Benutzer:Samuel Adrian Antz/Drafts

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Mathematik

• Algebraische Topologie: Homotopietheorie, Homotopiegruppen von Sphären
• Differentialgeometrie: Banach-Mannigfaltigkeiten, Hilbert-Mannigfaltigkeiten, Nash-Moser-Umkehrsatz, Bündelmetrik
• Differentialtopologie: Exotische euklidische Räume

Science-Fiction

• Asiatische Science-Fiction-Filme und Serien: Three-Body, Three-Body Animation, Shanghai Fortress, Warriors of Future, Jung_E, The Silent Sea, Crazy Alien
• Romane von Andy Weir: Artemis
• Sonstige Romane: Die Kolonie, Die letzte Astronautin

Fehlt noch und könnte erledigt werden

Whitehead-Produkt, Generalisiertes Whitehead-Produkt, Unitäre Transformation (Quantenmechanik), Hopf-Invariante, Holomorphe Kurve, Gray-Vermutung, Kohomotopie, Steenrod-Problem, Eckmann–Hilton-Argument, Garding-Ungleichung

Characteristic Classes

Characteristic Classes (deutsch Charakteristische Klassen) ist ein mathematisches Lehrbuch über charakteristische Klassen von John Milnor und James Stasheff, veröffentlicht am 24. August 1974.

Kritik

Arbeiten von John Milnor und allgemein seine Beiträge zur mathematischen Literatur wurden bei der Verleihung des Steele Prize an ihn im Jahr 2004 hervorgehoben. Es hieß, seine Leichtigkeit sei das Zeichen eines Meisters („ease is the mark of a master“), sodass Verbesserungen seiner Arbeit oft unmöglich erscheinen („improvement of Milnor's treatments often seems impossible“) und diese haben zudem einen Standard für Klarheit, Eleganz und Schönheit gesetzt, nach dem jede Person in der Mathematik streben sollte („set a standard of clarity, elegance, and beauty for which every mathematician should strive“).

The Geometry of Four-Manifolds

The Geometry of Four-Manifolds (deutsch Die Geometrie von Vier-Mannigfaltigkeiten) ist ein mathematisches Lehrbuch über Yang-Mills-Theorie und deren Anwendung beim Studium von 4-Mannigfaltigkeiten wie von der Donaldson-Theorie beschrieben. Es wurde von Simon Donaldson und Peter Kronheimer geschrieben und am 13. September 1990 veröffentlicht.

Siehe auch

• Instantons and Four-Manifolds (1991), weiteres mathematisches Lehrbuch über das gleiche Thema
• Notes on Seiberg-Witten theory (2000), Lehrbuch über Seiberg-Witten-Theorie, welche Donaldson-Theorie verbesserte und vereinfachte

Instantons and Four-Manifolds

Instantons and Four-Manifolds (deutsch Instantonen und Vier-Mannigfaltigkeiten) ist ein mathematisches Lehrbuch über Yang-Mills-Theorie und deren Anwendung beim Studium von vierdimensionalen Mannigfaltigkeiten (kurz auch 4-Mannigfaltigkeiten genannt) wie von der Donaldson-Theorie beschrieben. Es wurde von Daniel Freed und Karen Uhlenbeck geschrieben und im Jahr 1991 veröffentlicht.

Siehe auch

• The Geometry of Four-Manifolds (1990), weiteres mathematisches Lehrbuch über das gleiche Thema
• Notes on Seiberg-Witten theory (2000), Lehrbuch über Seiberg-Witten-Theorie, welche Donaldson-Theorie verbesserte und vereinfachte
• Monopoles and Three-Manifolds (2007), Lehrbuch über Seiberg-Witten-Theorie und das Studium von 3-Mannigfaltigkeiten

Notes on Seiberg-Witten theory

Notes on Seiberg-Witten theory (deutsch Notizen über Seiberg-Witten-Theorie) ist ein mathematisches Lehrbuch über Seiberg-Witten-Theorie von Liviu Nicolaescu, veröffentlicht am 1. September 2000.

Siehe auch

• The Geometry of Four-Manifolds (1990) und Instantons and Four-Manifolds (1991), Lehrbücher über Donaldson-Theorie, welche Seiberg-Witten-Theorie vorausging

Algebraic Topology

Algebraic Topology (deutsch Algebraische Topologie) ist ein mathematisches Lehrbuch über Algebraische Topologie von Allen Hatcher, veröffentlicht am 1. Januar 2002.

Monopoles and Three-Manifolds

Monopoles and Three-Manifolds (deutsch Monopole und Drei-Mannigfaltigkeiten) ist ein mathematisches Lehrbuch über Seiberg-Witten-Theorie und deren Anwendung beim Studium von dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten (kurz auch 3-Mannigfaltigkeiten genannt) wie von der Monopol-Floer-Homologie (oder Seiberg-Witten-Floer-Homologie) beschrieben. Es wurde von Peter Kronheimer und Tomasz Mrowka geschrieben und im Jahr 2007 veröffentlicht. Von ihrer Zusammenarbeit auf dem Gebiet zeugt auch die Kronheimer-Mrowka-Basisklasse aus der Donaldson-Theorie, welche der Seiberg-Witten-Theorie vorausging.

Siehe auch

• Instantons and Four-Manifolds (1991), Lehrbuch über Yang-Mills-Theorie und das Studium von 4-Mannigfaltigkeiten

Category Theory in Context

Category Theory in Context (deutsch Kategorientheorie im Kontext) ist ein mathematisches Lehrbuch über Kategorientheorie von Emily Riehl, veröffentlicht im Jahr 2017.

Weblinks

• Category Theory in Context auf nLab (englisch)

Vermutungen

Die Bass-Vermutung ist im mathematischen Teilgebiet der algebraischen K-Theorie die Vermutung, dass bestimmte algebraische K-Gruppen unter bestimmten Voraussetzungen endlich erzeugt sind.

Die Kaplan-Yorke-Vermutung ist im mathematischen Teilgebiet der dynamischen Systeme die Vermutung, dass sich die Dimension eines Attraktors explizit durch dessen Ljapunow-Exponenten berechnen lässt. Benannt ist die Vermutung nach James Kaplan und James Yorke.

Die Eden-Vermutung ist mathematischen Teilgebiet der dynamischen Systeme die Vermutung, dass das Supremum über die lokalen Ljapunow-Dimensionen eines Attraktors auf einem stationären Punkt oder einem instabilen periodischen Orbit angenommen wird. Benannt ist die Eden-Vermutung nach Alp Eden, der sie im Jahr 1987 aufstellte.

Kurze Entwürfe

Der Yamabe-Fluss ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie ein geometrischer Fluss, welcher die Riemannsche Metrik auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit deformiert. Dieser ergibt sich als Gradientenfluss einer Wirkung, in welche die Skalarkrümmung der Riemannschen Metrik eingeht.

Benannt ist der Yamabe-Fluss nach Hidehiko Yamabe, wurde jedoch von Richard Hamilton im Jahr 1988 eingeführt.

Die Yamabe-Invariante (oder Sigma-Konstante) ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie eine Invariante von Riemannschen Mannigfaltigkeiten.

Benannt ist die Yamabe-Invariante nach Hidehiko Yamabe, wurde jedoch erstmals von Osamu Kobayashi im Jahr 1987 und Richard Schoen im Jahr 1989 betrachtet

• Die Yamabe-Invariante ist genau dann positiv, wenn die Riemannsche Mannigfaltigkeit eine Metrik positiver Skalarkrümmung besitzt.

Der Calabi-Fluss ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie ein geometrischer Fluss, welcher die Kähler-Metrik auf einer Kähler-Mannigfaltigkeit deformiert. Dieser ergibt sich als Gradientenfluss der Calabi-Wirkung, in welche die Skalarkrümmung der zugrundeliegenden Riemannschen Metrik eingeht.

Benannt ist der Calabi-Fluss nach Eugenio Calabi, welcher diesen im Jahr 1982 einführte.

Die Levi-Civita-Regularisierung ist in der mathematischen Physik eine Methode zur Umwandlung des gestörten planaren Kepler-Problems in einen gestörten harmonischen Oszillator mithilfe der Levi-Civita-Abbildung. Beide sind nach Tullio Levi-Civita benannt.

Die Kustaanheimo-Stiefel-Regularisierung ist in der mathematischen Physik eine Methode zur Umwandlung des räumlichen Kepler-Problems in einen räumlichen harmonischen Oszillator mithilfe der Kustaanheimo-Stiefel-Abbildung. Beide sind nach Paul Kustaanheimo und Eduard Stiefel benannt.

Modulräume

Der Yang-Mills-Modulraum (kurz YM-Modulraum) ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie der Modulraum der Yang-Mills-Gleichungen (kurz YM-Gleichungen), also der Raum all dessen Lösungen bis auf Eichung.

Der selbstduale Yang-Mills-Modulraum (kurz SDYM-Modulraum) ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie der Modulraum der selbstdualen Yang-Mills-Gleichungen (kurz SDYM-Gleichungen), also der Raum all dessen Lösungen bis auf Eichung.

Der antiselbstduale Yang-Mills-Modulraum (kurz ASDYM-Modulraum) ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie der Modulraum der antiselbstdualen Yang-Mills-Gleichungen (kurz ASDYM-Gleichungen), also der Raum all dessen Lösungen bis auf Eichung.

Instanton-Floer-Homologie

Instanton-Floer-Homologie (auch Yang-Mills-Floer-Homologie) ist eine Homologietheorie für dreidimensionale Homologiesphären, konstruiert über das Chern-Simons-Funktional eines SU(2)-Hauptfaserbündels über diesen. Ihre Gradientenflusslinien sind genau der Yang-Mills-Fluss, also beschrieben durch die Yang-Mills-Gleichungen. Deren Lösungen werden Instantonen genannt.

Literatur

• John A. Baldwin, Steven Sivek: Instanton Floer homology and contact structures. 13. Mai 2014; abgerufen im 1. Januar 1 (englisch, 1405.3278). 
• Kyoung-Seog Lee, Anatoly Libgober, Nikolai Saveliev: Instanton Floer homology and Milnor Fibers. 22. Oktober 2024; abgerufen im 1. Januar 1 (englisch, 2410.16584). 

Siehe auch

• Monopol-Floer-Homologie, ähnliche Floer-Homologie basierend auf den Seiberg-Witten-Gleichungen

Monopol-Floer-Homologie

Monopol-Floer-Homologie (auch Seiberg-Witten-Floer-Homologie) ist eine Homologietheorie für dreidimensionale Mannigfaltigkeiten mit einer Spinᶜ-Struktur, konstruiert über das Chern-Simons-Dirac-Funktional eines U(1)-Hauptfaserbündels über diesen. Ihre Gradientenflusslinien sind genau der Seiberg-Witten-Fluss, also beschrieben durch die Seiberg-Witten-Gleichungen. Deren Lösungen werden Monopole genannt.

Literatur

• Francesco Lin: Lectures on monopole Floer homology. 16. Mai 2016; abgerufen im 1. Januar 1 (englisch, 1605.03140). 
• Francesco Lin: Monopole Floer homology and invariant theta characteristics. 9. Mai 2022; abgerufen im 1. Januar 1 (englisch, 2205.04351). 

Siehe auch

• Instanton-Floer-Homologie, ähnliche Floer-Homologie basierend auf den Yang-Mills-Gleichungen

U(1)-Hauptfaserbündel

$\operatorname {U} (1)$-Hauptfaserbündel sind im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie spezielle Hauptfaserbündel mit der ersten unitären Gruppe $\operatorname {U} (1)$ als Strukturgruppe. Topologisch hat diese die Struktur der eindimensionalen Sphäre.

$\operatorname {U} (1)$-Hauptfaserbündel finden Anwendung in vielen Teilgebieten der Mathematik, etwa bei der Formulierung der Seiberg-Witten-Gleichungen oder der Monopol-Floer-Homologie. Da $\operatorname {U} (1)$ die Eichgruppe der elektromagnetischen Wechselwirkung ist, sind $\operatorname {U} (1)$-Hauptfaserbündel auch in der theoretischen Physik von Bedeutung. Konkret sind die $\operatorname {U} (1)$-Yang-Mills-Gleichungen genau die Maxwell-Gleichungen.

Assoziertes Vektorbündel

Einem $\operatorname {U} (1)$-Hauptfaserbündel $E\twoheadrightarrow B$ kann über das balancierte Produkt ein eindimensionales Geradenbündel $E\times _{\operatorname {U} (1)}\mathbb {C} \twoheadrightarrow B$ zugeordnet werden. Anschaulich werden dabei die Sphären an jedem Punkt über die Inklusion $\operatorname {U} (1)\subset \mathbb {C}$ aufgefüllt.

Beispiele

Per Definition des komplexen projektiven Raumes ist die kanonische Projektion $S^{2n+1}\twoheadrightarrow \mathbb {C} P^{n}$ ein $\operatorname {U} (1)$-Hauptfaserbündel. Mit $\mathbb {C} P^{1}\cong S^{2}$, bekannt als Riemannsche Zahlenkugel, ist die komplexe Hopf-Faserung $h_{\mathbb {C} }\colon S^{3}\twoheadrightarrow S^{2}$ ein wichtiger Spezialfall. Im allgemeinen Fall ist die klassifizierende Abbildung einfach die kanonsiche Inklusion:

$\mathbb {C} P^{n}\hookrightarrow \mathbb {C} P^{\infty }\cong \operatorname {BU} (1).$

SU(2)-Hauptfaserbündel

$\operatorname {SU} (2)$-Hauptfaserbündel sind im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie spezielle Hauptfaserbündel mit der zweiten speziellen unitären Gruppe $\operatorname {SU} (2)$ als Strukturgruppe. Topologisch hat diese die Struktur der dreidimensionalen Sphäre.

$\operatorname {SU} (2)$-Hauptfaserbündel finden Anwendung in vielen Teilgebieten der Mathematik, etwa im mit der Fields-Medaille ausgezeichneten Beweis des Donaldson-Theorems oder der Instanton-Floer-Homologie. Da $\operatorname {SU} (2)$ die Eichgruppe der schwachen Wechselwirkung ist, sind $\operatorname {SU} (2)$-Hauptfaserbündel auch in der theoretischen Physik von Bedeutung.

Assoziertes Vektorbündel

Einem $\operatorname {SU} (2)$-Hauptfaserbündel $E\twoheadrightarrow B$ kann über das balancierte Produkt ein zweidimensionales Ebenenbündel $E\times _{\operatorname {SU} (2)}\mathbb {C} ^{2}\twoheadrightarrow B$ zugeordnet werden. Anschaulich werden dabei die Sphären an jedem Punkt über die Inklusion $\operatorname {SU} (2)\subset \mathbb {C} ^{2}$ aufgefüllt.

Da die Determinante von speziellen unitären Matrizen immer konstant ist, wird das Determinantenbündel dieses Vektorbündels durch eine konstante Abbildung klassifiziert und ist daher trivial. Da das Determinantenbündel zudem die erste Chern-Klasse enthält, ist diese Immer trivial. Dadurch wird das Vektorbündel nur durch die zweite Chern-Klasse beschrieben.

Beispiele

Per Definition des quaternionischen projektiven Raumes ist die kanonische Projektion $S^{4n+3}\twoheadrightarrow \mathbb {H} P^{n}$ ein $\operatorname {SU} (2)$-Hauptfaserbündel. Mit $\mathbb {H} P^{1}\cong S^{4}$ ist die komplexe Hopf-Faserung $h_{\mathbb {H} }\colon S^{7}\twoheadrightarrow S^{4}$ ein wichtiger Spezialfall. Im allgemeinen Fall ist die klassifizierende Abbildung einfach die kanonsiche Inklusion:

$\mathbb {H} P^{n}\hookrightarrow \mathbb {H} P^{\infty }\cong \operatorname {BSU} (2).$

Bordismen

Ein Spin-Bordismus ist ein spezieller Bordismus zwischen Spin-Mannigfaltigkeiten, also glatten Mannigfaltigkeiten mit einer Spin-Struktur, welche selbst eine Spin-Mannigfaltigkeit ist, sodass die Spin-Strukturen kompatibel sind. Spin-Bordismen können für die Definition einer verallgemeinerten Homologietheorie verwendet werden.

Definition

Eine Spin-Struktur auf einer glatten Mannigfaltigkeit induziert eine Spin-Struktur auf ihren Randkomponenten und allgemeiner sogar allen eingebetteten Untermannigfaltigkeiten.

Sei $W$ eine $n$-dimensionale Spin-Mannigfaltigkeit, also sodass die klassifizierende Abbildung $\tau _{W}\colon W\rightarrow \operatorname {BO} (n)$ ihres Tangentialbündels $TW=\tau _{W}^{*}\gamma _{\mathbb {R} }^{n}$ über die von der kanonischen Projektion $\operatorname {Spin} (n)\twoheadrightarrow \operatorname {O} (n)$ auf klassifizierenden Räumen induzierten Abbildung faktorisiert und sich dadurch zu einer Abbildung ${\widehat {\tau }}_{W}\colon W\rightarrow \operatorname {BSpin} (n)$ hebt.

Statt Spin-Strukturen können auch Spin^c- und Spinʰ-Strukturen betrachtet werden, welche tiefer durch die kanonischen Inklusionen:

$\operatorname {Spin} (n)\hookrightarrow \operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(n)\hookrightarrow \operatorname {Spin} ^{\mathrm {h} }(n)$

heben, welche mit den kanonischen Projektionen auf $\operatorname {O} (n)$ kompatibel sind. Dadurch können Spin^c- und Spinʰ-Bordismen analog definiert werden.

Spin-Bordismusgruppen

Mit der Äquivalenzrelation des Spin-Bordismus bilden die $n$-dimensionalen geschlossenen Spin-Mannigfaltigkeiten eine abelsche Gruppe $\Omega _{n}^{\operatorname {Spin} }$ mit der disjunkten Vereinigung als Verknüpfung, der leeren Mannigfaltigkeit als neutrales Element und der Umkehr der Orientierung als Inversion. (Spin-Mannigfaltigkeiten sind immer orientierbar.) Mit der Pontrjagin-Thom-Konstruktion sind diese alternativ die Homotopiegruppen des Thom-Spektrums $\operatorname {MSpin}$ der Spin-Gruppen:

$\Omega _{n}^{\operatorname {Spin} }\cong \pi _{n}\operatorname {MSpin} .$

Spin-Bordismusgruppen bis acht Dimensionen wurden von John Milnor im Jahr 1963 berechnet.

• $\Omega _{0}^{\operatorname {Spin} }\cong \mathbb {Z}$, generiert vom einpunktigen Raum.
• $\Omega _{1}^{\operatorname {Spin} }\cong \mathbb {Z} _{2}$
• $\Omega _{2}^{\operatorname {Spin} }\cong \mathbb {Z} _{2}$
• $\Omega _{3}^{\operatorname {Spin} }\cong 1$
• $\Omega _{4}^{\operatorname {Spin} }\cong \mathbb {Z}$, generiert von der Kummer-Fläche $x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4}=0$.
• $\Omega _{5}^{\operatorname {Spin} }\cong \Omega _{6}^{\operatorname {Spin} }\cong \Omega _{7}^{\operatorname {Spin} }\cong 1$
• $\Omega _{8}^{\operatorname {Spin} }\cong \mathbb {Z} ^{2}$, generiert vom quaternionischen projektiven Raum $\mathbb {H} P^{2}$ und einem aus der Kummer-Fläche berechneten Generator.

Spin-Bordismusring

Alle Spin-Bordismusgruppen können mit der direkten Summe in einer einzigen Struktur kombiniert werden:

$\Omega ^{\operatorname {Spin} }:=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }\Omega _{n}^{\operatorname {Spin} }.$

Mit dem kartesischen Produkt als zusätzlicher Komposition, welche mit der disjunkten Summe das Distributivgesetz erfüllt und daher mit ihr kompatibel ist, sowie dem Raum mit einem Element als entsprechendes neutrales Element ist diese ein Ring, welcher Spin-Bordismusring genannt wird.

Spin-Homologietheorie

$\Omega _{n}^{\operatorname {Spin} }$ definiert eine verallgemeinerte Homologietheorie. Für einen topologischen Raum $X$ sind dessen $n$-Zykel die stetigen Abbildungen $M\rightarrow X$ aus $n$-dimensionalen Spin-Mannigfaltigkeiten $M$. Zwei solche Abbildungen $f\colon M\rightarrow X$ und $g\colon N\rightarrow X$ sind homolog, wenn es einen Spin-Bordismus $W\colon M\rightsquigarrow N$ gibt, welcher $f\sqcup g\colon M\sqcup N\rightarrow X$ zu einer Abbildung $W\rightarrow X$ erweitert. Jede verallgemeinerte Homologietheorie wird durch ein Spektrum repräsentiert, welches in diesem Fall genau $\operatorname {MSpin}$ ist. Für alle topologischen Räume $X$ gibt es daher Gruppenisomorphismen:

$\Omega _{n}^{\operatorname {Spin} }(X)\cong \pi _{n}^{\mathrm {stab} }(X_{+}\wedge \operatorname {MSpin} ):=\lim _{k\rightarrow \infty }\pi _{n+k}(X_{+}\wedge \operatorname {MSpin} (k))$

mit $X_{+}=X\sqcup \{*\}$. Durch den Vergleich mit dem obigen Resultat zeigt sich aufgrund der Neutralität von $\{*\}_{+}\cong S^{0}$ im Wedge-Produkt, dass:

$\Omega _{n}^{\operatorname {Spin} }(*)\cong \Omega _{n}^{\operatorname {Spin} }.$

Literatur

• John Milnor: Spin structures on manifolds. In: Enseignement Math. 9. Jahrgang, Nr. 2, 1963, S. 198–203 (englisch). 

Weblinks

• Spin bordism im Manifold Atlas (englisch)
• spin bordism auf auf nLab (englisch)

Ein String-Bordismus ist ein Bordismus zwischen String-Mannigfaltigkeiten, also glatten Mannigfaltigkeiten mit einer String-Struktur, welche selbst eine String-Mannigfaltigkeit ist, sodass die String-Strukturen kompatibel sind. String-Bordismen können für die Definition einer verallgemeinerten Homologietheorie verwendet werden.

Definition

Eine String-Struktur auf einer glatten Mannigfaltigkeit induziert eine String-Struktur auf ihren Randkomponenten und allgemeiner sogar allen eingebetteten Untermannigfaltigkeiten.

Sei $W$ eine $n$-dimensionale String-Mannigfaltigkeit, also sodass die klassifizierende Abbildung $\tau _{W}\colon W\rightarrow \operatorname {BO} (n)$ ihres Tangentialbündels $TW=\tau _{W}^{*}\gamma _{\mathbb {R} }^{n}$ über die von der kanonischen Projektion $\operatorname {String} (n)\twoheadrightarrow \operatorname {O} (n)$ auf klassifizierenden Räumen induzierten Abbildung faktorisiert und sich dadurch zu einer Abbildung ${\widehat {\tau }}_{W}\colon W\rightarrow \operatorname {BString} (n)$ hebt.

String-Bordismusgruppen

Mit der Äquivalenzrelation des String-Bordismus bilden die $n$-dimensionalen geschlossenen String-Mannigfaltigkeiten eine abelsche Gruppe $\Omega _{n}^{\operatorname {String} }$ mit der disjunkten Vereinigung als Verknüpfung, der leeren Mannigfaltigkeit als neutrales Element und der Umkehr der Orientierung als Inversion. (Spin-Mannigfaltigkeiten sind immer orientierbar.) Mit der Pontrjagin-Thom-Konstruktion sind diese alternativ die Homotopiegruppen des Thom-Spektrums $\operatorname {MString}$ der String-Gruppen:

$\Omega _{n}^{\operatorname {String} }\cong \pi _{n}\operatorname {MString} .$

Spin-Bordismusgruppen bis sechszehn Dimensionen wurden von Vincent Giambalvo im Jahr 1971 berechnet.

• $\Omega _{7}^{\operatorname {String} }\cong 1$
• $\Omega _{8}^{\operatorname {String} }\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} _{2}$, wobei die Torsion von der eindeutigen ($\Theta _{8}\cong \mathbb {Z} _{2}$) achtdimensionalen exotischen Sphäre generiert wird.
• $\Omega _{9}^{\operatorname {String} }\cong \Theta _{9}/bP_{10}\cong \mathbb {Z} _{2}^{2}$ mit der neunten Kervaire-Milnor-Gruppe $\Theta _{9}\cong \mathbb {Z} _{2}^{2}$ von exotischen 9-Sphären und der Untergruppe $bP_{10}\cong 1$ von denen, welche stabil parallelisierbare glatte 10-Mannigfaltigkeiten beranden.
• $\Omega _{10}^{\operatorname {String} }\cong \mathbb {Z} _{6}$, generiert von einer exotischen 10-Sphäre.
• $\Omega _{11}^{\operatorname {String} }\cong 1$
• $\Omega _{12}^{\operatorname {String} }\cong \mathbb {Z}$
• $\Omega _{13}^{\operatorname {String} }\cong \mathbb {Z} _{3}$, generiert von einer exotischen 13-Sphäre.
• $\Omega _{14}^{\operatorname {String} }\cong \mathbb {Z} _{2}$, generiert von der eindeutigen ($\Theta _{14}\cong \mathbb {Z} _{2}$) exotischen 14-Sphäre.
• $\Omega _{15}^{\operatorname {String} }\cong \mathbb {Z} _{2}$, generiert von einer exotischen 15-Sphäre.
• $\Omega _{16}^{\operatorname {String} }\cong \mathbb {Z} ^{2}$

String-Bordismusring

Alle String-Bordismusgruppen können mit der direkten Summe in einer einzigen Struktur kombiniert werden:

$\Omega ^{\operatorname {String} }:=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }\Omega _{n}^{\operatorname {String} }.$

Mit dem kartesischen Produkt als zusätzlicher Komposition, welche mit der disjunkten Summe das Distributivgesetz erfüllt und daher mit ihr kompatibel ist, sowie dem Raum mit einem Element als entsprechendes neutrales Element ist diese ein Ring, welcher String-Bordismusring genannt wird.

String-Homologietheorie

$\Omega _{n}^{\operatorname {String} }$ definiert eine verallgemeinerte Homologietheorie. Für einen topologischen Raum $X$ sind dessen $n$-Zykel die stetigen Abbildungen $M\rightarrow X$ aus $n$dimensionalen String-Mannigfaltigkeiten $M$. Zwei solche Abbildungen $f\colon M\rightarrow X$ und $g\colon N\rightarrow X$ sind homolog, wenn es einen String-Bordismus $W\colon M\rightsquigarrow N$ gibt, welcher $f\sqcup g\colon M\sqcup N\rightarrow X$ zu einer Abbildung $W\rightarrow X$ erweitert. Jede verallgemeinerte Homologietheorie wird durch ein Spektrum repräsentiert, welches in diesem Fall genau $\operatorname {MString}$ ist. Für alle topologischen Räume $X$ gibt es daher Gruppenisomorphismen:

$\Omega _{n}^{\operatorname {String} }(X)\cong \pi _{n}^{\mathrm {stab} }(X_{+}\wedge \operatorname {MString} ):=\lim _{k\rightarrow \infty }\pi _{n+k}(X_{+}\wedge \operatorname {MString} (k))$

mit $X_{+}=X\sqcup \{*\}$. Durch den Vergleich mit dem obigen Resultat zeigt sich aufgrund der Neutralität von $\{*\}_{+}\cong S^{0}$ im Wedge-Produkt, dass:

$\Omega _{n}^{\operatorname {String} }(*)\cong \Omega _{n}^{\operatorname {String} }.$

Literatur

• Vincent Giambalvo: On ⟨8⟩-cobordism. In: Illinois J. Math. 15. Jahrgang, 1971, S. 533–541 (englisch). 

Weblinks

• String bordism im Manifold Atlas (englisch)
• string bordism auf auf nLab (englisch)

Kaluza-Klein-Theorie

Das duale Photon ist ein von einigen Modellen der theoretischen Physik wie etwa der M-Theorie vorhergesagtes hypothetisches Teilchen, welches dem Photon unter der elektrisch-magnetischen Dualität (Montonen-Olive-Dualität) entspricht.

Das duale Graviton ist ein von einigen Modellen der theoretischen Physik wie etwa der elfdimensionalen Supergravitation (D = 11 SUGRA) vorhergesagtes hypothetisches Teilchen, welches dem Graviton unter der elektrisch-magnetischen Dualität (Montonen-Olive-Dualität) entspricht.

Lokalität

Ein lokaler Homöomorphismus ist im mathematischen Teilgebiet der Topologie eine stetige Abbildung, welche nur lokal bei Einschränkungen auf Umgebungen ein Homöomorphismus ist ohne notwendigerweise global einer zu sein.

Eigenschaften

• Lokale Homöomorphismen sind offen.

Weblinks

• local homeomorphism auf nLab (englisch)

Ein lokaler Diffeomorphismus ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialtopologie eine glatte Abbildung, welche nur lokal bei Einschränkungen auf Umgebungen ein Diffeomorphismus ist ohne notwendigerweise global einer zu sein.

Eigenschaften

• Lokale Diffeomorphismen sind lokale Homöomorphismen.

Weblinks

• local homeomorphism auf nLab (englisch)

Identitäten

Die Vandermonde-Identität (auch Chu-Vandermonde-Identität) ist im mathematischen Teilgebiet der Kombinatorik eine Identität für Summen von Binominalkoeffizienten. Die Vandermonde-Identität wird von der q-Vandermonde-Identität und der Rothe-Hagen-Identität verallgemeinert.

Die q-Vandermonde-Identität (auch q-Chu-Vandermonde-Identität) ist im mathematischen Teilgebiet der Kombinatorik eine Identität für Summen von q-Binominalkoeffizienten. Diese verallgemeinert die Vandermonde-Identität durch einen zusätzlich wählbaren Parameter.

Die Rothe-Hagen-Identität ist im mathematischen Teilgebiet der Kombinatorik eine Identität für Summen von Binominalkoeffizienten. Diese verallgemeinert die Vandermonde-Identität durch zusätzlich wählbare Parameter.

K-Theorie

Die Einhängung eines Ringes ist im mathematischen Teilgebiet der Algebraischen K-Theorie eine zur bekannteren Einhängung eines topologischen Raumes analoge Konstruktion. Während hintere den Grad der singulären Kohomologie um eins verschiebt, verschiebt vorderes den Grad der algebraischen K-Theorie ebenfalls um eins.

Das K-Theorie-Spektrum ist im mathematischen Teilgebiet der Algebraischen K-Theorie

Weblinks

• K-theory spectrum auf nLab (englisch)

Die K-Gruppen eines Körpers sind im mathematischen Teilgebiet der Algebraischen K-Theorie

Der Fundamentalsatz der Algebraischen K-Theorie ist

K-Theorie in der Physik ist

Weblinks

• K-theory and physics auf nLab (englisch)

KR-Theorie ist

Getwistete K-Theorie ist

Milnorsche K-Theorie ist

Weblinks

• Milnor K-theory auf nLab (englisch)

Die Milnor-Vermutung aus dem mathematischen Teilgebiet der Algebraischen K-Theorie

Weblinks

• Milnor's conjecture auf nLab (englisch)

Die Karoubi-Vermutung aus dem mathematischen Teilgebiet der K-Theorie

Die Quillensche Q-Konstruktion ist im mathematischen Teilgebiet der Algebraischen K-Theorie eine Konstruktion für Quillen-exakte Kategorien.

