Mathematik
Gegenstand der Mathematik (vom gr. mathema: Wissenschaft, Lernen) sind schon seit der Antike die mathematischen, d.h. axiomatischen Theorien. Da also Gegenstand und Methode bei ihr in dieser Weise in eins fallen, nimmt (und nahm) die Mathematik immer eine Sonderstellung unter den Wissenschaften ein.
Daneben ist sie aber auch Hilfswissenschaft für viele andere Wissenschaften wie Physik, die Ingenieurwissenschaften, aber auch Wirtschaftswissenschaft und Sozialwissenschaft. Viele mathematische Themen (z.B. Fourieranalyse, Methode der kleinsten Quadrate) wurden durch nichtmathematische Aufgabenstellungen initiiert.
Auch nichtmenschliche Lebewesen, speziell Tiere sind in begrenztem Umfang fähig, mathematische Leistungen zu erbringen, siehe Phylogenese mathematischer Fähigkeiten.
axiomatische Theorie
Eine axiomatische Theorie ist eine Menge wahrer Aussagen, die aus gewissen Axiomen mit ausschließlich logischen Mitteln gefolgert wurden; genauer gesagt: eine Aussage ist genau dann »wahr«, wenn sie:
- ein Axiom ist, oder
- aus anderen wahren Aussagen nach gewissen Schluss- oder Deduktionsregeln abgeleitet werden kann.
Wahre Aussagen heißen Sätze der Theorie; will man einen Satz hervorheben, so nennt man ihn auch Theorem, ist er weniger bedeutend, so sagt man Lemma oder Korollar. Die Ableitungen nennt man Beweise. In der Praxis spielen noch Definitionen eine Rolle, sie gehören aber zum Handwerkszeug der Logik, das vorausgesetzt wird. (So kommt z.B. der Lambda-Kalkül ohne Definitionen aus, während natürlich jede funktionale Programmiersprache dafür Sprachmittel bereitstellen muss; entprechendes gilt auch für Beweissysteme u.ä.)
Im Laufe der historischen Entwicklung hat sich an diesen Begriffen nichts geändert, es ist allerdings zu einer zunehmenden Präzisierung gekommen, die ihren Niederschlag in dem großen und wachsenden Feld der mathematischen Logik gefunden hat.
Anwendungen
Wenngleich Gegenstand der Mathematik nur die Mathematik ist, so hat sie sich doch immer in engem Kontakt zu ihren Anwendungen entwickelt. Die Bildung mathematischer Modelle und die Entwicklung effizienter Rechenverfahren stehen dabei in engem Zusammenhang: muss man auf der einen Seite, vor allem am Anfang, den Gegenstandsbereich häufig stark vereinfachen, um ihn einer mathematischen Behandlung zugänglich zu machen, so gewinnt man auf der anderen Seite häufig viel effizientere Zugänge und Möglichkeiten. Im Übrigen hat sich die rein technische Seite des Rechnens, wie man weiß, zuletzt stark entwickelt.
Anwendung findet die Mathematik insbesondere in den Naturwissenschaften. Aber auch die Gesellschafts- und Geisteswissenschaften benutzen mathematische Konzepte.
Geschichte
Die Mathematik ist eine der ältesten Wissenschaften überhaupt. Eine erste Blüte erlebte sie in in der Antike, in Griechenland und im Hellenismus, von dort datiert die Orientierung an der Aufgabenstellung des »rein logischen Beweisens« und die erste Axiomatisierung, nämlich die euklidische Geometrie. Im Mittelalter überlebte sie unabhängig voneinander im frühen Humanismus der Universitäten und in der arabischen Welt. Die Entwicklung in der Neuzeit ist erst durch die Naturwissenschaften (ab 1600), dann sehr stark durch den innermathematischen Prozess der Axiomatisierung (ab etwa 1850) und schließlich die Entwicklung der Computertechnik (ab 1930) bestimmt worden. Siehe Geschichte der Mathematik und Mathematiker.
