Funktion (Mathematik)

Eine Funktion (engl.: function) drückt die Abhängigkeit einer Größe von einer anderen aus. Traditionell wurden Funktionen als Regel oder Vorschrift definiert, die eine Eingangsgröße (das Argument) in eine Ausgangsgröße (Funktionswert) transformiert. Heute definiert man Funktionen in Begriffen der Mengenlehre.

Ein Synonym zu Funktion ist Abbildung (engl.: map oder mapping).

Definition

Eine Funktion f weist jedem Element einer Definitionsmenge (Definitionsbereich) A genau ein Element einer Wertemenge (Wertebereich) B zu. Eine Funktion ist daher eine linkstotale und rechtseindeutige Relation.

Schreibweisen und Sprechweisen

• $f\colon A\to B$
  (bzw. f: A -> B im Textmodus) statt f ⊆ A × B,

  "Funktion f von A nach B"

• $f\colon x\mapsto f(x)$
  (bzw. f: x -> f(x) im Textmodus) oder y = f(x) statt (x,y) in f.

  "x wird abgebildet auf f von x"

  "y ist f von x".

Beispiel

• f: R -> R
• f: x -> x²
• f(x) = x².

Wichtige Eigenschaften von Funktionen

• Injektivität
• Surjektivität
• Bijektivität (sowohl injektiv als auch surjektiv)
• Monotonie
• Stetigkeit
• Differenzierbarkeit
• Integrierbarkeit
• Glattheit

Wichtige Begriffe

• Das Bild (engl.: image) eines Elements x der Definitionsmenge ist einfach f(x).
• Das Bild einer Funktion (engl.: range oder image) ist die Menge aller Bilder, also f(A) = { f(x) : x in A }
• Das Urbild (engl.: preimage) eines Elements y der Wertemenge ist die Menge aller Elemente der Definitionsmenge, deren Bild y ist. Man schreibt f^-1(y) = { x in A : f(x) = y }.
• Das Urbild einer Teilmenge M der Wertemenge ist die Menge aller Elemente der Definitionsmenge, deren Bild Element dieser Teilmenge ist. f^-1(M) = { x in A : f(x) in M }.
• Die Komposition (engl.: composition) ist die Verknüpfung von Funktionen durch Hintereinanderausführung (f o g)(x) = f(g(x)).
• Die Umkehrfunktion (engl.: inverse function) einer bijektiven Funktion weist jedem Element der Wertemenge das Urbildelement zu. (Bei bijektiven Funktionen hat das Urbild jedes Elements genau ein Element.)

Wichtige Funktionen

• Exponentialfunktion, Logarithmus
• Trigonometrische Funktionen
• Hyperbolische Funktionen

Funktionen, die auf Zusammenhänge wie z.B. Operationen (Addition, etc.) in der Definitions- und der Wertemenge "Rücksicht nehmen", werden Morphismen genannt. Siehe Homomorphismus, Kategorientheorie.

In der Informatik treten Funktionen auch als Konstrukte in Programmiersprachen auf.

Einteilung reeller Funktionen

Es gibt unterschiedlichste Unterscheidungmerkmale und somit auch viele Namen für einzelne Funktionstypen. Hier eine Einteilung reeller Funktionstypen (f: R -> R):

1. Lineare Funktion: allgemein beschrieben durch f(x) = m·x ; ist ein Homomorphismus bezüglich der Addition
2. allgemeine lineare Funktion (oder affine Funktion): allg. beschrieben durch f(x) = m·x + n ; heißt linear aufgrund der Geraden die sich im Koordinatensystem ergibt
3. Quadratische Funktion: allg. beschrieben durch f(x) = a·x² + b·x + c (s. Quadratische Gleichung)
4. Polynom-Funktion: allg. beschrieben durch f(x) = a_n·xⁿ + a_n-1·x^n-1 + ... + a₁·x + a₀ oder
   $f(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}\cdot x^{i}$
5. rationale Funktion: Quotient zweier Polynom-Funktionen, f(x) = g(x)/h(x)
6. ganzrationale Funktion: Synonym für Polynom-Funktion
7. gebrochenrationale Funktion: Synonym für rationale Funktion
8. echt gebrochenrationale Funktion: rationale Funktion, deren Zählerpolynom einen kleineren Grad als das Nennerpolynom hat
9. unecht gebrochenrationale Funktion: rationale Funktion, deren Zählerpolynom einen Grad größer oder gleich dem Nennerpolynom hat; ist Summe eines Polynoms und einer echt gebrochenrationalen Funktion
10. Wurzelfunktion: besteht aus gebrochenrationalen Funktionen verknüpft durch die Grundrechenarten und Wurzelausdrücke
11. Algebraische Funktion: Polynom, gebrochenrationale Funktion, Wurzelfunktion
12. Transzendente Funktion: Exponentialfunktion, Logarithmus, trigonometrische Funktionen, Hyperbelfunktionen
13. elementare Funktion: Bezeichnung für bestimmte Typen klassischer Funktionen, vor allem algebraische, transzendente Funktionen, sowie die Betragsfunktion, Maximumfunktion und Minimumfunktion, die Gaußsche Ganzzahlfunktion, und Funktionen, die aus diesen durch die Grundrechenarten zusammengesetzt sind
14. nichtelementare Funktion: jede Funktion, die sich nicht durch elementare Funktion ausdrücken lässt