Weblinks

• Quillen Q-construction auf nLab (englisch)

Die Waldhausensche S-Konstruktion istim mathematischen Teilgebiet der Algebraischen K-Theorie eine Konstruktion für Waldhausen-Kategorien.

Weblinks

• Waldhausen S-construction auf nLab (englisch)

Lie-Theorie

Ein 𝔰𝔩₂-Tripel ist im mathematischen Teilgebiet der Lie-Theorie, genauer der Theorie der Lie-Algebren, eine Lie-Unteralgebra, welche isomorph zur zweiten speziellen linearen Lie-Algebra ${\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {C} )$ ist. Gemäß des Jacobson-Morozov-Theorems können nilpotente Elemente immer zu 𝔰𝔩₂-Tripeln erweitert werden.

Das Jacobson-Morozov-Theorem ist im mathematischen Teilgebiet der Lie-Theorie, genauer der Theorie der Lie-Algebren, ein Resultat darüber, dass nilpotente Elemente zu 𝔰𝔩₂-Tripeln erweitert werden können.

Das adjungierte Vektorbündel ist in der Kombination aus den mathematischen Teilgebieten der Lie-Theorie und Differentialgeometrie eine Konstruktion, welche einem Hauptfaserbündel (dessen Faser eine Lie-Gruppe ist) ein Vektorbündel zuordnet (dessen Faser die zugehörige Lie-Algebra ist). Dadurch können Beschreibungen beider zueinander übertragen werden. Ein wichtiges Resultat dabei ist, dass der Raum der Zusammenhänge eines Hauptfaserbündel auf dessen Totalraum isomorph zum Raum der vektorbündelwertigen Differentialformen auf deren Basismannigfaltigkeit ist, deren Koeffizienten genau im adjungierten Vektorbündel liegen.

Definition

Sei $G$ eine Lie-Gruppe mit Lie-Algebra ${\mathfrak {g}}$ und $E\twoheadrightarrow B$ ein $G$-Hauptfaserbündel. Es gibt eine kanonische Darstellung von $G$ auf ${\mathfrak {g}}$, genannt die adjungierte Darstellung $\operatorname {Ad} \colon G\rightarrow \operatorname {End} ({\mathfrak {g}})$. Das adjungierte Vektorbündel ist das balancierte Produkt:

$\operatorname {Ad} (E):=E\times _{G}{\mathfrak {g}}:=(E\times {\mathfrak {g}})/\sim$

mit $(e\cdot g,x)\sim (e,\operatorname {Ad} _{g}(x))$ für alle $e\in E$, $x\in {\mathfrak {g}}$ und $g\in G$.

Eine Lie-Algebrawertige Differentialform ist in der Kombination aus den mathematischen Teilgebieten der Lie-Theorie und Differentialgeometrie eine Differentialform mit Koeffizienten aus einer Lie-Algebra. Dabei werden sämtliche Operationen für gewöhnliche Differentialformen wie das Dachprodukt, das Cartan-Differential und der Hodge-Stern-Operator unter zusätzlicher Verwendung der Lie-Klammer verallgemeinert. Besondere Bedeutung hat das Konzept in der Eichtheorie. Lie-Algebrawertige Differentialformen sind Spezialfälle von vektorwertigen Differentialformen, bei welchen die Lie-Klammer fehlt.

Definition

Sei $M$ eine glatte Mannigfaltigkeit und ${\mathfrak {g}}$ eine Lie-Algebra.

$\Omega ^{k}(M,{\mathfrak {g}}):=\Gamma ^{\infty }\left(\Lambda ^{k}T^{*}M\right)\otimes {\mathfrak {g}}=\Gamma ^{\infty }\left(\Lambda ^{k}T^{*}M\otimes {\underline {\mathfrak {g}}}\right)$

Operationen

Dachprodukt

$\left(\sum _{i=1}^{n}\omega _{i}\otimes x_{i}\right)\wedge \left(\sum _{i=1}^{n}\eta _{i}\otimes x_{i}\right)=\sum _{i,j=1}^{n}(\omega _{i}\wedge \eta _{j})\otimes [x_{i},x_{j}]$

Eine wichtige Eigenschaft ist hier, dass das Wedge-Produkt einer Differentialform mit sich selbst aufgrund der Antisymmetrie ihrer Koeffizienten nicht mehr verschwinden muss. Für gewöhnliche Differentialformen ist das immer der Fall. Ein einfaches Beispiel ist die Differentialform $A=\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\in \Omega ^{1}(\mathbb {R} ^{2})$ mit:

$A\wedge A=\underbrace {\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} x} _{=0}+\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y+\underbrace {\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} x} _{=-\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}+\underbrace {\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} y} _{=0}=0$

Für die Differentialform $i\mathrm {d} x\wedge j\mathrm {d} y\in \Omega ^{1}(\mathbb {R} ^{2},{\mathfrak {su}}(2))$ gilt dagegen:

$A\wedge A=\underbrace {[i,i]} _{=0}\underbrace {\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} x} _{=0}+[i,j]\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y+\underbrace {[j,i]} _{=-[i,j]}\underbrace {\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} x} _{=-\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}+\underbrace {[j,j]} _{=0}\underbrace {\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} y} _{=0}=2[i,j]\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y$

Cartan-Differential

$\mathrm {d} \left(\sum _{i=1}^{n}\omega _{i}\otimes x_{i}\right)=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathrm {d} \omega _{i}\otimes x_{i}\right)$

Hodge-Stern-Operator

$\star \left(\sum _{i=1}^{n}\omega _{i}\otimes x_{i}\right)=\left(\sum _{i=1}^{n}\star \omega _{i}\otimes x_{i}\right)$

Eine vektorbündelwertige Differentialform ist in der Kombination aus den mathematischen Teilgebieten der Bündeltheorie und der Differentialgeometrie eine Differentialform mit Koeffizienten in einem Vektorbündel. Dabei werden sämtliche Operationen für gewöhnliche Differentialformen wie das Dachprodukt, das Cartan-Differential und der Hodge-Stern-Operator in Kombination mit Schnitten des Vektorbündels verallgemeinert. Besondere Bedeutung hat das Konzept in der Eichtheorie, wobei dort jedoch allgemeiner Vektorbündel betrachtet werden, deren Fasern sogar Lie-Algebren sind, wie etwa bei das adjungierte Vektorbündel. Dabei werden vektorbündelwertige Differentialformen mit Lie-Algebrawertige Differentialformen kombiniert. Vektorbündelwertige Differentialformen sind Verallgemeinerungen von vektorwertigen Differentialformen, welche sich im Spezialfälle von trivialen Vektorbündeln ergeben.

Dold-Mannigfaltigkeit

Dold-Mannigfaltigkeiten sind spezielle glatte Mannigfaltigkeiten, welche als Repräsentanten von nicht orientieren und orientierten Kobordismusklassen auftreten. Benannt sind Dold-Mannigfaltigkeiten nach Albrecht Dold, welcher diese im Jahr 1956 erstmals einführte. Dadurch wurden Lücken bei der Angabe von Repräsentanten von Kobordismusklassen in der Arbeit von Réne Thom geschlossen, welcher Kobordismen im Jahr 1954 eingeführt hatte.

Definition

$\mathbb {Z} _{2}$ wirkt auf der Sphäre $S^{m}$ durch antipodale Identifikation $x\mapsto -x$ und auf dem komplexen projektiven Raum $\mathbb {C} P^{n}$ durch komplexe Konjugation $z\mapsto {\overline {z}}$. Kombiniert wirkt $\mathbb {Z} _{2}$ dadurch auch auf dem Produkt $S^{m}\times \mathbb {C} P^{n}$ durch $(x,z)\mapsto (-x,{\overline {z}})$, wobei der Quotientenraum:

$P(m,n):=(S^{m}\times \mathbb {C} P^{n})/\mathbb {Z} _{2}$eine Dold-Mannigfaltigkeit ist.

Eigenschaften

• Reelle und komplexe projektive Räume sind Spezialfälle von Dold-Mannigfaltigkeiten durch:

  $P(m,0)=\mathbb {R} P^{m};$

  $P(0,n)=\mathbb {C} P^{n}.$

• $P(1,2)$ generiert die orientierte Kobordismusgruppe $\Omega _{5}^{\operatorname {SO} }\cong \mathbb {Z} _{2}$. Da auch die Wu-Mannigfaltigkeit $\operatorname {SU} (3)/\operatorname {SO} (3)$ diese generiert, sind beide kobordant.

Weblinks

• Dold manifold auf nLab (englisch)

Kurzgeschichten von Greg Egan

Cocoon (englisch für Kokon) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des australischen Schriftstellers Greg Egan, zuerst veröffentlicht XXXX. Die Kurzgeschichte erschien ebenfalls in der Sammlung Luminous im Jahr 1998.

Übersetzung

Die Kurzgeschichte wurde auf Japanisch, Französisch, Griechisch, Spanisch, Tschechisch und Koreanisch übersetzt.

Kritik

Karen Burnham schreibt in Greg Egan (Masters of Modern Science Fiction), dass die Kurzgeschichte eine geradlinige Beschäftigung mit Bioethik aufweist („a straightforward bioethics story“) und die verschiedenen Argumente sowie die politisch aufgeladene Natur solcher Fragen sehr effektiv aufzeigt („develops its different arguments and illustrates the politicized nature of all such questions very effectively“).

Literatur

• Karen Burnham: Greg Egan (Modern Masters of Science Fiction) (= Modern Masters of Science Fiction). University of Illinois Press, 2014, ISBN 978-0-252-03841-9 (englisch). 

Weblinks

• Samuel Adrian Antz/Drafts in der Internet Speculative Fiction Database (englisch)

Seventh Sight (englisch für Siebte Sicht) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des australischen Schriftstellers Greg Egan, zuerst veröffentlicht XXXX.

Kritik

Publishers Weekly schreibt, dass die Kurzgeschichte unerwartet großartig und humanistisch sei („unexpectedly gorgeous and humanistic“).

Weblinks

• Samuel Adrian Antz/Drafts in der Internet Speculative Fiction Database (englisch)

Break my Fall (englisch für Brems meinen Fall) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des australischen Schriftstellers Greg Egan, zuerst veröffentlicht XXXX.

Weblinks

• Samuel Adrian Antz/Drafts in der Internet Speculative Fiction Database (englisch)

Höhere Kategorientheorie

Eine Kategorifizierung ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die XXXX.

Die Grothendieck-Konstruktion ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie eine Konstruktion XXXX.

Weblinks

• Grothendieck construction auf nLab (englisch)

Ein Segal-Raum ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie ein spezieller simplizialer topologischer Raum. In der höheren Kategorientheorie können vollständige Segal-Räume als eine mögliche Modellierung von ∞-Kategorien benutzt werden. Zu anderen Möglichkeiten gehören simpliziale Mengen, simplizial angereicherte Kategorien, topologische Kategorien und Segal-Kategorien. Benannt sind Segal-Räume nach Graeme Segal.

Definition

Sei $\mathbf {Top}$ die Kategorie der topologischen Räume, dann ist $\mathbf {sTop} :=[\Delta ^{\mathrm {op} },\mathbf {Top} ]$ mit der Simplexkategorie $\Delta$ die Kategorie der simplizialen topologischen Räume. Die Kategorie der Segal-Räume ist nun eine Unterkategorie von $\mathbf {sTop}$. Durch Nachkomposition mit dem singulären Funktor $\operatorname {Sing} \colon \mathbf {Top} \rightarrow \mathbf {sSet}$ und dem XXXX $\tau \colon \mathbf {sSet} \rightarrow \mathbf {Cat}$ ergibt sich ein Funktor $\mathbf {sTop} \rightarrow \mathbf {sCat} :=[\Delta ^{\mathrm {op} },\mathbf {Cat} ]$, welcher Segal-Räume auf Segal-Kategorien abbildet und sich dadurch auf deren entsprechende Unterkategorien einschränkt.

Weblinks

• Segal space und complete Segal space auf nLab (englisch)

Eine Segal-Kategorie ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie eine spezielle simpliziale lokal kleine Kategorie. In der höheren Kategorientheorie können diese als eine mögliche Modellierung von ∞-Kategorien benutzt werden. Zu anderen Möglichkeiten gehören simpliziale Mengen, simplizial angereicherte Kategorien, topologische Kategorien und Segal-Räume. Benannt sind Segal-Kategorien nach Graeme Segal.

Definition

Sei $\mathbf {Cat}$ die (nicht lokal kleine) Kategorie der lokal kleinen Kategorien, dann ist $\mathbf {sCat} :=[\Delta ^{\mathrm {op} },\mathbf {Cat} ]$ mit der Simplexkategorie $\Delta$ die Kategorie der simplizialen lokal kleinen Kategorien. Die Kategorie der Segal-Kategorien ist nun eine Unterkategorie von $\mathbf {sCat}$. Durch Nachkomposition mit dem Nerv $N\colon \mathbf {Cat} \rightarrow \mathbf {sSet}$ und der geometrischen Realisierung $|-|\colon \mathbf {sSet} \rightarrow \mathbf {Top}$ ergibt sich ein Funktor $\mathbf {sCat} \rightarrow \mathbf {sTop} :=[\Delta ^{\mathrm {op} },\mathbf {Top} ]$, welcher Segal-Kategorien auf Segal-Räume abbildet und sich dadurch auf deren entsprechende Unterkategorien einschränkt.

Weblinks

• Segal category auf nLab (englisch)

Eine Faserung von simplizialen Mengen ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie ein spezieller Morphismus zwischen simplizialen Mengen mit der Rechtshochhebungseigenschaft bezüglich Horninklusionen.

Weblinks

• right/left Kan fibration auf nLab (englisch)

Eine Kan-Faserung ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie eine spezielle Faserung von simplizialen Mengen, nämlich eine mit der Rechtshochhebungseigenschaft bezüglich aller Horninklusionen.

Kan-Komplexe

Ein Kan-Komplex ist eine simpliziale Menge, für welche der eindeutige terminale Morphismus eine Kan-Faserung ist. Konkret ist also eine simpliziale Menge $X$ ein Kan-Komplex, wenn $X\rightarrow \Delta ^{0}$ eine Kan-Faserung ist, oder äquivalent jeder Morphismus $\Lambda _{k}^{n}\hookrightarrow X$ für $n\geq 1$ und $0\leq k\leq n$ über die kanonische Inklusion $\Lambda _{k}^{n}\hookrightarrow \Delta ^{n}$ faktorisiert.

Jeder Kan-Komplex ist ein ∞-Gruppoid. Sei $X$ ein Kan-Komplex und sei $f\colon x\rightarrow y$ ein $1$-Simplex zwischen $0$-Simplizes $x,y\colon \Delta ^{0}\rightarrow X$. Für den Morphismus $\Lambda _{0}^{2}\rightarrow X$ mit $(0\rightarrow 1)\mapsto f$ und $(0\rightarrow 2)\mapsto \operatorname {id} _{x}$ existiert eine Auffüllung $\Delta ^{2}\rightarrow X$, wobei das Bild von $1\rightarrow 2$ linksinvers zu $f$ ist. Für den Morphismus $\Lambda _{2}^{2}\rightarrow X$ mit $(1\rightarrow 2)\mapsto f$ und $(0\rightarrow 2)\mapsto \operatorname {id} _{y}$ existiert eine Auffüllung $\Delta ^{2}\rightarrow X$, wobei das Bild von $0\rightarrow 1$ rechtsinvers zu $f$ ist.

Jedes ∞-Gruppoid ist ein Kan-Komplex.

Weblinks

• Kan fibration und Kan complex auf nLab (englisch)

Literatur

• Jacob Lurie: Higher Topos Theory. Princeton University Press, 2009, ISBN 978-0-691-14049-0 (englisch, mit.edu [PDF]). 
• Denis-Charles Cisinski: Higher Categories and Homotopical Algebra. Cambridge University Press, 2019, ISBN 978-1-108-47320-0 (englisch, uni-regensburg.de [PDF]). 

Eine stabile ∞-Kategorie ist im mathematischen Teilgebiet der höheren Kategorientheorie eine spezielle ∞-Kategorie.

Weblinks

• stable (infinity,1)-category auf nLab (englisch)

Ein ∞-Topos ist im mathematischen Teilgebiet der höheren Kategorientheorie die Verallgemeinerung eines (1-kategoriellen) Topos, analog wie eine ∞-Kategorie die Verallgemeinerung einer Kategorie ist. Genau wie ein Topos sich ähnlich wie die Kategorie der Prägarben von Mengen auf einem topologischen Raum verhält, verhält sich ein ∞-Topos ähnlich wie die ∞-Kategorie der Prägarben von Räumen auf einer kleinen ∞-Kategorie.

Weblinks

• (infinity,1)-topos und (infinity,1)Topos auf nLab (englisch)

Ein ∞-Gruppoid ist im mathematischen Teilgebiet der höheren Kategorientheorie die Verallgemeinerung eines (1-kategoriellen) Gruppoids, analog wie eine ∞-Kategorie die Verallgemeinerung einer Kategorie ist. Genau wie ein Gruppoid eine nur aus Isomorphismen bestehende Kategorie ist, ist ein ∞-Gruppoid eine nur aus Isomorphismen bestehende ∞-Kategorie.

Gemäß der Homotopiehypothese können ∞-Gruppoide auch als topologische Räume bis auf schwache Homotopieäquivalenz verstanden werden.

Weblinks

• infinity-groupoid auf nLab (englisch)

Die Homotopiehypothese aus dem mathematischen Teilgebiet der höheren Kategorientheorie besagt, dass ∞-Gruppoide auch als topologische Räume bis auf schwache Homotopieäquivalenz verstanden werden können.

Hintergrund

Sei $\mathbf {Top}$ die Kategorie der topologischen Räume und $\mathbf {sSet}$ die Kategorie der simplizialen Mengen. Mit dem singulären Funktor $\operatorname {Sing} \colon \mathbf {Top} \rightarrow \mathbf {sSet}$ und der geometrischen Realisierung $|-|\colon \mathbf {sSet} \rightarrow \mathbf {Top}$ ergibt sich eine Adjunktion $|-|\colon \mathbf {sSet} \leftrightarrows \mathbf {Top} \colon \operatorname {Sing}$ mit $|-|\dashv \operatorname {Sing}$.

Sei $\mathbf {CW}$ die Kategorie der CW-Komplexe und $\mathbf {Kan}$ die Kategorie der Kan-Komplexe. Da der singuläre Funktor stets ein Kan-Komplex und die geometrische Realisierung stets einen CW-Komplex ist, ergibt sich eine Einschränkung $|-|\colon \mathbf {Kan} \leftrightarrows \mathbf {CW} \colon \operatorname {Sing}$ mit $|-|\dashv \operatorname {Sing}$.

Formulierung

Konkret besagt die Homotopiehypothese, dass die ∞-Kategorie der ∞-Gruppoide äquivalent zur simplizialen Lokalisierung der Kategorie der topologischen Räume an den schwachen Homotopieäquivalenzen ist. Bei der Modellierung von ∞-Gruppoiden durch Kan-Komplexe folgt daraus insbesondere das auch aus der CW-Approximation ableitbare Resultat, dass sich jeder schwache Homotopietyp durch eine geometrische Realisierung ausdrücken lässt. Eine allgemeinere Aussage mit Homotopieäquivalenzen gilt nicht, jedoch unter Einschränkung auf XXXX und die Kategorie der CW-Komplexe mithilfe des Satzes von Whitehead.

Weblinks

• homotopy hypothesis auf nLab (englisch)

Stabilisierungshypothese

Die Stabilisierungshypothese aus dem mathematischen Teilgebiet der höheren Kategorientheorie besagt, dass XXXX.

Weblinks

• stabilization hypothesis auf nLab (englisch)

Topologische Gruppentheorie

Eine topologische Halbgruppe ist in der Kombination der mathematischen Teilgebiete der Topologie und Algebra eine Menge, welche sowohl mit der Struktur einer Topologie als auch einer Halbgruppe ausgestattet ist, sodass beide miteinander kompatibel sind.

Kategorie der topologischen Halbgruppen

Die Kategorie der topologischen Halbgruppen wird als $\mathbf {TopHGrp}$ bezeichnet. Es gibt kanonische Vergissfunktoren $\mathbf {TopHGrp} \rightarrow \mathbf {Top}$ und $\mathbf {TopHGrp} \rightarrow \mathbf {HGrp}$ in $\mathbf {Top}$, der Kategorie der topologischen Räume, und $\mathbf {HGrp}$, der Kategorie der Halbgruppen.

Ein topologisches Monoid ist in der Kombination der mathematischen Teilgebiete der Topologie und Algebra eine Menge, welche sowohl mit der Struktur einer Topologie als auch eines Monoides ausgestattet ist, sodass beide miteinander kompatibel sind.

Kategorie der topologischen Monoide

Die Kategorie der topologischen Monoide wird als $\mathbf {TopMon}$ bezeichnet. Ebenfalls üblich ist $\mathbf {Mon} (\mathbf {Top} )$, die Notation für die Kategorie der Monoid-Objekte in $\mathbf {Top}$, der Kategorie der topologischen Räume. Es gibt kanonische Vergissfunktoren $\mathbf {TopMon} \rightarrow \mathbf {Top}$ und $\mathbf {TopMon} \rightarrow \mathbf {Mon}$ in $\mathbf {Top}$, der Kategorie der topologischen Räume, und $\mathbf {Mon}$, der Kategorie der Monoide.

Weblinks

• topological monoid auf nLab (englisch)

Eine topologische abelsche Gruppe ist in der Kombination der mathematischen Teilgebiete der Topologie und Algebra eine Menge, welche sowohl mit der Struktur einer Topologie als auch einer abelschen Gruppe ausgestattet ist, sodass beide miteinander kompatibel sind.

Kategorie der topologischen abelschen Gruppen

Die Kategorie der topologischen abelschen Gruppen wird als $\mathbf {TopAbGrp}$ oder kurz $\mathbf {TopAb}$ bezeichnet. Es gibt kanonische Vergissfunktoren $\mathbf {TopAbGrp} \rightarrow \mathbf {Top}$ und $\mathbf {TopAbGrp} \rightarrow \mathbf {AbGrp}$ in $\mathbf {Top}$, der Kategorie der topologischen Räume, und $\mathbf {AbGrp}$, der Kategorie der abelschen Gruppen.

$\mathbf {TopAbGrp}$ ist keine abelsche Kategorie. Solche kategorientheoretischen Konflikte der Vereinigung von Topologie und Algebra führten zur Entwicklung der verdichteten Mathematik durch Peter Scholze und Dustin Clausen im Jahr 2018.

Weblinks

• topological abelian group auf nLab (englisch)

Ein topologisches Modul ist in der Kombination der mathematischen Teilgebiete der Topologie und Algebra eine Menge, welche sowohl mit der Struktur einer Topologie als auch eines Moduls über einem topologischen Ring ausgestattet ist, sodass beide miteinander kompatibel sind.

Ein Protorus ist in der Kombination der mathematischen Teilgebiete der Topologie und Algebra eine spezielle topologische abelsche Gruppe, deren zugrundeliegende Topologie sowohl kompakt als auch zusammenhängend ist.

Eine lokalkompakte abelsche Gruppe ist in der Kombination der mathematischen Teilgebiete der Topologie und Algebra eine spezielle topologische abelsche Gruppe, dessen zugrundeliegende Topologie ein lokalkompakter Hausdorff-Raum ist.

Weblinks

• locally compact topological group auf nLab (englisch)

Ein lokalkompakte Quantengruppe ist in der Kombination der mathematischen Teilgebiete der Topologie und Algebra eine XXXX.

Ein lokalkompakter Körper ist in der Kombination der mathematischen Teilgebiete der Topologie und Algebra ein spezieller topologischer Körper, dessen zugrundeliegende Topologie ein lokalkompakter Hausdorff-Raum ist.

Weblinks

• topological field auf nLab (englisch)

Homotopietheorie

Die Homotopiehochhebungseigenschaft (abgekürzt HLP für englisch homotopy lifting property) ist im mathematischen Teilgebiet der Algebraischen Topologie eine spezielle über Hochhebungen definierte Eigenschaft stetiger Abbildungen. Über die Eckmann-Hilton-Dualität entspricht die Homotopiehochhebungseigenschaft der Homotopieerweiterungseigenschaft. Beide Eigenschaften beschreiben grob ausgedrückt, wann Homotopien auf größere Räume fortgesetzt werden können.

Eigenschaften

• Kompositionen, Faserprodukte und Retrakte von stetigen Abbildungen mit der Homotopiehochhebungseigenschaft haben wieder die Homotopiehochhebungseigenschaft.

Weblinks

• homotopy lifting property auf nLab (englisch)

Literatur

• Denis-Charles Cisinski: Higher Categories and Homotopical Algebra. Cambridge University Press, 2019, ISBN 978-1-108-47320-0 (englisch, uni-regensburg.de [PDF]). 

Die Homotopieerweiterungseigenschaft (abgekürzt HEP für englisch homotopy extension property) ist im mathematischen Teilgebiet der Algebraischen Topologie eine spezielle über Hochhebungen definierte Eigenschaft stetiger Abbildungen. Über die Eckmann-Hilton-Dualität entspricht die Homotopieerweiterungseigenschaft der Homotopiehochhebungseigenschaft. Beide Eigenschaften beschreiben grob ausgedrückt, wann Homotopien auf größere Räume fortgesetzt werden können.

Eigenschaften

• Kompositionen, Kofaserprodukte und Retrakte von stetigen Abbildungen mit der Homotopieerweiterungseigenschaft haben wieder die Homotopieerweiterungseigenschaft.

Weblinks

• homotopy extension property auf nLab (englisch)Literatur

• Denis-Charles Cisinski: Higher Categories and Homotopical Algebra. Cambridge University Press, 2019, ISBN 978-1-108-47320-0 (englisch, uni-regensburg.de [PDF]). 

Die Homotopieausschneidungseigenschaft ist im mathematischen Teilgebiet der Algebraischen Topologie ein zum Ausschneidungsaxiom der axiomatischen Homologie analoges Resultat für Homotopie. Es folgt aus der allgemeinen Formulierung des Blakers-Massey-Theorems und impliziert selbst den Freudenthalschen Einhängungssatz.

Fluiddynamik

Ein Beltrami-Vektorfeld ist im mathematischen Teilgebiet der Vektoranalysis ein spezielles Vektorfeld, welches parallel zur eigenen Rotation ist. (Senkrecht zur eigenen Rotation zu sein führt dagegen auf ein komplex lamellares Vektorfeld.) Benannt sind Beltrami-Vektorfelder nach Eugenio Beltrami.

Definition

Ein Vektorfeld $\mathbf {A} \in {\mathfrak {X}}(\mathbb {R} ^{3})$, also eine glatte Funktion $\mathbf {A} \colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$, für welche:

$(\nabla \times \mathbf {A} )\times \mathbf {A} =\mathbf {0}$

ist ein Beltrami-Vektorfeld. Alternativ gibt es eine glatte Funktion $f\colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R}$ mit:

$\nabla \times \mathbf {A} =f\mathbf {A} .$

Eigenschaften

Ist ein Beltrami-Vektorfeld $\mathbf {A}$ zusätzlich quellenfrei mit $\nabla \cdot \mathbf {A} =\mathbf {0}$, dann gilt weiter:

$\Delta \mathbf {A} =\nabla \underbrace {(\nabla \cdot \mathbf {A} )} _{=0}-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )=-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )=-\nabla \times (f\mathbf {A} ).$

Ist die Funktion $f$ zusätzlich konstant, dann gilt weiter:

$\Delta \mathbf {A} =-\nabla \times (\lambda \mathbf {A} )=-\lambda \nabla \times \mathbf {A} =-\lambda ^{2}\mathbf {A} .$

Ein komplexes lamellares Vektorfeld ist im mathematischen Teilgebiet der Vektoranalysis ein spezielles Vektorfeld, welches senkrecht zur eigenen Rotation ist. (Parallel zur eigenen Rotation zu sein führt dagegen auf ein Beltrami-Vektorfeld.)

Definition

Ein Vektorfeld $\mathbf {A} \in {\mathfrak {X}}(\mathbb {R} ^{3})$, also eine glatte Funktion $\mathbf {A} \colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$, für welche:

$(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {A} =\mathbf {0}$

ist ein komplexes lamellares Vektorfeld.

Das magnetische Skalarpotential ist in der Elektrodynamik, einem Teilgebiet der Physik, eine für die Beschreibung spezieller Magnetfelder nützliche Hilfsgröße.

Beschreibung

Für ein stationäres elektromangetisches Feld mit verschwindender elektrischer Stromdichte, also mit $\mathbf {j} =\mathbf {0}$und ${\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=\mathbf {0}$, wie es etwa bei gewöhnlichen Magneten der Fall ist, folgt mit dem Ampéreschen Gesetz (vierte Maxwell-Gleichung) $\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$ direkt:

$\nabla \times \mathbf {B} =\mathbf {0} .$

Gemäß der Helmholtz-Zerlegung existiert daher ein Skalarfeld $\psi$ mit:

$\mathbf {B} =\nabla \psi ,$

welches magnetisches Skalarpotential genannt wird.

Literatur

• W.J. Duffin: Electricity and Magnetism, Fourth Edition. McGraw-Hill, 1980, ISBN 0-07-084111-X (englisch). 

• Jack Vanderlinde: Classical Electromagnetic Theory. 2005, ISBN 1-4020-2699-4, doi:10.1007/1-4020-2700-1 (englisch, cern.ch). 

Ein Beltrami-Fluss ist in der Fluiddynamik, einem Teilgebiet der Physik, ein spezieller Fluss, deren Geschwindigkeit und Wirbelstärke (Rotation der Geschwindigkeit) parallel zueinander sind. Benannt sind Beltrami-Flüsse nach Eugenio Beltrami.

Der Lamb-Vektor ist in der Fluiddynamik, einem Teilgebiet der Physik, das Kreuzprodukt von Geschwindigkeit und Wirbelstärke (Rotation der Geschwindigkeit) des Fluids. Benannt ist der Lamb-Vektor nach Horace Lamb.

Die Wirbelstärkengleichung ist in der Fluiddynamik, einem Teilgebiet der Physik, eine Gleichung zur Beschreibung der Zeitentwicklung der Wirbelstärke.

${\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial t}}=\nabla \times {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}=\nabla \times \left(-(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} -{\frac {\nabla p}{\rho }}-{\frac {\mu \Delta \mathbf {v} }{\rho }}+{\frac {(\lambda +\mu )\nabla (\mathbf {v} \cdot \nabla )}{\rho }}+{\frac {\mathbf {f} }{\rho }}\right)={\boldsymbol {\omega }}(\nabla \cdot \mathbf {v} )-({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla )\mathbf {v} -(\nabla \cdot \mathbf {v} ){\boldsymbol {\omega }}-{\frac {\nabla \rho \times \nabla p}{\rho }}-{\frac {\mu \Delta \nabla \times \mathbf {v} }{\rho }}+{\frac {\mu \nabla \rho \times \Delta \mathbf {v} }{\rho ^{2}}}-{\frac {(\lambda +\mu )\nabla \rho \times \nabla (\nabla \cdot \mathbf {v} )}{\rho ^{2}}}+\nabla \times {\frac {\mathbf {f} }{\rho }}$

Die barotropische Wirbelstärkengleichung ist in der Fluiddynamik, einem Teilgebiet der Physik, eine Gleichung zur Beschreibung der Zeitentwicklung der Wirbelstärke.

