- Weialawaga 10:36, 1. Sep 2004 (CEST)

Also eines muss man Dir lassen: Delegieren kannst Du. Wie wäre es beispielsweise mit:

Funktionen der Art $y=f(x)^{g(x)}$ können mit herkömmlichen Ableitungsregeln nicht unmittelbar gelöst werden. Das folgende Beispiel zeigt eine mögliche Vorgehensweise:

Es soll die Funktion $y=x^{x}$ abgeleitet werden. Es gilt zunächst $x^{x}=\exp {(lnx^{x})}=\exp {(xlnx)}$. Man ermittelt die Ableitungsfunktion nun wie folgt:

${\frac {d\exp {(xlnx)}}{dx}}=\exp {(x\ln {x})}(1\cdot \ln x+x\cdot {\frac {1}{x}})=\exp {(x\ln x)}(\ln x+1)=(\ln x+1)x^{x}$,

wobei zunächst bei der Exponentialfunktion die Kettenregel exp'(g(x))= exp(g(x))*f'(x) angewandt wurde und f'(x) mit der Produktregel ermittelt wurde.

Lies es mal bitte kritisch quer, weil ich es mal eben so ausgedacht hatte. Die Demonstration könnte vielleicht noch etwas umständlicher sein.

Viele Grüße --Philipendula 14:36, 1. Sep 2004 (CEST)

Mir scheint, dass speziell hier die volle Regel leichter nachzuvollziehen ist als ein Beispiel mit dem atypischen Fall g=h=x. Als Beispiel für die Anwendung von Ableitungsregeln schwebt mir eher etwas harmloses wie exp(-x^2) vor. Aber das soll definitiv kein Arbeitsauftrag an Dich sein ;-) -- Gruß, Weialawaga 15:45, 1. Sep 2004 (CEST)

Das exp(-x^2) hat aber eigentlich nix mit der logarithmischen Ableitung zu tun und kann ja normal mit der Kettenregel gelöst werden. Eklig sind immer die "x hoch x"-Fälle. Möchtest Du einfach beliebige Beispiele? --Philipendula 18:03, 1. Sep 2004 (CEST)

Ich hoffte, x^x sei durch g^h adäquat versorgt. -- Weialawaga 18:38, 1. Sep 2004 (CEST)

Um daran zu erinnern, dass es hier an weit mehr als an hübsch durchgerechneten Beispielen fehlt, hier ein paar Ideen: Zerlegung der Ableitungs- und Stammfunktionentabelle in zwei Tabellen und Einarbeitung in die Artikel Differential- und Integralrechnung; Verallgemeinerungen auf >1 Dimensionen (Verknüpfung mit Vektoranalysis usw.); Verknüpfung mit Differentialgleichungen; weitgehende Überarbeitung von Integralrechnung; Renovation von Infinitesimalrechnung; ... Weialawaga 18:38, 1. Sep 2004 (CEST)

Das mit den Beispielen war Deine Idee! ;-) Um was handelt es sich bei "Zerlegung der Ableitungs- und Stammfunktionentabelle in zwei Tabellen"? --Philipendula 18:48, 1. Sep 2004 (CEST)

Ableitung als Artikelname

Meiner Meinung nach ist Ableitung der Zentrale Begriff dieses Artikels und sollte deswegen auch der Name des Artikels werden. Genauer: "Ableitung (Mathematik)" . Differentialrechnung kommt bis auf die einleitenden Sätze überhaupt nicht im Artikel vor. Stefanwege 18:33, 1. Sep 2004 (CEST) Ich werde gleich auch noch einen Löschantrag für den Artikel Ableitung (Mathematik) stellen (ist derzeit ein Verweis auf Differentialrechnung) damit der Artikel sammt seiner Diskussionseite verschoben werden kann. Stefanwege 18:36, 1. Sep 2004 (CEST)

