Benutzer:Samuel Adrian Antz/Drafts

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Mathematik

• Algebraische Topologie: Homotopietheorie, Homotopiegruppen von Sphären
• Differentialgeometrie: Banach-Mannigfaltigkeiten, Hilbert-Mannigfaltigkeiten, Nash-Moser-Umkehrsatz, Bündelmetrik
• Differentialtopologie: Exotische euklidische Räume

Science-Fiction

• Asiatische Science-Fiction-Filme und Serien: Three-Body, Three-Body Animation, Shanghai Fortress, Warriors of Future, Jung_E, The Silent Sea, Crazy Alien
• Romane von Andy Weir: Artemis
• Sonstige Romane: Die Kolonie, Die letzte Astronautin

Fehlt noch und könnte erledigt werden

Whitehead-Produkt, Generalisiertes Whitehead-Produkt, Unitäre Transformation (Quantenmechanik), Hopf-Invariante, Holomorphe Kurve, Gray-Vermutung, Kohomotopie, Steenrod-Problem, Eckmann–Hilton-Argument, Garding-Ungleichung

Kurze Entwürfe

Der Yamabe-Fluss ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie ein geometrischer Fluss, welcher die Riemannsche Metrik auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit deformiert. Dieser ergibt sich als Gradientenfluss einer Wirkung, in welche die Skalarkrümmung der Riemannschen Metrik eingeht.

Benannt ist der Yamabe-Fluss nach Hidehiko Yamabe, wurde jedoch von Richard Hamilton im Jahr 1988 eingeführt.

Die Yamabe-Invariante (oder Sigma-Konstante) ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie eine Invariante von Riemannschen Mannigfaltigkeiten.

Benannt ist die Yamabe-Invariante nach Hidehiko Yamabe, wurde jedoch erstmals von Osamu Kobayashi im Jahr 1987 und Richard Schoen im Jahr 1989 betrachtet

• Die Yamabe-Invariante ist genau dann positiv, wenn die Riemannsche Mannigfaltigkeit eine Metrik positiver Skalarkrümmung besitzt.

Der Calabi-Fluss ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie ein geometrischer Fluss, welcher die Kähler-Metrik auf einer Kähler-Mannigfaltigkeit deformiert. Dieser ergibt sich als Gradientenfluss der Calabi-Wirkung, in welche die Skalarkrümmung der zugrundeliegenden Riemannschen Metrik eingeht.

Benannt ist der Calabi-Fluss nach Eugenio Calabi, welcher diesen im Jahr 1982 einführte.

Die Levi-Civita-Regularisierung ist in der mathematischen Physik eine Methode zur Umwandlung des gestörten planaren Kepler-Problems in einen gestörten harmonischen Oszillator mithilfe der Levi-Civita-Abbildung. Beide sind nach Tullio Levi-Civita benannt.

Die Kustaanheimo-Stiefel-Regularisierung ist in der mathematischen Physik eine Methode zur Umwandlung des räumlichen Kepler-Problems in einen räumlichen harmonischen Oszillator mithilfe der Kustaanheimo-Stiefel-Abbildung. Beide sind nach Paul Kustaanheimo und Eduard Stiefel benannt.

Yang-Mills-Fluss

Visualisierung des Gradientenabstiegsverfahrens mit einer Flusslinie

Der Yang-Mills-Fluss ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie ein durch die Yang-Mills-Gleichungen beschriebender Gradientenfluss, also eine Methode zur Beschreibung des Gradientenverfahrens für die Yang-Mills-Wirkung. Vereinfacht ausgedrückt ist der Yang-Mills-Fluss ein Weg, welcher stets in die Richtung des stärksten Abstiegs zeigt, ähnlich wie der Weg eines einen Hügel hinunterrollenden Balles. Dadurch können kritische Punkt, bekannt als Yang-Mills-Zusammenhänge oder Instantonen, welche die Yang-Mills-Gleichungen lösen, sowie deren Stabilität untersucht werden. Anschaulich sind es genau die Stellen des Hügels, auf welchen der Ball in Ruhe bleiben kann.

Benannt ist der Yang-Mills-Fluss nach Chen Ning Yang und Robert Mills, welche die zugrundeliegende Yang-Mills-Theorie im Jahr 1954 formuliert haben. Erstmals untersucht wurde der Yang-Mills-Fluss jedoch im Jahr 1982 von Michael Atiyah und Raoul Bott. Ebenfalls untersucht wurde dieser von Simon Donaldson im Rahmen der Kobayashi-Hitchin-Korrespondenz (oder Donaldson-Uhlenbeck-Yau-Theorem).

Definition

Sei $G$ eine kompakte Lie-Gruppe mit Lie-Algebra ${\mathfrak {g}}$ und $E\twoheadrightarrow B$ ein $G$-Hauptfaserbündel, wobei $B$ eine kompakte orientierbare Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Metrik $g$ und Volumenform $\operatorname {vol} _{g}$ ist. Sei $\operatorname {Ad} (E):=E\times _{G}{\mathfrak {g}}\twoheadrightarrow B$ das adjungierte Vektorbündel. $\Omega ^{1}(E,{\mathfrak {g}})\cong \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))$ ist der Raum der Zusammenhänge, welche entweder unter der adjungierten Darstellung $\operatorname {Ad}$ invariante Lie-Algebra-wertige oder vektorbündelwertige Differentialformen sind. Da der Hodge-Stern-Operator $\star$ mit der Metrik $g$ und der Volumenform $\operatorname {vol} _{g}$ auf der Basismannigfaltigkeit $B$ definiert ist, wird gewöhnlich der zweite Raum benutzt.

Die Yang-Mills-Wirkung ist gegeben durch:

$\operatorname {YM} \colon \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))\rightarrow \mathbb {R} ,\operatorname {YM} (A):=\int _{B}\|F_{A}\|^{2}\mathrm {d} \operatorname {vol} _{g}.$

$\Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))$ ist ein Vektorraum mit einem von $B$ induziertem Skalarprodukt und dadurch insbesondere selbst eine Riemannsche Mannigfaltigkeit.

