Öffnungswinkel

Als Öffnungswinkel $\omega$ einer Sammellinse oder Objektivs (allgemein eines fokalen optischen Systems) wird der Winkel bezeichnet, den ein Punkt auf der optischen Achse mit dem Durchmesser der Eintritts- bzw. Austrittspupille bildet.

Konkret unterscheidet man zwischen objektseitigem und bildseitigem Öffnungswinkel:

• objektseitiger Öffnungswinkel

Der objektseitige Öffnungswinkel $\omega _{O}$ ist definiert als der Winkel zwischen dem Objektpunkt auf der optischen Achse und dem Durchmesser der Eintrittspupille.

$\displaystyle \omega _{O}=2\cdot \arctan \left({\frac {\varnothing _{\text{Eintrittspupille}}}{2\cdot Abstand_{\text{Eintrittspupille zu Objektpunkt}}}}\right)$

• bildseitiger Öffnungswinkel

Analog ist der bildseitige Öffnungswinkel $\omega _{B}$ der Winkel zwischen dem Bildpunkt auf der optischen Achse und dem Durchmesser der Austrittspupille.

$\displaystyle \omega _{B}=2\cdot \arctan \left({\frac {\varnothing _{\text{Austrittspupille}}}{2\cdot Abstand_{\text{Austrittspupille zu Bildpunkt}}}}\right)$

Der bildseitige Öffnungswinkel bestimmt die Größe der Zerstreuungskreise und beeinflusst somit die Schärfentiefe.

Öffnungswinkel einer Sammellinse

Objektseitiger Bildwinkel $\omega _{O}$ und bildseitiger Bildwinkel $\omega _{B}$.Gegenstandsweite $g$ sowie die Bildweite $b$ sind bezeichnet

Bei Foto-Objektiven entsprechen die Positionen der Eintritts- bzw. Austrittspupille in der Regel nicht mehr Lage der Hauptebenen, auch ist deren Durchmesser meist variabel. Im Unterschied zu Objektiven, die zusätzliche Blenden enthalten und meist auch aus mehreren Linsen aufgebaut sind, fallen bei einer Sammellinse Eintritts- und Austrittspupille in der Linsenmitte zusammen - ihr Durchmesser entspricht dabei einfach dem Linsendurchmesser. Somit entspricht der Abstand des Objektpunktes zur Eintrittspupille der Gegenstandsweite $g$ und der Abstand des Bildpunktes zur Austrittspupille entspricht der Bildweite $b$. Dadurch vereinfachen sich die Verhältnisse so, dass sich die Öffnungswinkel bei einer Sammellinse einfach berechnen lassen:

$\displaystyle \omega _{O}=2\cdot \arctan \left({\frac {\varnothing _{Linse}}{2\cdot {\text{Gegenstandsweite}}}}\right)$ für den objektseitigen Öffnungswinkel und

$\displaystyle \omega _{B}=2\cdot \arctan \left({\frac {\varnothing _{Linse}}{2\cdot {\text{Bildweite}}}}\right)$ für den bildseitigen Öffnungswinkel

große Gegenstandsweite

Eine weitere Vereinfachung ergibt sich wenn man den Öffnungswinkel bei sehr großen Gegenstandsweiten ("unendlich") betrachtet. Wächst die Gegenstandsweite über alle Grenzen, so wird
$\displaystyle \omega _{O}=0$
Gemäß der Linsengleichung entspricht die Bildweite bei unendlich großer Gegenstandsweite der Brennweite f, also wird
$\displaystyle \omega _{B}=2\cdot \arctan \left({\frac {\varnothing _{Linse}}{2\cdot f}}\right)$

Numerische Apertur

Aus dem objektseitigen Öffnungswinkel $\displaystyle \omega _{O}$ und der Brechzahl n des Mediums ergibt sich die numerische Apertur $A_{N}$ wie folgt:
$\displaystyle A_{N}=n\cdot \sin \left({\frac {\omega _{O}}{2}}\right)$

Die Brechzahl n der Luft bertägt fast genau 1 (1,000292 in Bodennähe).

Öffnungsverhältnis und Blendenzahl

Aus dem bildseitigen Öffnungswinkel $\displaystyle \omega _{B}$ und der Brennweite f eines optischen Systems ergibt sich das Öffnungsverhältnis 1/$\displaystyle \kappa$:
$\displaystyle {\frac {1}{\kappa }}=2\cdot \tan \left({\frac {\omega _{B}}{2}}\right)$

Die Blendenzahl ist der Kehrwert des Öffnungsverhälnisses, also
$\displaystyle \kappa ={\frac {1}{2\cdot \tan \left({\frac {\omega _{B}}{2}}\right)}}$

Verwandte Themen

• Linsengleichung
• Bildwinkel
• Öffnungsverhältnis
• Blendenzahl
• numerische Apertur
• Unendlichkeit in der Mathematik

Weblinks

Optische Terminologie (Canon)