Spontane Reaktion: lass uns bittschön versuchen, die Verweisstruktur rund um Ableitung und Diff.rechnung auf der Diff.rechnungs-Disk.seite zu klären und nicht per Löschantrag. Löschantrag zieht jede Menge Leute an, die Streit um des Streits willen suchen. Falls wir uns auf Verlagerung des Textes einigen, kopieren wir ihn an Stelle des bisherigen Redirects; das geht ohne vorherige Löschung. Deshalb die eindringliche Bitte: verzichte auf den Löschantrag, oder baue ihn zurück, falls Du ihn schon gestellt hast. Danke, Weialawaga 18:42, 1. Sep 2004 (CEST)

Ok ich hab den Löschantrag erstmal wieder herrausgenommen. Aber nur den Text zu kopieren finde ich nicht ok da dann die Versionsgeschichte verloren geht (Verstoß gegen GNU-Lizenz) und die Diskussionsseite nicht mitverschoben wird. Vielleicht sollte man mal einen Admin direckt ansprechen. --Stefanwege 19:00, 1. Sep 2004 (CEST)

Disk.seite kann man von Hand verschieben. Einwand betr. Versionsgeschichte scheint mir dagegen sehr bedenkenswert. Aber erstmal abwarten, ob wir überhaupt verschieben wollen. -- Weialawaga 19:15, 1. Sep 2004 (CEST)

Auf der Versionsgeschichte vonn Differtialrechnung verliert man langsam den Überblick. Es wäre übersichtlicher wenn du demnächst mehrere kleine Änderungen zu einer großen zusammenfaßt. Stefanwege 18:53, 1. Sep 2004 (CEST)

Sorry: "Vorschau" klappt bei mir nicht; und mein Arbeitsstil ist nun einmal eher sprunghaft (andernfalls täte ich jetzt etwas ganz anderes und gar nix mehr für die WP). Weialawaga 19:15, 1. Sep 2004 (CEST)

Nun eine inhaltliche Stellungnahme: ich verstehe das Argument pro höchstfrequentes Schlagwort. Ein anderer Gesichtspunkt aber scheint mir ausschlaggebend: Differentialrechnung ist der übergeordnete Begriff. Alles was wir zur Ableitung zu sagen haben, passt auch unter die Überschrift "Diff.rechnung"; die Umkehrung aber gilt nicht. Z.B. erwarte ich unter Ableitung nicht unbedingt Beispiele für Funktionen, die *nicht* differenzierbar sind. Deine Anregung, das Schlagwort Ableitung schon im Vorspann zu nennen und kurz zu erklären, befürworte ich hingegen, und Deine Erklärung gefällt mir sehr gut. Weialawaga 19:15, 1. Sep 2004 (CEST)

Das Argument, das Wort "Differentialrechnung" komme im Text so gut wie nicht vor, versuche ich durch eine Analogie zu entkräften: wenn ich versuche, zu erklären, was Mechanik ist, rede ich alle Nase lang von "Kräften", aber nicht von "Mechanik". - Um zu erklären, was Differentialrechnung ist, ist "Differentialrechnung" das denkbar unbrauchbarste Wort. -- Weialawaga 19:40, 1. Sep 2004 (CEST)

Für mich ist Ableitung der grundlegendere Begriff. Differentialrechnung kann (und sollte) man erklären als das Teilgebiet der Mathematik das sich mit Ableitungen beschäftigt. Man kann also den Begriff Differentialrechnung auf den Begriff Ableitung zurückführen. Umgekehrt braucht man aber um Ableitung zu erklären den Begriff Differentialrechnung nicht zu verwenden. Aus diesem Grund bin ich immer noch der Meinung das der Artikel Ableitung heißen sollte.