$\operatorname {grad} (\operatorname {YM} )\colon \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))\rightarrow \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))$:

$\langle \operatorname {grad} (\operatorname {YM} )(A),B\rangle =\mathrm {d} _{A}\operatorname {YM} (B)$

Daher ergibt der Gradient der Yang-Mills-Wirkung genau die Yang-Mills-Gleichungen:

$\operatorname {grad} (\operatorname {YM} )(A)=-\delta _{A}F_{A}.$

Für ein offenes Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$ ist eine $C^{1}$-Abbildung $\alpha \colon I\rightarrow \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))$ (also stetig differenzierbar) mit:

$\alpha '(t)=-\operatorname {grad} (\operatorname {YM} )(\alpha (t))=-\delta _{\alpha (t)}F_{\alpha (t)}$

ein Yang-Mills-Fluss.

Eigenschaften

• Für einen Yang-Mills-Zusammenhang $A\in \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))$ ist der konstante Weg auf diesem ein Yang-Mills-Fluss.
• Für einen Yang-Mills-Fluss $\alpha \colon I\rightarrow \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))$ gilt:

$(\operatorname {YM} \circ \alpha )'(t)=-\int _{X}\|\alpha '(t)\|^{2}\mathrm {d} \operatorname {vol} _{g}\leq 0.$

$\operatorname {YM} \circ \alpha \colon I\rightarrow \mathbb {R}$ ist also eine monoton sinkende Funktion. Alternativ kann die Ableitung mit der obigen Gleichung mit der Bi-Yang-Mills-Wirkung verbunden werden:

$(\operatorname {YM} \circ \alpha )'(t)=-\int _{X}\|\delta _{\alpha (t)}F_{\alpha (t)}\|^{2}\mathrm {d} \operatorname {vol} _{g}=\operatorname {BiYM} (\alpha (t)).$

Da die Yang-Mills-Wirkung immer positiv ist, wird ein in die Unendlichkeit fortgesetzter Yang-Mills-Fluss zwangsläufig gegen eine verschwindene Ableitung und daher nach obiger Gleichung einen Yang-Mills-Zusammenhang konvergieren.

• Für einen Zusammenhang $A\in \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))$ gibt es einen eindeutigen Yang-Mills-Fluss $\alpha \colon [0,\infty )\rightarrow \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))$ mit $\alpha (0)=A$. Dabei ist $\lim _{t\rightarrow \infty }\alpha (t)$ ein Yang-Mills-Zusammenhang.
• Für einen stabilen Yang-Mills-Zusammenhang $A\in \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))$ gibt es eine Umgebung, sodass für jeden eindeutigen Yang-Mills-Fluss $\alpha \colon [0,\infty )\rightarrow \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))$ mit Anfangsbedingung darin gilt:

  $A=\lim _{t\rightarrow \infty }\alpha (t).$

Literatur

• Casey Lynn Kelleher: Singularity formation of the Yang-Mills flow. 9. Februar 2016; abgerufen im 1. Januar 1 (englisch, 1602.03125). 
• Alex Waldron: Long-time existence for Yang-Mills flow. 11. Oktober 2016; abgerufen im 1. Januar 1 (englisch, 1610.03424). 
• Pan Zhang: Gradient Flows of Higher Order Yang-Mills-Higgs Functionals. 30. März 2020; abgerufen im 1. Januar 1 (englisch, 2004.00420). 

Siehe auch

• Yang-Mills-Higgs-Fluss
• Seiberg-Witten-Fluss

Weblinks

• Yang-Mills flow auf nLab (englisch)

Yang-Mills-Higgs-Fluss

Visualisierung des Gradientenabstiegsverfahrens mit einer Flusslinie

Der Yang-Mills-Higgs-Fluss ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie ein durch die Yang-Mills-Higgs-Gleichungen beschriebender Gradientenfluss, also eine Methode zur Beschreibung des Gradientenverfahrens für die Yang-Mills-Higgs-Wirkung. Vereinfacht ausgedrückt ist der Yang-Mills-Higgs-Fluss ein Weg, welcher stets in die Richtung des stärksten Abstiegs zeigt, ähnlich wie der Weg eines einen Hügel hinunterrollenden Balles. Dadurch können kritische Punkt, bekannt als Yang-Mills-Higgs-Paare, welche die Yang-Mills-Higgs-Gleichungen lösen, sowie deren Stabilität untersucht werden. Anschaulich sind es genau die Stellen des Hügels, auf welchen der Ball in Ruhe bleiben kann.

Benannt ist der Yang-Mills-Fluss nach Chen Ning Yang, Robert Mills und Peter Higgs, von denen die vorderen beiden die zugrundeliegende Yang-Mills-Theorie im Jahr 1954 formuliert haben und letzterer die Kopplung an das Higgs-Feld im Jahr 1964 vorgeschlagen hat.

Definition

Sei $G$ eine kompakte Lie-Gruppe mit Lie-Algebra ${\mathfrak {g}}$ und $E\twoheadrightarrow B$ ein $G$-Hauptfaserbündel, wobei $B$ eine kompakte orientierbare Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Metrik $g$ und Volumenform $\operatorname {vol} _{g}$ ist. Sei $\operatorname {Ad} (E):=E\times _{G}{\mathfrak {g}}\twoheadrightarrow B$ das adjungierte Vektorbündel. $\Omega ^{1}(E,{\mathfrak {g}})\cong \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))$ ist der Raum der Zusammenhänge, welche entweder unter der adjungierten Darstellung $\operatorname {Ad}$ invariante Lie-Algebra-wertige oder vektorbündelwertige Differentialformen sind. Da der Hodge-Stern-Operator $\star$ mit der Metrik $g$ und der Volumenform $\operatorname {vol} _{g}$ auf der Basismannigfaltigkeit $B$ definiert ist, wird gewöhnlich der zweite Raum benutzt.

Die Yang-Mills-Higgs-Wirkung ist gegeben durch:

$\operatorname {YMH} \colon \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))\times \Gamma ^{\infty }(B,\operatorname {Ad} (E))\rightarrow \mathbb {R} ,\operatorname {YMH} (A,\Phi ):=\int _{B}\|F_{A}\|^{2}+\|\mathrm {d} _{A}\Phi \|^{2}\mathrm {d} \operatorname {vol} _{g}.$

Ihr erster Term wird auch Yang-Mills-Wirkung genannt.