Die Kerngebiete der Mathematik im Überblick
Ein Charakteristikum der Mathematik ist ihr großer Zusammenhalt, der sich in engen und häufig auch überraschenden Querverbindungen zwischen ihren Teilen zeigt, und der jeder Einteilung der Mathematik bald eine Grenze setzt. Das folgende orientiert sich im groben Zügen an Bourbakis Éléments de Mathématique.
Logik und Mengenlehre
Die Mathematik hat natürlich immer der Logik bedurft, doch dauerte es sehr lange, bis sie selbst sich mit ihren Grundlagen befasste.
Es war die Mengenlehre, die dies änderte. Diese hatte sich aus der Beschäftigung mit der Topologie entwickelt, genauer mit den »Paradoxien des Unendlichen« (Bernard Bolzano), wie man sie im Umgang mit den reellen Zahlen erlebte. Als man mit der Mengenlehre die unendlichen Mengen gemeistert hatte, war dies zugleich die Geburtsstunde einer neuen Mathematik, die sich von der Herrschaft der Zahlen und geometrischen Gebilde emanzipiert hatte. Aus dem »Paradies der Mengenlehre« (David Hilbert) wollte man sich nicht mehr vertreiben lassen.
Als sich die »naive« Mengenlehre als unhaltbar erwies, gewann plötzlich das Gebiet der mathematischen Logik jenes Interesse, das ihm von Leibniz bis Frege versagt geblieben war, und blühte rasch auf. Dabei dient die Formalisierung der Logik dem Ziel, die einzelnen Beweisschritte zu isolieren und Beweise vollständig als Folgen elementarer Operationen darstellen zu können, um diese dann mit mathematischen (z.B. arithmetischen) Mitteln (Gödel) zu untersuchen. Bei der Untersuchung axiomatischer Theorien interessiert man sich für deren widerspruchsfreien Aufbau und ihr Verhältnis zueinander.
Inzwischen haben sich vielfältige Teilgebiete und Anwendungen in und außerhalb der Mathematik herausgebildet, u.a. gehören dazu in der Informatik auch Beweissysteme.
Die Mengenlehre findet heute Ergänzung als lingua franca der Mathematik in der Kategorientheorie, die sich in den vierziger Jahren aus der algebraischen Topologie entwickelte.
In der modernen Algebra, wie sie seit den zwanziger Jahren gelehrt wird, entwickeln sich aus dem Magma (Nicolas Bourbaki) mit einer einfachen inneren Operation nacheinander die algebraischen Grundstrukturen der Monoide, Gruppen, Ringe und Körper, die allgegenwärtig sind, unter anderem, weil die verschiedenen Zahlmengen solche Strukturen aufweisen. Eng verbunden sind damit Polynome und Moduln/Ideale.
Die Lineare und Multilineare Algebra hat Moduln zu ihrem Gegenstand. Im einfachsten Fall sind dies Vektorräume, d.h. Moduln über Körpern, meistens R oder C. Dies sind die Räume der klassischen Geometrie und Analysis. Aber es gibt auch wesentlich kompliziertere Situationen. Ein enger Zusammenhang besteht zur Ringtheorie und Homologischen Algebra; eine klassische Fragestellung ist die Invariantentheorie.
Die Galoistheorie ist einer der Höhepunkte der Mathematik im 19. Jahrhundert und Anfang der Körpertheorie. Ausgehend von der Frage nach der Lösbarkeit von algebraischen Gleichungen untersucht sie Körperweiterungen (und erfindet dabei die Gruppentheorie).
Weitere Gebiete: Gruppentheorie, Kommutative Algebra
Die Topologie ist ein großes und grundlegendes Gebiet, mit vielen Anwendungen. Anstöße kamen aus der Analysis (Reelle Zahlen), der frühen Algebraischen Topologie, der Funktionentheorie (Riemannsche Flächen).
Zunächst werden die Kategorie der topologischen Räume und Verfahren zu ihrer Konstruktion eingeführt. Die eng verbundenen Grundbegriffe sind »Zusammenhang«, »Stetigkeit« und »Grenzwert«. Weitere wichtige Themen sind »Trennungseigenschaften« und »Kompaktheit«. Uniforme Räume haben eine Topologie, die (in Verallgemeinerung metrischer Räume) über eine Art von Abstand definiert ist. Hier kann man Cauchy-Filter definieren und damit den Begriff der Vollständigkeit und die Methode der Vervollständigung eines topologischen Raumes.