PS: Eine Funktion die nicht differnzierbar ist, ist eine Funktion die keine Ableitung besitzt. Es mach meiner Meinung nach also durchaus Sinn in einem Artikel über Ableitungen etwas über nicht differezierbare Funktionen zu schreiben. --Stefanwege 12:00, 2. Sep 2004 (CEST)

Also ob Ableitung oder Differentialrechnung der grundlegendere Begriff ist, halte ich fuer eine muessige Diskussion. Letztendlich unterscheiden sich die Sachen nicht. Mir persoenlich gefaellt der aktuelle Artikelname besser, das betont irgendwie die tatsaechliche Anwendung. Die Alternative Ableitung (Mathematik) gefaellt mir vor allem wegen des Klammerzusatzes im Namen nicht. Differentialrechnung ist ferner mittlerweile als die Adresse bekannt, wo man die Ableitung findet, wie ein Blick auf die Links auf diese Seite zeigt. Viele Gruesse --DaTroll 13:14, 2. Sep 2004 (CEST)

Ungenauigkeiten und daher evtl. Verständnisschwierigkeiten

Hallo zusammen!

Hab eben mal den Beitrag zur Differentialrechnung angesehen und dabei ist mir folgendes aufgefallen:

1. Bei Differentiation wird grundsätzlich vergessen, daß die Funktion zumindestens in einer offenen Umgebung der untersuchten Stelle x_0 definiert sein sollte. Ausdehnung des Differentiationsbegriffs auf den Rand kann dann auch noch erwähnt werden. Zumindest muß die Funktion aber NICHT, wie bei "Ableitungen von mehrdimensionalen Funktionen" behauptet (unten) eine Funktion von ganz R^n sein (das wäre außerordentlich schlimm), und kann aber andererseits auch nicht nur in dem einen zu untersuchenden Punkt definiert sein (so klingt es bei euch oben) (Stichwort: Häufungspunkt).

2. Es könnten die Funktionenklassen C^k(R^n,R^N) erwähnt werden. Denn oft wird z.B. geschrieben: Sei f \in C(R^n), anstatt: Sei f:R^n -> R eine stetig diff-bare Funktion. Diese Klassen werden also vielen begegnen.

3. Glattheit bedeutet nicht immer unendlichoft diff-barkeit, sondern kommt auf den Kontext an. Oft werden Funktionen einfach als "hinreichend glatt" angenommen bzw vorrausgesetzt.

4. Eine Ungenauigkeit, die gerade Anfängern oft erhebliche Probleme bereitet, ist: Die von Euch gegebenen Definitionen von Diffbarkeit im ein- und mehrdimensionalen stimmen scheinbar nicht ganz genau überein. Mal muß es einen Limes in R geben, also eine reelle Zahl, gegen die der Differenzenquotient konvergiert und mal eine Lineare Abbildung. Das liegt natürlich daran, daß die R-Algebren Hom(V,W) und Mat(n x m) isomorph sind, ein Isomorphismus läßt sich bei Wahl von Basen leicht angeben. Jede lineare Funktion läßt sich nach Wahl von Basen durch Mult mit einer Matrix darstellen und im eindimensionalen dann eben mit Multiplikation mit einer reellen Zahl. Und umgekehrt. Darauf sollte zumindest hingewiesen werden, denn man kommt schnell in Verwirrung, wenn man als Anfänger hört:

- Die Ableitung ist immer linear. (Gemeint ist NICHT die Ableitungsfunktion, sondern die Ableitung an einer Stelle, und zwar in der Definition, wie ihr sie bei "Totale Differenzierbarkeit" mit L bezeichnet habt.)

oder

- stetig diff-bar bedeutet, daß die Ableitungsfunktion diff-bar ist. (Dies ist natürlich auch für von euch unten genannte Definition von "Totale Differenzierbarkeit" gültig: Dann ist die Ableitungsfunktion eben eine Funktion, die jedem Element aus R^n eine lineare Abbildung von den gleichen Räumen wie die Funktion selbst zuordnet, also etwa f: R^n -> R^N, dann f': R^n -> Hom(R^n,R^N), und Hom(R^n,R^N) versehen mit Operator-Norm (sonst gibt's keine Stetigkeit).)

5. Der Fall von Funktionen von R -> R^n ist vielleicht als Sonderfall in einem Satz erwähnbar, da dann die Differenzialquotienten-Definition vom eindimensionalen Fall genau übernommen werden kann.