Daher ergibt der Gradient der Yang-Mills-Higgs-Wirkung genau die Yang-Mills-Higgs-Gleichungen:

$\operatorname {grad} (\operatorname {YMH} )(A,\Phi )_{1}=\delta _{A}F_{A}+[\Phi ,\mathrm {d} _{A}\Phi ],$

$\operatorname {grad} (\operatorname {YMH} )(A,\Phi )_{2}=\delta _{A}\mathrm {d} _{A}\Phi .$

Für ein offenes Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$ sind zwei $C^{1}$-Abbildungen $\alpha \colon I\rightarrow \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))$ und $\varphi \colon I\rightarrow \Gamma ^{\infty }(B,\operatorname {Ad} (E))$ (also stetig differenzierbar) mit:

$\alpha '(t)=-\operatorname {grad} (\operatorname {YMH} )(\alpha (t),\varphi (t))_{1}=-\delta _{\alpha (t)}F_{\alpha (t)}-[\varphi (t),\mathrm {d} _{\alpha (t)}\varphi (t)]$

$\varphi '(t)=-\operatorname {grad} (\operatorname {YMH} )(\alpha (t),\varphi (t))_{2}=-\delta _{\alpha (t)}\mathrm {d} _{\alpha (t)}\varphi (t)$

ein Yang-Mills-Higgs-Fluss.

Eigenschaften

• Für eine Yang-Mills-Higgs-Paar $(A,\Phi )\in \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))\times \Gamma ^{\infty }(B,\operatorname {Ad} (E))$ ist der konstante Weg auf diesem ein Yang-Mills-Higgs-Fluss.
• Für einen Yang-Mills-Higgs-Fluss $(\alpha ,\varphi )\colon I\rightarrow \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))\times \Gamma ^{\infty }(B,\operatorname {Ad} (E))$ gilt:

$(\operatorname {YMH} \circ (\alpha ,\varphi ))'(t)=-\int _{X}\|\alpha '(t)\|^{2}+\|\varphi '(t)\|^{2}\mathrm {d} \operatorname {vol} _{g}\leq 0.$

$\operatorname {YMH} \circ (\alpha ,\varphi )\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ ist also eine monoton sinkende Funktion. Da die Yang-Mills-Higgs-Wirkung immer positiv ist, wird ein in die Unendlichkeit fortgesetzter Yang-Mills-Higgs-Fluss zwangsläufig gegen verschwindende Ableitung und daher nach obiger Gleichung ei Yang-Mills-Higgs-Paar konvergieren.

• Für ein Paar $(A,\Phi )\in \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))\times \Gamma ^{\infty }(B,\operatorname {Ad} (E))$ gibt es einen eindeutigen Yang-Mills-Fluss $(\alpha ,\varphi )\colon [0,\infty )\rightarrow \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))\times \Gamma ^{\infty }(B,\operatorname {Ad} (E))$ mit $(\alpha (0),\varphi (0))=(A,\Phi )$. Dabei ist $(\lim _{t\rightarrow \infty }\alpha (t),\lim _{t\rightarrow \infty }\varphi (t))$ ein Yang-Mills-Higgs-Paar.
• Für ein stabiles Yang-Mills-Higgs-Paar $(A,\Phi )\in \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))\times \Gamma ^{\infty }(B,\operatorname {Ad} (E))$ gibt es eine Umgebung, sodass für jeden eindeutigen Yang-Mills-Fluss $(\alpha ,\varphi )\colon [0,\infty )\rightarrow \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))\times \Gamma ^{\infty }(B,\operatorname {Ad} (E))$ mit Anfangsbedingung darin gilt:

  $A=\lim _{t\rightarrow \infty }\alpha (t),$

  $\Phi =\lim _{t\rightarrow \infty }\varphi (t).$

Ginsburg-Landau-Fluss

Eine Verallgemeinerung des Yang-Mills-Higgs-Flusses ist der Ginsburg-Landau-Fluss, benannt nach Witali Ginsburg und Lew Landau, mit einem zusätzlichen Potentialterm für das Higgs-Feld

Literatur

• Pan Zhang: Gradient Flows of Higher Order Yang-Mills-Higgs Functionals. 30. März 2020; abgerufen im 1. Januar 1 (englisch, 2004.00420). 
• Changpeng Pan, Zhenghan Shen, Pan Zhang: The Limit of the Yang-Mills-Higgs Flow for twisted Higgs pairs. 4. Januar 2023; abgerufen im 1. Januar 1 (englisch, 2301.02552). 

Siehe auch

• Yang-Mills-Fluss
• Seiberg-Witten-Fluss

Weblinks

• Yang-Mills-Higgs flow auf nLab (englisch)

Seiberg-Witten-Fluss

Visualisierung des Gradientenabstiegsverfahrens mit einer Flusslinie

Der Seiberg-Witten-Fluss ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie ein durch die Seiberg-Witten-Gleichungen beschriebender Gradientenfluss, also eine Methode zur Beschreibung des Gradientenverfahrens für die Seiberg-Witten-Wirkung. Vereinfacht ausgedrückt ist der Seiberg-Witten-Fluss ein Weg, welcher stets in die Richtung des stärksten Abstiegs zeigt, ähnlich wie der Weg eines einen Hügel hinunterrollenden Balles. Dadurch können kritische Punkt, bekannt als (Seiberg-Witten)-Monopole, welche genau die Seiberg-Witten-Gleichungen lösen, untersucht werden. Anschaulich sind es genau die Stellen des Hügels, auf welchen der Ball in Ruhe bleiben kann.

Benannt ist der Seiberg-Witten-Fluss nach Nathan Seiberg und Edward Witten, welche die zugrundeliegende Seiberg-Witten-Theorie im Jahr 1994 formuliert haben.