Topologische Gruppen, Ringe und Körper haben stetige Operationen, was ihre Topologie bestimmt. Ein historisch und praktisch wichtiges Beispiel sind die reellen Zahlen: sie werden durch Vervollständigung der rationalen Zahlen Q konstruiert.
Metrische Räume sind uniforme Räume, deren Topologie von einer Metrik abgeleitet ist und damit besonders übersichtlich und auch anschaulich. Daneben kennt man viele andere Klassen von Räumen.
Für Anwendungen in Analysis und Funktionalanalysis sind topologische Vektorräume grundlegend. Besonders interessant sind lokalkonvexe Räume (und ihre Dualräume), für die es eine schöne Theorie mit wichtigen Resultaten gibt.
Weitere Gebiete: Algebraische Topologie
Die Analysis untersucht v.a. differenzierbare Abbildungen zwischen topologischen Räumen, von den Zahlkörpern R und C bis zu Mannigfaltigkeiten und Hilbert-Räumen (und darüber hinaus). Sie war schon die Mathematik der Naturwissenschaften des 17. und 18 Jahrhunderts und ist es immer noch.
Drei Phänomene stehen untrennbar im Mittelpunkt der Differentialrechnung: Die Ableitung, die eine Abbildung »im Kleinen« beschreibt, die Differentialgleichung, die in etwa dasselbe mit der Bewegung im Großen tut, und das Integral, das zwischen beiden vermittelt. Die algebraisch definierten rationalen Funktionen werden um die Exponentialfunktion und ihre Verwandten und viele andere, durch Differentialgleichungen und Potenzreihen gegebene spezielle Funktionen ergänzt.
Betrachtet man Funktionen, die den komplexen Zahlkörper in sich abbilden, so drängt sich die Forderung nach komplexer Differenzierbarkeit auf, die weitreichende Folgen hat. Solche Funktionen sind immer analytisch, d.h. im kleinen durch Potenzreihen darstellbar. Ihre Untersuchung heißt Funktionentheorie, sie gehört zu den großen Leistungen des 19. Jahrhunderts.
Weitere Gebiete im alphabetischen Überblick
Ein aus dem Studium der Kegelschnitte entstandenes und noch sehr aktives Gebiet ist die algebraische Geometrie. Gegenstand der älteren Theorie sind bis etwa 1950 algebraische Varietäten, d.h. Nullstellenmengen algebraischer Gleichungen im projektiven (komplexen) Raum, heute starke Verallgemeinerung der Fragestellungen und Methoden. Engste Beziehungen bestehen zur kommutativen Algebra und Zahlentheorie.
Historisch Die euklidische Geometrie war das erste Beispiel einer axiomatischen Theorie, wenn es auch bis Hilbert dauern sollte, um diese Axiomatisierung abzuschließen. Nachdem Descartes das Programm aufgestellt hatte, ihre Probleme zu algebraisieren, fand sie neues Interesse und entwickelte sich zur algebraischen Geometrie. Im 19. Jahrhundert wurden nichteuklidische und Differentialgeometrie entwickelt. Ein Großteil der alten Geometrie wurde zur Algebra oder Topologie.
Die Gruppentheorie, als mathematische Disziplin im 19. Jahrhundert entstanden, ist ein Wegbereiter der modernen Mathematik, da sie eine Entkoppelung der Repräsentation (z. B. die reellen Zahlen) von der inneren Struktur darstellt (Gesetze für Gruppen).
Die numerische Mathematik ist die Mathematik der diskreten Zahlen. Die Beschränkung auf diskrete Zahlen erfordert andere mathematische Methoden. Die Numerik beschäftigt sich vorwiegend mit Approximationen von Funktionen kontinuierlicher Variablen.
Die Philosophie der Mathematik wiederum hinterfragt die axiomatischen Systeme.