6. Der Fall von Funktionen von R^n -> R ist vielleicht auch als Sonderfall erwähnbar, da hier auch "Funktionsdiskussion" mit Extremstellen, Sattelpunkten etc., Taylor-Entwicklung. Die Ableitungen sind hier gerade die Elemente des Dualraums und die Gradienten daher dann die Riesz-Vektoren, etc.

7. Auch der Begriff Jacobi-Matrix gehört doch eigentlich kurz erwähnt, wenn man schon totale Diff-barkeit erwähnt. Das ist es doch schließlich, womit die meisten Anwender von Differentialrechnung (z.B. Wirtschaftswissenschaftler, etc.) eigentlich rechen.

Ich könnte mir vorstellen, daß man mit wirklich WENIGEN Zeilen mehr in dem Artikel die von mir genannten Punkte berücksichtigen könnte und deshalb vielleicht auch sollte. - Bis auf den Punkt 6 eventuell: Der könnte etwas mehr Platz in Anspruch nehmen, falls man das überhaupt möchte.

Vielleicht gibt mein Kommentar ja ein paar Anregungen oder Ideen. Jedenfalls viel Spaß noch und weiter so! ;-) Gruß!

Danke für die konstruktive Kritik, viele Gruesse --DaTroll 21:11, 3. Jan 2005 (CET)

Diskussion aus dem Wikipedia:Review

Der Artikel ist schon sehr gut. Er braucht noch: Mehr Geschichte des Begriffes der Differenzierbarkeit (nicht der Infinitesimalrechnung, das soll da passieren). Die Bilder teilweise schöner und dann noch die Differenzierbarkeit im mehrdimensionalen. Für die restliche Kritik spiele ich den Ball zu Euch :-) Viele Gruesse --DaTroll 23:14, 5. Dez 2004 (CET)

• Wie du bereits sagst: Es fehlt Geschichte (der Verweis zur Entdeckungsgeschichte und zum Prioritätsstreit siehe den Artikel Infinitesimalrechnung ist wenig hilfreich, da da nicht viel zur Geschichte steht.) Insgesamt ist der Artikel aber wieder echt klasse und mit einem Grundverständinis Mathematik Oberstufe auch gut verständlich (eine kindergerechte Version ist IMHO unmöglich). Den Begriff "Hinführung" als Überschrift finde ich irritierend. Bei den Anwendungen wird der Text extrem lehrbuchmäßig und sollte leserfreundlich aufgespeckt werden. Die Bilder finde ich o.k., zur Anwendung im n-D-Raum weiß ich nix (würde ich das auch ncoh verstehen?). Sehr gute Grundlage, vor allem veglichen mit der einleitend angelinkten Integralrechnung. -- Necrophorus 01:31, 6. Dez 2004 (CET)
  • Wenn man den Prioritaetsstreit hier bringt, muss man ihn in drei Artikeln bringen. Insofern finde ich den Verweis auf Infinitesimalrechnung sehr sinnvoll. Im n-D-Raum wirds inhaltlich schon schwieriger, da braucht man gute Kenntnisse in linearer Algebra. Aber wenn Du den Abschnitt ueber partielle Ableitungen verstanden hast, siehts gut aus :-) Viele Gruesse --DaTroll 10:39, 6. Dez 2004 (CET)
    • Das mit der partiellen Ableitung mag evtl. daran liegen, dass ich denn doch kein unbelecktes Blatt an der Stelle bin. Als ausgebildeter Physiklaborant und mit einem Hochschulstudium eines Naturwissenschaftlichen Faches kann man die Differentialrechnung ja nicht immer umgehen und Kurvenauswertungen sind in beiden Fächern (ya, auch Biologen müssen rechnen) wichtig. Naiv betrachtet ist der Teil aber auch nicht sonderlich schwer, halt nur en wenig stark von der Definition ohne erklärendes Beiwerk bestimmt. Gruß , --Necrophorus 10:50, 6. Dez 2004 (CET)
      • Ah, Du steckst voller Ueberraschungen :-) --DaTroll 11:41, 6. Dez 2004 (CET)

Der Artikel könnte lebendiger sein.