Definition

Sei $M$ eine kompakte, orientierbare Riemannsche 4-Mannigfaltigkeit. Jede solche Mannigfaltigkeit hat eine Spin^c-Struktur, also eine Hebung der klassifizierenden Abbildung $M\rightarrow \operatorname {BSO} (4)$ ihres Tangentialbündels zu einer stetigen Abbildung $M\rightarrow \operatorname {BSpin} ^{\mathrm {c} }(4)$. Alle möglichen Spin^c-Strukturen entsprechen eindeutig der zweiten singulären Kohomologie $H^{2}(M,\mathbb {Z} )\cong [M,\operatorname {BU} (1)]$. Wegen der zentralen Identität:

$\operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(4)\cong \operatorname {U} (2)\times _{\operatorname {U} (1)}\operatorname {U} (2)\cong \left\{A^{\pm }\in \operatorname {U} (2)|\det(A^{-})=\det(A^{+})\right\}$

klassifiziert diese Spin^c-Struktur zwei komplexe Ebenenbündel $W^{\pm }\twoheadrightarrow M$ mit gleichem Determinantenbündel $L=\det(W^{-})=\det(W^{+})$, welches über das Rahmenbündel einem U(1)-Hauptfaserbündel $\operatorname {Fr} _{\operatorname {U} }(L)\twoheadrightarrow M$ entspricht. Dabei ist $L\cong \operatorname {Fr} _{\operatorname {U} }(L)\times _{\operatorname {U} (1)}\mathbb {C}$ mit dem balancierten Produkt. U(1)-Hauptfaserbündel werden ebenfalls durch die zweite singuläre Kohomologie $H^{2}(M,\mathbb {Z} )\cong [M,\operatorname {BU} (1)]$ klassifiziert, wobei die Kohomologieklasse genau die gleiche wie für die Spin^c-Struktur ist.

Die Seiberg-Witten-Wirkung ist gegeben durch:

$\operatorname {SW} \colon \Omega ^{1}(M,\operatorname {Ad} (L))\times \Gamma ^{\infty }(M,S^{+})\rightarrow \mathbb {R} ,\operatorname {SW} (A,\Phi ):=\int _{B}{\frac {1}{2}}\|F_{A}^{+}\|^{2}+\|\nabla _{A}\Phi \|^{2}+{\frac {\operatorname {scal} }{4}}\|\Phi \|^{2}+{\frac {1}{8}}\|\Phi \|^{4}\mathrm {d} \operatorname {vol} _{g},$

wobei $\operatorname {scal}$ die Skalarkrümmung notiert. Mit der folgenden Relation aus der Chern-Weil-Theorie:

$\|F_{A}^{+}\|_{L^{2}}=2\|F_{A}\|_{L^{2}}-4\pi ^{2}c_{1}(L)^{2},$

kann diese auch umgeschrieben werden zu:

$\operatorname {SW} (A,\Phi ):=\int _{B}\|F_{A}\|^{2}+\|\nabla _{A}\Phi \|^{2}+{\frac {\operatorname {scal} }{4}}\|\Phi \|^{2}+{\frac {1}{8}}\|\Phi \|^{4}\mathrm {d} \operatorname {vol} _{g}+\pi ^{2}c_{1}(L)^{2},$

wobei jedoch der letzte Term als Konstante weggelassen werden kann. Ihre ersten beiden Terme werden auch Yang-Mills-Higgs-Wirkung und ihr erster Term wird auch Yang-Mills-Wirkung genannt.

Daher ergibt der Gradient der Seiberg-Witten-Wirkung genau die Seiberg-Witten-Gleichungen:

$\operatorname {grad} (\operatorname {SW} )(A,\Phi )_{1}=\mathrm {d} ^{*}F_{A}+i\operatorname {Im} \langle \nabla _{A}\Phi ,\Phi \rangle ,$

$\operatorname {grad} (\operatorname {SW} )(A,\Phi )_{2}=\nabla _{A}^{*}\nabla _{A}\Phi -{\frac {1}{4}}(\operatorname {scal} +\|\Phi \|^{2})\Phi .$

Für ein offenes Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$ sind zwei $C^{1}$-Abbildungen $\alpha \colon I\rightarrow \Omega ^{1}(M,\operatorname {Ad} (L))$ und $\varphi \colon I\rightarrow \Gamma ^{\infty }(M,S^{+})$ (also stetig differenzierbar) mit:

$\alpha '(t)=-\operatorname {grad} (\operatorname {SW} )(\alpha (t),\varphi (t))_{1}=-\mathrm {d} ^{*}F_{\alpha (t)}-i\operatorname {Im} \langle \nabla _{\alpha (t)}\varphi (t),\varphi (t)\rangle$

$\varphi '(t)=-\operatorname {grad} (\operatorname {SW} )(\alpha (t),\varphi (t))_{2}=-\nabla _{\alpha (t)}^{*}\nabla _{\alpha (t)}\varphi (t)-{\frac {1}{4}}(\operatorname {scal} +\|\varphi (t)\|^{2})\varphi (t)$

ein Seiberg-Witten-Fluss.

Literatur

• Min-Chun Hong Hong, Lorenz Schabrun: Global Existence for the Seiberg-Witten Flow. 10. September 2009; abgerufen im 1. Januar 1 (englisch, 0909.1855). 
• Lorenz Schabrun: Seiberg-Witten Flow in Higher Dimensions. 9. März 2010; abgerufen im 1. Januar 1 (englisch, 1003.1765). 

Siehe auch

• Yang-Mills-Fluss
• Yang-Mills-Higgs-Fluss

Weblinks

• Seiberg-Witten flow auf nLab (englisch)

Modulräume

Der Yang-Mills-Modulraum (kurz YM-Modulraum) ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie der Modulraum der Yang-Mills-Gleichungen (kurz YM-Gleichungen), also der Raum all dessen Lösungen bis auf Eichung.

Der selbstduale Yang-Mills-Modulraum (kurz SDYM-Modulraum) ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie der Modulraum der selbstdualen Yang-Mills-Gleichungen (kurz SDYM-Gleichungen), also der Raum all dessen Lösungen bis auf Eichung.

Der antiselbstduale Yang-Mills-Modulraum (kurz ASDYM-Modulraum) ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie der Modulraum der antiselbstdualen Yang-Mills-Gleichungen (kurz ASDYM-Gleichungen), also der Raum all dessen Lösungen bis auf Eichung.

Instanton-Floer-Homologie

Instanton-Floer-Homologie (auch Yang-Mills-Floer-Homologie) ist eine Homologietheorie für dreidimensionale Homologiesphären, konstruiert über das Chern-Simons-Funktional eines SU(2)-Hauptfaserbündels über diesen. Ihre Gradientenflusslinien sind genau der Yang-Mills-Fluss, also beschrieben durch die Yang-Mills-Gleichungen. Deren Lösungen werden Instantonen genannt.

Literatur

• John A. Baldwin, Steven Sivek: Instanton Floer homology and contact structures. 13. Mai 2014; abgerufen im 1. Januar 1 (englisch, 1405.3278). 
• Kyoung-Seog Lee, Anatoly Libgober, Nikolai Saveliev: Instanton Floer homology and Milnor Fibers. 22. Oktober 2024; abgerufen im 1. Januar 1 (englisch, 2410.16584). 