Die vektorwertigen Kugelflächenfunktionen sind

Ein Burgers-Wirbel (oder Burgers-Rott-Wirbel) ist in der Fluiddynamik, einem Teilgebiet der Physik, eine exakte Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen. Gefunden wurde der Burgers-Wirbel von Jan Burgers im Jahr 1948 und später untersucht von Nicholas Rott im Jahr 1958.

Ein Kerr-Dold-Wirbel ist in der Fluiddynamik, einem Teilgebiet der Physik, eine exakte Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen. Gefunden wurde der Kerr-Dold-Wirbel von Oliver S. Kerr und John W. Dold im Jahr 1994.

Ein Sullivan-Wirbel ist in der Fluiddynamik, einem Teilgebiet der Physik, eine exakte Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen. Gefunden wurde der Sullivan-Wirbel von Roger D. Sullivan im Jahr 1959.

Ein Batchelor-Wirbel ist in der Fluiddynamik, einem Teilgebiet der Physik, eine approximative aber nicht exakte Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen. Erstmals beschrieben und benannt wurde der Batchelor-Wirbel vom australischen Mathematiker und Physiker George Keith Batchelor im Jahr 1964.

Weblinks

• Continuous spectra of the Batchelor vortex (geschrieben von Xueri Mao und Spencer Sherwin, veröffentlicht vom Imperial College London)

Ein Taylor-Green-Wirbel ist in der Fluiddynamik, einem Teilgebiet der Physik, eine exakte Lösung der inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten. Gefunden wurde der Taylor-Green-Wirbel vom britischen Mathematiker und Physiker Geoffrey Ingram Taylor und Albert Edward Green im Jahr 1937.

Kurzgeschichten

Ein zugriffssicheres Schließfach ist

Handlung

Ein Mann wacht jeden Tag in einem neuen Körper auf. Dieser ist immer männlich, in einem bestimmten Altersumfeld und der gleichen Stadt. In vielerlei Hinsicht fehlt es seinem Leben an Bedeutung, da etwa die Pflege seines Körpers sinnlos ist. Während seiner Kindheit brauchte er eine Weile um herauszufinden, dass andere Menschen nicht so leben. Ein Experiment eines Neurochirurgen wird als Ursache des Phänomens angenommen. Da der Mann jedoch stets in der gleichen Stadt wohnt, hat er ein zugriffssicheres Schließfach in ihrem Zentrum eingerichtet, um vergangene Erlebnisse aufzuschreiben. Er träumt davon, einen Namen zu haben, der wirklich nur ihm gehört.

Wahre Liebe ist

Handlung

Nach einem schrecklichen Autounfall, welcher den Körper ihres Ehemannes Chris Perrini vollkommen zerschmettert, wird seiner Ehefrau eine seltsame Lösung zur Wiederherstellung seines früheren Lebens angeboten, da ihre Versicherung nur die billigste Möglichkeit abdeckt: Indem sein Gehirn von einer mit Flüssigkeit gefüllten Membran umschlossen und in ihrer Gebärmutter an ihren Blutkreislauf angebunden wird, kann es am Leben gehalten werden, während ein neuer Körper für ihn geklont wird. Der Prozess dauert insgesamt zwei Jahre. Chris wacht in seinem neuen Körper auf und drückt Carla seine Liebe aus. Während sie jedoch zusammen schlafen, bemerkt Carla, dass sie ihn nun durch die falsche Schwangerschaft und seinen jugendlichen Körper wie einen Sohn liebt.

Lost Continent ist

Handlung

Ali und seine Freunde sind Zeitreisende, die auf einem neuen Kontinent nach Asyl suchen. Doch die Bürokratie behandelt sie mehr wie Nummern als Menschen und schließt sie sogar während ihres Interviews in Camps ein, was nach anderen Geflüchteten viele Monate dauern kann. Niemand weiß, wann das eigene Interview endlich stattfinden wird und selbst danach folgt nur der Aufstieg vom ersten zum zweiten Schritt des Bewerbungsprozesses. Nach einigen Monaten im Camp kommt eine Gruppe an Aktivisten für eine Demonstration, welche zwar gewaltätig von der Polizei aufgelöst wird, aber trotzdem ihre Nachricht ins Camp bringen können: Wenn sie ihre Nummern den Aktivisten geben, werden sie Briefe von ihnen erhalten. Ali und seine Freunde schreiben ihre Nummern, alles was sie für die Autoritäten des Camps sind, auf ein Papier und werfen es gebunden an einen Stein über den Zaun, wo es von einem anschließend zurückwinkenden Aktivisten aufgesammelt wird. Nun da ihnen endlich eine Behandlung wie Menschen bevorsteht, finden Ali und seine Freunde trotz des totalen Chaos um sie herum wieder etwas Hoffnung.

Morphotrophic

Morphotrophic (deutsch Morphotrophisch) ist ein Science-Fiction-Roman des australischen Schriftstellers Greg Egan, veröffentlicht im Jahr 2024.

Weblinks

• Samuel Adrian Antz/Drafts in der Internet Speculative Fiction Database (englisch)
• Webseite von Greg Egan

Der Mann, der Zahlen liebte

Der Mann, der Zahlen liebte (englisch The Man Who Loved Only Numbers: The Story of Paul Erdős and the Search for Mathematical Truth) ist eine Biographie über den ungarischen Mathematiker Paul Erdős vom US-amerikanischen Wissenschaftsautor Paul Hoffman. In dessen Worten ist es ein Werk mündlicher Geschichte aus den Erzählungen von Kollegen und deren Partnern ("a work in oral history based on the recollections of Erdős, his collaborators and their spouses"). Veröffentlicht wurde das Buch am 15. Juli 1998 von Hyperion Books. Paul Erdős selbst starb am 20. September 1996 und erlebte die Veröffentlichung daher selbst nicht mehr, wobei auf Feiern danach über ihn geteilte Erinnerungen auch im Buch enthalten sind. Darüber hinaus erklärt dieses auch einige mathematische Probleme und die Geschichten anderer Mathematiker wie Ronald Graham.

Kategorientheorie

Das Gabriel-Popescu-Theorem ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie ein Resultat über Einbettungen für bestimmte abelsche Kategorien, welches von Pierre Gabriel and Nicolae Popescu im Jahr 1964 bewiesen wurde.

Eine Grothendieck-Kategorie ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie eine spezielle abelsche Kategorie. Grothendieck-Kategorien wurden nach Alexander Grothendieck benannt, welcher diese in seinem Tohoku-Paper aus dem Jahr 1957 eingeführt hat. Gemäß dessen Beschreibungen sind Grothendieck-Kategorien genau AB5-Kategorien mit einem Generator.

Beispiele

Für einen Ring $R$ ist die Kategorie $\mathbf {Mod} _{R}$ der $R$-Moduln eine Grothendieck-Kategorie. Insbesondere für einem Körper $\mathbb {K}$ ist daher die Kategorie $\mathbf {Vect} _{\mathbb {K} }$ der $\mathbb {K}$-Vektorräume eine Grothendieck-Kategorie. Für eine Grothendieck-Kategorie ${\mathcal {A}}$ ist die Kategorie $\mathbf {Ch} ({\mathcal {A}})$ der Kettenkomplexe ebenfalls eine Grothendieck-Kategorie. Für eine kleine abelsche Kategorie ${\mathcal {A}}$ ist die Kategorie $\mathbf {Ind} ({\mathcal {A}})$ ihrer Ind-Objekte eine Grothendieck-Kategorie.

Literatur

• Alexander Grothendieck: Sur quelques points d'algèbre homologique. In: Tohoku Mathematical Journal (= Second Series). 9. Jahrgang, 1957, ISSN 0040-8735, S. 119–221, doi:10.2748/tmj/1178244839 (französisch, projecteuclid.org). 

Ein Anafunktor ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie

Ein Profunktor ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie

Ein Pseudofunktor ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie

Eine gefaserte Kategorie ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie eine spezielle Kategorie

Eine gefilterte Kategorie ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie eine spezielle Kategorie

Eine freie Kategorie ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie eine spezielle Kategorie

Das Dichtetheorem ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie ein Resultat über Prägarben von Mengen, nämlich dass es stets eine kanonische Darstellung als Limes von darstellbaren Prägarben gibt.

Homogene elektromagnetische Wellengleichung

Die homogene elektromagnetischen Wellengleichung ist in der Elektrodynamik eine aus den Maxwell-Gleichungen folgende partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung für die Propagation elektromagnetischer Strahlung ohne Quellen. Mathematisch hat diese die Struktur einer homogenen dreidimensionalen Wellengleichung.

Inhomogene elektromagnetische Wellengleichung

Die inhomogene elektromagnetischen Wellengleichung ist in der Elektrodynamik eine aus den Maxwell-Gleichungen folgende partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung für die Propagation elektromagnetischer Strahlung mit Quellen. Mathematisch hat diese die Struktur einer inhomogenen dreidimensionalen Wellengleichung.

Schwarzschild-De-Sitter-Metrik

Die Schwarzschild-De-Sitter-Metrik (kurz SdS-Metrik, $\Lambda >0$) und Schwarzschild-Anti-De-Sitter-Metrik (kurz SAdS-Metrik, $\Lambda <0$) sind in der Allgemeinen Relativitätstheorie jeweils Verallgemeinerungen der Schwarzschild-Metrik ($\Lambda =0$) unter zusätzlicher Berücksichtigung von dunkler Energie, beschrieben durch die kosmologische Konstante $\Lambda$. Im Vakuum sind diese daher spezielle Lambdavakuumlösungen, also Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen mit verschwindendem Feldstärketensor und mit dunkler Energie. Im Gegensatz zur Schwarzschild-Metrik gibt es in der Schwarzschild-De-Sitter-Metrik eine Obergrenze für den Radius eines Schwarzen Loches, wobei dieser Fall als Nariai-Metrik bekannt ist.

Die Schwarzschild-(Anti)-De-Sitter-Metrik wird von der Reissner-Nordström-(Anti)-De-Sitter-, Kerr-(Anti)-De-Sitter-Metrik und Kerr-Newman-(Anti)-De-Sitter-Metrik verallgemeinert.

Formulierung der Metrik

Mit der Masse $M$ und der kosmologischen Konstante $\Lambda$ ist die Schwarzschild-(Anti)-De-Sitter-Metrik gegeben durch:

$\mathrm {d} ^{2}s=\left(1-{\frac {2M}{r}}-{\frac {\Lambda }{3}}r^{2}\right)\mathrm {d} ^{2}t+\left(1-{\frac {2M}{r}}-{\frac {\Lambda }{3}}r^{2}\right)^{-1}\mathrm {d} ^{2}r+r^{2}\mathrm {d} \Omega .$

Singularitäten der Metrik

Die Schwarzschild-(Anti)-De-Sitter-Metrik wird singulär (die entsprechende Matrixdarstellung nicht mehr invertierbar) für:

$f(r):=g_{tt}(r)=g_{rr}(r)^{-1}={\frac {\Lambda }{3}}r^{3}-r+2M\;{\stackrel {!}{=}}\;0.$

Es gilt $f(0)>0$. Für $\Lambda <0$ (AdS) ist $\lim _{r\rightarrow \infty }f(r)=-\infty$, weshalb des wegen des Zwischenwertsatzes mindestens eine Nullstelle für $r>0$ gibt. Für $\Lambda >0$ (dS) ist $\lim _{r\rightarrow -\infty }f(r)=-\infty$, weshalb des wegen des Zwischenwertsatzes mindestens eine Nullstelle für $r<0$ gibt, welche jedoch aufgrund der physikalischen Bedeutung des Radius nicht relevant ist.

Für XXXX sind die beiden Lösungen dabei der Radius des Ereignishorizont des Schwarzen Loches sowie der kosmologische Radius. Für XXXX fallen die beiden Horizonte dabei zusammen.

• Es gilt $f'(r)=\Lambda r^{2}-1$, also gibt es lokale Extrema bei $r=\pm {\sqrt {1/\Lambda }}$.
• Es gilt $f''(r)=2\Lambda r$, also gibt es einen Krümmungswechsel bei $r=0$.

XXXX

$f\left({\sqrt {1/\Lambda }}\right)=-{\frac {2}{3}}{\sqrt {\frac {1}{\Lambda }}}+2M\;{\stackrel {!}{=}}\;0\Rightarrow M={\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {2}{\Lambda }}}.$

Reissner-Nordström-De-Sitter-Metrik

Die Reissner-Nordström-De-Sitter-Metrik (kurz RNdS-Metrik, $\Lambda >0$) und Reissner-Nordström-Anti-De-Sitter-Metrik (kurz RNAdS-Metrik, $\Lambda <0$) sind in der Allgemeinen Relativitätstheorie jeweils Verallgemeinerungen der Reissner-Nordström-Metrik ($\Lambda =0$) unter zusätzlicher Berücksichtigung von dunkler Energie, beschrieben durch die kosmologische Konstante $\Lambda$. Außerhalb von Materie sind diese daher spezielle Elektrovakuumlösungen, also Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen mit dem elektromagnetischem Feldstärketensor als Quelle des Gravitationsfeldes und mit dunkler Energie.

Die Reissner-Nordström-(Anti)-De-Sitter-Metrik verallgemeinert die Schwarzschild-(Anti)-De-Sitter-Metrik und wird selbst von der Kerr-Newman-(Anti)-De-Sitter-Metrik verallgemeinert.

Formulierung der Metrik

Mit der Masse $M$, der elektrischen Ladung $Q$ und der kosmologischen Konstante $\Lambda$ ist die Reissner-Nordström-(Anti)-De-Sitter-Metrik gegeben durch:

$\mathrm {d} ^{2}s=\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}-{\frac {\Lambda }{3}}r^{2}\right)\mathrm {d} ^{2}t+\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}-{\frac {\Lambda }{3}}r^{2}\right)^{-1}\mathrm {d} ^{2}r+r^{2}\mathrm {d} \Omega .$

Singularitäten der Metrik

Die Reissner-Nordström-(Anti)-De-Sitter-Metrik wird singulär (die entsprechende Matrixdarstellung nicht mehr invertierbar) für:

$f(r)=g_{tt}(r)=g_{rr}(r)^{-1}={\frac {\Lambda }{3}}r^{4}-r^{2}+2Mr-Q^{2}\;{\stackrel {!}{=}}\;0.$

Es gilt $f(0)<0$. Für $\Lambda <0$ (AdS) ist $\lim _{r\rightarrow \pm \infty }f(r)=-\infty$, womit aus dem Zwischenwertsatz keine Nullstelle gefolgert werden kann. Für geeignete Werte, etwa bei einer kleinen Masse $M$, einer großen Ladung $Q$ und einer großen kosmologische Konstante $\Lambda$, gibt es überhaupt keine Nullstelle und die ganze Funktion ist negativ. Für $\Lambda >0$ (dS) ist $\lim _{r\rightarrow \pm \infty }f(r)=\infty$, weshalb des wegen des Zwischenwertsatzes mindestens eine Nullstelle für $r<0$ gibt, welche jedoch aufgrund der physikalischen Bedeutung des Radius nicht relevant ist, und mindestens eine Nullstelle für $r>0$.

• Es gilt $f'(r)={\frac {4\Lambda }{3}}r^{3}-2r+2M$
• Es gilt $f''(r)=4\Lambda r^{2}-2$, also gibt es für $\Lambda <0$ keinen Krümmungswechsel und für $\Lambda >0$ zwei Krümmungswechsel bei $r=\pm {\sqrt {2/\Lambda }}$.

XXXX:

$f'\left({\sqrt {2/\Lambda }}\right)={\frac {2}{3}}{\sqrt {\frac {2}{\Lambda }}}+2M\;{\stackrel {!}{=}}\;0\Rightarrow M={\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {2}{\Lambda }}}.$

Kerr-De-Sitter-Metrik

Die Kerr-De-Sitter-Metrik (kurz KdS-Metrik, $\Lambda >0$) und Kerr-Anti-De-Sitter-Metrik (kurz KAdS-Metrik, $\Lambda <0$) sind in der Allgemeinen Relativitätstheorie jeweils Verallgemeinerungen der Kerr-Metrik ($\Lambda =0$) unter zusätzlicher Berücksichtigung von dunkler Energie, beschrieben durch die kosmologische Konstante $\Lambda$. Im Vakuum sind diese daher spezielle Lambdavakuumlösungen, also Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen mit verschwindendem Feldstärketensor und mit dunkler Energie.

Die Kerr-(Anti)-De-Sitter-Metrik verallgemeinert die Schwarzschild-(Anti)-De-Sitter-Metrik und wird selbst von der Kerr-Newman-(Anti)-De-Sitter-Metrik verallgemeinert.

Formulierung der Metrik

Mit der Masse $M$, dem Drehimpuls $a$ und der kosmologischen Konstante $\Lambda$ ist die Kerr-Newman-(Anti)-De-Sitter-Metrik gegeben durch:

$g_{\rm {tt}}=-{\frac {3\left(a^{2}\sin ^{2}\theta \left(a^{2}\Lambda \cos ^{2}\theta +3\right)+a^{2}\left(\Lambda r^{2}-3\right)+\Lambda r^{4}-3r^{2}+6r\right)}{\left(a^{2}\Lambda +3\right)^{2}\left(a^{2}\cos ^{2}\theta +r^{2}\right)}}$

$g_{\rm {rr}}=3{\frac {a^{2}\cos ^{2}\theta +r^{2}}{\left(a^{2}+r^{2}\right)\left(\Lambda r^{2}-3\right)+6r}}$

$g_{\rm {\theta \theta }}=-{\frac {3\left(a^{2}\cos ^{2}\theta +r^{2}\right)}{a^{2}\Lambda \cos ^{2}\theta +3}}$

$g_{\rm {\phi \phi }}=-{\frac {3\left(\left(a^{2}+r^{2}\right)^{2}\sin ^{2}\theta \left(a^{2}\Lambda \cos ^{2}\theta +3\right)-a^{2}\sin ^{4}\theta \left(\left(a^{2}+r^{2}\right)\left(3-\Lambda r^{2}\right)-6r\right)\right)}{\left(a^{2}\Lambda +3\right)^{2}\left(a^{2}\cos ^{2}\theta +r^{2}\right)}}$

$g_{\rm {t\phi }}={\frac {3a\sin ^{2}\theta \left(a^{2}\Lambda \left(a^{2}+r^{2}\right)\cos ^{2}\theta +a^{2}\Lambda r^{2}+\Lambda r^{4}+6r\right)}{\left(a^{2}\Lambda +3\right)^{2}\left(a^{2}\cos ^{2}\theta +r^{2}\right)}}$

Kerr-Newman-De-Sitter-Metrik

Abbildung von Ereignishorizonten und Ergosphären in der KNdS-Metrik für verschiedene Verhältnisse von Masse und kosmologischer Konstante

Die Kerr-Newman-De-Sitter-Metrik (kurz KNdS-Metrik, $\Lambda >0$) und Kerr-Newman-Anti-De-Sitter-Metrik (kurz KNAdS-Metrik, $\Lambda <0$) sind in der Allgemeinen Relativitätstheorie jeweils Verallgemeinerungen der Kerr-Newman-Metrik ($\Lambda =0$) unter zusätzlicher Berücksichtigung von dunkler Energie, beschrieben durch die kosmologische Konstante $\Lambda$. Außerhalb von Materie sind diese daher spezielle Elektrovakuumlösungen, also Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen mit dem elektromagnetischem Feldstärketensor als Quelle des Gravitationsfeldes und mit dunkler Energie.

Die Kerr-New-(Anti)-De-Sitter-Metrik verallgemeinert die Schwarzschild-(Anti)-De-Sitter-, Reissner-Nordström-(Anti)-De-Sitter- und Kerr-(Anti)-De-Sitter-Metrik.

Formulierung der Metrik

Mit der Masse $M$, der elektrischen Ladung $Q$, dem Drehimpuls $a$ und der kosmologischen Konstante $\Lambda$ ist die Kerr-Newman-(Anti)-De-Sitter-Metrik gegeben durch:

$g_{\rm {tt}}=-{\frac {3\left(a^{2}\sin ^{2}\theta \left(a^{2}\Lambda \cos ^{2}\theta +3\right)+a^{2}\left(\Lambda r^{2}-3\right)+\Lambda r^{4}-3r^{2}+6r-3Q^{2}\right)}{\left(a^{2}\Lambda +3\right)^{2}\left(a^{2}\cos ^{2}\theta +r^{2}\right)}}$

$g_{\rm {rr}}=3{\frac {a^{2}\cos ^{2}\theta +r^{2}}{\left(a^{2}+r^{2}\right)\left(\Lambda r^{2}-3\right)+6r-3Q^{2}}}$

$g_{\rm {\theta \theta }}=-{\frac {3\left(a^{2}\cos ^{2}\theta +r^{2}\right)}{a^{2}\Lambda \cos ^{2}\theta +3}}$

$g_{\rm {\phi \phi }}=-{\frac {3\left(\left(a^{2}+r^{2}\right)^{2}\sin ^{2}\theta \left(a^{2}\Lambda \cos ^{2}\theta +3\right)-a^{2}\sin ^{4}\theta \left(\left(a^{2}+r^{2}\right)\left(3-\Lambda r^{2}\right)-6r+3Q^{2}\right)\right)}{\left(a^{2}\Lambda +3\right)^{2}\left(a^{2}\cos ^{2}\theta +r^{2}\right)}}$

$g_{\rm {t\phi }}={\frac {3a\sin ^{2}\theta \left(a^{2}\Lambda \left(a^{2}+r^{2}\right)\cos ^{2}\theta +a^{2}\Lambda r^{2}+\Lambda r^{4}+6r-3Q^{2}\right)}{\left(a^{2}\Lambda +3\right)^{2}\left(a^{2}\cos ^{2}\theta +r^{2}\right)}}$

Algebraische Quantenfeldtheorie

Algebraische Quantenfeldtheorie (kurz AQFT für englisch algebraic quantum field theory)

Literatur

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• Romeo Brunetti, Klaus Fredenhagen, Rainer Verch: The Generally Covariant Locality Principle – A New Paradigm for Local Quantum Field Theory. In: Communications in Mathematical Physics. 237. Jahrgang, Nr. 1–2, 2003, S. 31–68, doi:10.1007/s00220-003-0815-7, arxiv:math-ph/0112041, bibcode:2003CMaPh.237...31B (englisch, springer.com). 
• Romeo Brunetti, Michael Dütsch, Klaus Fredenhagen: Perturbative Algebraic Quantum Field Theory and the Renormalization Groups. In: Advances in Theoretical and Mathematical Physics. 13. Jahrgang, Nr. 5, 2009, S. 1541–1599, doi:10.4310/ATMP.2009.v13.n5.a7, arxiv:0901.2038 (englisch, inspirehep.net). 
• Christian Bär, Klaus Fredenhagen (Hrsg.): Quantum Field Theory on Curved Spacetimes: Concepts and Mathematical Foundations (= Lecture Notes in Physics. Band 786). Springer, 2009, ISBN 978-3-642-02780-2, doi:10.1007/978-3-642-02780-2 (englisch, springer.com). 
• Romeo Brunetti, Claudio Dappiaggi, Klaus Fredenhagen (Hrsg.): Advances in Algebraic Quantum Field Theory (= Mathematical Physics Studies). Springer, 2015, ISBN 978-3-319-21353-8, doi:10.1007/978-3-319-21353-8 (englisch, springer.com). 
• Kasia Rejzner: Perturbative Algebraic Quantum Field Theory: An Introduction for Mathematicians (= Mathematical Physics Studies). Springer, 2016, ISBN 978-3-319-25901-7, doi:10.1007/978-3-319-25901-7, arxiv:1208.1428 (englisch, springer.com). 
• Thomas-Paul Hack: Cosmological Applications of Algebraic Quantum Field Theory in Curved Spacetimes (= SpringerBriefs in Mathematical Physics. Band 6). Springer, 2016, ISBN 978-3-319-21894-6, doi:10.1007/978-3-319-21894-6, arxiv:1506.01869 (englisch, springer.com). 
• Michael Dütsch: From Classical Field Theory to Perturbative Quantum Field Theory (= Progress in Mathematical Physics. Band 74). Birkhäuser, 2019, ISBN 978-3-03004738-2, doi:10.1007/978-3-030-04738-2 (englisch, springer.com). 
• Donald Yau: Homotopical Quantum Field Theory. World Scientific, 2019, ISBN 978-981-12-1287-1, doi:10.1142/11626, arxiv:1802.08101 (englisch, worldscientific.com). 
• Mykola Dedushenko: Snowmass white paper: The quest to define QFT. In: International Journal of Modern Physics A. 38. Jahrgang, 4n05, 2023, doi:10.1142/S0217751X23300028, arxiv:2203.08053 (englisch). 

Nichtkommutative Quantenfeldtheorie

Nichtkommutative Quantenfeldtheorie (kurz NCQFT für englisch noncommutative quantum field theory)

Literatur

• Gerhard Grensing: Structural Aspects of Quantum Field Theory and Noncommutative Geometry. World Scientific, 2013, ISBN 978-981-4472-69-2, doi:10.1142/8771 (englisch). 
• M. R. Douglas and N. A. Nekrasov, (2001). Noncommutative field theory. Rev. Mod. Phys., 73(4), 977.
• Richard J. Szabo (2003) "Quantum Field Theory on Noncommutative Spaces," Physics Reports 378: 207-99. An expository article on noncommutative quantum field theories.
• Noncommutative quantum field theory, see statistics on arxiv.org
• Valter Moretti (2003), "Aspects of noncommutative Lorentzian geometry for globally hyperbolic spacetimes," Rev. Math. Phys. 15: 1171-1218. An expository paper (also) on the difficulties to extend non-commutative geometry to the Lorentzian case describing causality

Quantenfeldtheorie in gekrümmter Raumzeit

Quantenfeldtheorie in gekrümmter Raumzeit (kurz QFTCS für englisch quantum field theory in curved spacetime)

Klein-Gordon-Gleichung in gekrümmter Raumzeit

Eine Verallgemeinerung der Klein-Gordon-Gleichung zur Beschreibung von Teilchen mit Spin 0 auf eine gekrümmte Raumzeit ist mithilfe des Kovarianzprinzips möglich:

$\square \psi =-\eta ^{\alpha \beta }\partial _{\alpha }\partial _{\beta }\psi \rightsquigarrow -g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\psi =-g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\partial _{\nu }\psi =-g^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\psi +g^{\mu \nu }\Gamma _{\mu \nu }^{\sigma }\partial _{\sigma }\psi =\square \psi +\Gamma ^{\sigma }\partial _{\sigma }\psi .$

Dirac-Gleichung in gekrümmter Raumzeit

Eine Verallgemeinerung der Dirac-Gleichung zur Beschreibung von Teilchen mit Spin 1/2 auf eine gekrümmte Raumzeit ist mithilfe des Kovarianzprinzips möglich:

$\gamma ^{\alpha }\partial _{\alpha }\psi \rightsquigarrow \gamma ^{\mu }\nabla _{\mu }\psi =\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi .$

Literatur

• N. D. Birrell, P. C. W. Davies: Quantum fields in curved space. CUP, 1982, ISBN 0-521-23385-2 (englisch). 
• S. A. Fulling: Aspects of quantum field theory in curved space-time. CUP, 1989, ISBN 0-521-34400-X (englisch). 
• V. Mukhanov, S. Winitzki: Introduction to Quantum Effects in Gravity. CUP, 2007, ISBN 978-0-521-86834-1 (englisch). 
• L. Parker, D. Toms: Quantum Field Theory in Curved Spacetime. Cambridge University Press, 2009, ISBN 978-0-521-87787-9 (englisch). 

String-Gruppe

Die String-Gruppe ist

Die String-Gruppe ist eine Überlagerung der Spin-Gruppe und wird selbst von der Fivebrane-Gruppe überlagert.

Weblinks

• string group und string 2-group auf nLab (englisch)

String-Struktur

Eine String-Struktur ist

Eine String-Struktur ist ein Spezialfall einer Spin-Struktur und eine Verallgemeinerung einer Fivebrane-Struktur.

Weblinks

• string structure auf nLab (englisch)

Fivebrane-Gruppe

Die Fivebrane-Gruppe ist

Die Fivebrane-Gruppe ist eine Überlagerung der String-Gruppe und wird selbst von der Ninebrane-Gruppe überlagert.

Weblinks

• Fivebrane group und fivebrane 6-group auf nLab (englisch)

Fivebrane-Struktur

Eine Fivebrane-Struktur ist

Eine Fivebrane-Struktur ist ein Spezialfall einer String-Struktur und eine Verallgemeinerung einer Ninebrane-Struktur.

Weblinks

• Fivebrane structure auf nLab (englisch)

Ninebrane-Gruppe

Die Ninebrane-Gruppe ist

Die Ninebrane-Gruppe ist eine Überlagerung der Fivebrane-Gruppe.

Weblinks

• ninebrane group und ninebrane 10-group auf nLab (englisch)

Ninebrane-Struktur

Eine Ninebrane-Struktur ist

Eine Ninebrane-Struktur ist ein Spezialfall einer Fivebrane-Struktur.

Weblinks

• ninebrane structure auf nLab (englisch)

M2-Brane

Eine M2-Brane ist in der M-Theorie, einer gemeinsamen Verallgemeinerung von fünf Stringtheorien, eine zweidimensionale Brane, die sich aus den Feldgleichungen der D = 11 Supergravitation ergibt, dem Niedrigenergiegrenzfall der M-Theorie. Eine M2-Brane ist elektrisch geladen und koppelt elektrisch an das Eichfeld der D = 11 Supergravitation. Über die elektromagnetische Dualität (auch Montonen-Olive-Dualität) korrespondiert die M2-Brane mit der M5-Brane.

Im Whitehead-Turm der orthogonalen Gruppe $\operatorname {O} (n)$ führt die Vernichtung ihrer dritten Homotopiegruppe $\pi _{3}\operatorname {O} (n)$ auf ihre $3$-zusammenhängende Überlagerung, welche als String-Gruppe $\operatorname {String} (n)$ bezeichnet wird. Im Whitehead-Turm der unendlichen orthogonalen Gruppe $\operatorname {O} =\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {O} (n)$ führt die Vernichtung ihrer dritten Homotopiegruppe $\pi _{3}\operatorname {O} \cong \mathbb {Z}$ (welche achtfache Bott-Periodizität aufweisen) entsprechend auf ihre $3$-zusammenhängenden Überlagerung $\operatorname {String} =\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {String} (n)$. Diese korrespondiert mit der M2-Brane.

Literatur

• Edward Witten: String theory dynamics in various dimensions. In: Nucl. Phys. B. Band 443, Nr. 1-2, 1995, S. 409–412, doi:10.1016/0550-3213(95)00158-O, arxiv:hep-th/9503124, bibcode:1995NuPhB.443...85W. 

Weblinks

• M2-brane, fractional M2-brane und M2-M5 bound state auf nLab (englisch)

M5-Brane

Eine M5-Brane ist in der M-Theorie, einer gemeinsamen Verallgemeinerung von fünf Stringtheorien, eine fünfdimensionale Brane, die sich aus den Feldgleichungen der D = 11 Supergravitation ergibt, dem Niedrigenergiegrenzfall der M-Theorie. Eine M2-Brane ist magnetisch geladen und koppelt magnetisch an das Eichfeld der D = 11 Supergravitation. Über die elektromagnetische Dualität (auch Montonen-Olive-Dualität) korrespondiert die M5-Brane mit der M2-Brane.