• In die Einleitung sollte etwas, was den Sinn einer Ableitung schön anschaulich darstellt, ein Beispiel, bei dem jeder was von versteht, etwa: x: Düngergabe pro qm auf einem Feld. y: Der Ertrag auf einem Quadratmeter. Um wieviel steigt der Ertrag, wenn die Düngergabe um eine (unendlich kleine) Einheit erhöht wird? Wenn man als Beispiel eine umgedrehte Parabel nimmt, kann man auch schön anhand der Ableitung das Verhalten der Kurve zeigen. Mit Grafik! Auch den Differenzenquotienten könnte man mit so einem Beispiel nachvollziehbarer machen. Wenn es natürlich erwünscht ist, auch im inhaltlichen Text so ein Beispiel einzufügen.
• Ein Hinweis darauf, dass bei der infinitesimalen Betrachtung oft weniger ein einzelner Punkt von Interesse ist als Verhalten der gesamten Kurve.
• Für die Kurvendiskussion kommt etwa ein Beispiel einer Produktionsfunktion gut.
• Für den mehrdimensionalen Fall könnte man sich Preis-Absatz-Funktionen im zwei-Güter-Fall überlegen.

Eigentlich spucke ich den Mathematikern ungern in die Suppe, weil es davon (den Mathematikern) eh genug bei uns hat, da muss ich nicht auch noch meinen Senf zugeben. Vielleicht sind meine Vorschläge auch zu profan, habe nur spontan meinen Eindruck wiedergegeben. --Philipendula 13:01, 6. Dez 2004 (CET)

Finde den Artikel schon ziemlich gut...Allerdings glaube ich, das sich hier ein Beispiel aus der "Alltagsphysik" besser eignet als eines aus den Wirtschaftswissenschaften. Wie wärs mit der Berechnung von Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Autos aus der Zeit/Orts-Funktion? --Zivilverteidigung 14:23, 6. Dez 2004 (CET)

Wenn ich jetzt anfange, Beispiele aus der WiWi zu verteidigen, habe ich sie am Hals, also lass ichs lieber ;-). --Philipendula 14:35, 6. Dez 2004 (CET)

Beim Differenzenquotienten ist als Beispiel ja Auto und Geschwindigkeit (nicht Beschleunigung). Insofern wuerde mir als Beispiel fuer die Kurvendiskussion entweder genau dasselbe in Gruen gut gefallen (Wiedererkennungswert) oder was komplett anderes (z.B. Wirtschaftswissenschaften), um die Breite zu demonstrieren. Wer Lust hat, nach Euch, viele Koeche machen nen Spitzengericht oder wie das heisst. Viele Gruesse --DaTroll 15:39, 6. Dez 2004 (CET)

So, jetzt auch noch mal mein Senf zum Artikel (bzgl. des Beispiels sehe ich es aber so wie DaTroll, eine komplett andere Anwendung würde die Breite gut herausstellen.) Ansonsten:

• In der Einleitung sollte man stärker herausstreichen, dass das zentrale Konzept der Diff.rechnung darin besteht, aus was Kompliziertem (nicht-linearem) etwas Einfaches (lineares) zu machen - zumindest lokal. Das ist wirklich der Dreh- und Angelpunkt, das kommt noch nicht so heraus.
• Den Satz "In einer klassischen physikalischen Anwendung liefert ... die Momentangeschwindigkeit eines Teilchens." finde ich an seiner gegenwärtigen Stelle in der Einleitung etwas deplatziert - Anwendungen sollten von Grundlagen getrennt werden.
• Geschichte ist wirklich noch sehr mager - auf den Prioritätsstreit braucht man da gar nicht genau eingehen (Newtons Fluxionen sollten aber schon erwähnt werden ), da gibt es auch so einiges zu sagen bis hin zu Weierstrass am Ende des 19. Jahrhunderts.
• Die Tabelle der Ableitungsfunktionen sollte weiter nach hinten verlagert werden; hinter die Berechnungsbeispiele.
• Bei der (etwas ausführlich geratenen) Kurvendiskussion fehlen die Begriffe Monotonie (bzgl. 1. Ableitung) und Konvexität (bzgl. 2. Ableitung)
• Dafür, dass der Artikel von Differentialrechnung handelt, kommt das Differential ein bisschen kurz. Das hängt damit zusammen, dass es zwei (äquivalente) Definitionen von Differentierbarkeit gibt, von denen hier nur eine zu finden ist. Theoretisch wesentlich wichtiger als die gegebene ist diejenige über das Differential: f(x)=f(x0)+Df(x0)(x-x0)+o(x-x0). Anders als die (eher dynamisch gedachte) Tangentendefinition - ich wackele etwas im Definitionsbereich und schaue mal, was die Funktion macht - ist die Definition, die vom Differential Gebrauch macht, stärker geometrisch orientiert - als lineare Approximation. Das kommt noch zu wenig heraus (s. o.).
• Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist, nun ja, eben ein Hauptsatz, wird hier aber arg nebensächlich "behandelt". Auch wenn es dazu einen eigenen Artikel gibt; der Inhalt (des Satzes, nicht des Spezialartikels) muss rein. Dasselbe gilt für den Mittelwertsatz, der ein enorm wichtiges theoretisches Werkzeug der Differentialrechnung ist - wiederum trotz Existenz eines eigenen Artikels.
• Der Aspekt Differenzierbarkeit und Approximation durch Funktionenfolgen sollte erwähnt werden (wenn eine Funktion gleichmäßig durch differenzierbare Funktionen approximiert werden kann, ist sie selbst differenzierbar).
• Komplexe Differenzierbarkeit sollte hier zwar nicht ausführlich erläutert werden, eine Erwähnung der viel restriktiveren Bedingungen sollte aber schon noch im Artikel Platz finden.
• Die mehrdimensionale Verallgemeinerung mit ihren zugehörigen Begriffen fehlt natürlich noch fast vollständig. Mithilfe der zusätzlichen Differential-Definition ließe sich das aber eigentlich elegant einführen (Gradienten als Zeilenvektoren der Koordinatenmatrix von Df, Divergenz als Spur, partielle Ableitungen als Matrixelemente, Richtungsableitung als Produkt von Df und Richtungsvektor etc.) Natürlich wäre auch dazu ein Beispiel schön. Auch die mehrdimensionalen Anwendungen (lok. Extrema), Regeln (Kettenregel) und Sätze (Schwarz, Mittelwertsatz, verallgm. Hauptsatz) müssten hierhin. (Vielleicht ergibt es allerdings Sinn, die Theorie nach der Einführung der n-dim. Diff.barkeit anzufügen, dann braucht man nicht zweimal dasselbe erzählen.
• Wenn man ganz ambitioniert ist, könnte man noch Differenzialrechnung auf Mannigfaltigkeiten inkl. Differentialformen anreißen - zumindest damit der Leser weiß, dass es sowas gibt.

Gruß --mmr 03:54, 9. Dez 2004 (CET)

Super, damit kann ich gut arbeiten. Die Definition als Linearisierung steht im Moment ganz am Ende bei totale Ableitung da. Viele Gruesse --DaTroll 12:48, 9. Dez 2004 (CET)

In der Schule haben wir einen Differentialquotienten mit h (ich glaub h=x-x_0) kennengelernt. e^x find ich sollte noch kurz erwähnt werden.--G 19:07, 21. Dez 2004 (CET)

Habe doch noch ein kleines wirtschaftliches Anwendungsbeispiel eingefügt, auch wenn mich die Physikerfraktion erschlägt. Ich fand den Artikel immer noch etwas seelenlos. --Philipendula 17:27, 27. Dez 2004 (CET)