Siehe auch

• Monopol-Floer-Homologie, ähnliche Floer-Homologie basierend auf den Seiberg-Witten-Gleichungen

Monopol-Floer-Homologie

Monopol-Floer-Homologie (auch Seiberg-Witten-Floer-Homologie) ist eine Homologietheorie für dreidimensionale Mannigfaltigkeiten mit einer Spinᶜ-Struktur, konstruiert über das Chern-Simons-Dirac-Funktional eines U(1)-Hauptfaserbündels über diesen. Ihre Gradientenflusslinien sind genau der Seiberg-Witten-Fluss, also beschrieben durch die Seiberg-Witten-Gleichungen. Deren Lösungen werden Monopole genannt.

Literatur

• Francesco Lin: Lectures on monopole Floer homology. 16. Mai 2016; abgerufen im 1. Januar 1 (englisch, 1605.03140). 
• Francesco Lin: Monopole Floer homology and invariant theta characteristics. 9. Mai 2022; abgerufen im 1. Januar 1 (englisch, 2205.04351). 

Siehe auch

• Instanton-Floer-Homologie, ähnliche Floer-Homologie basierend auf den Yang-Mills-Gleichungen

U(1)-Hauptfaserbündel

$\operatorname {U} (1)$-Hauptfaserbündel sind im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie spezielle Hauptfaserbündel mit der ersten unitären Gruppe $\operatorname {U} (1)$ als Strukturgruppe. Topologisch hat diese die Struktur der eindimensionalen Sphäre.

$\operatorname {U} (1)$-Hauptfaserbündel finden Anwendung in vielen Teilgebieten der Mathematik, etwa bei der Formulierung der Seiberg-Witten-Gleichungen oder der Monopol-Floer-Homologie. Da $\operatorname {U} (1)$ die Eichgruppe der elektromagnetischen Wechselwirkung ist, sind $\operatorname {U} (1)$-Hauptfaserbündel auch in der theoretischen Physik von Bedeutung. Konkret sind die $\operatorname {U} (1)$-Yang-Mills-Gleichungen genau die Maxwell-Gleichungen.

Assoziertes Vektorbündel

Einem $\operatorname {U} (1)$-Hauptfaserbündel $E\twoheadrightarrow B$ kann über das balancierte Produkt ein eindimensionales Geradenbündel $E\times _{\operatorname {U} (1)}\mathbb {C} \twoheadrightarrow B$ zugeordnet werden. Anschaulich werden dabei die Sphären an jedem Punkt über die Inklusion $\operatorname {U} (1)\subset \mathbb {C}$ aufgefüllt.

Beispiele

Per Definition des komplexen projektiven Raumes ist die kanonische Projektion $S^{2n+1}\twoheadrightarrow \mathbb {C} P^{n}$ ein $\operatorname {U} (1)$-Hauptfaserbündel. Mit $\mathbb {C} P^{1}\cong S^{2}$, bekannt als Riemannsche Zahlenkugel, ist die komplexe Hopf-Faserung $h_{\mathbb {C} }\colon S^{3}\twoheadrightarrow S^{2}$ ein wichtiger Spezialfall. Im allgemeinen Fall ist die klassifizierende Abbildung einfach die kanonsiche Inklusion:

$\mathbb {C} P^{n}\hookrightarrow \mathbb {C} P^{\infty }\cong \operatorname {BU} (1).$

SU(2)-Hauptfaserbündel

$\operatorname {SU} (2)$-Hauptfaserbündel sind im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie spezielle Hauptfaserbündel mit der zweiten speziellen unitären Gruppe $\operatorname {SU} (2)$ als Strukturgruppe. Topologisch hat diese die Struktur der dreidimensionalen Sphäre.

$\operatorname {SU} (2)$-Hauptfaserbündel finden Anwendung in vielen Teilgebieten der Mathematik, etwa im mit der Fields-Medaille ausgezeichneten Beweis des Donaldson-Theorems oder der Instanton-Floer-Homologie. Da $\operatorname {SU} (2)$ die Eichgruppe der schwachen Wechselwirkung ist, sind $\operatorname {SU} (2)$-Hauptfaserbündel auch in der theoretischen Physik von Bedeutung.

Assoziertes Vektorbündel

Einem $\operatorname {SU} (2)$-Hauptfaserbündel $E\twoheadrightarrow B$ kann über das balancierte Produkt ein zweidimensionales Ebenenbündel $E\times _{\operatorname {SU} (2)}\mathbb {C} ^{2}\twoheadrightarrow B$ zugeordnet werden. Anschaulich werden dabei die Sphären an jedem Punkt über die Inklusion $\operatorname {SU} (2)\subset \mathbb {C} ^{2}$ aufgefüllt.

Da die Determinante von speziellen unitären Matrizen immer konstant ist, wird das Determinantenbündel dieses Vektorbündels durch eine konstante Abbildung klassifiziert und ist daher trivial. Da das Determinantenbündel zudem die erste Chern-Klasse enthält, ist diese Immer trivial. Dadurch wird das Vektorbündel nur durch die zweite Chern-Klasse beschrieben.

Beispiele

Per Definition des quaternionischen projektiven Raumes ist die kanonische Projektion $S^{4n+3}\twoheadrightarrow \mathbb {H} P^{n}$ ein $\operatorname {SU} (2)$-Hauptfaserbündel. Mit $\mathbb {H} P^{1}\cong S^{4}$ ist die komplexe Hopf-Faserung $h_{\mathbb {H} }\colon S^{7}\twoheadrightarrow S^{4}$ ein wichtiger Spezialfall. Im allgemeinen Fall ist die klassifizierende Abbildung einfach die kanonsiche Inklusion:

$\mathbb {H} P^{n}\hookrightarrow \mathbb {H} P^{\infty }\cong \operatorname {BSU} (2).$

Bordismen

Ein Spin-Bordismus ist ein spezieller Bordismus zwischen Spin-Mannigfaltigkeiten, also glatten Mannigfaltigkeiten mit einer Spin-Struktur, welche selbst eine Spin-Mannigfaltigkeit ist, sodass die Spin-Strukturen kompatibel sind. Spin-Bordismen können für die Definition einer verallgemeinerten Homologietheorie verwendet werden.