Wahrscheinlichkeitsrechnung
In Anfängen in der Antike vorhanden, hat sich dieses Gebiet zunächst und lange Zeit aus der Versicherungsmathematik, v.a. auch dem Spezialfall der Theorie des Glücksspiels gespeist. Man unterscheidet:
- Wahrscheinlichkeitstheorie i.e.S. (Stochastik) als Theorie stochastischer Experimente. Ziel ist es, zu einem gegebenen Experiment die Verteilung der Zufallsvariablen zu bestimmen.
- darauf aufbauend die mathematische Statistik, die, bei unvollkommener Kenntnis des Experimentes, aus gewissen Ergebnissen (einer Stichprobe) auf die zugrundeliegende Verteilung schließen will. Zwei Fragen stehen im Mittelpunkt:
- Bestimmung von Parametern (Schätztheorie)
- Klassifikation von Fällen (Entscheidungstheorie)
- Dabei werden diese Aufgaben als Optimierungsprobleme gestellt, was für die Statistik charakteristisch ist.
Die moderne Theorie ist seit den Arbeiten von Kolmogoroff eine wichtige Anwendung der Maßtheorie.
Weitere Gebiete: Ergodentheorie, statistische Mechanik, Informationstheorie, Operations Research
Ein altes, schon in der Antike blühendes Fach, dessen Ausgangspunkt die überraschenden Eigenschaften der natürlichen Zahlen bilden (auch Arithmetik genannt). Gefragt wird zunächst nach Teilbarkeit und Primalität. Auch viele mathematische Spiele gehören hierher. Viele Sätze der Zahlentheorie sind einfach zu formulieren, aber schwer zu beweisen.
In der Neuzeit findet die Zahlentheorie zuerst bei Fermat erneutes und zugleich zukunftsweisendes Interesse. Gauß' Disquisitiones Arithmeticae bilden 1801 einen Höhepunkt und regen eine intensive Forschung an. Heute haben sich, entsprechend den benutzten Mitteln, zur elementaren die analytische, algebraische und geometrische gesellt. Lange galt die Zahlentheorie als (praktisch) absolut nutzlos, bis sie mit der Entwicklung der asymmetrischen Kryptographie plötzlich in den Mittelpunkt des Interesses rückte.
Mathematische Themen in der Wikipedia
Unter Wikipedia:Liste mathematischer Themen gibt es eine (noch unvollständige) Auflistung aller Artikel mit mathematischem Inhalt. Dieser Artikel kann auch als "Letzte Änderungen"-Ersatz für mathematische Themen verwendet werden.
Natürliche Zahlen -- Ganze Zahlen -- Rationale Zahlen -- Algebraische Zahlen -- Reelle Zahlen -- Komplexe Zahlen -- Römische Zahlen -- Mathematische Konstanten -- Primzahlen -- Zahleneigenschaften -- Zahlennamen -- Unendlich -- π -- e
Das Veränderliche
Algebra -- Analysis -- Differentialgleichungen -- Trigonometrische Funktionen -- Statistik -- Spezielle Funktionen -- Dynamische Systeme -- Chaostheorie-- Vektorrechnung
Mathematische Strukturen
Zahlentheorie -- Gruppentheorie -- Topologie -- Geometrie -- Lineare Algebra -- Graphentheorie
Topologie -- Geometrie -- Trigonometrie -- Lineare Algebra -- Tensor -- Differentialgeometrie -- Abgebraische Geometrie
Kombinatorik -- Mengenlehre -- Statistik -- Berechenbarkeitstheorie -- Graphentheorie -- Spieltheorie -- Kryptographie
Grundlagen und Methoden
Philosophie der Mathematik -- Intuitionalismus -- Konstruktivismus -- Grundlagen der Mathematik -- Mathematik für die Schule -- Mengenlehre -- Symbolische Logik -- Modelltheorie -- Beweistheorie -- Beweismethoden -- Kategorientheorie
Mechanik -- Numerik -- Optimierung -- Diskrete Mathematik -- Statistik
Bekannte Theoreme, Vermutungen und ungelöste Probleme
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Diverses
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