Im Whitehead-Turm der orthogonalen Gruppe $\operatorname {O} (n)$ führt die Vernichtung ihrer siebten Homotopiegruppe $\pi _{7}\operatorname {O} (n)$ auf ihre $7$-zusammenhängende Überlagerung, welche als Fivebrane-Gruppe $\operatorname {Fivebrane} (n)$ bezeichnet wird. Im Whitehead-Turm der unendlichen orthogonalen Gruppe $\operatorname {O} =\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {O} (n)$ führt die Vernichtung ihrer siebten Homotopiegruppe $\pi _{7}\operatorname {O} \cong \mathbb {Z}$ (welche achtfache Bott-Periodizität aufweisen) entsprechend auf ihre $7$-zusammenhängenden Überlagerung $\operatorname {Fivebrane} =\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {Fivebrane} (n)$. Diese korrespondiert mit der M5-Brane und erklärt ihre Benennung.

Literatur

• Edward Witten: String theory dynamics in various dimensions. In: Nucl. Phys. B. Band 443, Nr. 1-2, 1995, S. 409–412, doi:10.1016/0550-3213(95)00158-O, arxiv:hep-th/9503124, bibcode:1995NuPhB.443...85W. 

Weblinks

• M5-brane, topological M5-brane, M5-brane charge, M5-brane elliptic genus, M5-brane instanton und M2-M5 bound state auf nLab (englisch)

M9-Brane

Eine M9-Brane ist in der Stringtheorie

Im Whitehead-Turm der orthogonalen Gruppe $\operatorname {O} (n)$ führt die Vernichtung ihrer elften Homotopiegruppe $\pi _{11}\operatorname {O} (n)$ auf ihre $11$-zusammenhängende Überlagerung, welche als Ninebrane-Gruppe $\operatorname {Ninebrane} (n)$ bezeichnet wird. Im Whitehead-Turm der unendlichen orthogonalen Gruppe $\operatorname {O} =\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {O} (n)$ führt die Vernichtung ihrer elften Homotopiegruppe $\pi _{11}\operatorname {O} \cong \mathbb {Z}$ (welche achtfache Bott-Periodizität aufweisen) entsprechend auf ihre $11$-zusammenhängenden Überlagerung $\operatorname {Ninebrane} =\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {Ninebrane} (n)$. Diese korrespondiert mit der M9-Brane und erklärt ihre Benennung.

Weblinks

• M9-brane auf nLab (englisch)

NS5-Brane

Eine NS5-Brane ist in der Stringtheorie

Weblinks

• NS-brane auf nLab (englisch)

Draft: Plancksche Relation

Die Plancksche Relation (auch Plancksche Energie-Frequenz-Relation, Planck-Einstein-Relation, Planck-Gleichung oder Planck-Formel) ist ein fundamentaler Zusammenhang aus der Quantenmechanik. mit welcher diese im Jahr 1900 von Max Planck begründet wurde. Gemäß der Planckschen Relation ist die Energie E eines Photons über das Plancksche Wirkungsquantum h mit dessen Frequenz v verbunden durch:

Häufig wird auch eine Umformulierung mit dem reduzierten Planckschen Wirkungsquantum und der Kreisfrequenz angegeben:

Die Plancksche Relation wurde von Max Planck bei der Betrachtung der Schwarzkörperstrahlung zur Vermeidung von Divergenzen postuliert, wobei das Symbol h für Hilfsgröße stand. Später zeigte sich die Bedeutung ebenfalls bei der Erklärung weiterer Phänomene, wie etwa dem photoelektrischen Effekt durch Albert Einstein im Jahr 1905 (ausgezeichnet mit dem Nobelpreis für Physik im Jahr 1921).

Draft: Eddington-Experiment

Das Eddington-Experiment

Draft: Eddington-Zahl

Die Eddington-Zahl gibt in der Astrophysik die Anzahl der Protonen im beobachtbaren Universum an.

Draft: Ein-Elektron-Universum

Das Ein-Elektron-Universum ist eine Hypothese, gemäß der sämtliche Elektronen und Positronen in Wahrheit nur ein einziges Objekt seien, welches sich sowohl vorwärts als auch rückwärts in der Zeit bewegt. Die Idee wurde im Frühling 1940 von John Wheeler in einem Telefonat mit Richard Feynman vorgeschlagen.

QED-Vakuum

Das QED-Vakuum ist das Quantenvakuum der Quantenelektrodynamik (QED).

Siehe auch

• QCD-Vakuum, Quantenvakuum der Quantenchromodynamik (QCD)
• Theta-Vakuum

Weblinks

• QED vacuum auf nLab (englisch)

QCD-Vakuum

Das QCD-Vakuum ist das Quantenvakuum der Quantenchromodynamik (QCD).

Siehe auch

• QED-Vakuum, Quantenvakuum der Quantenelektrodynamik (QED)
• Theta-Vakuum

Weblinks

• QCD vacuum auf nLab (englisch)

Theta-Vakuum

Das Theta-Vakuum ist

Siehe auch

• QED-Vakuum, Quantenvakuum der Quantenelektrodynamik (QED)
• QCD-Vakuum, Quantenvakuum der Quantenchromodynamik (QCD)

Weblinks

• theta vacuum auf nLab (englisch)

Twistor-Raum

Der Twistor-Raum ist in der Twistor-Theorie, einem Ansatz der Quantengravitation zur Kombination der Quantenfeldtheorie und Gravitation, eine Eigenbezeichnung für den dritten komplexen projektiven Raum $\mathbb {C} P^{3}$, welcher den Raum der Lösungen der Twistor-Gleichung beschreibt sowie als Totalraum in der Twistor-Faserung (auch Calabi-Penrose-Faserung) auftaucht. Über dem Twistor-Raum als Basisraum lässt sich zudem die sechsdimensionale holomorphe Chern-Simons-Theorie auf die vierdimensionale Chern-Simons-Theorie reduzieren.

Literatur

• R.S. Ward, R.O. Wells: Twistor Geometry and Field Theory. Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-42268-X (englisch). 
• S.A. Huggett, K.P. Tod: An introduction to twistor theory. Cambridge University Press, 1994, ISBN 978-0-521-45689-0 (englisch). 

Weblinks

• twistor space auf nLab (englisch)

Twistor-Faserung

Die Twistor-Faserung (auch Calabi-Penrose-Faserung) ist in der Twistor-Theorie, einem Ansatz der Quantengravitation zur Kombination der Quantenfeldtheorie und Gravitation, ein spezielles Faserbündel mit der Riemannschen Zahlenkugel $\mathbb {C} P^{1}$ als Faser, dem auch als Twistor-Raum bezeichneten dritten komplexen projektiven Raum $\mathbb {C} P^{3}$ als Totalraum und der vierdimensionalen Sphäre $S^{4}$ als Basisraum.

Weblinks

• twistor fibration auf nLab (englisch)

Twistor-Stringtheorie

Die Twistor-Stringtheorie ist in der Twistor-Theorie, einem Ansatz der Quantengravitation zur Kombination der Quantenfeldtheorie und Gravitation, eine Äquivalenz zwischen N = 4 supersymmetrischer Yang-Mills-Theorie und dem B-Modell der topologischen Stringtheorie.

Weblinks

• twistor string theory auf nLab (englisch)

Twistor-Korrespondenz

Die Twistor-Korrespondenz (auch Penrose-Ward-Korrespondenz) ist in der Twistor-Theorie, einem Ansatz der Quantengravitation zur Kombination der Quantenfeldtheorie und Gravitation, eine Verbindung zwischen vierdimensionaler Yang-Mills-Theorie und komplexer Geometrie.

Nichtlineare Zeit

Nichtlineare Zeit ist ein Konzept aus der theoretischen Physik, welches den geordneten Ablauf der Zeit etwa durch die Verwendung zukünftiger Zustände bei der Beschreibung zeitabhängiger Systeme missachtet. Dabei bezieht sich die Benennung als nichtlinear auf den fehlenden Determinismus zu einem gegebenen Zeitpunkt und bedeutet nicht, dass die zugrundeliegenden Gleichungen nichtlinear sind.

Siehe auch

• Imaginäre Zeit
• Mehrdimensionale Zeit
• Permutation City (1994), Science-Fiction-Roman von Greg Egan über die nichtlineare Simulation von Zeit für ein digitales Bewusstsein nach Mind uploading
• Story of Your Life (1998), Science-Fiction-Kurzgeschichte von Ted Chiang über die nichtlineare Wahrnehmung von Zeit
• Arrival (2016), Verfilmung von Story of Your Life von Denis Villeneuve

Imaginäre Zeit

Imaginäre Zeit ist ein Konzept aus der theoretischen Physik, welches als mathematisches Hilfsmittel zur Verbindung verschiedener Geometrien verwendet wird. Dabei bezieht sich die Benennung als imaginär auf die bei der mathematischen Beschreibung durch die Wick-Rotation vorkommende imaginäre Einheit und bedeutet nicht, dass imaginäre Zeit ein spekulatives oder fiktives Konzept ist. Zeit bezieht sich dabei bereits rein auf die zugrundeliegende Geometrie, insbesondere das im Vergleich zum Raum umgekehrte Vorzeichen, und nicht auf die Zeitwahrnehmung.

Siehe auch

• Nichtlineare Zeit
• Mehrdimensionale Zeit
• Orthogonal-Trilogie (2011-2013), Science-Fiction-Trilogie von Greg Egan bestehend aus The Clockwork Rocket (2011), The Eternal Flame (2012) und The Arrows of Time (2013) über ein Universum, welches auf einer Riemannschen statt Lorentzschen Mannigfaltigkeit basiert, also durch Wick-Rotation aus unserem Universum entsteht, und die andere Funktionsweise von Zeit in diesem, durch die es etwa möglich wird, Nachrichten aus der eigenen Zukunft zu empfangen

Fréchet-Mannigfaltigkeit

Eine Fréchet-Mannigfaltigkeit ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie ein topologischer Raum, welcher lokal homöomorph zu einem Fréchet-Raum ist, ähnlich wie eine differenzierbare Mannigfaltigkeit lokal homöomorph zu einem euklidischen Raum ist. Im Gegensatz zu diesen können Fréchet-Mannigfaltigkeiten (genau wie Fréchet-Räume) jedoch unendlichdimensional sein und bieten daher einen geeigneten Formalismus für die Verallgemeinerung von Resultaten aus der Differentialtopologie. Eine wichtige Anwendung finden Fréchet-Mannigfaltigkeiten in der Differentiationstheorie, etwa beim Nash-Moser-Umkehrsatz. Benannt sind Fréchet-Mannigfaltigkeiten nach dem französischen Mathematiker Maurice René Fréchet.

Eigenschaften

• Da jeder Hilbert-Raum sowie jeder Banach-Raum insbesondere ein Fréchet-Raum ist, ist jede Hilbert-Mannigfaltigkeit sowie jede Banach-Mannigfaltigkeit insbesondere eine Fréchet-Mannigfaltigkeit.

Beispiele

• Jeder offene Teilmenge eines Fréchet-Raumes und dadurch insbesondere jeder Fréchet-Raum ist eine Fréchet-Mannigfaltigkeit. Dabei reicht eine einzige Karte.
• Für diffeomorphe glatte Mannigfaltigkeiten $X$ und $Y$ ist $\operatorname {Diff} (X,Y)$ eine Fréchet-Mannigfaltigkeit.

Einbettung

Für Fréchet-Mannigfaltigkeiten gibt es ähnlich zum Whitneyschen Einbettungssatz für glatte Mannigfaltigkeiten ebenfalls einen Einbettungssatz, jedoch mit Einschränkungen. David Henderson bewies im Jahr 1969, dass jede unendlichdimensionale separable metrische Fréchet-Mannigfaltigkeit sich als offene Menge in den (bis auf Isomorphie eindeutigen) unendlichdimensionale separablen Hilbert-Raum (oft identifiziert mit $\ell ^{2}(\mathbb {R} )$) einbetten lässt. Insbesondere gilt dieses Resultat auch für unendlichdimensionale separable metrische Banach-Mannigfaltigkeiten.

Siehe auch

• Banach-Mannigfaltigkeit
• Hilbert-Mannigfaltigkeit
• Fréchet-Lie-Gruppe

Weblinks

• Fréchet manifold auf nLab (englisch)

Litearatur

• Richard S. Hamilton: The inverse function theorem of Nash and Moser. In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.). 7. Jahrgang, Nr. 1, 1982, ISSN 0273-0979, S. 65–222, doi:10.1090/S0273-0979-1982-15004-2 (englisch). 
• David W. Henderson: Infinite-dimensional manifolds are open subsets of Hilbert space. In: Bull. Amer. Math. Soc. 75. Jahrgang, Nr. 4, 1969, S. 759–762, doi:10.1090/S0002-9904-1969-12276-7 (englisch). 

Hilbert-Mannigfaltigkeit

Eine Hilbert-Mannigfaltigkeit ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie ein topologischer Raum, welcher lokal homöomorph zu einem Hilbert-Raum ist, ähnlich wie eine differenzierbare Mannigfaltigkeit lokal homöomorph zu einem euklidischen Raum ist. Im Gegensatz zu diesen können Fréchet-Mannigfaltigkeiten (genau wie Fréchet-Räume) jedoch unendlichdimensional sein und bieten daher einen geeigneten Formalismus für die Verallgemeinerung von Resultaten aus der Differentialtopologie. Eine wichtige Anwendung finden Hilbert-Mannigfaltigkeiten in der Floer-Theorie, etwa bei XXXX. Benannt sind Hilbert-Mannigfaltigkeit nach dem deutschen Mathematiker David Hilbert.

Eigenschaften

• Da jeder Hilbert-Raum insbesondere ein Banach-Raum sowie ein Fréchet-Raum ist, ist jede Hilbert-Mannigfaltigkeit insbesondere eine Banach-Mannigfaltigkeit sowie eine Fréchet-Mannigfaltigkeit.

Beispiele

• Jeder offene Teilmenge eines Hilbert-Raumes und dadurch insbesondere jeder Hilbert-Raum ist eine Hilbert-Mannigfaltigkeit. Dabei reicht eine einzige Karte.

Siehe auch

• Banach-Mannigfaltigkeit
• Fréchet-Mannigfaltigkeit
• Hilbert-Lie-Gruppe

Weblinks

• Hilbert manifold auf nLab (englisch)

Hilbert-Lie-Gruppe

Eine Hilbert-Lie-Gruppe ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie eine Hilbert-Mannigfaltigkeit mit einer kompatiblen Gruppenstruktur, ähnlich wie eine Lie-Gruppe eine glatte Mannigfaltigkeit mit einer kompatiblen Gruppenstruktur ist. Im Gegensatz zu diesen können Hilbert-Lie-Gruppen (genau wie Hilbert-Mannigfaltigkeiten) jedoch unendlichdimensional sein und bieten daher einen geeigneten Formalismus für die Verallgemeinerung von Resultaten aus der Lie-Theorie. Benannt sind Hilbert-Lie-Gruppen nach dem deutschen Mathematiker David Hilbert und dem norwegischen Mathematiker Sophus Lie.

Definition

Eine Hilbert-Lie-Gruppe ist eine Hilbert-Mannigfaltigkeit mit einer Gruppenstruktur, sodass die Komposition und die Inversion XXXX sind.

Beispiele

Siehe auch

• Banach-Lie-Gruppe
• Fréchet-Lie-Gruppe

Weblinks

• Hilbert Lie group auf nLab (englisch)

Hilbert-Lie-Algebra

Eine Hilbert-Lie-Algebra ist in den mathematischen Teilgebieten der Funktionalanalysis und Lie-Theorie ein Hilbert-Raum mit einer kompatiblen Lie-Klammer und lässt sich ähnlich wie eine Lie-Algebra als Tangentialraum einer Lie-Gruppe analog als Tangentialraum einer Hilbert-Lie-Gruppe konstruieren. Benannt sind Hilbert-Lie-Algebren nach dem deutschen Mathematiker David Hilbert und dem norwegischen Mathematiker Sophus Lie.

Definition

Eine Hilbert-Lie-Algebra ist ein Hilbert-Raum ${\mathfrak {g}}$ mit einer Lie-Klammer $[-,-]\colon {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}$, also einer alternierenden und die Jacobi-Identität erfüllenden Bilinearform.

Siehe auch

• Banach-Lie-Algebra
• Fréchet-Lie-Algebra

Weblinks

• Hilbert Lie algebra auf nLab (englisch)

Banach-Lie-Gruppe

Eine Banach-Lie-Gruppe ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie eine Banach-Mannigfaltigkeit mit einer kompatiblen Gruppenstruktur, ähnlich wie eine Lie-Gruppe eine glatte Mannigfaltigkeit mit einer kompatiblen Gruppenstruktur ist. Im Gegensatz zu diesen können Banach-Lie-Gruppen (genau wie Banach-Mannigfaltigkeiten) jedoch unendlichdimensional sein und bieten daher einen geeigneten Formalismus für die Verallgemeinerung von Resultaten aus der Lie-Theorie. Benannt sind Banach-Lie-Gruppen nach dem polnischen Mathematiker Stefan Banach und dem norwegischen Mathematiker Sophus Lie.

Definition

Eine Banach-Lie-Gruppe ist eine Banach-Mannigfaltigkeit mit einer Gruppenstruktur, sodass die Komposition und die Inversion XXXX sind.

Beispiele

• Für eine glatte Mannigfaltigkeit $X$ und eine kompakte glatte Mannigfaltigkeit $Y$ ist $C^{k}(X,Y)$ eine Banach-Mannigfaltigkeit.

Siehe auch

• Fréchet-Lie-Gruppe
• Hilbert-Lie-Gruppe

Weblinks

• Banach Lie group auf nLab (englisch)

Banach-Lie-Algebra

Eine Banach-Lie-Algebra ist in den mathematischen Teilgebieten der Funktionalanalysis und Lie-Theorie ein Banach-Raum mit einer kompatiblen Lie-Klammer und lässt sich ähnlich wie eine Lie-Algebra als Tangentialraum einer Lie-Gruppe analog als Tangentialraum einer Banach-Lie-Gruppe konstruieren. Benannt sind Banach-Lie-Algebren nach dem polnischen Mathematiker Stefan Banach und dem norwegischen Mathematiker Sophus Lie.

Definition

Eine Banach-Lie-Algebra ist ein Banach-Raum ${\mathfrak {g}}$ mit einer Lie-Klammer $[-,-]\colon {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}$, also einer alternierenden und die Jacobi-Identität erfüllenden Bilinearform.

Siehe auch

• Hilbert-Lie-Algebra
• Fréchet-Lie-Algebra

Weblinks

• Banach Lie algebra auf nLab (englisch)

Fréchet-Lie-Gruppe

Eine Fréchet-Lie-Gruppe ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie eine Fréchet-Mannigfaltigkeit mit einer kompatiblen Gruppenstruktur, ähnlich wie eine Lie-Gruppe eine glatte Mannigfaltigkeit mit einer kompatiblen Gruppenstruktur ist. Im Gegensatz zu diesen können Fréchet-Lie-Gruppen (genau wie Fréchet-Mannigfaltigkeiten) jedoch unendlichdimensional sein und bieten daher einen geeigneten Formalismus für die Verallgemeinerung von Resultaten aus der Lie-Theorie. Benannt sind Fréchet-Lie-Gruppen nach dem französischen Mathematiker Maurice René Fréchet und dem norwegischen Mathematiker Sophus Lie.

Definition

Eine Fréchet-Lie-Gruppe ist eine Fréchet-Mannigfaltigkeit mit einer Gruppenstruktur, sodass die Komposition und die Inversion glatt sind.

Beispiele

• Für eine kompakte glatte Mannigfaltigkeit $X$ ist ihre Diffeomorphismengruppe $\operatorname {Diff} (X)$ eine Fréchet-Lie-Gruppe.

Siehe auch

• Banach-Lie-Gruppe
• Hilbert-Lie-Gruppe

Weblinks

• Fréchet Lie group auf nLab (englisch)

Literatur

• Richard S. Hamilton: The inverse function theorem of Nash and Moser. In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.). 7. Jahrgang, Nr. 1, 1982, ISSN 0273-0979, S. 65–222, doi:10.1090/S0273-0979-1982-15004-2 (englisch). 

Fréchet-Lie-Algebra

Eine Fréchet-Lie-Algebra ist in den mathematischen Teilgebieten der Funktionalanalysis und Lie-Theorie ein Fréchet-Raum mit einer kompatiblen Lie-Klammer und lässt sich ähnlich wie eine Lie-Algebra als Tangentialraum einer Lie-Gruppe analog als Tangentialraum einer Fréchet-Lie-Gruppe konstruieren. Benannt sind Fréchet-Lie-Algebren nach dem französischen Mathematiker Maurice René Fréchet und dem norwegischen Mathematiker Sophus Lie.

Definition

Eine Fréchet-Lie-Algebra ist ein Fréchet-Raum ${\mathfrak {g}}$ mit einer Lie-Klammer $[-,-]\colon {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}$, also einer alternierenden und die Jacobi-Identität erfüllenden Bilinearform.

Siehe auch

• Hilbert-Lie-Algebra
• Banach-Lie-Algebra

Weblinks

• Fréchet Lie algebra auf nLab (englisch)

Smith-Raum

Ein Smith-Raum ist im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis ein vollständiger kompakt generierter lokalkonvexer Vektorraum

Siehe auch

• Brauner-Raum

Weblinks

• Smith space auf nLab (englisch)

Brauner-Raum

Ein Brauner-Raum ist im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis ein vollständiger kompakt generierter lokalkonvexer Vektorraum

Siehe auch

• Smith-Raum

Weblinks

• Brauner space auf nLab (englisch)

Gravitative Instantone

Eine gravitative Instantone ist

Siehe auch

• Gravitative Anomalie

Gravitative Anomalie

Eine gravitatie Anomalie ist

Siehe auch

• Gravitative Instantone

De-Rham-Invariante

Die De-Rham-Invariante ist

Ein Anwendungsbeispiel für die de Rham-Invariante sind die fünfdimensionale Wu-Mannigfaltigkeit $\operatorname {SU} (3)/\operatorname {SO} (3)$ und die fünfdimensionale Dold-Mannigfaltigkeit $P(1,2)=(S^{1}\times \mathbb {C} P^{2})/\mathbb {Z} _{2}$. Da beide die gleiche de Rham-Invariante haben, sind beide auch orientiert kobordant zueinander:

$w_{2}w_{3}[\operatorname {SU} (3)/\operatorname {SO} (3)]=w_{2}w_{3}[P(1,2)]=1.$

Konkret zeigt sich das dadurch, dass beide Mannigfaltigkeiten unter Chirurgie für Einbettungen $D^{2}\times S^{3}\hookrightarrow \operatorname {SU} (3)/\operatorname {SO} (3)$ und $S^{1}\times D^{4}\hookrightarrow P(1,2)$ mit gleichem Rand $S^{1}\times S^{3}$ die jeweils andere ergeben. Ein Kobordismus zwischen beiden Mannigfaltigkeiten ergibt sich also durch das kartesische Produkt einer davon mit dem Einheitsintervall und der entsprechenden Chirurgie an einem Ende.

Weblinks

• de Rham invariant auf nLab (englisch)Literatur

Casson-Invariante

Die Casson-Invariante ist

Weblinks

• Casson invariant auf nLab (englisch)

Literatur

Rokhlin-Theorem

Das Rokhlin-Theorem ist

Weblinks

• Rokhlin's theorem auf nLab (englisch)

Literatur

Draft: Peterson-Raum

In der algebraischen Topologie ist ein Peterson-Raum ein CW-Komplex, welcher nur in einem einzigen Grad eine nichttriviale reduzierte Kohomologiegruppe hat und ist daher die kohomologische Analogie eines Eilenberg–MacLane-Raumes in der Homotopietheorie, welcher nur in einem einzigen Grad eine nichttriviale Homotopiegruppe hat.

Definition

Für eine endlich generierte abelsche Gruppe $G$ und eine natürliche Zahl $n\geq 3$ ist ein einfach zusammenhängender (wegzusammenhängend mit trivialer Fundamentalgruppe) CW-Komplex $X$, dessen reduzierte singuläre Kohomologiegruppen gegeben sind durch:

${\widetilde {H}}^{k}(X;\mathbb {Z} )=\left\{{\begin{array}{cl}0&;k\neq n\\G&;k=n\\\end{array}}\right.$

ein Peterson-Raum vom Typ $P(G,n)$. Ein Peterson-Raum ist eindeutig bis auf schwache Homotopieäquivalenz, was die eigenständige Notation begründet. Peterson-Räume müssen nicht immer existieren, etwa gibt es keine für den rationalen Körper $\mathbb {Q}$.

Lemmata

Beispiele

Siehe auch

• Eilenberg–MacLane-Raum, das analoge Konzept für Homotopie.
• Moore-Raum, das analoge Konzept für reduzierte Homologie.

Draft: Hopf-Konstruktion

Reele Hopf-Faserung

Die Sphäre $S^{0}$ ist diffeomorph zur orthogonalen Lie-Gruppe $\operatorname {O} (1)\cong \mathbb {Z} _{2}$ und daher eine topologische Gruppe. Die Hopf-Konstruktion der Verknüpfung ist die reele Hopf-Faserung $S^{1}\rightarrow S^{1}$.

Eine alternative Konstruktion der reellen Hopf-Faserung mithilfe von reell projektiven Räumen (was die Benennung erklärt) ist die mit der kanonischen Projektion $\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} P^{1}$ erzeugte Abbildung

$\mathbb {R} ^{2}\supset S^{1}\rightarrow S^{1}\cong \mathbb {R} P^{1},(x,y)\mapsto [x:y]$.

Die Homotopieklasse der reellen Hopf-Faserung ist zweiten Grades und daher kein Generator der Homotopiegruppe $\pi _{1}(S^{1})\cong \mathbb {Z}$.

Komplexe Hopf-Faserung

Die Sphäre $S^{1}$ ist diffeomorph zur unitären Lie-Gruppe $\operatorname {U} (1)$ und daher eine topologische Gruppe. Die Hopf-Konstruktion der Verknüpfung ist die komplexe Hopf-Faserung $S^{3}\rightarrow S^{2}$.

Eine alternative Konstruktion der komplexen Hopf-Faserung mithilfe von komplex projektiven Räumen (was die Benennung erklärt) ist die mit der kanonischen Projektion $\mathbb {C} ^{2}\rightarrow \mathbb {C} P^{1}$ erzeugte Abbildung

$\mathbb {C} ^{2}\cong \mathbb {R} ^{4}\supset S^{3}\rightarrow S^{2}\cong \mathbb {C} P^{1},(z,w)\mapsto [z:w]$.

Die komplexe Hopf-Faserung hat folgende Eigenschaften:

• Ihre Homotopieklasse ist ein Generator der Homotopiegruppe $\pi _{3}(S^{2})\cong \mathbb {Z}$.
• Ihre Einhängung ist der Generator der stabilen Homotopiegruppe $\pi _{1}^{\mathrm {stab} }\cong \mathbb {Z} _{2}$.

Quaternionische Hopf-Faserung

Die Sphäre $S^{3}$ ist diffeomorph zur speziellen unitären Lie-Gruppe $\operatorname {SU} (2)$ und daher eine topologische Gruppe. Die Hopf-Konstruktion der Verknüpfung ist die quaternionische Hopf-Faserung $S^{7}\rightarrow S^{4}$.

Eine alternative Konstruktion der quaternionischen Hopf-Faserung mithilfe von quaternionisch projektiven Räumen (was die Benennung erklärt) ist die mit der kanonischen Projektion $\mathbb {H} ^{2}\rightarrow \mathbb {H} P^{1}$ erzeugte Abbildung

$\mathbb {H} ^{2}\cong \mathbb {R} ^{8}\supset S^{7}\rightarrow S^{4}\cong \mathbb {H} P^{1},(q,p)\mapsto [q:p]$.

Die quaternionische Hopf-Faserung hat folgende Eigenschaften:

• Ihre Homotopieklasse ist ein Generator des Nichttorsionsteils der Homotopiegruppe $\pi _{7}(S^{4})\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} _{12}$.
• Ihre Einhängung ist ein Generator der stabilen Homotopiegruppe $\pi _{3}^{\mathrm {stab} }\cong \mathbb {Z} _{24}$.

Oktonionische Hopf-Faserung

Die Sphäre $S^{7}$ ist mit der Moufang-Struktur eine topologische Gruppe. Die Hopf-Konstruktion der Verknüpfung ist die oktonionsiche Hopf-Faserung $S^{15}\rightarrow S^{8}$.

Eine alternative Konstruktion der oktonionischen Hopf-Faserung mithilfe von oktonionisch projektiven Räumen (was die Benennung erklärt) ist die mit der kanonischen Projektion $\mathbb {O} ^{2}\rightarrow \mathbb {O} P^{1}$ erzeugte Abbildung

$\mathbb {O} ^{2}\cong \mathbb {R} ^{16}\supset S^{15}\rightarrow S^{8}\cong \mathbb {O} P^{1},(o,n)\mapsto [o:n]$.

Die oktonionische Hopf-Faserung hat folgende Eigenschaften:

• Ihre Homotopieklasse ist ein Generator des Nichttorsionsteils der Homotopiegruppe $\pi _{15}(S^{8})\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} _{120}$.
• Ihre Einhängung ist ein Generator der stabilen Homotopiegruppe $\pi _{7}^{\mathrm {stab} }\cong \mathbb {Z} _{240}$

Donaldson-Thomas-Theorie

Donaldson-Thomas-Theorie ist im mathematischen Teilgebiet der algebraischen Geometrie das Studium von Donaldson-Thomas-Invarianten. Benannt sind Donaldson-Thomas-Invarianten nach Simon Donaldson und Richard Thomas, welche diese im Jahr XXXX eingeführt haben.

Donaldson-Thomas-Invarianten haben zahlreiche Verbindungen zu anderen Invarianten. Etwa können diese als holomorphe Verallgemeinerung der Casson-Invariante von dreidimensionalen Homologiesphären gesehen werden und hängen eng mit den Gromov-Witten-Invarianten zusammen, was als GW/DT-Korrespondenz bezeichnet wird. Eine Verallgemeinerung, bei welcher nicht die Modulräume von Garben sondern die Modulräume von derivierten Kategorien betrachtet werden, ist die Pandharipande-Thomas-Theorie.

Literatur

• Yukinobu Toda: Recent Progress on the Donaldson–Thomas Theory: Wall-Crossing and Refined Invariants. 15. Dezember 2021, doi:10.1007/978-981-16-7838-7. 

Weblinks

• Donaldson-Thomas invariant auf nLab (englisch)

Pandharipande-Thomas-Theorie

Pandharipande-Thomas-Theorie ist im mathematischen Teilgebiet der algebraischen Geometrie das Studium von Pandharipande-Thomas-Invarianten. Benannt sind Pandharipande-Thomas-Invarianten nach Rahul Pandharipande und Richard Thomas, welche diese im Jahr XXXX eingeführt haben.

GW/DT-Korrespondenz

Die Gromov-Witten/Donaldson-Thomas-Korrespondenz (kurz GW/DT-Korrespondenz) ist eine Beziehung zwischen Gromov-Witten- und Donaldson-Thomas-Invarianten.

