Nabla-Operator

Der Nabla-Operator ist ein Operations-Symbol, das in der Vektoranalysis benutzt wird, um die drei Differentialoperatoren Gradient, Divergenz und [[Rotation (Mathematik)<]] zu bezeichnen. Dargestellt wird er durch das Nabla-Symbol $\nabla$ oder durch ${\vec {\nabla }}$ (im englischen Sprachraum ${\underline {\nabla }}$), um seine Ähnlichkeit zu einem Vektor zu betonen. Sein Name stammt von der Bezeichnung eines hebräischen Saiteninstruments, das in etwa die Form dieses Zeichens hatte.

Formal ist der Nabla-Operator ein Vektor, dessen Komponenten die partiellen Ableitungsoperatoren ${\frac {\partial }{\partial x_{i}}}$ sind:

${\vec {\nabla }}=\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right)$

bzw. im 3-Dimensionalen:

${\vec {\nabla }}=\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)$

Gerechnet wird mit ihm wie mit einem Vektor, wobei das „Produkt“ von ${\frac {\partial }{\partial x_{i}}}$ mit einer rechts davon stehenden Funktion $f$ als partielle Ableitung ${\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}$ interpretiert wird.

Im n-dimensionalen Raum $\mathbb {R} ^{n}$ liefert das (formale) Produkt von ${\vec {\nabla }}$ mit einer Funktion (Skalarfeld) deren Gradienten:

${\vec {\nabla }}f=\operatorname {grad} f=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right)$

Das (formale) Skalarprodukt mit einem Vektorfeld $V=(V_{1},\dots ,V_{n})$ ergibt dessen Divergenz:

${\vec {\nabla }}\cdot V=\operatorname {div} V=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial V_{i}}{\partial x_{i}}}$

Spezialfall im $\mathbb {R} ^{3}$

Im dreidimensionalen Raum mit den kartesischen Koordinaten $x$, $y$, $z$ stellen sich die obigen Formeln wie folgt dar:

• Angewandt auf ein Skalarfeld ${\begin{matrix}\Phi (x,y,z)\end{matrix}}$ erhält man den Gradienten des Skalarfeldes

$\operatorname {grad\ } \Phi ={\vec {\nabla }}\Phi =\left({\frac {\partial \Phi }{\partial x}},{\frac {\partial \Phi }{\partial y}},{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)={\frac {\partial \Phi }{\partial x}}{\vec {e}}_{x}+{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}{\vec {e}}_{y}+{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}{\vec {e}}_{z}.$

Das Ergebnis ist ein Vektorfeld, ${\vec {e}}_{x},{\vec {e}}_{y},{\vec {e}}_{z}$ sind die kartesischen Einheitsvektoren des $\mathbb {R} ^{3}$.

• Angewandt auf ein Vektorfeld ${\begin{matrix}{\vec {V}}(x,y,z)\end{matrix}}$ ergibt sich die Divergenz des Vektorfeldes als formales Skalarprodukt mit dem Vektorfeld zu

$\operatorname {div\ } {\vec {V}}={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {V}}={\frac {\partial V_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial V_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial V_{z}}{\partial z}},$

also ein Skalarfeld.

• Eine Besonderheit des dreidimensionalen Raums ist die Rotation eines Vektorfelds. Sie ergibt sich durch (rechtsseitige) Verknüpfung über das formale Kreuzprodukt

$\operatorname {rot\ } {\vec {V}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {V}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial V_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial V_{y}}{\partial z}}\\{\frac {\partial V_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial V_{z}}{\partial x}}\\{\frac {\partial V_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial V_{x}}{\partial y}}\\\end{pmatrix}}$

wieder zu einem Vektorfeld.

Notation mit Subskript

Wirkt der Nablaoperator nur auf bestimmte Komponenten einer Funktion mit einem mehrdimensionalen Argument, so wird dies durch ein Subskript angedeutet. Für eine Funktion $f({\vec {r}},t)$ mit ${\vec {r}}=(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ beispielsweise ist

${\vec {\nabla }}_{\vec {r}}f=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right)$

im Gegensatz zu

${\vec {\nabla }}f=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}},{\frac {\partial {f}}{\partial t}}\right)$.

Rechenregeln

Rechenregeln für den Nabla-Operator lassen sich formal aus den Rechenregeln für Skalar- und Kreuzprodukt zusammen mit den Ableitungsregeln herleiten. Dabei muss man die Produktregel anwenden, wenn der Nabla-Operator links von einem Produkt steht.

Sind $\psi ,~\varphi$ und $f$ Skalarfelder (Funktionen) und ${\vec {A}}$ und ${\vec {B}}$ Vektorfelder, so gilt:

${\vec {\nabla }}f(r)={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} r}}{\frac {\vec {r}}{r}}$

${\vec {\nabla }}(\psi \varphi )=\psi {\vec {\nabla }}\varphi +\varphi {\vec {\nabla }}\psi$ (Produktregel für Gradient)

${\vec {\nabla }}({\vec {A}}\cdot {\vec {B}})=({\vec {A}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {B}}+({\vec {B}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {A}}+{\vec {A}}\times ({\vec {\nabla }}\times {\vec {B}})+{\vec {B}}\times ({\vec {\nabla }}\times {\vec {A}})$

${\vec {\nabla }}\cdot (\varphi {\vec {A}})=\varphi {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}+{\vec {A}}\cdot {\vec {\nabla }}\varphi$

${\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {A}}\times {\vec {B}})={\vec {B}}\cdot ({\vec {\nabla }}\times {\vec {A}})-{\vec {A}}\cdot ({\vec {\nabla }}\times {\vec {B}})$

${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}\varphi =\Delta \varphi$ (siehe auch Laplace-Operator)

${\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {\nabla }}\times {\vec {A}})=0$

${\vec {\nabla }}\times \varphi {\vec {A}}=\varphi {\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}-{\vec {A}}\times {\vec {\nabla }}\varphi$

${\vec {\nabla }}\times ({\vec {A}}\times {\vec {B}})=({\vec {B}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {A}}-{\vec {B}}({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}})+{\vec {A}}({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}})-({\vec {A}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {B}}$

${\vec {\nabla }}\times ({\vec {\nabla }}\times {\vec {A}})={\vec {\nabla }}({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}})-\Delta {\vec {A}}$

Weitere Rechenregeln siehe unter Gradienten, Divergenz und Rotation.

• Siehe auch: Formelsammlung Nabla-Operator