Definition

Eine Spin-Struktur auf einer glatten Mannigfaltigkeit induziert eine Spin-Struktur auf ihren Randkomponenten und allgemeiner sogar allen eingebetteten Untermannigfaltigkeiten.

Sei $W$ eine $n$-dimensionale Spin-Mannigfaltigkeit, also sodass die klassifizierende Abbildung $\tau _{W}\colon W\rightarrow \operatorname {BO} (n)$ ihres Tangentialbündels $TW=\tau _{W}^{*}\gamma _{\mathbb {R} }^{n}$ über die von der kanonischen Projektion $\operatorname {Spin} (n)\twoheadrightarrow \operatorname {O} (n)$ auf klassifizierenden Räumen induzierten Abbildung faktorisiert und sich dadurch zu einer Abbildung ${\widehat {\tau }}_{W}\colon W\rightarrow \operatorname {BSpin} (n)$ hebt.

Statt Spin-Strukturen können auch Spin^c- und Spinʰ-Strukturen betrachtet werden, welche tiefer durch die kanonischen Inklusionen:

$\operatorname {Spin} (n)\hookrightarrow \operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(n)\hookrightarrow \operatorname {Spin} ^{\mathrm {h} }(n)$

heben, welche mit den kanonischen Projektionen auf $\operatorname {O} (n)$ kompatibel sind. Dadurch können Spin^c- und Spinʰ-Bordismen analog definiert werden.

Spin-Bordismusgruppen

Mit der Äquivalenzrelation des Spin-Bordismus bilden die $n$-dimensionalen geschlossenen Spin-Mannigfaltigkeiten eine abelsche Gruppe $\Omega _{n}^{\operatorname {Spin} }$ mit der disjunkten Vereinigung als Verknüpfung, der leeren Mannigfaltigkeit als neutrales Element und der Umkehr der Orientierung als Inversion. (Spin-Mannigfaltigkeiten sind immer orientierbar.) Mit der Pontrjagin-Thom-Konstruktion sind diese alternativ die Homotopiegruppen des Thom-Spektrums $\operatorname {MSpin}$ der Spin-Gruppen:

$\Omega _{n}^{\operatorname {Spin} }\cong \pi _{n}\operatorname {MSpin} .$

Spin-Bordismusgruppen bis acht Dimensionen wurden von John Milnor im Jahr 1963 berechnet.

• $\Omega _{0}^{\operatorname {Spin} }\cong \mathbb {Z}$, generiert vom einpunktigen Raum.
• $\Omega _{1}^{\operatorname {Spin} }\cong \mathbb {Z} _{2}$
• $\Omega _{2}^{\operatorname {Spin} }\cong \mathbb {Z} _{2}$
• $\Omega _{3}^{\operatorname {Spin} }\cong 1$
• $\Omega _{4}^{\operatorname {Spin} }\cong \mathbb {Z}$, generiert von der Kummer-Fläche $x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4}=0$.
• $\Omega _{5}^{\operatorname {Spin} }\cong \Omega _{6}^{\operatorname {Spin} }\cong \Omega _{7}^{\operatorname {Spin} }\cong 1$
• $\Omega _{8}^{\operatorname {Spin} }\cong \mathbb {Z} ^{2}$, generiert vom quaternionischen projektiven Raum $\mathbb {H} P^{2}$ und einem aus der Kummer-Fläche berechneten Generator.

Spin-Bordismusring

Alle Spin-Bordismusgruppen können mit der direkten Summe in einer einzigen Struktur kombiniert werden:

$\Omega ^{\operatorname {Spin} }:=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }\Omega _{n}^{\operatorname {Spin} }.$

Mit dem kartesischen Produkt als zusätzlicher Komposition, welche mit der disjunkten Summe das Distributivgesetz erfüllt und daher mit ihr kompatibel ist, sowie dem Raum mit einem Element als entsprechendes neutrales Element ist diese ein Ring, welcher Spin-Bordismusring genannt wird.

Spin-Homologietheorie

$\Omega _{n}^{\operatorname {Spin} }$ definiert eine verallgemeinerte Homologietheorie. Für einen topologischen Raum $X$ sind dessen $n$-Zykel die stetigen Abbildungen $M\rightarrow X$ aus $n$-dimensionalen Spin-Mannigfaltigkeiten $M$. Zwei solche Abbildungen $f\colon M\rightarrow X$ und $g\colon N\rightarrow X$ sind homolog, wenn es einen Spin-Bordismus $W\colon M\rightsquigarrow N$ gibt, welcher $f\sqcup g\colon M\sqcup N\rightarrow X$ zu einer Abbildung $W\rightarrow X$ erweitert. Jede verallgemeinerte Homologietheorie wird durch ein Spektrum repräsentiert, welches in diesem Fall genau $\operatorname {MSpin}$ ist. Für alle topologischen Räume $X$ gibt es daher Gruppenisomorphismen:

$\Omega _{n}^{\operatorname {Spin} }(X)\cong \pi _{n}^{\mathrm {stab} }(X_{+}\wedge \operatorname {MSpin} ):=\lim _{k\rightarrow \infty }\pi _{n+k}(X_{+}\wedge \operatorname {MSpin} (k))$

mit $X_{+}=X\sqcup \{*\}$. Durch den Vergleich mit dem obigen Resultat zeigt sich aufgrund der Neutralität von $\{*\}_{+}\cong S^{0}$ im Wedge-Produkt, dass:

$\Omega _{n}^{\operatorname {Spin} }(*)\cong \Omega _{n}^{\operatorname {Spin} }.$

Literatur

• John Milnor: Spin structures on manifolds. In: Enseignement Math. 9. Jahrgang, Nr. 2, 1963, S. 198–203 (englisch). 

Weblinks

• Spin bordism im Manifold Atlas (englisch)
• spin bordism auf auf nLab (englisch)

Ein String-Bordismus ist ein Bordismus zwischen String-Mannigfaltigkeiten, also glatten Mannigfaltigkeiten mit einer String-Struktur, welche selbst eine String-Mannigfaltigkeit ist, sodass die String-Strukturen kompatibel sind. String-Bordismen können für die Definition einer verallgemeinerten Homologietheorie verwendet werden.

Definition

Eine String-Struktur auf einer glatten Mannigfaltigkeit induziert eine String-Struktur auf ihren Randkomponenten und allgemeiner sogar allen eingebetteten Untermannigfaltigkeiten.