Literatur

• Davesh Maulik, Nikita Nekrasov, Andrei Okounkov und Rahul Pandharipande: Gromov–Witten theory and Donaldson–Thomas theory. In: Compositio Mathematica. Band 142, Nr. 5, 2003, S. 1263–1285, doi:10.1112/S0010437X06002302, arxiv:math/0312059. 
• Davesh Maulik, Nikita Nekrasov, Andrei Okounkov und Rahul Pandharipande: Gromov-Witten/Donaldson-Thomas correspondence for toric 3-folds. 23. September 2003, arxiv:0809.3976v1 [abs]. 
• Dustin Ross: On GW/DT and Ruan’s Conjecture in All Genus for Calabi-Yau 3-Orbifolds. 24. September 2014, arxiv:1409.7015. 

Weblinks

• GW/DT correspondence auf nLab (englisch)

Draft: Balanciertes Smash-Produkt

Das balancierte Smash-Produkt ist im mathematischen Teilgebiet der Algebraischen Topologie ein Smash-Produkt für punktierte G-Räume. Dieses berücksichtigt beim Smash-Produkt der zugrundeliegenden punktierten topologischen Räume zusätzlich die stetige Gruppenwirkung auf ihnen durch eine topologische Gruppe mit die Bildung eines Quotienten.

Definition

Für eine topologische Gruppe $G$, einen punktierten $G$-Rechtsraum $X$ und einen punktierten $G$-Rechtsraum $Y$ ist:

$X\wedge _{G}Y:=(X\wedge Y)/\sim$

mit der wohldefinierten Äquivalenzrelation $[(xg,y)]\sim [(x,yg)]$ für alle $g\in G$, $x\in X$ und $y\in Y$ dessen balanciertes Smash-Produkt. Die Topologie auf diesem ergibt sich durch die Produkt- und Quotiententopologie.

Lemmata

Siehe auch

• Balanciertes Produkt, analoge Definition für nichtpunktierte G-Räume

[[Kategorie:Gruppentheorie]]

[[Kategorie:Topologie]]

Draft: Lokaler Hausdorff-Raum

Ein lokaler Hausdorff-Raum ist im mathematischen Teilgebiet der Topologie ein topologischer Raum, welcher nur lokal (also auf Umgebungen) ein Hausdorff-Raum ist.

Definition

Ein topologischer Raum, für den für je zwei verschiedene Punkte zwei disjunkte offene Teilmengen existieren, die jeweils einen der Punkte enthalten, wird Hausdorff-Raum (oder hausdorffsch) genannt.

Ein topologischer Raum, für den jeder Punkt eine Umgebung hat, welche mit der Teilraumtopologie ein Hausdorff-Raum ist, wird lokaler Hausdorff-Raum (oder lokal hausdorffsch) genannt. Oft wird statt einer hausdorffschen Umgebung gleich eine ganze Umgebungsbasis aus hausdorffschen Teilmengen gefordert, doch diese Definition ist für gewöhnlich stärker und daher nicht äquivalent zur ursprünglichen. In diesem Fall werden Räume nach der ursprünglichen Definition auch schwach lokal hausdorffsch genannt.

Lemmata

• Hausdorff-Räume sind lokale Hausdorff-Räume. Das folgt daraus, dass jeder Teilraum eines Hausdorff-Raumes wieder ein Hausdorff-Raum ist.
• Lokale Hausdorff-Räume sind T₁-Räume.
• Lokale Hausdorff-Räume sind nüchtern.

Beispiele

• Die reellen Zahlen mit zwei Ursprüngen (definiert als $\mathbb {R} \times \{0,1\}/\sim$ mit $(x,0)\sim (x,1)$ für $x\neq 0$) sind lokal hausdorffsch, aber nicht hausdorffsch.

Weblinks

• locally Hausdorff topological space auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Topologischer Raum]]

Draft: Lokal regulärer Raum

Ein lokal regulärer Raum ist im mathematischen Teilgebiet der Topologie ein topologischer Raum, welcher nur lokal (also auf Umgebungen) regulär ist.

Definition

Ein topologischer Raum, für den für jede abgeschlossene Teilmenge und jeden Punkt, welcher in dieser nicht enthalten ist, zwei disjunkte offene Teilmengen existieren, die jeweils die abgeschlossene Teilmenge und den Punkt enthalten, wird regulär genannt.

Ein topologischer Raum, für den jeder Punkt eine Umgebung hat, welche mit der Teilraumtopologie regulär ist, wird lokal regulär genannt. Oft wird statt einer regulären Umgebung gleich eine ganze Umgebungsbasis aus regulären Teilmengen gefordert, doch diese Definition ist für gewöhnlich stärker und daher nicht äquivalent zur ursprünglichen. In diesem Fall werden Räume nach der ursprünglichen Definition auch schwach lokal regulär genannt.

Lemmata

• Reguläre Räume sind lokal reguläre Räume. Das folgt daraus, dass jeder Teilraum eines regulären Raumes wieder ein regulärer Raum ist.
• Lokal reguläre T₁-Räume sind lokal hausdorffsch. Das folgt daraus, dass reguläre T₁-Räume hausdorffsch sowie Unterräume von T₁-Räumen wieder T₁-Räume sind.

Beispiele

• XXXX ist lokal regulär, aber nicht regulär.

Weblinks

• locally regular space auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Topologischer Raum]]

Draft: Lokal normaler Raum

Ein lokal normaler Raum ist im mathematischen Teilgebiet der Topologie ein topologischer Raum, welcher nur lokal (also auf Umgebungen) normal ist.

Definition

Ein topologischer Raum, für den für je zwei disjunkte abgeschlossene Teilmengen zwei disjunkte offene Teilmengen existieren, die jeweils einen der abgeschlossenen Teilmengen enthalten, wird normal genannt.

Ein topologischer Raum, für den jeder Punkt eine Umgebung hat, welche mit der Teilraumtopologie normal ist, wird lokal normal genannt. Oft wird statt einer normalen Umgebung gleich eine ganze Umgebungsbasis aus normalen Teilmengen gefordert, doch diese Definition ist für gewöhnlich stärker und daher nicht äquivalent zur ursprünglichen. In diesem Fall werden Räume nach der ursprünglichen Definition auch schwach lokal normal genannt.

Lemmata

• Normale Räume sind lokal normale Räume. Das folgt daraus, dass jeder Teilraum eines normalen Raumes wieder ein normaler Raum ist.
• Lokal normale T₁-Räume sind lokal regulär und lokal hausdorffsch. Das folgt daraus, dass normale T₁-Räume regulär und hausdorffsch sowie Unterräume von T₁-Räumen wieder T₁-Räume sind.

Beispiele

• Die reellen Zahlen mit der kofiniten Topologie sind ein T₁-Raum, welcher nicht lokal normal ist.

Weblinks

• locally normal space auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Topologischer Raum]]

Draft: Arnold-Vermutung

Die Arnold-Vermutung ist eine Ungleichung aus dem mathematischen Teilgebiet der symplektischen Geometrie (wiederrum ein Teilgebiet der Differentialgeometrie), welche die Betti-Zahlen einer symplektischen Mannigfaltigkeit mit der mindestens notwendigen Anzahl an Fixpunkten eines nichtdegenerierten Hamiltonschen Symplektomorphismus auf ihr verbindet. Benannt ist die Vermutung nach Wladimir Arnold. Die Arnold-Vermutung ist eine höherdimensionale Verallgemeinerung des Satzes von Poincaré–Birkhoff.

Formulierung

Sei $(M,\omega )$ eine kompakte $2n$-dimensionale symplektische Mannigfaltigkeit.

Siehe auch

• Arnold–Givental-Vermutung

Weblinks

• Arnold conjecture auf nLab (englisch)

Literatur

• Dusa McDuff und Dietmar Salamon: Introduction to Symplectic Topology. In: Clarendon Press (Hrsg.): Oxford mathematical monographs, Oxford science publications. 1998, ISBN 0-19-851177-9 (englisch). 

[[Kategorie:Symplektische Topologie]]

Draft: Arnold–Givental-Vermutung

Die Arnold–Giventhal-Vermutung ist eine Ungleichung aus dem mathematischen Teilgebiet der symplektischen Geometrie (wiederrum ein Teilgebiet der Differentialgeometrie), welche die Betti-Zahlen einer Lagrangeschen Untermannigfaltigkeit einer symplektischen Mannigfaltigkeit mit der mindestens notwendigen Anzahl an Schnittpunkten mit einer anderen Lagrangeschen Untermannigfaltigkeit verbindet, welche aus der ursprünglichen durch eine Hamiltonsche Isotopie hervorgeht und diese transversal schneidet. Benannt ist die Vermutung nach Wladimir Arnold und Alexander Giventhal.

Formulierung

Sei $(M,\omega )$ eine kompakte $2n$-dimensionale symplektische Mannigfaltigkeit und $L\subset M$eine reelle Lagrangesche Mannigfaltigkeit, also darstellbar als Fixpunktmenge einer antisymplektischen Involution $f\colon M\rightarrow M$, also sodass $f\circ f=\operatorname {id} _{M}$ und $f^{*}\omega =-\omega$.

Die Arnold-Vermutung ist ein Spezialfall der Arnold–Givental-Vermutung. Eine symplektische Mannigfaltigkeit $(M,\omega )$ erzeugt eine symplektische Mannigfaltigkeit $(M\times M,(-\omega )\oplus \omega )$, auf welcher der Koordinatentausch $M\times M\rightarrow M\times M,(x,y)\mapsto (y,x)$ eine antisymplektische Involution ist. Deren Fixpunktmenge ist die Diagonale $\Delta _{M}:=\{(x,x)|x\in M\}$, weshalb diese eine reelle Lagrangesche Mannigfaltigkeit ist. Für eine XXXX $f\colon M\rightarrow M$ ist ihre Fixpunktmenge $\operatorname {Fix} (f)$ genau der Schnitt $\operatorname {graph} (f)\cap \Delta _{M}$.

$\#\operatorname {Fix} (f)=\#(\operatorname {graph} (f)\cap \Delta _{M})$

Status

Die Arnold-Giventhal-Vermutung wurde für einige Spezialfälle bewiesen:

• Alexander Givental selbst bewies 1989 den Spezialfall für $(M,L)=(\mathbb {C} P^{n},\mathbb {R} P^{n})$.
• Yong-Geun Oh bewies 1995 den Spezialfall von zusätzlichen Annahmen an den Maslov-Index.
• Kenji Fukaya, Yong-Geun Oh, Hirosh Otha und Kaoru Ona bewiesen 2000 den Speziallfall für semipositive symplektische Mannigfaltigkeiten.
• Urs Frauenfelder bewies 2004 den Spezialfall für bestimmte symplektische Reduktionen unter Verwendung von Floer-Homologie.

Siehe auch

• Arnold-Vermutung

[[Kategorie:Symplektische Topologie]]

Fehlt:

Für XXXX ist $\operatorname {Ham} (M,\omega )$ sogar eine Lie-Gruppe. Ihre zugehörige Lie-Algebra ${\mathfrak {Ham}}(M,\omega )$ ist in diesem Fall die der Hamiltonschen Vektorfelder.

Diese ist die Lie-Algebra der Lie-Gruppe der Hamiltonschen Diffeomorphismen $\operatorname {Ham} (M,\omega )$.

Definition auf Poisson-Mannigfaltigkeiten

Symplektische Mannigfaltigkeiten sind spezielle Poisson-Mannigfaltigkeiten, da die symplektische Form eine Poisson-Klammer erzeugt. Für Hamilton-Funktionen $G,H\in C^{\infty }(M)$ auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit $M$ gilt dadurch der Zusammenhang:

,

durch den Hamiltonsche Vektorfelder allgemeiner auf Poisson-Mannigfaltigkeiten definiert werden können.

Lemmata auf Poisson-Mannigfaltigkeiten

XXXX

$\mathrm {d} F(X_{aG+bH})=\{F,aG+bH\}=a\{F,G\}+a\{F,H\}=a\mathrm {d} F(X_{G})+b\mathrm {d} F(X_{H})=\mathrm {d} F(aX_{G}+bX_{H})$

$\mathrm {d} F(X_{GH})=\{F,GH\}=G\{F,H\}+\{F,G\}H=G\mathrm {d} F(X_{H})+\mathrm {d} F(X_{G})H=\mathrm {d} F(GX_{H}+HX_{G})$

Draft: Unitäre Transformation

XXXX

Eigenschaften

• Unitäre Transformationen erhalten hermitische, antihermitesche und unitäre Operatoren
• Unitäre Transformationen erhalten Bose-Operatoren und Fermi-Operatoren.

XXXX

Draft: Arnold–Kuiper–Massey-Theorem

Das Arnold–Kuiper–Massey-Theorem (oder AKM-Theorem) ist im mathematischen Teilgebiet der projektiven Geometrie eine aus drei verwandten Teilresultaten bestehende Erkenntnis über projektive Ebenen und ihre Verbindung zu Sphären.

Komplexes AKM-Theorem

Quaternionisches AKM-Theorem

Oktonionisches AKM-Theorem

Weblinks

• Arnold–Kuiper–Massey-Theorem auf nLab (englisch)

Draft: Kategorie der kleinen Kategorien

Die Kategorie der kleinen Kategorien, notiert als $\mathbf {Cat}$, ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller kleinen Kategorien als Objekten und der Klasse aller Funktoren als Morphismen.

Eigenschaften

$\mathbf {Cat}$ ist

• kartesisch abgeschlossen, aber nicht lokal kartesisch abgeschlossen.

Weblinks

• Cat auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft: Kategorie der Mengen

Die Kategorie der Mengen, notiert als $\mathbf {Set}$, ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller Mengen als Objekten und der Klasse aller Abbildungen als Morphismen.

Ähnliche Kategorien

Die volle Unterkategorie der endlichen Mengen wird als $\mathbf {Set} _{\mathrm {fin} }$ bezeichnet.

Eigenschaften

$\mathbf {Set}$ ist

• balanciert, also ist jeder Bimorphismus bereits ein Isomorphismus.
• (klein) bivollständig, also (klein) vollständig und (klein) kovollständig.
• kartesisch abgeschlossen.
• regulär.
• lokal endlich präsentierbar.

$\mathbf {Set} _{\mathrm {fin} }$ ist:

• nicht lokal endlich präsentierbar.

Zudem gilt:

• Jeder Monomorphismus ist regulär, lässt sich also als Differenzkern darstellen, und jeder Epimorphismus ist regulär, lässt sich also als Differenzkokern darstellen.

Weblinks

• Set auf nLab (englisch)
• SimpSet auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft: Kategorie der Gruppen

Die Kategorie der Gruppen, notiert als $\mathbf {Grp}$, ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller Gruppen als Objekten und der Klasse aller Gruppenhomomorphismen als Morphismen.

Verbindung zu anderen Kategorien

• Es gibt einen kanonischen Vergissfunktor $\mathbf {Grp} \rightarrow \mathbf {Set}$ in die Kategorie der Mengen, welcher die Gruppenstruktur vergisst. Dadurch ist $\mathbf {Grp}$ eine konkrete Kategorie.
• Es gibt eine kanonische und volle Inklusion $\mathbf {AbGrp} \hookrightarrow \mathbf {Grp}$ der Kategorie der abelschen Gruppen mit der Abelisierung $\cdot ^{\mathrm {ab} }\colon \mathbf {Grp} \rightarrow \mathbf {AbGrp}$ als linksadjungiertem Funktor (Reflektor).

Ähnliche Kategorien

Die volle Unterkategorie der endlichen Gruppen wird als $\mathbf {Grp} _{\mathrm {fin} }$ bezeichnet.

Eigenschaften

$\mathbf {Grp}$ ist

• balanciert, also ist jeder Bimorphismus bereits ein Isomorphismus.

• regulär.

Zudem gilt:

• Jeder Monomorphismus ist regulär, lässt sich also als Differenzkern darstellen, und jeder Epimorphismus ist regulär, lässt sich also als Differenzkokern darstellen.

Weblinks

• Grp auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft: Kategorie der abelschen Gruppen

Die Kategorie der abelschen Gruppen, notiert als $\mathbf {AbGrp}$ (oder nur $\mathbf {Ab}$), ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller abelschen Gruppen als Objekten und der Klasse aller Gruppenhomomorphismen als Morphismen.

Verbindung zu anderen Kategorien

• Es gibt einen kanonischen Vergissfunktor $\mathbf {AbGrp} \rightarrow \mathbf {Set}$ in die Kategorie der Mengen, welcher die Gruppenstruktur vergisst. Dadurch ist $\mathbf {AbGrp}$ eine konkrete Kategorie. Der Funktor der freien abelschen Gruppe $\mathbb {Z} \colon \mathbf {Set} \rightarrow \mathbf {AbGrp}$ ist linksadjungiert (ein Reflektor) zu diesem.
• Es gibt einen kanonischen und vollen Inklusionsfunktor $\mathbf {AbGrp} \hookrightarrow \mathbf {Grp}$ in die Kategorie der Gruppen mit der Abelisierung $\cdot ^{\mathrm {ab} }\colon \mathbf {Grp} \rightarrow \mathbf {AbGrp}$ als linksadjungiertem Funktor (Reflektor)
• Da abelsche Gruppen genau $\mathbb {Z}$-Moduln sind, ist die Kategorie der abelschen Gruppen isomorph zur Kategorie der $\mathbb {Z}$-Moduln:

  $\mathbf {Ab} \cong \mathbf {Mod} _{\mathbb {Z} }$.

Ähnliche Kategorien

Die volle Unterkategorie der endlichen Mengen wird als $\mathbf {AbGrp} _{\mathrm {fin} }$ bezeichnet.

Eigenschaften

$\mathbf {AbGrp}$ ist

• nicht kartesisch abgeschlossen.

Weblinks

• Ab auf nLab (englisch)
• sAb auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft: Kategorie der Ringe

Die Kategorie der Ringe, notiert als $\mathbf {Ring}$, ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller Ringe (mit Einheitselement) als Objekten und der Klasse aller Ringhomomorphismen als Morphismen.

Verbindung zu anderen Kategorien

• Es gibt einen kanonischen Vergissfunktor $\mathbf {Ring} \rightarrow \mathbf {Set}$ in die Kategorie der Mengen, welcher die Ringstruktur vergisst. Dadurch ist $\mathbf {Ring}$ eine konkrete Kategorie.

Ähnliche Kategorien

Eigenschaften

$\mathbf {Ring}$ ist

• nicht balanciert. Etwa ist $\mathbb {Z} \hookrightarrow \mathbb {Q}$ monisch und episch, aber kein Isomorphismus.

Weblinks

• Ring auf nLab (englisch)
• CRing auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft (nicht en): Kategorie der Körper

Die Kategorie der Körper, notiert als $\mathbf {Field}$, ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller Körper als Objekten und der Klasse aller Körperhomomorphismen als Morphismen.

Verbindung zu anderen Kategorien

• Es gibt einen kanonischen Vergissfunktor $\mathbf {Field} \rightarrow \mathbf {Set}$ in die Kategorie der Mengen, welcher die Körperstruktur vergisst. Dadurch ist $\mathbf {Field}$ eine konkrete Kategorie.

Ähnliche Kategorien

Der rationale Körper $\mathbb {Q}$ ist kein initiales Objekt in der Kategorie $\mathbf {Field}$ (da etwa kein Körperhomomorphismus in einen endlichen Körper existiert), aber in der Kategorie $\mathbf {Field} _{0}$. Aus diesem Grund kann das Studium von Körpererweiterungen mit verschwindender Charakteristik (wie in der Algebraischen Galoistheorie) stets ohne Beschränkung der Allgemeinheit auf die Betrachtung von Körpererweiterungen über dem rationalen Körper $\mathbb {Q}$ (genannt Zahlenkörper) beschränkt werden.

Eigenschaften

$\mathbf {Field}$ ist:

• nicht lokal endlich präsentierbar.

Weblinks

• Field auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft: Kategorie der Moduln

Die Kategorie der $R$-Linksmoduln bzw. $R$-Rechtsmoduln für einen Ring $R$, notiert als $_{R}\mathbf {Mod}$ bzw. $\mathbf {Mod} _{R}$, ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller $R$-Linksmoduln bzw. $R$-Rechtsmoduln als Objekten und der Klasse aller Modulhomomorphismen als Morphismen.

Verbindung zu anderen Kategorien

• Es gibt kanonische Vergissfunktoren $_{R}\mathbf {Mod} ,\mathbf {Mod} _{R}\rightarrow \mathbf {Set}$ in die Kategorie der Mengen, welche die Modulstruktur vergessen. Dadurch sind $_{R}\mathbf {Mod}$ und $\mathbf {Mod} _{R}$ konkrete Kategorien.
• Da $\mathbb {Z}$-Moduln genau abelsche Gruppen sind, ist die Kategorie der $\mathbb {Z}$-Moduln isomorph zur Kategorie der abelschen Gruppen:

  $\mathbf {Mod} _{\mathbb {Z} }\cong \mathbf {Ab}$.

Eigenschaften

$\mathbf {Mod}$ ist

• balanciert, also ist jeder Bimorphismus bereits ein Isomorphismus.
• lokal endlich präsentierbar.

Zudem gilt:

• Jeder Monomorphismus ist regulär, lässt sich also als Differenzkern darstellen, und jeder Epimorphismus ist regulär, lässt sich also als Differenzkokern darstellen.

Kategorie aller Moduln

Weblinks

• Mod auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft (nicht en): Kategorie der Vektorräume

Die Kategorie der $\mathbb {K}$-Vektorräume für einen Körper $\mathbb {K}$, notiert als $\mathbf {Vect} _{\mathbb {K} }$, ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller $\mathbb {K}$-Vektorräume als Objekten und der Klasse aller linearen Abbildungen (Vektorraumhomomorphismen) als Morphismen.

Verbindung zu anderen Kategorien

• Es gibt einen kanonischen Vergissfunktor $\mathbf {Vect} _{\mathbb {K} }\rightarrow \mathbf {Set}$ in die Kategorie der Mengen, welcher die Vektorraumstruktur vergisst. Dadurch ist $\mathbf {Vect} _{\mathbb {K} }$ eine konkrete Kategorie.

Ähnliche Kategorien

Die volle Unterkategorie der endlichdimensionalen $\mathbb {K}$-Vektorräume wird als $\mathbf {Vect} _{\mathrm {\mathbb {K} ,fin} }$ bezeichnet.

Kategorie aller Vektorräume

Eigenschaften

$\mathbf {Vect}$ ist

• balanciert, also ist jeder Bimorphismus bereits ein Isomorphismus.

Weblinks

• Vect auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft (nicht en): Kategorie der normierten Räume

Die Kategorie der (reelen oder komplexen) normierten Vektorräume, notiert als $\mathbf {Norm} _{\mathbb {R} }$ oder $\mathbf {Norm} _{\mathbb {C} }$, ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller normierten $\mathbb {K}$-Vektorräume als Objekten und der Klasse aller linearen Abbildungen (Vektorraumhomomorphismen) als Morphismen.

Verbindung zu anderen Kategorien

• Es gibt kanonische Vergissfunktoren $\mathbf {Norm} _{\mathbb {R} }\rightarrow \mathbf {Vect} _{\mathbb {R} }$ oder $\mathbf {Norm} _{\mathbb {C} }\rightarrow \mathbf {Vect} _{\mathbb {C} }$ in die Kategorie der $\mathbb {R}$ bzw. $\mathbb {C}$-Vektorräume, welcher die Norm vergisst.

Ähnliche Kategorien

Die volle Unterkategorie der endlichdimensionalen normierten $\mathbb {K}$-Vektorräume wird als $\mathbf {Norm} _{\mathrm {\mathbb {K} ,fin} }$ bezeichnet.

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft (nicht en): Kategorie der Banachräume

Die Kategorie der (reelen oder komplexen) Banachräume, notiert als $\mathbf {Ban} _{\mathbb {R} }$ oder $\mathbf {Ban} _{\mathbb {C} }$, ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller Banachräume (vollständige normierte Vektorräume) als Objekten und der Klasse aller linearen Abbildungen (Vektorraumhomomorphismen) als Morphismen.

Verbindung zu anderen Kategorien

• Es gibt kanonische Vergissfunktoren $\mathbf {Ban} _{\mathbb {R} }\rightarrow \mathbf {Norm} _{\mathbb {R} }$ und $\mathbf {Ban} _{\mathbb {C} }\rightarrow \mathbf {Norm} _{\mathbb {C} }$ in die jeweiligen Kategorie der normierten Vektorräume, welcher die Vollständigkeit der Norm vergisst.

Eigenschaften

$\mathbf {Ban} _{\mathbb {R} }$ und $\mathbf {Ban} _{\mathbb {C} }$ sind

• (klein) bivollständig, also klein-vollständig und klein-kovollständig.
• haben alle kleinen Produkte und alle kleinen Koprodukte.
• haben alle Differenzkerne und Differenzkokerne.

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft: Kategorie der metrischen Räume

Die Kategorie der metrischen Räume, notiert als $\mathbf {Met}$, ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller metrischen Räume als Objekten und der Klasse aller stetigen Abbildungen als Morphismen.

Verbindung zu anderen Kategorien

• Es gibt einen kanonischen Vergissfunktor $\mathbf {Met} \rightarrow \mathbf {Set}$ in die Kategorie der Mengen, welcher die Metrik vergisst. Dadurch ist $\mathbf {Met}$ eine konkrete Kategorie.

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft: Kategorie der topologischen Räume

Die Kategorie der topologischen Räume, notiert als $\mathbf {Top}$, ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller topologischen Räume als Objekten und der Klasse aller stetigen Abbildungen als Morphismen.

Verbindung zu anderen Kategorien

• Es gibt einen kanonischen Vergissfunktor $\mathbf {Top} \rightarrow \mathbf {Set}$ in die Kategorie der Mengen, welcher die Topologie vergisst. Dadurch ist $\mathbf {Top}$ eine konkrete Kategorie. Der Funktor der diskreten Topologie $\operatorname {Dis} \colon \mathbf {Set} \rightarrow \mathbf {Top}$ ist linksadjungiert (ein Reflektor) und der Funktor der indiskreten Topologie $\operatorname {Indis} \colon \mathbf {Set} \rightarrow \mathbf {Top}$ ist rechtsadjungiert (ein Koreflektor) zu diesem.

Eigenschaften

$\mathbf {Top}$ ist

• (klein) bivollständig, also (klein) vollständig und (klein) kovollständig.
• nicht kartesisch abgeschlossen und nicht lokal kartesisch abgeschlossen.
• nicht regulär.
• nicht lokal endlich präsentierbar.

Weblinks

• Top auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft (nicht en): Kategorie der punktierten topologischen Räume

Die Kategorie der punktierten topologischen Räume, notiert als $\mathbf {Top} _{*}$, ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller punktierten topologischen Räume als Objekten und der Klasse aller punktierten stetigen Abbildungen als Morphismen.

Verbindung zu anderen Kategorien

• Es gibt einen kanonischen Vergissfunktor $\mathbf {Top} _{*}\rightarrow \mathbf {Set}$ in die Kategorie der Mengen, welcher die Punktierung und die Topologie vergisst. Dadurch ist $\mathbf {Top} _{*}$ eine konkrete Kategorie.
• Es gibt einen kanonischen Vergissfunktor $\mathbf {Top} _{*}\rightarrow \mathbf {Top}$ in die Kategorie der topologischen Räume mit dem Funktor der Vereinigung mit dem einpunktigen Raum $\cdot +\{*\}\colon \mathbf {Top} \rightarrow \mathbf {Top} _{*}$ als linksadjungiertem Funktor (Reflektor).

Adjunktion zwischen dem Schleifenraum und der Einhängung

Zwei zentrale Endofunktoren (Funktoren von einer Kategorie in sich selbst) auf der Kategorie $\mathbf {Top} _{*}$ sind die reduzierte Einhängung $\Sigma \colon \mathbf {Top} _{*}\rightarrow \mathbf {Top} _{*}$ und der Schleifenraum $\Omega \colon \mathbf {Top} _{*}\rightarrow \mathbf {Top} _{*}$, welche adjungiert zueinander sind. $\Sigma$ ist der linksadjungierte und $\Omega$ ist der rechtsadjungierte Funktor, notiert als $\Sigma \dashv \Omega$. Seien $(X,x_{0})$ und $(Y,y_{0})$ punktierte topologische Räume. Einer stetigen punktierten Abbildung $\Sigma (X,x_{0})\rightarrow (Y,y_{0})$lässt sich eine stetige punktierte Abbildung:

${\widetilde {f}}\colon (X,x_{0})\rightarrow \Omega (Y,y_{0}),x\mapsto (t\mapsto f([(x,t)]))$

zuordnen. Einer stetigen punktierten Abbildung $g\colon (X,x_{0})\rightarrow \Omega (Y,y_{0})$lässt sich umgekehrt eine stetige punktierte Abbildung:

${\widetilde {g}}\colon \Sigma (X,x_{0})\rightarrow (Y,y_{0}),[(x,t)]\mapsto g(x)(t)$

zuordnen. Da die doppelte Anwendung der Konstruktion wieder auf die jeweils ursprünglichen Abbildungen zurückführt (also ${\widetilde {\widetilde {f}}}=f$ und ${\widetilde {\widetilde {g}}}=g$) bilden diese eine Bijektion zwischen den stetigen punktierten Abbildungen $(X,x_{0})\rightarrow \Omega (Y,y_{0})$ und den stetigen punktierten Abbildungen $\Sigma (X,x_{0})\rightarrow (Y,y_{0})$.

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft: Kategorie der topologischen Vektorräume

Die Kategorie der topologischen $\mathbb {K}$-Vektorräume für einen topologischen Körper $\mathbb {K}$, notiert als $\mathbf {TVect} _{\mathbb {K} }$, ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller topologischen $\mathbb {K}$-Vektorräumen als Objekten und der Klasse aller stetigen und linearen Abbildungen als Morphismen.

Verbindung zu anderen Kategorien

• Es gibt einen kanonischen Vergissfunktor $\mathbf {TVect} _{\mathbb {K} }\rightarrow \mathbf {Vect} _{\mathbb {K} }$ in die Kategorie der $\mathbb {K}$-Vektorräume, welcher die Topologie vergisst.
• Es gibt einen kanonischen Vergissfunktor $\mathbf {TVect} _{\mathbb {K} }\rightarrow \mathbf {Top}$ in die Kategorie der topologischen Räume, welcher die Vektorraumstruktur vergisst.

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft (nicht en): Kategorie der kompakten Hausdorff-Räume

Die Kategorie der kompakten Hausdorff-Räume, notiert als $\mathbf {cHaus}$ (oder $\mathbf {CHaus}$), ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller topologischen Räume als Objekten und der Klasse aller stetigen Abbildungen als Morphismen.

Verbindung zu anderen Kategorien

• Es gibt einen kanonischen und vollen Inklusionsfunktor $\mathbf {cHaus} \hookrightarrow \mathbf {Top}$ in die Kategorie der topologischen Räume mit der Stone–Čech-Kompaktifizierung $\beta \colon \mathbf {Top} \rightarrow \mathbf {cHaus}$ als linksadjungiertem Funktor (Reflektor).

Eigenschaften

$\mathbf {cHaus}$ ist

• balanciert, also ist jeder Bimorphismus bereits ein Isomorphismus.
• nicht kartesisch abgeschlossen.
• exakt.

Zudem gilt:

• Jeder Monomorphismus ist regulär, lässt sich also als Differenzkern darstellen, und jeder Epimorphismus ist regulär, lässt sich also als Differenzkokern darstellen.