A. Zur Nomenklatur: Der Artikel behandelt hauptsächlich die Ableitung, er sollte demnach auch so heißen, und es sollte m.E. s.v. Differential[- und Integral]rechnung, als dem Kern (nicht lediglich »wesentlichen Bestandteil«) der Analysis, auf Herkunft, Anwendung und v.a. Zusammenspiel der Grundbegriffe Ableitung, Integral und Differentialgleichung eingegangen werden. Insbesondere ist es die historische Leistung des Ableitungsbegriffes, Differentialgleichungen und damit die Physik überhaupt ermöglicht zu haben (und dies genau war die hist. Motivation!), wie er ohne den Zusammhang mit der Integration einen Großteil seiner Stärke verlöre.

Hier ist vielleicht auch eher der Platz für Beispiele und Anwendungen, sicher findet man etwas interessantes.

B. Zur Ableitung

• Die Ableitung sollte nicht als lim von Differenzenquotienten, sondern als lin. Approximation (wie unter »totale Ableitung«) definiert werden. Differenzenquotienten erhalten besser einen eigenen Artikel. Vorteile liegen auf der Hand; v.a. kann man gleich im Banachraum arbeiten, die geom. Anschauung verschwindet nicht hinter Indizes, allgemein ist der »Anschlußwert« (Luhmann) höher.
• Darauf folgend sollten m.E. neben den Differenzierbarkeitsbegriffen auch die üblichen Funktionenräume eingeführt werden.
• Ableitungsregeln: (i) elementare Funktionen (oder unter reelle Funktionen)(ii) Kettenregel (iii) Linearität, Derivation, usw. nicht aber Umkehrsatz, der ist zu wichtig!
• Reelle Funktionen: Beispiele, Bilder; einseitige Differenzierbarkeit, Mittelwertsatz -- Komplexe Funktionen: Cauchy-Riemannsche DGL, mindestens als Hinweis -- Matrixdarstellung der Ableitung, Funktionaldeterminanten, Taylordarstellung
• Kurven (Kurvendiskussion ausgliedern), aber z.B. Geschwindigkeitsvektor -- Flächen,
• Stammfunktion und Integral
• Satz über implizite Funktionen, Differentialgleichungen

C. Auf Detailkritik verzichte ich, da der Artikel ohnehin stark revisionsbedürftig ist. Abbildungen würde ich gut finden, z.B. sin x, cos x, Geschwindigkeitsvektor einer Raumkurve (besser als der allereinfachste Fall einer rellen Funktion). Geschichte am Ende zusammenfassend behandeln. »Unendlichkleine« Größen dorthin, mit Verweis auf non-standard Analysis. Es gibt natürlich sehr viel Geschichte zu erzählen, es fällt mir aber im Moment partout nichts ein :-)) Eine Frage wäre noch, wie geht es weiter? Welche Artikel runden das Bild ab? Humbug 23:54, 4. Jan 2005 (CET)

Meine wesentliche Schwierigkeit beim Erweitern des Artikels ist der historische Teil. Es ist mir ueber das, was schon im Artikel steht nicht moeglich, bestimmte Definitionen einer bestimmten Zeit oder Personen (Cauchy, Weierstrass etc.) zuzuordnen. Wer da Quellen hat, immer her damit. Viele Gruesse --DaTroll 16:06, 5. Jan 2005 (CET)

Ich fürchte, so wahnsinnig viel zur Geschichte kann man bei solch einem Thema auch nciht verlangen (bzw. würde ich es nicht verlangen). Die Entwicklung ist einführend dargestellt, inklusive der Probleme und deren Lösungen. Imho sollte das für den einleitenden Teil reichen, da es auch nciht die klassischen Anwendungen der Differentialrechnung gibt sondern das ganze wie die Grundrechenarten so universell ist, dass man da wohl nix abgrenzen kann. Der mathematische Teil erschließt sich je nach Leser unterschiedlich weit, das ist allerdings nicht zu vermeiden und imho o.k. so. Wenn jetzt nicht irgendein mathematisch hochgebildeter Mensch Fehler im Artikel nachweist würde ich ihn ohne größere Bedenken auf jeden Fall durchwinken. -- Achim Raschka 01:50, 18. Jan 2005 (CET)