Sei $W$ eine $n$-dimensionale String-Mannigfaltigkeit, also sodass die klassifizierende Abbildung $\tau _{W}\colon W\rightarrow \operatorname {BO} (n)$ ihres Tangentialbündels $TW=\tau _{W}^{*}\gamma _{\mathbb {R} }^{n}$ über die von der kanonischen Projektion $\operatorname {String} (n)\twoheadrightarrow \operatorname {O} (n)$ auf klassifizierenden Räumen induzierten Abbildung faktorisiert und sich dadurch zu einer Abbildung ${\widehat {\tau }}_{W}\colon W\rightarrow \operatorname {BString} (n)$ hebt.

String-Bordismusgruppen

Mit der Äquivalenzrelation des String-Bordismus bilden die $n$-dimensionalen geschlossenen String-Mannigfaltigkeiten eine abelsche Gruppe $\Omega _{n}^{\operatorname {String} }$ mit der disjunkten Vereinigung als Verknüpfung, der leeren Mannigfaltigkeit als neutrales Element und der Umkehr der Orientierung als Inversion. (Spin-Mannigfaltigkeiten sind immer orientierbar.) Mit der Pontrjagin-Thom-Konstruktion sind diese alternativ die Homotopiegruppen des Thom-Spektrums $\operatorname {MString}$ der String-Gruppen:

$\Omega _{n}^{\operatorname {String} }\cong \pi _{n}\operatorname {MString} .$

Spin-Bordismusgruppen bis sechszehn Dimensionen wurden von Vincent Giambalvo im Jahr 1971 berechnet.

• $\Omega _{7}^{\operatorname {String} }\cong 1$
• $\Omega _{8}^{\operatorname {String} }\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} _{2}$, wobei die Torsion von der eindeutigen ($\Theta _{8}\cong \mathbb {Z} _{2}$) achtdimensionalen exotischen Sphäre generiert wird.
• $\Omega _{9}^{\operatorname {String} }\cong \Theta _{9}/bP_{10}\cong \mathbb {Z} _{2}^{2}$ mit der neunten Kervaire-Milnor-Gruppe $\Theta _{9}\cong \mathbb {Z} _{2}^{2}$ von exotischen 9-Sphären und der Untergruppe $bP_{10}\cong 1$ von denen, welche stabil parallelisierbare glatte 10-Mannigfaltigkeiten beranden.
• $\Omega _{10}^{\operatorname {String} }\cong \mathbb {Z} _{6}$, generiert von einer exotischen 10-Sphäre.
• $\Omega _{11}^{\operatorname {String} }\cong 1$
• $\Omega _{12}^{\operatorname {String} }\cong \mathbb {Z}$
• $\Omega _{13}^{\operatorname {String} }\cong \mathbb {Z} _{3}$, generiert von einer exotischen 13-Sphäre.
• $\Omega _{14}^{\operatorname {String} }\cong \mathbb {Z} _{2}$, generiert von der eindeutigen ($\Theta _{14}\cong \mathbb {Z} _{2}$) exotischen 14-Sphäre.
• $\Omega _{15}^{\operatorname {String} }\cong \mathbb {Z} _{2}$, generiert von einer exotischen 15-Sphäre.
• $\Omega _{16}^{\operatorname {String} }\cong \mathbb {Z} ^{2}$

String-Bordismusring

Alle String-Bordismusgruppen können mit der direkten Summe in einer einzigen Struktur kombiniert werden:

$\Omega ^{\operatorname {String} }:=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }\Omega _{n}^{\operatorname {String} }.$

Mit dem kartesischen Produkt als zusätzlicher Komposition, welche mit der disjunkten Summe das Distributivgesetz erfüllt und daher mit ihr kompatibel ist, sowie dem Raum mit einem Element als entsprechendes neutrales Element ist diese ein Ring, welcher String-Bordismusring genannt wird.

String-Homologietheorie

$\Omega _{n}^{\operatorname {String} }$ definiert eine verallgemeinerte Homologietheorie. Für einen topologischen Raum $X$ sind dessen $n$-Zykel die stetigen Abbildungen $M\rightarrow X$ aus $n$dimensionalen String-Mannigfaltigkeiten $M$. Zwei solche Abbildungen $f\colon M\rightarrow X$ und $g\colon N\rightarrow X$ sind homolog, wenn es einen String-Bordismus $W\colon M\rightsquigarrow N$ gibt, welcher $f\sqcup g\colon M\sqcup N\rightarrow X$ zu einer Abbildung $W\rightarrow X$ erweitert. Jede verallgemeinerte Homologietheorie wird durch ein Spektrum repräsentiert, welches in diesem Fall genau $\operatorname {MString}$ ist. Für alle topologischen Räume $X$ gibt es daher Gruppenisomorphismen:

$\Omega _{n}^{\operatorname {String} }(X)\cong \pi _{n}^{\mathrm {stab} }(X_{+}\wedge \operatorname {MString} ):=\lim _{k\rightarrow \infty }\pi _{n+k}(X_{+}\wedge \operatorname {MString} (k))$

mit $X_{+}=X\sqcup \{*\}$. Durch den Vergleich mit dem obigen Resultat zeigt sich aufgrund der Neutralität von $\{*\}_{+}\cong S^{0}$ im Wedge-Produkt, dass:

$\Omega _{n}^{\operatorname {String} }(*)\cong \Omega _{n}^{\operatorname {String} }.$

Literatur

• Vincent Giambalvo: On ⟨8⟩-cobordism. In: Illinois J. Math. 15. Jahrgang, 1971, S. 533–541 (englisch). 

Weblinks

• String bordism im Manifold Atlas (englisch)
• string bordism auf auf nLab (englisch)

Kaluza-Klein-Theorie

Ein Graviskalar (oder Radion) ist ein hypothetisches Teilchen, welches als Anregung des Gravitationsfeldes in einer Raumzeit mit fünf Dimensionen auftritt. Beschrieben wird diese durch die Kaluza-Klein-Theorie mit einem fünfdimensionalen metrischen Tensor, welcher aus dem vierdimensionalen metrischen Tensor durch Erweiterung mit einer zusätzlichen Zeile und Spalte entsteht. Wegen Symmetrie entsprechen diese einem zusätzlichen Skalarfeld, eben dem Graviskalar, sowie einem vierdimensionalen Vektorfeld, dem Graviphoton (oder Gravivektor).