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft: Kategorie der kompakt generierten schwachen Hausdorff-Räume

Die Kategorie der kompakt generierten schwachen Hausdorff-Räume, notiert als $\mathbf {cgwHaus}$ (oder $\mathbf {CGWHaus}$), ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller kompakt generierten schwachen Hausdorff-Räume als Objekten und der Klasse aller stetigen Abbildungen als Morphismen. Da kompakt generierte schwache Hausdorff-Räume speziellere und nützliche Eigenschaften haben, welche sich auf ihre Kategorie übertragen, wird diese in der Algebraischen Topologie oft bevorzugt zur Kategorie der topologischen Räume verwendet.

Verbindung zu anderen Kategorien

• Es gibt einen kanonischen und vollen Inklusionsfunktor $\mathbf {cgwHaus} \hookrightarrow \mathbf {Top}$ in die Kategorie der topologischen Räume.

Eigenschaften

• $\mathbf {cgwHaus}$ und $\mathbf {cgHaus}$ sind regulär.

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft: Kategorie der diffeologischen Räume

Die Kategorie der diffeologischen Räume, notiert als $\mathbf {Difflog}$ (teils auch nur als $\mathbf {Diff}$, wobei jedoch Verwechselungsgefahr mit der Kategorie der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten besteht), ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller diffeologischen Räume als Objekten und der Klasse aller glatten Abbildungen als Morphismen.

Eigenschaften

$\mathbf {Difflog}$ ist:

• (klein) bivollständig, also (klein) vollständig und (klein) kovollständig
• kartesisch abgeschlossen

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft: Simplex-Kategorie

Die Simplex-Kategorie ist im mathematischen Teilgebiet der Homotopischen Algebra

Weblinks

• simplex category auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft: Simpliziales Objekt

Ein simpliziales Objekt ist im mathematischen Teilgebiet der Homotopischen Algebra

Definition

Für eine Kategorie ${\mathcal {C}}$ ist mit der Simplexkategorie $\Delta$ ein kontravarianter Funktor $\Delta \rightarrow {\mathcal {C}}$ oder alternativ ein kovarianter Funktor $\Delta ^{\mathrm {op} }\rightarrow {\mathcal {C}}$ ein simpliziales Objekt in dieser und ein kovarianter Funktor $\Delta \rightarrow {\mathcal {C}}$ ein kosimpliziales Objekt in dieser. Sowohl simpliziale als auch kosimpliziale Objekte bilden selbst Kategorien, nämlich Funktorkategorien, welche als:

$\mathbf {s} {\mathcal {C}}:=\mathbf {Fun} (\Delta ^{\mathrm {op} },{\mathcal {C}}),$

$\mathbf {c} {\mathcal {C}}:=\mathbf {Fun} (\Delta ,{\mathcal {C}})$

bezeichnet werden.

Beispiele

Ein simpliziales Objekt

• in $\mathbf {Set}$, der Kategorie der Mengen, ist eine simpliziale Menge.
• in $\mathbf {Grp}$, der Kategorie der Gruppen, ist eine simpliziale Gruppe.
• in $\mathbf {Top}$, der Kategorie der topologischen Räume, ist ein simplizialer topologischer Raum.

Weblinks

• simplicial object auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft: Simplizialer topologischer Raum

Ein simplizialer topologischer Raum ist im mathematischen Teilgebiet der Homotopischen Algebra ein simpliziales Objekt in der Kategorie der topologischen Räume.

Definition

Ein simplizaler topologischer Raum ist ein kontravarianter Funktor $\Delta \rightarrow \mathbf {Top}$ oder alternativ ein kovarianter Funktor $\Delta ^{\mathrm {op} }\rightarrow \mathbf {Top}$ aus der (dualen) Simplexkategorie in die Kategorie der topologischen Räume. Ein solcher besteht also aus einer Folge $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ von topologischen Räumen sowie stetigen Abbildungen $d_{i}^{n}\colon X_{n}\rightarrow X_{n-1}$ (englisch degeneracy map) und $s_{i}^{n}\colon X_{n}\rightarrow X_{n+1}$ (englisch face map) für alle $n\in \mathbb {N}$ und alle $0\leq i\leq n$, sodass die simplizialen Identitäten erfüllt sind.

Kategorie der simplizialen topologischen Räume

Die Kategorie der simplizialen Gruppen wird als $\mathbf {sTop} :=\mathbf {Fun} (\Delta ^{\mathrm {op} },\mathbf {Top} )$ (siehe Funktorkategorie) bezeichnet. Der kanonische Vergissfunktor $\mathbf {Top} \rightarrow \mathbf {Set}$ induziert durch Nachkomposition einen kanonsichen Funktor $\mathbf {sTop} \rightarrow \mathbf {sSet}$.

Weblinks

• simplicial topological space auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft: Simpliziale Gruppe

Eine simpliziale Gruppe ist im mathematischen Teilgebiet der Homotopischen Algebra ein simpliziales Objekt in der Kategorie der Gruppen.

Definition

Eine simplizale Gruppe ist ein kontravarianter Funktor $\Delta \rightarrow \mathbf {Grp}$ oder alternativ ein kovarianter Funktor $\Delta ^{\mathrm {op} }\rightarrow \mathbf {Grp}$ aus der (dualen) Simplexkategorie in die Kategorie der Gruppen. Ein solcher besteht also aus einer Folge $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ von Gruppen sowie Gruppenhomomorphismen $d_{i}^{n}\colon X_{n}\rightarrow X_{n-1}$ (englisch degeneracy map) und $s_{i}^{n}\colon X_{n}\rightarrow X_{n+1}$ (englisch face map) für alle $n\in \mathbb {N}$ und alle $0\leq i\leq n$, sodass die simplizialen Identitäten erfüllt sind.

Eigenschaften

• Die zugrundeliegende simpliziale Menge einer simplizialen Gruppe ist ein Kan-Komplex.

Anwendung

Eine wichtige Rolle spielen simpliziale abelsche Gruppen bei der Definition der singulären Homologie. Zentral ist dabei die Dold-Kan-Korrespondenz, welche zwar allgemein für abelsche Kategorien definiert ist, aber häufig für die Kategorie der simplizialen abelschen Gruppen verwendet wird. Singuläre Homologie in einem festen Grad kann dabei dargestellt werden als Komposition:

$H_{n}^{\mathrm {sing} }\colon \mathbf {Top} \xrightarrow {\operatorname {Sing} } \mathbf {sSet} \xrightarrow {\mathbb {Z} [-]} \mathbf {sAb} \xrightarrow {N} \mathbf {Ch} _{+}(\mathbf {Ab} )\xrightarrow {H_{n}} \mathbf {Ab}$

Dabei sind:

• $\operatorname {Sing} \colon \mathbf {Top} \rightarrow \mathbf {sSet}$ der singuläre Funktor, welcher rechtsadjungiert zur geometrischen Realisierung $|-|\colon \mathbf {sSet} \rightarrow \mathbf {Top}$ ist.
• $\mathbb {Z} [-]\colon \mathbf {sSet} \rightarrow \mathbf {sAb}$ die freie simpliziale abelsche Gruppe, welche sich durch Nachkomposition mit der freien abelschen Gruppe $\mathbb {Z} [-]\colon \mathbf {Set} \rightarrow \mathbf {Ab}$ ergibt. Da der hintere Funktor linksadjungiert zum Vergissfunktor $U\colon \mathbf {Ab} \rightarrow \mathbf {Set}$ ist, ist der vordere Funktor entsprechend linksadjungiert zu dem durch Nachkomposition mit diesem resultierenden Vergissfunktor $U\colon \mathbf {sAb} \rightarrow \mathbf {sSet}$. (Nach einem der obigen Eigenschaften faktorisiert dieser Funktor über $\mathbf {Kan}$.)
• $N\colon \mathbf {sAb} \rightarrow \mathbf {Ch} _{+}(\mathbf {Ab} )$ die Normalisierung, welche rechtsadjungiert zum Simplizierungsfunktor $\Gamma \colon \mathbf {Ch} _{+}(\mathbf {Ab} )\rightarrow \mathbf {sAb}$ ist. Das ist genau die Dold-Kan-Korrespondenz.

Kategorie der simplizialen Gruppen

Die Kategorie der simplizialen Gruppen wird als $\mathbf {sGrp} :=\mathbf {Fun} (\Delta ^{\mathrm {op} },\mathbf {Grp} )$ (siehe Funktorkategorie) bezeichnet. Der kanonische Vergissfunktor $\mathbf {Grp} \rightarrow \mathbf {Set}$ induziert durch Nachkomposition einen kanonsichen Funktor $\mathbf {sGrp} \rightarrow \mathbf {sSet}$. Nach einem der obigen Eigenschaften faktorisiert dieser Funktor über $\mathbf {Kan}$.

Weblinks

• simplicial group, simplicial abelian group und free simplicial abelian group auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Exotischer euklidischer Raum

Ein exotischer euklidischer Raum ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialtopologie eine glatte Mannigfaltigkeit, die homöomorph aber nicht diffeomorph zu einem euklidischen Raum ist.

Klassifikation

Kleiner exotischer euklidischer Raum

Ein exotischer $\mathbb {R} ^{4}$, der sich in den in den gewöhnlichen $\mathbb {R} ^{4}$ einbetten lässt, wird klein genannt.

Großer exotischer euklidischer Raum

Ein exotischer $\mathbb {R} ^{4}$, der sich nicht in den in den gewöhnlichen $\mathbb {R} ^{4}$ einbetten lässt, wird groß genannt.

Literatur

• Michael H. Freedman, Frank Quinn: Topology of 4-manifolds (= Princeton Mathematical Series. Band 39). Princeton University Press, Princeton, NJ 1990, ISBN 0-691-08577-3 (englisch, archive.org). 
• Michael H. Freedman, Laurence R. Taylor: A universal smoothing of four-space. In: Journal of Differential Geometry. 24. Jahrgang, Nr. 1, 1986, ISSN 0022-040X, S. 69–78, doi:10.4310/jdg/1214440258 (englisch, projecteuclid.org [abgerufen am 5. August 2024]). 
• Robion C. Kirby: The topology of 4-manifolds (= Lecture Notes in Mathematics. Band 1374). Springer-Verlag, Berlin 1989, ISBN 3-540-51148-2 (englisch). 
• Alexandru Scorpan: The wild world of 4-manifolds. American Mathematical Society, Providence, RI 2005, ISBN 978-0-8218-3749-8 (englisch). 
• John Stallings: The piecewise-linear structure of Euclidean space. In: Proc. Cambridge Philos. Soc. 58. Jahrgang, Nr. 3, 1962, S. 481–488, doi:10.1017/s0305004100036756, bibcode:1962PCPS...58..481S (englisch, cambridge.org). 
• Robert E. Gompf, András I. Stipsicz: 4-manifolds and Kirby calculus (= Graduate Studies in Mathematics. Band 20). American Mathematical Society, Providence, RI 1999, ISBN 0-8218-0994-6 (englisch). 
• Clifford Henry Taubes: Gauge theory on asymptotically periodic 4-manifolds. In: Journal of Differential Geometry. 25. Jahrgang, Nr. 3, 1987, 1214440981, S. 363–430, doi:10.4310/jdg/1214440981 (englisch, projecteuclid.org [abgerufen am 5. August 2024]). 

Exotische Sphäre

Eine exotische Sphäre ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialtopologie eine glatte Mannigfaltigkeit, die homöomorph aber nicht diffeomorph zu einer Standardsphäre ist.

Milnor-Sphäre

→ Hauptartikel: Milnor-Sphäre

John Milnor gab im Jahr 1956 die ersten Beispiele für exotische Sphären mithilfe von Vektorbündeln an. Brieskorn-Sphäre

→ Hauptartikel: Brieskorn-Sphäre

Egbert Brieskorn gab im Jahr 1966 eine alternative Konstruktionen für exotische Sphären als über Vektorbündel an.

Draft: Homotopietheorie

Sei $I=[0,1]$ das Einheitsintervall. Eine stetige Abbildung $h\colon X\times I\rightarrow Y$ wird eine Homotopie von $h_{0}=h(0,-)\colon X\rightarrow Y$ nach $h_{1}=h(1,-)\colon X\rightarrow Y$ genannt, diese werden dann homotop genannt. When $X$ und $Y$ jeweils punktierte Räume sind, dann müssen die Abbildungen $h_{t}=h(t,-)$ jeweils den Basispunkt festhalten, in diesem Fall ist $h$ eine punktierte Homotopie und XXXX. (Punktierte) Homotopie ist eine Äquivalenzrelation.

Für (punktierte) topologische Räume $X$ und $Y$ wird die Menge der (punktierte) stetigen Abbildungen $X\rightarrow Y$ als $C(X,Y)$ bzw. $C_{*}(X,Y)$ bezeichnet. Die Quotientenmenge unter der Äquivalenzrelation der (punktierten) Homotopie ist die (punktierte) Abbildungsklasse $[X,Y]$ bzw. $[X,Y]_{*}$, deren Elemente als (punktierte) Homotopieklassen bezeichnet werden.

Für einen punktierten topologischen Raum $X$ und eine natürliche Zahl $n\geq 1$ sei $\pi _{n}(X)=[S^{n},X]_{*}$ die Homotopieklasse XXXX.

Literatur

• Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge 2002, ISBN 0-521-79160-X (englisch, cornell.edu). 

Weblinks

• homotopy theory auf nLab (englisch)

Draft: Homotopiegruppen von Sphären

Die Homotopiegruppen der Sphären beschreiben im mathematischen Teilgebiet der Algebraischen Topologie wie Sphären verschiedener Dimension umeinander gewickelt werden können.

Literatur

• Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge 2002, ISBN 0-521-79160-X (englisch, cornell.edu). 

Weblinks

• homotopy groups of spheres auf nLab (englisch)

Douban

Douban (Chinese: 豆瓣; pinyin: Dòubàn), gestartet am 6. März 2005,

Douban ist nach einem Hutong im Stadtbezirk Chaoyang in Beijing benannt, in welchem Gründer Yang Bo während der Arbeit an der Webseite wohnte.

Douban hatte 2013 insgesamt 200 Millionen registierte Nutzer und einige chinesische Schriftsteller wie Kritiker registrieren dort ihre offiziellen eigenen Seiten. Die Webseite wurde mit anderen Reviewseiten wie IMDb, Rotten Tomatoes und Goodreads. verglichen.

Chinesische Science-Fiction

Chinesische Science-Fiction (traditionelles Chinese: 科學幻想, vereinfachtes Chinesisch: 科学幻想, Pinyin: kēxué huànxiǎng, meist abgekürzt zu 科幻/kēhuàn, wörtlich wissenschafltiche Fantasie) ist ein Genre der Literatur, welches sich mit potentiellen sozialen und technologischen Weiterentwicklung der Zukunft in Ostasien befasst.

Festlandchina

Späte Qing-Dynastie

Science-Fiction wurde in China beginnend mit der Übersetzung westlicher Science-Fiction-Werke während der späten Qing-Dynastie bekanntgemacht. Befürworter der westlichen Modernisierung wie Liang Qichao und Kang Youwei wollten diese als Werkzeug zur Unterstützung technologischer Neuerungen und wissenschaftlichen Fortschritts nutzen. Mit der Übersetzung von Zwei Jahre Ferien von Jules Verne in klassisches Chinesisch (als Fünfzehn kleine Helden) wurde Liang Qichao dabei zum ersten und einflussreichsten Antreiber der chinesischen Science-Fiction.

Das frühste eigenständige Werk der chinesischen Science-Fiction ist mutmaßlich der unfertige Roman Mondkolonie (月球殖民地小說), welcher im Jahr 1904 von einem unbekannten Autoren unter dem Pseudonym Alter Fischermann am abgelegenen Fluss (荒江釣叟) veröffentlicht wurde.

Zeit der Republik China

Nach dem Ende der Qing-Dynastie im Jahr 1911 ging China durch eine Serie von dramatischen sozialen und politischen Veränderungen, welche das Genre der Science-Fiction enorm beeinträchtigten.

Zeit der Volksrepublik China

1949–1966

Nach dem Chinesischen Bürgerkrieg (1945–49) und der Ausrufung der Volksrepublik China auf dem chinesischen Festland

1978–1983

Während der Kulturrevolution (1966–76) wurde wenig Literatur gedruckt und Science-Fiction verschwand aus Festlandchina. Im Jahr 1979 begann das neu gegründete Magazin Wissenschaftliche Literatur (科学文艺) übersetzte und neu geschriebene Science-Fiction zu veröffentlichen. Zheng Wenguang widmete sich während dieser Zeit wieder dem Schreiben von Science-Fiction. Tong Enzheng schrieb Todesstrahl auf einer Koralleninsel, welcher später der erste chinesische Science-Fiction-Film wurde. Andere einflussreiche Schriftsteller aus dieser Zeit sind Liu Xingshi, Wang Xiaoda, and der aus Hong Kong stammende Ni Kuang.

Taiwan

Taiwanesische Science-Fiction-Autoren sind unter anderem Wu Mingyi (吳明益), Zhang Xiaofeng (張曉風), Zhang Ziguo (张系国), Huang Hai (黃海), Huang Fan (黃凡), Ye Yandou (葉言都), Lin Yaode (林燿德), Zhang Dachun (張大春), Su Yiping (蘇逸平), Chi Ta-wei (紀大偉), Hong Ling (洪凌), Ye Xuan (葉軒), Mo Handu (漠寒渡), Yu Wo (御我), and Mo Ren (莫仁).

Malaysia

Zhang Cao (張草) ist ein malaysisch-chinesische Science-Ficition-Autor, welcher mehrere Romans in chinesischer Sprache veröffentlicht hat.

• Supernova (超新星纪元) von Liu Cixin, ISBN 978-3-641-24533-7.
• Kugelblitz (球状闪电) von Liu Cixin, ISBN 978-3-453-32030-7.
• Trisolaris-Trilogie (三体三部曲):
  • Die drei Sonnen (三体) von Liu Cixin, ISBN 978-3-453-31716-1.
  • Der dunkle Wald (黑暗森林) von Liu Cixin, ISBN 978-3-453-31765-9.
  • Jenseits der Zeit (死神永生) von Liu Cixin, ISBN 978-3-453-31766-6.

• Botschafter der Sterne (观想之宙) von Baoshu

• Vagabonds (流浪苍穹) von Hao Jingfang

• Jumpnauts (宇宙跃迁者) von Hao Jingfang

• Die Siliziuminsel (硅屿) von Chen Qiufan

• Die Kolonie (蚁生) von Wang Jinkang
• Hospital-Trilogie (医院三部曲):
  • Hospital (医院) von Han Song
  • Exorcism (驱魔) von Han Song
  • Dead Souls (亡灵) von Han Song

Sammlungen

• Die wandernde Erde von Liu Cixin, ISBN 978-3-453-31924-0.
• Hold Up the Sky von Liu Cixin, ISBN 978-7-5505-0883-5.
• Der Blick von den Sternen von Liu Cixin, ISBN 978-7-110-09821-9.

Anthologien

• Zerbrochene Sterne, ISBN 978-3-453-32058-1.

• Quantenträume, ISBN 978-3-453-31904-2.

• Invisible Planets

• Sinopticon

Zerbrochene Sterne

Zerbrochene Sterne (chinesisch 碎星星 / 碎星星, Pinyin Suì xīngxīng) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte der chinesischen Schriftstellerin Tang Fei, zuerst veröffentlicht im September 2016. Eine deutsche Übersetzung von Karin Betz erschien am 9. März 2020 in der Anthologie Zerbrochene Sterne, herausgegeben vom Heyne Verlag.

Handlung

Kritik

Kai U. Jürgens von diezukunft.de schreibt, die Kurzgeschichte habe „nichts mit Science-Fiction“ zu tun, bleibe aber „aufgrund ihrer irritierenden Stimmung in Erinnerung“.

Anjie Zheng schreibt in Words Without Borders, dass die Kurzgeschichte undurchsichtig und beunruhigend sei („an opaque and unsettling story“). Ohne Untersuchung der Motivation der Charaktere mit befriedigenden Gründen schockieren die monströsen Momente jedoch nur ohne Kontext. („But without further exploring their motivations, these monstrous acts shock without context, without providing a satisfying reason for doing so.“)

Weblinks

• Samuel Adrian Antz/Drafts in der Internet Speculative Fiction Database (englisch)
• 碎星星 in der Chinese Speculative Fiction Database (CSFDB)

U-Boote (chinesisch 潛艇 / 潜艇, Pinyin Qiántǐng) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des chinesischen Schriftstellers Han Song, zuerst veröffentlicht am 17. November 2014. Eine deutsche Übersetzung von Karin Betz erschien am 9. März 2020 in der Anthologie Zerbrochene Sterne, herausgegeben vom Heyne Verlag.

Handlung

Kritik

Kai U. Jürgens von diezukunft.de schreibt, die Kurzgeschichte ist einer „ganz eigenen Erzählwelt [....] verpflichtet“ und „entfaltet magischen Realismus“. Gary K. Wolfe schreibt im Locus Magazine, dass die Kurzgeschichte eine mächtige Metapher für ökonomische Unterdrückung sei („powerful metaphor for economic oppression“).

Weblinks

• Samuel Adrian Antz/Drafts in der Internet Speculative Fiction Database (englisch)
• 潜艇 in der Chinese Speculative Fiction Database (CSFDB)
• Ausschnitt aus U-Boote (deutsch)

Salinger und die Koreaner (chinesisch 塞林格與朝鮮人 / 塞林格與朝鮮人, Pinyin Sāilíngé yǔ cháoxiǎn rén) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des chinesischen Schriftstellers Han Song, zuerst veröffentlicht im Dezember 2016. Eine deutsche Übersetzung von Karin Betz erschien am 9. März 2020 in der Anthologie Zerbrochene Sterne, herausgegeben vom Heyne Verlag.

Handlung

Kritik

Kai U. Jürgens von diezukunft.de schreibt, die Kurzgeschichte ist einer „ganz eigenen Erzählwelt [....] verpflichtet“ und „eine ironische Geschichte, aber nicht ohne Seitenhieb auf die Rolle von Kultur innerhalb von totalitären Systemen“.

Gary K. Wolfe schreibt im Locus Magazine, dass die Kurzgeschichte eine absurde Einbildung sei, jedoch gut die Aufmerksamkeit auf ein wiederkehrendes Thema in Zerbrochene Sterne lenkt, nämlich die Macht und den Einfluss des Schreibens selbst („an absurdist conceit, but it also calls attention to another recurring, if some­what surprising theme in the anthology: the power and influence of writing itself“).

Anjie Zheng schreibt in Words Without Borders, dass die Kurzgeschichte bei ihr nicht angekommen sei („fell flat for me“), da die Änderung durch die „Bifurkation der Zeit“ nicht erklärt werde („coyly suggesting that “The Catcher in the Rye” caused this “bifurcation in time” (How? Why?)“).

Weblinks

• Samuel Adrian Antz/Drafts in der Internet Speculative Fiction Database (englisch)
• 塞林格与朝鲜人 in der Chinese Speculative Fiction Database (CSFDB)
• Salinger and the Koreans/塞林格與朝鮮人 (englisch/chinesisch)

Der herabhängende Himmel (chinesisch 倒懸的天空 / 倒悬的天空, Pinyin Dàoxuán de tiānkōng) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte der chinesischen Schriftstellerin Cheng Jingbo, zuerst veröffentlicht im Dezember 2004. Eine deutsche Übersetzung von Lukas Dubro, Felix Meyer zu Venne und Chong Shen erschien am 9. März 2020 in der Anthologie Zerbrochene Sterne, herausgegeben vom Heyne Verlag.

Handlung

Kritik

Gary K. Wolfe schreibt im Locus Magazine, dass die Kurzgeschichte charmant und lebendig sei („charming and vivid“).

Weblinks

• Samuel Adrian Antz/Drafts in der Internet Speculative Fiction Database (englisch)
• 倒悬的天空 in der Chinese Speculative Fiction Database (CSFDB)

Großes steht bevor (chinesisch 大時代 / 大時代, Pinyin Dà shídài) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des chinesischen Schriftstellers Baoshu, zuerst veröffentlicht im März 2015. Eine deutsche Übersetzung von Johannes Fiederling erschien am 9. März 2020 in der Anthologie Zerbrochene Sterne, herausgegeben vom Heyne Verlag.

Handlung

Kritik

Kai U. Jürgens von diezukunft.de schreibt, die Liebesgeschichte sei „etwas matt“, aber „schon wegen der Grundidee lohnt sich die Lektüre allemal“. Gunter Barnewald von phantastiknews.de schreibt, die Novelle ist die „mit Abstand stärkste Erzählung“ in Zerbrochene Sterne sowie „wirklich große Literatur“. In einer anderen Kritik (zu dessen Botschafter der Sterne) wird das Werk von ihm als „geniale Novelle“ bezeichnet. Heike Lindhold von teilzeithelden.de bezeichnet das Werk als „brillante Novelle“, welche sich bei „vielgestaltig und abwechslungsreich“ insbesondere „in dieser Hinsicht wirklich hervortut“.

Gary K. Wolfe schreibt im Locus Magazine, dass die Geschichte die längste und eindringlichste in Zerbrochene Sterne sei („the longest and most haunting story in the book“). Es gibt ein brillant umgesetztes Gefühl schwindender Erwartungen („brilliantly executed sense of diminishing expectations“), vergleichbar mit der ähnlichen Geschichte des Romans Time's Arrow von Martin Amis.

Alex Horman schreibt in At Boundary's Edge, dass Großes steht bevor alleine schon den Kauf von Zerbrochene Sterne wert macht („is worth the price of admission alone“). Es ist eine von ihm noch nicht gesehene Idee, welche vermutlich nicht erneut so gut ausgeführt werden wird („it’s built around an idea I’ve never seen done before, and doubt I’ll see as well executed again“). Es sei eine fantastische Idee und werde viel einfacher gelesen als jeder Versuch diese genauer zu beschreiben. („It’s a fantastic idea, and is also a much easier read than my garbled attempt at an explanation could ever be.“) Baoshu habe ein Talent dafür, Unmögliches perfekt verständlich zu machen, was Vorfreude auf Botschafter der Sterne mache. („Baoshu has a gift for making the impossible seem perfectly understandable, and it makes me more excited than ever for The Redemption of Time.“)

Siehe auch

• Der seltsame Fall des Benjamin Button (2008), Film von David Fincher über einen rückwärts alternden Mann, basierend auf einer Kurzgeschichte von F. Scott Fitzgerald (1922)

Weblinks

• Samuel Adrian Antz/Drafts in der Internet Speculative Fiction Database (englisch)
• 大时代 in der Chinese Speculative Fiction Database (CSFDB)

Der Neujahrszug (chinesisch 回家專列 / 回家专列, Pinyin Huí jiā zhuānliè) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte der chinesischen Schriftstellerin Hao Jingfang, zuerst veröffentlicht in ELLE China (世界时装之苑) im Januar 2017. Eine deutsche Übersetzung von Marc Hermann erschien am 9. März 2020 in der Anthologie Zerbrochene Sterne, herausgegeben vom Heyne Verlag.

Handlung

Weblinks

• Samuel Adrian Antz/Drafts in der Internet Speculative Fiction Database (englisch)
• 回家专列 in der Chinese Speculative Fiction Database (CSFDB)

Der Roboter, der gerne Quatsch erzählte (chinesisch 愛吹牛的機器人 / 爱吹牛的机器人, Pinyin Ài chuīniú de jīqìrén) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des chinesischen Schriftstellers Fei Dao, zuerst veröffentlicht in ZUI Found (文艺风赏·天才) im November 2014. Eine deutsche Übersetzung von Karin Betz erschien am 9. März 2020 in der Anthologie Zerbrochene Sterne, herausgegeben vom Heyne Verlag.

Handlung

Kritik

Gary K. Wolfe schreibt im Locus Magazine, dass die vehemente Verteidigung des Schwachsinns in der Geschichte zugleich eine Verteidigung des kreativen Schreibens im Allgemeinen ist, was nebenbei auch den Essayisten in den abschließenden Textpassagen von Zerbrochene Sterne im Kopf herumzugehen scheint. („The story’s ringing defense of bullshit is by extension a defense of imaginative writing in general – something that also seems to be on the minds of the essayists in the book’s conclud­ing selections.“)

Anjie Zheng schreibt in Words Without Borders, keinen Sinn in der Kurzgeschichte erkannt zu haben. („I also couldn’t make sense of the story of a robot.“)

Siehe auch

• Der Geschichten erzählende Roboter, ähnliche Kurzgeschichte von Fei Dao aus Quantenträume

Weblinks

• Samuel Adrian Antz/Drafts in der Internet Speculative Fiction Database (englisch)
• 爱吹牛的机器人 in der Chinese Speculative Fiction Database (CSFDB)

Der Schnee von Jinyang (chinesisch 晉陽三尺雪 / 晋阳三尺雪, Pinyin Jìn yáng sān chǐ xuě) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des chinesischen Schriftstellers Zhang Ran, zuerst veröffentlicht in New Science Fiction im Januar 2014. Eine deutsche Übersetzung von Lukas Dubro, Felix Meyer zu Venne und Chong Shen erschien am 9. März 2020 in der Anthologie Zerbrochene Sterne, herausgegeben vom Heyne Verlag.

Handlung

Kritik

Heike Lindhold von teilzeithelden.de findet die Kurzgeschichte „besonders mitleidlos“ geschildert.

Gary K. Wolfe schreibt im Locus Magazine, dass die Kurzgeschichte entzückend („delightful“) sei. Viele der Anspielungen werden vermutlich von westlichem Publikum wie ihm nicht erkannt, was jedoch auch über Lest Darkness Fall von Lyon Sprague de Camp gesagt werden kann. („Chances are that some of the allusions to Chinese history will sail over the heads of Western readers like me, but then the same might be said of the allusions to sixth-century Rome in a novel like de Camp’s Lest Darkness Fall.“)

Weblinks

• Samuel Adrian Antz/Drafts in der Internet Speculative Fiction Database (englisch)
• 晋阳三尺雪 in der Chinese Speculative Fiction Database (CSFDB)
• The Snow of Jinyang (englisch)
• 晋阳三尺雪 (chinesisch)

Das Restaurant am Ende des Universums: Laba-Porridge (chinesisch 宇宙盡頭的餐廳：臘八粥 / 宇宙尽头的餐馆：腊八粥, Pinyin Yǔzhòu jìntóu de cānguǎn: Làbāzhōu) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte der chinesischen Schriftstellerin Anna Wu, zuerst veröffentlicht im Mai 2014. Eine deutsche Übersetzung von Lukas Dubro, Felix Meyer zu Venne und Chong Shen erschien am 9. März 2020 in der Anthologie Zerbrochene Sterne, herausgegeben vom Heyne Verlag.

Handlung

Hintergrund

Das Restaurant am Ende des Universums stammt aus dem gleichnamigen zweiten Teil Das Restaurant am Ende des Universums der Romanreihe Per Anhalter durch die Galaxis von Douglas Adams, welcher darin ein gleichnamiger Reiseratgeber ist und in der Kurzgeschichte ebenfalls erwähnt wird. Das deutet an, dass die Kurzgeschichte im gleichen Universum angesiedelt ist. Die ebenfalls erwähnten „Drei-Körper-Menschen, so groß wie eine Streichholzschachtel vom System Alpha Centauri“ sind eine Referenz auf die Trisolarier (im chinesischen Original 三体人, Pinyin sāntǐrén, wörtlich „Drei-Körper-Mensch“) aus der Trisolaris-Trilogie von Liu Cixin, deren Größe jedoch darin nicht erwähnt wird. Die semikanonische Fortsetzung Botschafter der Sterne von Baoshu gibt zudem eine andere Antwort auf deren Größe.