Wenn Du meinst :-) Ich stell ihn dann nach dem Wochenende in die Kandidaten, vorher moechte ich noch ein bisschen schleifen. Viele Gruesse --DaTroll 13:37, 19. Jan 2005 (CET)

Das Thema wird wie in einem Schulbuch erklärt aber nicht wie in eine Enzyclopädie. --Paddy 11:43, 29. Jan 2005 (CET)

Übrigens es heißt +-h! Und das im Zähler wie im Nenner ;-) --Paddy 11:53, 29. Jan 2005 (CET)

Nein, nur wenn man voraussetzt, dass h>0, was aber hier nie getan wird. Ansonsten habe ich den Abschnitt mit der Kurvendiskussion, der noch ziemlich Schulbuchmäßig war, ziemlich gekürzt und werde den Artikel dann jetzt vorschlagen. Viele Gruesse --DaTroll 17:42, 29. Jan 2005 (CET)

h ist aber nicht im Artikel definiert. Also fehlt da eine Information. --Paddy 16:20, 30. Jan 2005 (CET)

Nein. Es gibt keine Einschränkung an h, außer das es in die Funktion eingesetzt werden kann, also muss da auch nichts definiert werden. Wie gehts eigentlich Deinen anderen Fehlern die Du so gefunden hast? --DaTroll 16:28, 30. Jan 2005 (CET)

Fehler ist vielleicht etwas zu hart. Unvollständigkeiten würde ich sagen. Ich lese den Artikel bei Gelegenheit mal ganz genau durch. Das h hätte ich beispielsweise gerne etwas näherer erklärt gehabt. Was mich auch stört, ist, dass die h-Methode als einzige Möglichkeit dargestellt wird. Ich meine es gibt auch weitere Methoden. Liege ich da falsch? --Paddy 16:41, 30. Jan 2005 (CET)

Jeder Autor schreibt es anders. Vom Konzept her läuft es aber immer auf die Definition mit der Linearen Abbildung oder dem Grenzwert des Differenzenquotienten hinaus. --DaTroll 17:27, 30. Jan 2005 (CET)

Einleitung menschenfreundlicher

hi, ich finde den artikel in summe sehr gut. als mathematiklehrer, der die bedürfnisse seiner schüler kennt, würde ich mir aber die einleitung (vor dem inhaltsverzeichnis) weniger mathematisch und näher beim menschen wünschen. ich hab mit dem satz über das zentrale thema (die berechnung von veränderungen) versucht, einen schritt in die m.e. richtige richtung zu tun, aber da kann noch besseres kommen. vielleicht probier ich später noch mal. michael--MiBü 17:00, 29. Jan 2005 (CET)

Ich habe folgende Verbesserungsvorschläge:

1. In "Berechnen von Ableitungen" würde ich zunächst den Teil ab "Beispiel für die elementare Berechnung ..." schreiben. Erst am Ende dieses Absatzes hinter den "Ableitungsregeln" dann den Link auf die Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen, den Link auf Bronstein und dass man die Formeln auch auswendig lernen kann. Also erst erklären, wie differenziert wird, und dann erst die Tabelle. In dieser Tabelle würde ich mir wünschen, dass die Formeln auch bewiesen bzw. berechnet werden, wobei die Ableitungsregeln dann als bekannt vorausgesetzt werden dürfen.
2. Ich würde mir zur Momentangeschwindigkeit ein anschauliches Beispiel wünschen, z.B. den freien Fall, und warum das vor Leibniz und Newton ein Problem war ("null geteilt durch null").

Martin Vogel 鸟 02:09, 31. Jan 2005 (CET)