Kritik

Anjie Zheng schreibt in Words Without Borders, dass die Kurzgeschichte mit Brainbox von Regina Kanyu Wang zu ihren beiden Lieblingsgeschichten in Zerbrochene Sterne gehört.

Weblinks

• Samuel Adrian Antz/Drafts in der Internet Speculative Fiction Database (englisch)
• 宇宙尽头的餐馆：腊八粥 in der Chinese Speculative Fiction Database (CSFDB)

Des ersten Kaisers liebstes Spiel (chinesisch 始皇帝的遊戲 / 始皇帝的游戏, Pinyin Shǐhuángdì de yóuxì) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des chinesischen Schriftstellers Ma Boyong, zuerst veröffentlicht unter dem alternativen Titel Emperor Qin Shihuangs's Holiday (秦始皇的假期) auf Douban am 30. März 2011 und später in Ninth Zone: Game (第九区：游戏) im Januar 2016. Eine deutsche Übersetzung von Karin Betz erschien am 9. März 2020 in der Anthologie Zerbrochene Sterne, herausgegeben vom Heyne Verlag.

Handlung

Kritik

Gary K. Wolfe schreibt im Locus Magazine, dass die Kurzgeschichte die lustigste in Zerbrochene Sterne sei („funniest story in the book“). Hinter den Witzen sei es jedoch beeindruckend wie einsichtsvoll Ma Boyong die tatsächlichen historischen Ereignisse in die Welt der Videospiele überführt. („What’s more fascinating, once you get beyond the jokes, is how insightfully Ma Boyong manages to map actual historical strategies onto the gaming template.“)

Weblinks

• Samuel Adrian Antz/Drafts in der Internet Speculative Fiction Database (englisch)
• 始皇帝的游戏 in der Chinese Speculative Fiction Database (CSFDB)
• 秦始皇的假期 (chinesisch)

Spiegelbild (chinesisch 倒影 / 倒影, Pinyin Dàoyǐng) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte der chinesischen Schriftstellerin Gu Shi, zuerst veröffentlicht im Juli 2013. Eine deutsche Übersetzung von Marc Hermann erschien am 9. März 2020 in der Anthologie Zerbrochene Sterne, herausgegeben vom Heyne Verlag.

Handlung

Weblinks

• Samuel Adrian Antz/Drafts in der Internet Speculative Fiction Database (englisch)
• 倒影 in der Chinese Speculative Fiction Database (CSFDB)

Brainbox (chinesisch 腦匣 / 脑匣, Pinyin Nǎo xiá) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte der chinesischen Schriftstellerin Regina Kanyu Wang, zuerst veröffentlicht im März 2018. Eine deutsche Übersetzung von Johannes Fiederling erschien am 9. März 2020 in der Anthologie Zerbrochene Sterne, herausgegeben vom Heyne Verlag.

Handlung

Kritik

Anjie Zheng schreibt in Words Without Borders, dass die Kurzgeschichte mit Das Restaurant am Ende des Universums: Laba-Porridge von Anna Wu zu ihren beiden Lieblingsgeschichten in Zerbrochene Sterne gehört.

Siehe auch

• Source Code (2011), Film von Duncan Jones über die erneute Durchlebung der letzten acht Minuten vor dem Tod

Weblinks

• Samuel Adrian Antz/Drafts in der Internet Speculative Fiction Database (englisch)
• 脑匣 in der Chinese Speculative Fiction Database (CSFDB)

Das Licht (chinesisch 開光 / 开光, Pinyin Kāiguāng) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des chinesischen Schriftstellers Chen Qiufan, zuerst veröffentlicht im Februar 2012. Eine deutsche Übersetzung von Marc Hermann erschien am 9. März 2020 in der Anthologie Zerbrochene Sterne, herausgegeben vom Heyne Verlag.

Handlung

Kritik

Gary K. Wolfe schreibt im Locus Magazine, dass die Vermischung von antikem Glauben und zeitgenössischer Technologie in der langen Tradition von Kurzgeschichten wie Die neun Milliarden Namen Gottes von Arthur C. Clarke steht (the collision of ancient belief and contemporary technology reflects the long SF tradition of stories like Clarke’s The Nine Billion Names of God“).

Weblinks

• Samuel Adrian Antz/Drafts in der Internet Speculative Fiction Database (englisch)
• 开光 in der Chinese Speculative Fiction Database (CSFDB)
• Coming of the Light (englisch)

Eine kurze Geschichte zukünftiger Krankheiten (chinesisch 未來病史 / 未来病史, Pinyin Wèilái bìngshǐ) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des chinesischen Schriftstellers Chen Qiufan, zuerst veröffentlicht im Dezember 2012. Eine deutsche Übersetzung von Marc Hermann erschien am 9. März 2020 in der Anthologie Zerbrochene Sterne, herausgegeben vom Heyne Verlag.

Handlung

Kritik

Kai U. Jürgens von diezukunft.de schreibt, die Kurzgeschichte ist eine „ironische Übersicht“ und kommt „ohne Figuren und Handlung im herkömmlichen Sinne“ aus, was aber in diesem Fall „nur von Vorteil“ ist.

Gary K. Wolfe schreibt im Locus Magazine, dass die Kurzgeschichte exzellent und reich an Ideen sei („an excellent, flight-of-ideas way“).

Alex Horman schreibt in At Boundary's Edge, dass die Kurzgeschichte seine Vorfreude auf die Übersetzung Die Siliziuminsel steigere („makes me excited for his upcoming translation of The Waste Tide“). Es sei schwierig, ein wissenschaftlich anmutendes Essay als Werk der Fiktion zu präsentieren, doch das gelinge Chen Qiufan. („It’s no mean feat to make an academic essay work as a piece of fiction, but he pulls it of with ease.“) Zudem seien viele der beschriebenen Krankheiten genau wie die Reaktionen der Gesellschaft befriedigend plausibel. („And a lot of the illnesses he describes are chillingly plausible, as are society’s reactions to them.“)

Weblinks

• Samuel Adrian Antz/Drafts in der Internet Speculative Fiction Database (englisch)
• 未来病史 in der Chinese Speculative Fiction Database (CSFDB)

Quantenträume

Chinesische Enzyklopädie: Lass uns reden (chinesisch 中國百科全書·黑屋 / 中国百科全书·黑屋, Pinyin Zhōngguó bǎikē quánshū·hēi wū), kurz auch nur Lass uns reden, ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte der chinesischen Schriftstellerin Xia Jia, zuerst veröffentlicht im April 2015. Eine deutsche Übersetzung von Marc Hermann erschien am 14. September 2020 in der Anthologie Quantenträume, herausgegeben vom Heyne Verlag.

Handlung

Siehe auch

• Chinesische Enzyklopädie: Babylonische Sprachverwirrung, anderer Teil der gleichen Reihe in Quantenträume
• Chinesische Enzyklopädie: Gute Nacht, Traurigkeit, anderer Teil der gleichen Reihe in Zerbrochene Sterne
• Story of Your Life (1998), Kurzgeschichte von Ted Chiang über eine Linguistin, welche die Sprache von Außerirdischen entschlüsseln muss
• Arrival (2016), Verfilmung von Story of Your Life von Denis Villeneuve

Weblinks

• Samuel Adrian Antz/Drafts in der Internet Speculative Fiction Database (englisch)
• 中国百科全书·黑屋 in der Chinese Speculative Fiction Database (CSFDB)
• Ausschnitt aus Chinesische Enzyklopädie: Lass uns reden (deutsch)

Chinesische Enzyklopädie: Babylonische Sprachverwirrung (chinesisch 中國百科全書兩章 / 中国百科全书·巴别乱, Pinyin Zhōngguó bǎikē quánshū liǎng zhāng), kurz auch nur Babylonische Sprachverwirrung, ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte der chinesischen Schriftstellerin Xia Jia, zuerst veröffentlicht im August 2015. Eine deutsche Übersetzung von Marc Hermann erschien am 14. September 2020 in der Anthologie Quantenträume, herausgegeben vom Heyne Verlag.

Handlung

Hintergrund

Babylonische Sprachverwirrung bezieht sich auf die Bibel auf 1. Mose (Genesis) 11,7–9 , in welcher Gott die Erbauer des Turms von Babel mit verschiedenen Sprachen sprechen lässt, sodass „keiner des andern Sprache verstehe“ und dadurch der Bau komplett zum Stillstand kommt.

Siehe auch

• Chinesische Enzyklopädie: Lass uns reden, anderer Teil der gleichen Reihe in Quantenträume
• Chinesische Enzyklopädie: Gute Nacht, Traurigkeit, anderer Teil der gleichen Reihe in Zerbrochene Sterne

Weblinks

• Samuel Adrian Antz/Drafts in der Internet Speculative Fiction Database (englisch)
• 中国百科全书·巴别乱 in der Chinese Speculative Fiction Database (CSFDB)

Das Hausmädchen (chinesisch 機器女傭 / 机器女佣, Pinyin Jīqì nǚ yōng) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des chinesischen Schriftstellers Liu Yang, zuerst veröffentlicht im Jahr 2014. Eine deutsche Übersetzung von Eva Lüdi Kong erschien am 14. September 2020 in der Anthologie Quantenträume, herausgegeben vom Heyne Verlag.

Handlung

Kritik

Josefson von der österreichischen Tageszeitung Der Standard findet, die Kurzgeschichte gehöre in Quantenträume zu den „Erlebnisse[n] der schlichten Art“, denn „keine von ihnen liefert eine auch nur annähernd überzeugende Darstellung von Künstlicher Intelligenz“.

Weblinks

• Samuel Adrian Antz/Drafts in der Internet Speculative Fiction Database (englisch)
• 机器女佣 in der Chinese Speculative Fiction Database (CSFDB)

Der Geschichten erzählende Roboter (chinesisch 講故事的機器人 / 讲故事的机器人, Pinyin Jiǎng gùshì de jīqìrén) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des chinesischen Schriftstellers Fei Dao, zuerst veröffentlicht im Oktober 2005. Eine deutsche Übersetzung von Eva Lüdi Kong erschien am 14. September 2020 in der Anthologie Quantenträume, herausgegeben vom Heyne Verlag.

Handlung

Kritik

Christin Endres von diezukunft.de schreibt, die Kurzgeschichte sei ein „hinreißende[r] Meta-Kniff“ und „absolut wunderbar“. Gunther Barnewald von phantastiknews.de findet die Kurzgeschichte „etwas schwächer“ als die anderen Geschichten in Quantenträume.

Siehe auch

• Der Roboter, der gerne Quatsch erzählte, ähnliche Kurzgeschichte von Fei Dao aus Zerbrochene Sterne

Weblinks

• Samuel Adrian Antz/Drafts in der Internet Speculative Fiction Database (englisch)
• 讲故事的机器人 in der Chinese Speculative Fiction Database (CSFDB)
• The Robot who liked to tell Tales (englisch)
• 讲故事的机器人 (chinesisch)

Der umgekehrte Turing-Test (chinesisch 逆向圖靈 / 逆向图灵, Pinyin Nìxiàng tú líng) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des chinesischen Schriftstellers Sun Wanglu, zuerst veröffentlicht im Januar 2016. Eine deutsche Übersetzung von Karin Betz erschien am 14. September 2020 in der Anthologie Quantenträume, herausgegeben vom Heyne Verlag.

Handlung

Kritik

Josefson von der österreichischen Tageszeitung Der Standard bezeichnete die Kurzgeschichte als „spannend“. Gunther Barnewald von phantastiknews.de findet die Kurzgeschichte „etwas schwächer“ als die anderen Geschichten in Quantenträume.

Weblinks

• Samuel Adrian Antz/Drafts in der Internet Speculative Fiction Database (englisch)
• 逆向图灵 in der Chinese Speculative Fiction Database (CSFDB)

Hotel Titania (chinesisch 泰坦尼亞客棧 / 泰坦尼亚客栈, Pinyin Tàitǎn ní yǎ kèzhàn) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des chinesischen Schriftstellers Luo Longxiang, zuerst veröffentlicht im November 2019. Eine deutsche Übersetzung von Karin Betz erschien am 14. September 2020 in der Anthologie Quantenträume, herausgegeben vom Heyne Verlag.

Handlung

Kritik

Christin Endres von diezukunft.de schreibt, die Kurzgeschichte „kommt auf die beste Weise oldschool und überzogen daher“. Gunther Barnewald von phantastiknews.de lobt die Kurzgeschichte als „hervorragend“. Josefson von der österreichischen Tageszeitung Der Standard findet, die „Resultate sind haarsträubend und, ja, auch lustig“, doch die Sprache der Roboter sei „allenfalls kindgerecht“.

Weblinks

• Samuel Adrian Antz/Drafts in der Internet Speculative Fiction Database (englisch)
• 泰坦尼亚客栈 in der Chinese Speculative Fiction Database (CSFDB)

Der Wannengeist (chinesisch 盆兒鬼與提箱人 / 盆儿鬼与提箱人, Pinyin Pén er guǐ yǔ tíxiāng rén) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte der chinesischen Schriftstellerin Shuang Chimu, zuerst veröffentlicht im Mai 2020. Eine deutsche Übersetzung von Marc Hermann erschien am 14. September 2020 in der Anthologie Quantenträume, herausgegeben vom Heyne Verlag.

Handlung

Hintergrund

Laut dem Vorwort beruht die Kurzgeschichte auf einer Adaption von Der Tontopf, einem anonymen Libretto aus der Yuan-Dynastie (1279–1368).

Kritik

Josefson von der österreichischen Tageszeitung Der Standard lobt, dass die Kurzgeschichte „eine tatsächlich andere Form von Intelligenz bzw. Persönlichkeit“ vorstellt.

Weblinks

• Samuel Adrian Antz/Drafts in der Internet Speculative Fiction Database (englisch)
• 盆儿鬼与提箱人 in der Chinese Speculative Fiction Database (CSFDB)

Cloud-Liebe (chinesisch 雲愛人 / 云爱人, Pinyin Yún àirén) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des chinesischen Schriftstellers Chen Qiufan, zuerst veröffentlicht im Februar 2018. Eine deutsche Übersetzung von Marc Hermann erschien am 14. September 2020 in der Anthologie Quantenträume, herausgegeben vom Heyne Verlag.

Handlung

Übersetzung

Eine italienische Übersetzung von Domenica Recupero erschien am 31. Juli 2019 in Futugrammi.

Kritik

Gunther Barnewald von phantastiknews.de findet, die „dröge Erzählung trübt etwas den hervorragenden Gesamteindruck“ von Quantenträume und sei „der eine große Flop“.

Weblinks

• Samuel Adrian Antz/Drafts in der Internet Speculative Fiction Database (englisch)
• 云爱人 in der Chinese Speculative Fiction Database (CSFDB)

Die Möbius-Raumzeit (chinesisch 莫比烏斯空間 / 莫比乌斯空间, Pinyin Mòbǐwūsī kōngjiān) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte der chinesischen Schriftstellerin Gu Shi, zuerst veröffentlicht im Juni 2016. Eine deutsche Übersetzung von Karin Betz erschien am 14. September 2020 in der Anthologie Quantenträume, herausgegeben vom Heyne Verlag.

Handlung

Übersetzung

Eine englische Übersetzung erschien im September 2017 im Clarkesworld Magazin.

Kritik

Josefson von der österreichischen Tageszeitung Der Standard bezeichnete die Kurzgeschichte als „faszinierend“.

Weblinks

• Samuel Adrian Antz/Drafts in der Internet Speculative Fiction Database (englisch)
• 莫比乌斯空间 in der Chinese Speculative Fiction Database (CSFDB)
• Möbius Continuum (englisch)

Mission: Rettung der Menschheit (chinesisch 使命: 拯救人類 / 使命: 拯救人类, Pinyin Shǐmìng: Zhěngjiù rénlèi) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des chinesischen Schriftstellers Liu Weijia, zuerst veröffentlicht in Contemporary Chinese Original Science Fiction (当代中国原创科幻小说丛书) im April 1999. Eine deutsche Übersetzung von Eva Lüdi Kong erschien am 14. September 2020 in der Anthologie Quantenträume, herausgegeben vom Heyne Verlag.

Handlung

Kritik

Christin Endres von diezukunft.de schreibt, die Kurzgeschichte sei „gleichermaßen packend wie einfühlsam“. Gunther Barnewald von phantastiknews.de lobt die Kurzgeschichte als „hervorragend“. Josefson von der österreichischen Tageszeitung Der Standard findet, die Kurzgeschichte gehöre in Quantenträume zu den „Erlebnisse[n] der schlichten Art“, denn „keine von ihnen liefert eine auch nur annähernd überzeugende Darstellung von Künstlicher Intelligenz“.

Markus Pohlmeyer von culturmag.de findet die Kurzgeschichte „lebt von Implikationen und Verfremdungseffekten“ und stellt dazu fest: „Wirkungsvoll die Ich-Perspektive des Roboters“. Abschließend ist dazu sein Fazit: „Auch wenn die Ich-Erzähl-Perspektive die Illusion erweckt, wir bekämen Einblick in das Denken dieses Roboters, bleibt dennoch die Frage offen, ob wir je das Innenleben/Bewusstsein/Selbst einer KI verstehen können. (Nein.)“ Darüber hinaus heißt es zu den Metaphern der Kurzgeschichte: „Deutlicher können die Bezüge zum Anfang des Buches Genesis gar nicht sein.“

Weblinks

• Samuel Adrian Antz/Drafts in der Internet Speculative Fiction Database (englisch)
• 使命: 拯救人类 in der Chinese Speculative Fiction Database (CSFDB)
• 使命: 拯救人类 (chinesisch)

Bekenntnis (chinesisch 我證 / 我证, Pinyin Wǒ zhèng) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des chinesischen Schriftstellers Wang Jinkang, zuerst veröffentlicht im März 2003. Eine deutsche Übersetzung von Karin Betz erschien am 14. September 2020 in der Anthologie Quantenträume, herausgegeben vom Heyne Verlag.

Handlung

Weblinks

• Samuel Adrian Antz/Drafts in der Internet Speculative Fiction Database (englisch)
• 我证 in der Chinese Speculative Fiction Database (CSFDB)

Wo bist du? (chinesisch 你在哪裡 / 你在哪儿, Pinyin Nǐ zài nǎ'er) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte der chinesischen Schriftstellerin Hao Jingfang, zuerst veröffentlicht im Oktober 2017. Eine deutsche Übersetzung von Michael Kahn-Ackermann erschien am 14. September 2020 in der Anthologie Quantenträume, herausgegeben vom Heyne Verlag.

Handlung

Übersetzung

Eine koreanische Übersetzung erschien am 27. März 2020.

Siehe auch

• Steve Fever, Kurzgeschichte von Greg Egan über virtuelle Doppelgänger

Weblinks

• Samuel Adrian Antz/Drafts in der Internet Speculative Fiction Database (englisch)
• 你在哪儿 in der Chinese Speculative Fiction Database (CSFDB)

Tochter des Meeres (chinesisch 海的女兒 / 海的女儿, Pinyin Hǎi de nǚ'ér) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des chinesischen Schriftstellers Baoshu, zuerst veröffentlicht im November 2012. Eine deutsche Übersetzung von Johannes Fiederling erschien am 14. September 2020 in der Anthologie Quantenträume, herausgegeben vom Heyne Verlag.

Handlung

Kritik

Josefson von der österreichischen Tageszeitung Der Standard lobt, dass sich die Kurzgeschichte „in ein etwas exotischeres Ambiente“ vorwagt.

Weblinks

• Samuel Adrian Antz/Drafts in der Internet Speculative Fiction Database (englisch)
• 海的女儿 in der Chinese Speculative Fiction Database (CSFDB)

Mordfall LW31 (chinesisch LW31謀殺案 / LW31谋杀案, Pinyin LW31 móushā àn) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des chinesischen Schriftstellers A Que, zuerst veröffentlicht im Juli 2013. Eine deutsche Übersetzung von Johannes Fiederling erschien am 14. September 2020 in der Anthologie Quantenträume, herausgegeben vom Heyne Verlag.

Handlung

Kritik

Christin Endres von diezukunft.de schreibt, die Kurzgeschichte habe „massig Hardboiled-Stimmung, wenn nicht gar ein bisschen „Blade Runner“-Atmosphäre“. Josefson von der österreichischen Tageszeitung Der Standard findet, die Kurzgeschichte gehöre in Quantenträume zu den „Erlebnisse[n] der schlichten Art“, denn „keine von ihnen liefert eine auch nur annähernd überzeugende Darstellung von Künstlicher Intelligenz“.

Weblinks

• Samuel Adrian Antz/Drafts in der Internet Speculative Fiction Database (englisch)
• LW31谋杀案 in der Chinese Speculative Fiction Database (CSFDB)

Der neue Tag (im Original 2012: The New Day) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte der chinesischen Schriftstellerin Ling Chen, zuerst veröffentlicht im Januar 2012. Eine deutsche Übersetzung von Michael Kahn-Ackermann erschien am 14. September 2020 in der Anthologie Quantenträume, herausgegeben vom Heyne Verlag.

Handlung

Kritik

Gunther Barnewald von phantastiknews.de findet die Kurzgeschichte „etwas schwächer“ als die anderen Geschichten in Quantenträume.

Weblinks

• Samuel Adrian Antz/Drafts in der Internet Speculative Fiction Database (englisch)
• 2012: The New Day in der Chinese Speculative Fiction Database (CSFDB)

Der Erleuchtete (chinesisch 佛性 / 佛性, Pinyin Fú xìng) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des chinesischen Schriftstellers Han Song, zuerst veröffentlicht im Mai 2015. Eine deutsche Übersetzung von Karin Betz erschien am 14. September 2020 in der Anthologie Quantenträume, herausgegeben vom Heyne Verlag.

Handlung

Hintergrund

Han Song basierte die Kurzgeschichte auf seinem eigenen Glauben und starkem Interesse am Buddhismus.

Kritik

Markus Pohlmeyer schreibt auf culturmag.de, dass die Kurzgeschichte „ein gutes Beispiel für Transrobotismus sei“, aber „es kommt noch provokativer, verrückter“.Dabei gäbe es „eine gewisse Nachahmung der Flower Power-Bewegung mit einem Hang zu fernöstlichen Religionen“.

Siehe auch

• Hospital (2016), Roman von Han Song mit zahlreichen buddhistischen Elementen

Weblinks

• Samuel Adrian Antz/Drafts in der Internet Speculative Fiction Database (englisch)
• 佛性 in der Chinese Speculative Fiction Database (CSFDB)

Draft: Shanghai Fortress

Shanghai Fortress (chinesisch 上海堡垒, Pinyin shànghǎi bǎolěi) ist ein chinesischer Science-Fiction-Film aus dem Jahr 2019 unter der Regie von Teng Huatao und mit Beteiligung von Lu Han und Shu Qi. Die Geschichte basiert auf dem gleichnamigen Science-Fiction-Roman von Jiang Nan (auch bekannt als Once Upon a Time in Shanghai), in welchem die Menschheit sich gegen Außerirdische verteidigen muss, welche die Erde im Jahr 2042 wegen einer versteckten Energiequelle angreifen. Die Premiere des Films war am 9. August 2019 in China. Es war der letzte Film mit Godfrey Gao vor seinem Tod am 27. November 2019.

Handlung

In der nahen Zukunft stößt die Menschheit im Weltraum auf die Energiequelle Xianteng (仙藤, xiānténg), welche innerhalb weniger Jahre andere Energieträger wie Öl und Kohle vollständig ersetzt und die Entwicklung zahlreicher Städte rasant vorantreibt. Auf der Suche nach Xianteng greifen ein außerirdisches Mutterschiff und eine begleitende Zerstörerflotte nacheinander die darüber verfügenden Städte an. Die letzte verbleibende Stadt ist Shanghai, welche von einem schützenden Kraftfeld komplett umgeben ist. In einem Simulationszentrum beobachten Kommandantin Lin Lan und Offizier Shao Yiyun eine Übung von Jiang Yang, Zeng Yu und Lu Yiyi gegen den bevorstehenden Angriff durch die Steuerung von Abwehrdrohnen. Jiang Yang ist heimlich in Lin Lan verliebt und schreibt ihr abends eine Nachricht.

Das außerirdische Mutterschiff erreicht Shanghai und feuert auf das Kraftfeld, um durch die dabei entstehenden Löcher einen Schwarm an Robotern eindringen zu lassen. Der Angriff kann vorerst abgewehrt werden. Als eine Schwachstelle am Mutterschiff entdeckt wird, schlägt der Kanonen-Kommandant Yang Jiannan, welcher mit Lin Lan verlobt ist, den Einsatz der Shanghai-Kanone (上海大炮, shànghǎi dàpào) vor, die sich im Huangpu-Fluss befindet. Shao Yiyun lehnt das ohne weitere Kenntnisse über den Feind zunächst ab und führt Lin Lan anschließend in eine unterirdische Höhle, in welcher Xianteng aufbewahrt wird. Inzwischen hat es begonnen, sich selbst zu reproduzieren und speist zudem das schützende Kraftfeld von Shanghai. Ein Einsatz der Shanghai-Kanone könnte dieses daher massiv schwächen.

Besetzung

• Lu Han als Jiang Yang (江洋)
• Shu Qi als Lin Lan (林澜)
• Godfrey Gao als Yang Jiannan (杨建南)
• Shi Liang als Shao Yiyun (邵一云)
• Wang Sen als Pan Hantian
• Wang Gongliang als Zeng Yu (曾煜)
• Sun Jialing als Lu Yiyi (路依依)

Veröffentlichung

Der erste Trailer für den Film wurde am 10. Februar 2019 veröffentlicht. Der Film wurde am 9. August 2019 in China veröffentlicht.

Weblinks

• Shanghai Fortress auf IMDb
• Shanghai Fortress auf Douban (chinesisch)
• Shanghai Fortress auf Mtime.com (chinesisch)

Draft: Die Kolonie

Die Kolonie (chinesisch 蚁生, Pinyin yǐshēng 'Ameisenleben') ist ein Science-Fiction-Roman des chinesischen Schriftstellers Wang Jinkang.

Gemäß einer Bemerkung zu Beginn des Buches sind zwar die Charaktere und die Handlung frei erfunden, basieren jedoch auf wahren Begebenheiten, welche Wang Jinkang während der Kulturrevolution selbst erlebt hat.

Handlung

Buch I: Die Ameisen

In der Nacht wird Cen Mingxia von Lai Ansheng vergewaltigt, wobei Sun Xiaoxiao alles heimlich mitbekommt. Sie erzählt es ihrer Freundin Guo Qiuyun, die es wiederum ihrem Freund Yan Zhe erzählt. Dieser plant daraufhin völlig aufgebracht eine Anzeige. Guo Qiuyun rät Yan Zhe jedoch davon ab, da Cen Mingxia wohl aus Scham und Sun Xiaoxiao wohl durch Druck von Lai Ansheng alles abstreiten würden und Lai Ansheng anschließend Yan Zhe der Intrige gegen einen revolutionären Führungskader beschuldigen könnte. Zhuang Xuexu tritt an die beiden heran und behauptet, dass Lai Ansheng darüber hinaus sogar erfahren hat, dass Yan Zhe ihn anzeigen will, und ihn daher zur eigenen Sicherheit von zwei anderen Jungen der Farm, Chen Decai und Chen Xiukuan, ermorden lassen will. Yan Zhe ist wegen seines „Schatzes“ zwar völlig unbesorgt, doch Guo Qiuyun hält ohne sein Mitwissen verzweifelt Wache in einem Baum vor seiner Hütte. Dabei denkt sie an den Suizid seiner Eltern zurück, an welchen sie sich schuldig fühlt.

Zu Beginn der Kulturrevolution wurden Yan Fuzhi (wegen seinen Behauptungen zur kollektiven Struktur von Ameisenkolonien) und seine Ehefrau Yuan Chenlu (wegen eines zu freizügigen Urlaubsfotos) in Beiyin schnell als Feindbilder angesehen. Yan Fuzhi wird erst öffentlich denuziert und dann geschlagen, erstmals auf dem Schulhof von dem Oberstufenschüler XXXX Jiasheng. Guo Qiuyun versucht derweil bei Zhuang Xuexu, der inzwischen zum Vorsitzenden der XXXX ernannt wurde, die sofortige Beendigung der Quälerei des Vaters ihres Freundes zu erwirken. Doch Zhuang Xuexu, der einst in sie verliebt gewesen war und sich wegen ihrer Beziehung zu Yan Zhe an ihr rächen will, ignoriert die Forderung. Nachdem Zhuang Xuexu auf einem Abbild von Mao Zedong das Wort „Tyrann“ zu erkennen glaubt, ruft er tief nachts die gesamte Mittelschule dazu auf, sich zu rächen. Guo Qiuyun wird von ihren Zweifeln, ob ihre gestrige Anfrage zum Einhalt als konterrevolutionär verurteilt werden könnte, sowie (wesentlich stärker) von der aufgebrachten Masse gepackt und tritt einen der am Boden liegenden XXXX. Als dieser sich umdreht, erkennt sie den blutbeschmierten Yan Fuzhi, worauf sie verzweifelt davonläuft und von völligem Unverständnis geplagt wird, wie die aufgebrachte Masse sie überhaupt dazu bringen konnte. (Auch XXXX Jiasheng würde seine grausame Tat einige Zeit später auf ähnliche Weise bereuen.) Yuan Chenlu ruft nach der Aktion verzweifelt die Wachen herbei und enthüllt, dass sie und ihr Ehemann Yan Fuzhi vorab geplant hatten, gemeinsam Suizid mit in ihren Schuhsohlen versteckten Rasierklingen zu begehen, sofern die Lage zu aussichtslos sei. Sie fürchtet, dass Yan Fuzhi den Zeitpunkt nun für gekommen hält, und zeigt eine halbe Rasierklinge als Beweis. Tatsächlich hat Yan Fuzhi bereits Suizid begangen. Guo Qiuyun wird aufgrund ihrer Beziehung absichtlich als Wache für Yuan Chenlu eingeteilt und überlegt, ihr die Mitschuld am Suizid von Yan Fuzhi anzuvertrauen. Sie glaubt, dass dieser gerade bei ihrem Anblick jede Hoffnung verloren habe. Stattdessen versichert sie Yuan Chenlu, ihrem Sohn Yan Zhe als seine Freundin beizustehen. Yuan Chenlu begeht daraufhin heimlich Suizid mit der versteckten anderen Hälfte der Rasierklinge. Guo Qiuyun fühlt sich erneut schuldig, da sie glaubt, ihr mit ihrer Bemerkung die letzte Hürde genommen zu haben.

Im frühen Morgengrauen hört Guo Qiuyun von ihrem Versteck aus unbemerkt ein Gespräch von Chen Decai und Chen Xiukuan. Diese diskutieren über ein Mädchen, welches alle drei (inklusive Lai Ansheng) bereits vergewaltigt haben. Guo Qiuyun vermutet dabei jedoch nicht Cen Mingxia, sondern ein ganz anderes Mädchen. Das weitere Gespräche bestätigt die Gerüchte über den geplanten Mord an Yan Zhe. Als Chen XXXX sich drücken will, erinnert ihn Chen XXXX daran, dass ihnen allen die Erschießung droht und sie daher nichts mehr zu verlieren haben. Lei Ansheng teilt Yan Zhe anschließend bei der morgendlichen Versammlung unüblich in eine Gruppe mit den beiden ein, um fernab Besorgungen zu machen. Yan Zhe versichert Guo Qiuyun, dass sie sich keine Sorgen machen braucht, holt seinen „Schatz“ und läuft mit beiden davon.

Buch II: Die Königin

Buch III: Das Serum

Draft: Liu Cixin

Liu Cixin ist verheiratet und hat eine Tochter. Ihr ist sein Roman Supernova gewidmet, wobei beide in diesem sogar namentlich auftreten. Laut eigener Aussage haben jedoch weder seine Frau noch Tochter seine Werke je gelesen. Liu Cixin lebt in Taiyuan.

Seine Fans bezeichneten sich früher selbst als Magnete (XXXX, Pinyin XXXX). Von seinen Fans wird Liu Cixin auch 'Lehrer Liu' (刘老师, Pinyin liú lǎoshī) oder 'Großer Liu' (大刘, Pinyin dà liú), genannt. Letztere Bezeichnung wird in China sogar auf einigen Ausgaben seiner Publikationen verwendet. In deutschen Ausgaben, etwa im Vorwort der Kurzgeschichte „Großes steht bevor“ von Baoshu (erschienen in der Anthologie „Zerbrochene Sterne“), wird dafür die Übersetzung 'Großmeister Liu' verwendet.

Barack Obama zeigte sich als großer Fan der Trisolaris-Trilogie, listete das erste Buch „Die drei Sonnen“ in seiner Buchleseliste für den Sommer 20XX und nannte es in einem Interview „wildly imaginative, really interesting“. Bei einem Besuch von Obama in Beijing im XXXX 20XX

Am 20. April 2023 hielt Liu Cixin anlässlich des Chinese Language Day eine Rede vor den Vereinten Nationen.

Draft: Die wandernde Erde III

Hintergrund

Einige Fans nennen den Film scherzhaft "Das wandernde Ohr"(流浪耳朵). Das liegt daran, dass das offizielle Poster des zweiten Teils das letzte "H" des englischen Titels ("THE WANDERING EARTH") in die römische Zahl "II" umwandelte und daher einige nicht offizielle Poster des dritten Teils das "TH" in "III", was "EARTH" (englisch für Erde) auf "EAR" (englisch für Ohr) reduziert. Aber es wird erwartet, dass das offizielle Poster stattdessen das "E" in die chinesische Zahl "三" umwandeln wird, um ebenfalls Die drei Sonnen (三体) von Liu Cixin zu referenzieren.

Draft: Hold Up The Sky (de)

The Time Migration (englisch für Zeitmigration, chinesisch 时间移民, Pinyin shíjiān yímín) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des chinesischen Schriftstellers Liu Cixin, zuerst veröffentlicht im April 2010. Im Jahr 2020 erschien die Kurzgeschichte in der Sammlung Hold Up the Sky, herausgegeben von Head of Zeus/Ad Astra im Oktober 2020 und später ebenfalls von Subterranean Press (als To Hold Up the Sky) im Jahr 2021.

Handlung

Weblinks

• 时间移民 in der Internet Speculative Fiction Database (ISFDB)
• 时间移民 in der Chinese Speculative Fiction Database (CSFDB)

== Einzelnachweise ==

<references/>

[[Kategorie:Literarisches Werk]]

[[Kategorie:Science-Fiction-Literatur]]

[[Kategorie:Kurzgeschichte]]

[[Kategorie:Literatur (21. Jahrhundert)]]

[[Kategorie:Literatur (Chinesisch)]]

Fire in the Earth (englisch für Feuer in der Erde, chinesisch 地火, Pinyin de huǒ) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des chinesischen Schriftstellers Liu Cixin, zuerst veröffentlicht in Science Fiction World (chinesisch 科幻世界, Pinyin kēhuàn shìjiè) in Chengdu in der Provinz Sichuan im Februar 2000. Im Jahr 2020 erschien die Kurzgeschichte in der Sammlung Hold Up the Sky, herausgegeben von Head of Zeus/Ad Astra im Oktober 2020 und später ebenfalls von Subterranean Press (als To Hold Up the Sky) im Jahr 2021.

Handlung

Weblinks

• 地火 in der Internet Speculative Fiction Database (ISFDB)
• 地火 in der Chinese Speculative Fiction Database (CSFDB)

== Einzelnachweise ==

<references/>

[[Kategorie:Literarisches Werk]]

[[Kategorie:Science-Fiction-Literatur]]

[[Kategorie:Kurzgeschichte]]

[[Kategorie:Literatur (21. Jahrhundert)]]

[[Kategorie:Literatur (Chinesisch)]]

Full-Spectrum Barrage Jamming (englisch für Rocken auf ganzer Frequenz, chinesisch 全频带阻塞干扰, Pinyin quán píndài zǔsè gānrǎo) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des chinesischen Schriftstellers Liu Cixin, zuerst veröffentlicht in Science Fiction World (chinesisch 科幻世界, Pinyin kēhuàn shìjiè) in Chengdu in der Provinz Sichuan im März 2009. Im Jahr 2020 erschien die Kurzgeschichte in der Sammlung Hold Up the Sky, herausgegeben von Head of Zeus/Ad Astra im Oktober 2020 und später ebenfalls von Subterranean Press (als To Hold Up the Sky) im Jahr 2021.

Handlung

Auszeichnung

Die Kurzgeschichte gewann den Galaxy Award im Jahr 2001.

Weblinks

• 全频带阻塞干扰 in der Internet Speculative Fiction Database (ISFDB)
• 全频带阻塞干扰 in der Chinese Speculative Fiction Database (CSFDB)

== Einzelnachweise ==

<references/>

[[Kategorie:Literarisches Werk]]

[[Kategorie:Science-Fiction-Literatur]]

[[Kategorie:Kurzgeschichte]]

[[Kategorie:Literatur (21. Jahrhundert)]]

[[Kategorie:Literatur (Chinesisch)]]

Cloud of Poems (englisch für Wolke der Gedichte, chinesisch 诗云, Pinyin shīyún) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des chinesischen Schriftstellers Liu Cixin, zuerst veröffentlicht in Science Fiction World (chinesisch 科幻世界, Pinyin kēhuàn shìjiè) in Chengdu in der Provinz Sichuan im März 2003. Im Jahr 2020 erschien die Kurzgeschichte in der Sammlung Hold Up the Sky, herausgegeben von Head of Zeus/Ad Astra im Oktober 2020 und später ebenfalls von Subterranean Press (als To Hold Up the Sky) im Jahr 2021.

Handlung

Nach den Ereignissen von Weltenzerstörer kehrte dieser zur Erde zurück und half diese auszuhöhlen und eine Welt für Menschen darin zu erschaffen. Die Sonne im Zentrum ist tatsächlich ein Weißes Loch, welches das Licht vom zugehörigen Schwarzen Loch im Orbit um einen anderen Stern abstrahlt. Künstliche Gravitation wird durch eine schnellere Erdrotation erzeugt, sodass keine an den Polen herrscht. Der Mensch Yiyi, der Dinosaurier Großzahn und ein außerirdischer Klon des chinesischen Dichters Li Bai sind auf dem Weg zum Südpol, um die Erde zu verlassen und die Wolke der Gedichte anzusehen. Zuvor hatten die Dinosaurier den Kontakt mit einer gottgleichen außerirdischen Zivilisation hergestellt, die wegen ihrer fortgeschrittenen Technologie auf Literatur herabsieht. Einer der Götter redet mit Yiyi und Großzahn und klont Li Bai, um sein Bewusstsein in diesen zu übertragen und diese Ansicht zu demonstrieren. Nachdem Yiyi immer noch widerspricht, da es für Außerirdische einfach unmöglich ist wie Menschen zu fühlen und zu denken, will Li Bai das ganze Sonnensystem in einen Speicher umwandeln und jedes mögliche Gedicht schreiben, um seine ursprüngliche Version zu übertreffen. Eine Flotte seiner Zivilisation trifft ein und vernichtet ebenfalls den Weltenzerstörer, wobei nur wenige Dinosaurier zur Erde entkommen. Danach wird der Nebel erschaffen, den Yiyi, Großzahn und Li Bai nach Verlassen der Erde sehen können. Yiyi ist nun beeindruckt von der Technologie während Li Bai sich an den erschaffenen Gedichten erfreut und sogar von einem erzählt, in welchem sein Freund Yiyi wahre Liebe findet.

Weblinks

• 诗云 in der Internet Speculative Fiction Database (ISFDB)
• 诗云 in der Chinese Speculative Fiction Database (CSFDB)

== Einzelnachweise ==

<references/>

[[Kategorie:Literarisches Werk]]

[[Kategorie:Science-Fiction-Literatur]]

[[Kategorie:Kurzgeschichte]]

[[Kategorie:Literatur (21. Jahrhundert)]]

[[Kategorie:Literatur (Chinesisch)]]

The Thinker (englisch für Der Denker, chinesisch 思想者, Pinyin sīxiǎng zhě) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des chinesischen Schriftstellers Liu Cixin, zuerst veröffentlicht in Science Fiction World (chinesisch 科幻世界, Pinyin kēhuàn shìjiè) in Chengdu in der Provinz Sichuan im Dezember 2003. Im Jahr 2020 erschien die Kurzgeschichte in der Sammlung Hold Up the Sky, herausgegeben von Head of Zeus/Ad Astra im Oktober 2020 und später ebenfalls von Subterranean Press (als To Hold Up the Sky) im Jahr 2021.

Weblinks

• 思想者 in der Internet Speculative Fiction Database (ISFDB)
• 思想者 in der Chinese Speculative Fiction Database (CSFDB)

== Einzelnachweise ==

<references/>

[[Kategorie:Literarisches Werk]]

[[Kategorie:Science-Fiction-Literatur]]

[[Kategorie:Kurzgeschichte]]

[[Kategorie:Literatur (21. Jahrhundert)]]

[[Kategorie:Literatur (Chinesisch)]]

Hintergrund

Die Kurzgeschichte „Ode to Joy“ (2005) wird unter ihrem Titel als alternative Geschichte des Sophons bezeichnet, einer außerirdischen Pikotechnologie aus „Die drei Sonnen“ (2006), einem Roman von Liu Cixin. Die Beschreibungen des sich selbst bewussten Objektes in beiden Werken gleichen einander dabei in den wichtigsten Punkten.

Andere Teile der Trisolaris-Trilogie haben ihre Wurzel ebenfalls in den Kurzgeschichten. So gibt es einen theoretischen Physiker namens Ding Yi, der gerne Pfeife raucht, sowohl in „Contraction“ (1985) als auch in der Trisolaris-Trilogie (2006-2010) sowie der im selben Universum spielenden Vorgeschichte „Kugelblitz“ (2004). Der Vergleich der Milchstraße mit einem Gehirn und der „Lähmung“ aufgrund der langsamen Lichtgeschwindigkeit aus „The Thinker“ (2003) findet sich in ganz ähnlicher Formulierung als „Dreihunderttausend-Syndrom“ ebenfalls in „Jenseits der Zeit“ (2010).

Draft: Hospital-Trilogie

Die Hospital-Trilogie (chinesisch 医院三部曲, Pinyin yīyuàn sān bù qǔ) ist eine dystopischer Science-Fiction-Trilogie des chinesischen Schriftstellers Han Song, bestehend aus dem Romanen Hospital, Exorcism und Dead Souls.

Romane

• Hospital: Auf Chinesisch erschienen am 1. Juni 2016. Eine englische Übersetzung von Michael Berry erschien am 28. März 2023.
• Exorcism: Auf Chinesisch erschienen im Mai 2017. Eine englische Übersetzung von Michael Berry erschien am 28. November 2023.
• Dead Souls: Auf Chinesisch erschienen im Mai 2018. Eine englische Übersetzung von Michael Berry erschien am 7. Januar 2025.

Übersetzung

Michael Berry berichtete von der Übersetzung der Hospital-Trilogie in The Paris Review am 26. Januar 2024, dass diese ihn voll eingenommen und sogar verfolgt habe („translating the trilogy has fully consumed, even haunted me“). Sein Fazit ist, von der Trilogie immer mehr wie ein Traum oder sogar Alptraum zu denken, die auf einer tiefen Ebene des Bewusstseins stattfindet und erlebt statt intellektualisiert oder analyisiert werden sollte („think of the trilogy as a dream, or a nightmare, taking place on a deep subconscious level; it is meant to be experienced more than intellectualized or analyzed“).

Weblinks

• Hospital-Trilogie in der Internet Speculative Fiction Database (ISFDB)

Draft: Exorcism (de)

Exorcism (chinesisch 驱魔, Pinyin qūmó) ist ein dystopischer Science-Fiction-Roman des chinesischen Schriftstellers Han Song und der zweite Teil der Hospital-Trilogie (chinesisch 医院三部曲, Pinyin yīyuàn sān bù qǔ). Die chinesische Ausgabe erschien im Mai 2017 beim Shanghai Literature and Art Publishing House (chinesisch 上海文艺术出, Pinyin shànghǎi wén yìshù chū). Die englische Ausgabe erschien am 28. November 2023 bei Amazon Crossing. Die Übersetzung stammt von Michael Berry.

Handlung

Kritik

Auf Douban erreichte Exorcism eine Bewertung von 7,1/10 Sternen.

Weblinks

• Exorcism (englische Version), Exorcism (chinesische Version) in der Internet Speculative Fiction Database (ISFDB)
• Exorcism auf Douban (chinesisch)

Draft: Dead Souls (de)

Dead Souls (chinesisch 亡灵, Pinyin wánglíng) ist ein dystopischer Science-Fiction-Roman des chinesischen Schriftstellers Han Song und der dritte Teil der Hospital-Trilogie (chinesisch 医院三部曲, Pinyin yīyuàn sān bù qǔ). Die chinesische Ausgabe erschien im Mai 2018 beim Shanghai Literature and Art Publishing House (chinesisch 上海文艺术出, Pinyin shànghǎi wén yìshù chū). Die englische Ausgabe erschien am XXXX bei Amazon Crossing. Die Übersetzung stammt von Michael Berry.

Handlung

Kritik

Auf Douban erreichte Dead Souls eine Bewertung von 8,1/10 Sternen.

Weblinks

• Dead Souls (englische Version), Dead Souls (chinesische Version) in der Internet Speculative Fiction Database (ISFDB)
• Dead Souls auf Douban (chinesisch)

Draft: Die Siliziuminsel

Die Siliziuminsel (chinesisch 荒潮, Pinyin huāng cháo) ist ein Science-Fiction-Roman des chinesischen Schriftstellers Chen Qiufan. Es ist der erste von ihm verfasste. Die deutsche Ausgabe wurde am 9. September 2019 vom Heyne Verlag veröffentlicht. Die Übersetzung stammt von Marc Hermann.

Handlung

Kritik

Draft: Klassifizierender Raum von Sp(n)

Der klassifizierende Raum $\operatorname {BSp} (n)$ der symplektischen Lie-Gruppe $\operatorname {Sp} (n)$ ist ein Spezialfall eines klassifizierenden Raumes und dient der Klassifikation von $\operatorname {Sp} (n)$-Hauptfaserbündeln über parakompakten Räumen.

Kohomologiering

Der Kohomologiering von $\operatorname {BSp} (n)$ mit Koeffizienten im Ring $\mathbb {Z}$ der ganzen Zahlen wird von den Pontrjagin-Klassen erzeugt:

$H^{*}(\operatorname {BSp} (n);\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [p_{1},\ldots ,p_{n}].$

Literatur

• Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge 2002, ISBN 0-521-79160-X (englisch, cornell.edu). 

Drafts aus dem Blockseminar

Das Llarull-Theorem aus der Riemannschen Geometrie besagt

Benannt ist das Theorem nach dem Mathematiker Marcelo Llarull, welcher es in Mathematische Annalen im Jahr 1998 veröffentlichte.

Weblinks

• Llarull's theorem auf nLab (englisch)

Die Geroch-Vermutung ist im mathematischen Teilgebiet der Riemannschen Geometrie eine Vermutung darüber, dass Metriken mit positiver Skalarkrümmung auf Tori flach sein müssen.

In zwei Dimensionen, für welche die Gaußsche Krümmung $K$ gleich der Skalarkrümmung $\operatorname {scal}$ ist, ist die Geroch-Vermutung eine direkte Folge aus dem Satz von Gauß-Bonnet. Für eine Metrik $g$ auf dem Torus $T^{2}$ gilt aufgrund von dessen verschwindender Euler-Charakteristik:

$\int _{T^{2}}K\mathrm {d} \operatorname {vol} _{g}=\int _{T^{2}}\operatorname {scal} _{g}\mathrm {d} \operatorname {vol} _{g}=4\pi \chi (T^{2})=0.$

Weblinks

• Geroch conjecture auf nLab (englisch)

Die Min-Oo-Vermutung ist im mathematischen Teilgebiet der Riemannschen Geometrie eine widerlegte Vermutung darüber, dass bestimmte Riemannsche Mannigfaltigkeiten isometrisch zur Sphäre gleicher Dimension mit der Standardmetrik sein müssen. Aufgestellt und benannt wurde die Vermutung von Maung Min-Oo, welcher im Jahr XXXX einen fehlerhaften Beweis für diese veröffentlichte. Korrekt ist die Vermutung nur in zwei Dimensionen, wobei die Widerlegung in höheren Dimensionen von Simon Brendle, Fernando Marques und André Neves im Jahr 2010 gefunden wurde.

Die Min-Oo-Vermutung besagt, dass eine kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit

Weblinks

• Min-Oo conjecture auf nLab (englisch)

Die Lichnerowicz-Formel (oder Lichnerowicz-Weitzenböck-Formel) ist im mathematischen Teilgebiet der Riemannschen Geometrie eine grundlegende Gleichung für Spinoren auf Pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeiten. Benannt ist die Formel nach André Lichnerowicz und Roland Weitzenböck.

Weblinks

• Lichnerowicz formula auf nLab (englisch)

Die Weitzenböck-Identität ist in den mathematischen Teilgebieten der Differentialgeometrie, der mathematischen Physik und der Darstellungstheorie eine Verbindung zwischen elliptischen Differentialoperatoren zweiter Ordnung mit gleichem Hauptsymbol auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit. Die Weitzenböck-Identität ist das reelle Analogon der Bochner-Kodaira-Nakano-Identität. Benannt ist die Identität nach Roland Weitzenböck.

Weblinks

• Weitzenböck formula auf nLab (englisch)

Die Bochner-Kodaira-Nakano-Identität ist in den mathematischen Teilgebieten der Differentialgeometrie, der mathematischen Physik und der Darstellungstheorie eine Verbindung zwischen elliptischen Differentialoperatoren zweiter Ordnung mit gleichem Hauptsymbol auf einer Hermiteschen Mannigfaltigkeit. Die Bochner-Kodaira-Nakano-Identität ist das komplexe Analogon der Weitzenböck-Identität. Benannt ist die Identität nach Salomon Bochner, Kunihiko Kodaira und Hidegoro Nakano.

Weblinks

• Bochner-Kodaira-Nakano identity auf nLab (englisch)

Die Bochner-Identität ist in den mathematischen Teilgebieten der Differentialgeometrie und Riemannschen Geometrie eine Identität über harmonische Abbildungen auf Riemannschen Mannigfaltigkeit. Benannt ist die Identität nach Salomon Bochner.

Weblinks

• Bochner identity auf nLab (englisch)

Die Bochner-Formel ist im mathematischen Teilgebieten der Differentialgeometrie und Riemannschen Geometrie eine Formel über die Verbindung von harmonischen Abbildungen auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit mit ihrer Ricci-Krümmung. Benannt ist die Formel nach Salomon Bochner.

Weblinks

• Bochner formula auf nLab (englisch)

Drafts zu Stratifizierung

Ein stratifizierter Raum ist im mathematischen Teilgebiet der Topologie ein topologischer Raum mit einer Stratifizierung, also einer Zerlegung in Unterräume, welche in einer gewissen Weise gutartig sind.

Weblinks

• stratification auf nLab (englisch)
• stratified space auf nLab (englisch)

Eine Whitney-Stratifikation ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialtopologie eine spezielle Stratifizierung, deren Strata die Whitney-Bedingungen erfüllt. Diese sind zwei Bedingungen an Paare an disjunkte und lokal abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten.

Siehe auch

• Harder-Narasimhan-Stratifizierung
• Thom–Mather-Stratifizierung

Literatur

• Mather, John Notes on topological stability, Harvard, 1970 (available on his webpage at Princeton University).
• Thom, René Ensembles et morphismes stratifiés, Bulletin of the American Mathematical Society Vol. 75, pp. 240–284), 1969.
• Trotman, David Stability of transversality to a stratification implies Whitney (a)-regularity, Inventiones Mathematicae 50(3), pp. 273–277, 1979.
• Trotman, David Comparing regularity conditions on stratifications, Singularities, Part 2 (Arcata, Calif., 1981), volume 40 of Proc. Sympos. Pure Math., pp. 575–586. American Mathematical Society, Providence, R.I., 1983.
• Whitney, Hassler Local properties of analytic varieties. Differential and Combinatorial Topology (A Symposium in Honor of Marston Morse) pp. 205–244 Princeton Univ. Press, Princeton, N. J., 1965.
• Whitney, Hassler, Tangents to an analytic variety, Annals of Mathematics 81, no. 3 (1965), pp. 496–549.

Weblinks

• Whitney stratifications auf nLab (englisch)

Eine Thom-Mather-Stratifikation ist im mathematischen Teilgebiet der Topologie eine spezielle Stratifizierung, dessen Strata jeweils topologische Mannigfaltigkeiten sind.

Siehe auch

• Harder-Narasimhan-Stratifizierung
• Whitney-Stratifizierung

Literatur

• Goresky, Mark; MacPherson, Robert Stratified Morse theory, Springer-Verlag, Berlin, 1988.
• Goresky, Mark; MacPherson, Robert Intersection homology II, Invent. Math. 72 (1983), no. 1, 77--129.
• Mather, J. Notes on topological stability, Harvard University, 1970.
• Thom, R. Ensembles et morphismes stratifiés, Bulletin of the American Mathematical Society 75 (1969), pp.240-284.
• Shmuel Weinberger: The topological classification of stratified spaces (= Chicago Lectures in Mathematics). University of Chicago Press, Chicago, IL 1994, ISBN 978-0-226-88566-7 (englisch, uchicago.edu). 

Weblinks

• Thom-Mather stratifications auf nLab (englisch)

Eine Harder–Narasimhan-Stratifikation ist in den mathematischen Teilgebieten der algebraischen und komplexen Geometrie eine spezielle Stratifizierung des Modulstacks von Hauptfaserbündeln durch lokal abgeschlossene Unterstacks.

Siehe auch

• Thom–Mather-Stratifizierung
• Whitney-Stratifizierung

Literatur

• Nitin Nitsure, Schematic Harder-Narasimhan Stratification

Weblinks

• Harder-Narasimhan stratifications auf nLab (englisch)

Ein Stratifold ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialtopologie

Weblinks

• stratifolds auf nLab (englisch)

Drafts zur Morse-Theorie

Die digitale Morse-Theorie ist eine Abwandlung der Morse-Theorie.

Siehe auch

• Diskrete Morse-Theorie
• Kreiswertige Morse-Theorie
• Stratifizierte Morse-Theorie

LiteraturVorlage:Refbegin

• Sanjay Rana: Topological Data Structures for Surfaces. Wiley, 2004, ISBN 978-0-470-85151-7 (englisch, google.com). 

Vorlage:RefendWeblinks

• digital Morse theory auf nLab (englisch)

Die diskrete Morse-Theorie ist eine Abwandlung der Morse-Theorie.

Siehe auch

• Digitale Morse-Theorie
• Kreiswertige Morse-Theorie
• Stratifizierte Morse-Theorie

LiteraturVorlage:Refbegin

• Robin Forman: Morse theory for cell complexes. In: Advances in Mathematics. 134. Jahrgang, Nr. 1, 1998, S. 90–145, doi:10.1006/aima.1997.1650 (englisch, core.ac.uk [PDF]). 
• Robin Forman: A user's guide to discrete Morse theory. In: Séminaire Lotharingien de Combinatoire. 48. Jahrgang, 2002, S. Art. B48c, 35 pp (englisch, emis.de [PDF]). 
• Dmitry Kozlov: Combinatorial algebraic topology (= Algorithms and Computation in Mathematics. Band 21). Springer, 2007, ISBN 978-3-540-71961-8 (englisch). 
• Jakob Jonsson: Simplicial complexes of graphs. Springer, 2007, ISBN 978-3-540-75858-7 (englisch). 
• Peter Orlik, Volkmar Welker: Algebraic Combinatorics: Lectures at a Summer School In Nordfjordeid (= Universitext). Springer, 2007, ISBN 978-3-540-68375-9, doi:10.1007/978-3-540-68376-6 (englisch). 
• Discrete Morse theory. nLab; abgerufen im 1. Januar 1 (englisch). 

Vorlage:RefendWeblinks

• discrete Morse theory auf nLab (englisch)

Die kreiswertige Morse-Theorie ist eine Abwandlung der Morse-Theorie.

Siehe auch

• Diskrete Morse-Theorie
• Digitale Morse-Theorie
• Stratifizierte Morse-Theorie

Weblinks

• circle-valued Morse theory auf nLab (englisch)

Die stratifizierte Morse-Theorie ist eine Abwandlung der Morse-Theorie.

Siehe auch

• Diskrete Morse-Theorie
• Digitale Morse-Theorie
• Kreiswertige Morse-Theorie

LiteraturVorlage:Refbegin

• M. Goresky, R. MacPherson: Stratified Morse theory. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-71714-7 (englisch, Vorlage:GBurl – [1988]).  DJVU file on Goresky's page
• D. Handron: Generalized billiard paths and Morse theory on manifolds with corners. In: Topology and Its Applications. 126. Jahrgang, Nr. 1, 2002, S. 83–118, doi:10.1016/S0166-8641(02)00036-6 (englisch, core.ac.uk [PDF]). 
• S.A. Vakhrameev: Morse lemmas for smooth functions on manifolds with corners. In: J Math Sci. 100. Jahrgang, Nr. 4, 2000, S. 2428–45, doi:10.1007/s10958-000-0003-7 (englisch). 

Vorlage:RefendWeblinks

• stratified Morse theory auf nLab (englisch)

#Notizen

Da der orientierte Bordismusring $\Omega _{7}^{\operatorname {SO} }$ (dessen Elemente die Bordismusklassen siebendimensionaler glatter Mannigfaltigkeiten sind) trivial ist (was mithilfe des Thom-Spektrums gezeigt werden kann), ist jede siebendimensionale glatte Mannigfaltigkeit der Rand einer achtdimensionalen Mannigfaltigkeit, denn eine solche ist orientiert bordant zur $7$-Sphäre $S^{7}$, welche der Rand der $8$-Scheibe $D^{8}$ ist.

Saddam Hussein wird von der „Republikanergarde“ befreit und verjagt die Vereinigten Staaten aus dem Irak. Michail Gorbatschow vereint als Reaktion auf massive Wirtschaftsprobleme eine Reihe von Ländern in der Sowjetunion, dem sich der östliche Teil des in zwei Teile zerbrochenen Deutschlands anschließt.

The Merchant and the Alchimist's Gate

XXXX tells the majesty of Baghdad of his meeting with a vendor of the city, who has build an arc leading twenty years into the past or future depending on the direction it has been crossed, and three stories told about it. Hassan, a rope vendor, learns from his older self, who is unexpected wealthy, during regular visits, including how to avoid misfortune and the location of a buried treasure. A non-expected pocket thief lets him realize, how good it was to not know anything ahead, and does not return to the future after a last visit. Ajib, a poor man who heard this story, finds himself still being poor in the future, but having an unused chest of golden dirham, which he steals to instead have a good life. One day, all His wealth gets stolen from him and his wife appealing to his honor persuades him to recollect everything to give back to the generous donor not known to her. XXXX, the wife of the older Hassan, finds the shop previously described by him and witnesses her husband twenty years prior trying to sell a necklace later given to her with the criminal shop owner recognizing it as part of his buried chest. Together with herself after another twenty years, she tricks the shop owner to believe that the necklace is very common and saves her future husband. She then begins a short affair with him and turns him into the good lover she will meet later. XXXX wants to use the doorway himself and

Liviu Suciu writes on fantasybookcritic.blogspot.com, that the novel is „top novel of the year for the combination of sense of wonder, great world building, characters“ and it is „the one sf novel I strongly recommend to read if you want to understand why the genre has fascinated so many people for so long“.

Liviu Suciu schreibt auf fantasybookcritic.blogspot.com, dass Greg Egan den besten Roman des Jahres geschrieben habe, aufgrund der Kombination des Sinn für Wunder, großartige Erschaffung von Welten und Charaktere („top novel of the year for the combination of sense of wonder, great world building, characters“) und es genau der Roman wäre, der zu empfehlen sei, um die Begeisterung für das Genre aufzuzeigen („the one sf novel I strongly recommend to read if you want to understand why the genre has fascinated so many people for so long“).

Reversing the flow of time is known as T-symmetry and part of the CPT theorem in Quantum field theory, where also charge (C-symmetry) and parity (P-symmetry) are reversed. In the novel, the idea appears near the beginning, when the last deacceleration phase is discussed and some characters are thinking, that their engines won't work when sending photons into the past of the interstellar dust around. They eventually realize, that an absorption for them will correspond to an emission for the interstellar dust under T-symmetry, and hence won't be a problem at all. The principle also lays the foundation for in the messaging system, for which receiving time-inversed light from the future is observed as an emission from the camera (contrary to receiving normal light from the past being observed as absorption). It also causes problems on the time-inverted world of Esilio, for example by making it impossible to take samples back to the Peerless as in this case they have never been part of the planet in the first place. But the crew notices Esilian dust inside their spaceships, hence samples from the planet that have been in the Peerless and Surveyor all along.

The final scientific discovery presented in the novel is that of the topology of the universe. The sign change in the metric is directly visible in the wave operator, given in our universe by $\square =-\partial _{t}^{2}+\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}+\partial _{z}^{2}$ and by $\square =\partial _{t}^{2}+\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}+\partial _{z}^{2}$ in the universe of Orthogonal. (Non-constant) solutions to the latter (for example electromagnetic waves) diverge, requiring the universe to be finite in every direction, a mathematical property known as compactness. This topic was already dealt with by Yalda when researching light in the sequel The Clockwork Rocket, who suspected the universe to be a 4-torus. However, after the innovation blockade in The Arrows of Time is lifted, Lila's student Pelagia concludes this to contradict itself. Due to the periodicity in every direction, a Fourier expansion can be used to describe the fields, whose coefficients (also called modes) contribute to the vacuum energy. (This is for example used in string theories when describing closed strings.) As in every one of the four directions, there can either be a sign change or not for fermions, there are sixteen different possibilities for them in total, resulting in a too large negative contribution to the vacuum energy, making the universe have positive curvature everywhere. With the Gauss–Bonnet theorem, this gives a contradiction for the Euler characteristic ($\chi (T^{4})=0$, hence for every area of positive curvature, there has to be a corresponding area of negative curvature). On a 4-sphere on the other hand, every loop is contractible, hence there is no sign change for fermions at all. There is no inevitable contradiction, but instead the requirement for the vacuum energy, curvature and density to not be uniform, which explains the entropy gradient and the arrows of time, giving rise to the entire existence of the characters.

Projektive Räume:

Homotopie

Die Homotopiegruppen des quaternionisch projektiven Raumes sind gegeben durch:

$????$

Kohomologie

Die Kohomologiegruppen des quaternionisch projektiven Raumes sind gegeben durch:

$H^{k}(\mathbb {H} P^{n})\cong ????$