Beschreibung

In der Kaluza-Klein-Theorie wird der metrische Tensor $g_{\mu \nu }$ der Allgemeinen Relativitätstheorie durch das Graviskalar $\phi$ und das Graviphoton $A_{\mu }$ erweitert zur Kaluza-Klein-Metrik:

${\widetilde {g}}_{ab}:={\begin{bmatrix}g_{\mu \nu }+\phi ^{2}A_{\mu }A_{\nu }&\phi ^{2}A_{\mu }\\\phi ^{2}A_{\nu }&\phi ^{2}\end{bmatrix}}.$

Aus den Kaluza-Klein-Einstein-Feldgleichungen lässt sich die Beschreibung des Graviskalars ableiten.

Ein Graviphoton (oder Gravivektor) ist ein hypothetisches Teilchen, welches als Anregung des Gravitationsfeldes in einer Raumzeit mit fünf Dimensionen auftritt. Beschrieben wird diese durch die Kaluza-Klein-Theorie mit einem fünfdimensionalen metrischen Tensor, welcher aus dem vierdimensionalen metrischen Tensor durch Erweiterung mit einer zusätzlichen Zeile und Spalte entsteht. Wegen Symmetrie entsprechen diese einem zusätzlichen Skalarfeld, dem Graviskalar (oder Radion), sowie einem vierdimensionalen Vektorfeld, eben dem Graviphoton.

Beschreibung

In der Kaluza-Klein-Theorie wird der metrische Tensor $g_{\mu \nu }$ der Allgemeinen Relativitätstheorie durch das Graviskalar $\phi$ und das Graviphoton $A_{\mu }$ erweitert zur Kaluza-Klein-Metrik:

${\widetilde {g}}_{ab}:={\begin{bmatrix}g_{\mu \nu }+\phi ^{2}A_{\mu }A_{\nu }&\phi ^{2}A_{\mu }\\\phi ^{2}A_{\nu }&\phi ^{2}\end{bmatrix}}.$

Aus den Kaluza-Klein-Einstein-Feldgleichungen lässt sich die Beschreibung des Graviphotons ableiten.

Das duale Photon ist ein von einigen Modellen der theoretischen Physik wie etwa der M-Theorie vorhergesagtes hypothetisches Teilchen, welches dem Photon unter der elektrisch-magnetischen Dualität (Montonen-Olive-Dualität) entspricht.

Das duale Graviton ist ein von einigen Modellen der theoretischen Physik wie etwa der elfdimensionalen Supergravitation (D = 11 SUGRA) vorhergesagtes hypothetisches Teilchen, welches dem Graviton unter der elektrisch-magnetischen Dualität (Montonen-Olive-Dualität) entspricht.

Lokalität

Ein lokaler Homöomorphismus ist im mathematischen Teilgebiet der Topologie eine stetige Abbildung, welche nur lokal bei Einschränkungen auf Umgebungen ein Homöomorphismus ist ohne notwendigerweise global einer zu sein.

Eigenschaften

• Lokale Homöomorphismen sind offen.

Weblinks

• local homeomorphism auf nLab (englisch)

Ein lokaler Diffeomorphismus ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialtopologie eine glatte Abbildung, welche nur lokal bei Einschränkungen auf Umgebungen ein Diffeomorphismus ist ohne notwendigerweise global einer zu sein.

Eigenschaften

• Lokale Diffeomorphismen sind lokale Homöomorphismen.

Weblinks

• local homeomorphism auf nLab (englisch)

Identitäten

Die Vandermonde-Identität (auch Chu-Vandermonde-Identität) ist im mathematischen Teilgebiet der Kombinatorik eine Identität für Summen von Binominalkoeffizienten. Die Vandermonde-Identität wird von der q-Vandermonde-Identität und der Rothe-Hagen-Identität verallgemeinert.

Die q-Vandermonde-Identität (auch q-Chu-Vandermonde-Identität) ist im mathematischen Teilgebiet der Kombinatorik eine Identität für Summen von q-Binominalkoeffizienten. Diese verallgemeinert die Vandermonde-Identität durch einen zusätzlich wählbaren Parameter.

Die Rothe-Hagen-Identität ist im mathematischen Teilgebiet der Kombinatorik eine Identität für Summen von Binominalkoeffizienten. Diese verallgemeinert die Vandermonde-Identität durch zusätzlich wählbare Parameter.

K-Theorie

Die Einhängung eines Ringes ist im mathematischen Teilgebiet der Algebraischen K-Theorie eine zur bekannteren Einhängung eines topologischen Raumes analoge Konstruktion. Während hintere den Grad der singulären Kohomologie um eins verschiebt, verschiebt vorderes den Grad der algebraischen K-Theorie ebenfalls um eins.

Das K-Theorie-Spektrum ist im mathematischen Teilgebiet der Algebraischen K-Theorie

Weblinks

• K-theory spectrum auf nLab (englisch)

Die K-Gruppen eines Körpers sind im mathematischen Teilgebiet der Algebraischen K-Theorie

Der Fundamentalsatz der Algebraischen K-Theorie ist

K-Theorie in der Physik ist

Weblinks

• K-theory and physics auf nLab (englisch)

KR-Theorie ist

Getwistete K-Theorie ist

Milnorsche K-Theorie ist

Weblinks

• Milnor K-theory auf nLab (englisch)

Die Milnor-Vermutung aus dem mathematischen Teilgebiet der Algebraischen K-Theorie

Weblinks

• Milnor's conjecture auf nLab (englisch)

Die Karoubi-Vermutung aus dem mathematischen Teilgebiet der K-Theorie

Die Quillensche Q-Konstruktion ist im mathematischen Teilgebiet der Algebraischen K-Theorie eine Konstruktion für Quillen-exakte Kategorien.

Weblinks

• Quillen Q-construction auf nLab (englisch)

Die Waldhausensche S-Konstruktion istim mathematischen Teilgebiet der Algebraischen K-Theorie eine Konstruktion für Waldhausen-Kategorien.

Weblinks

• Waldhausen S-construction auf nLab (englisch)

Lie-Theorie

Ein 𝔰𝔩₂-Tripel ist im mathematischen Teilgebiet der Lie-Theorie, genauer der Theorie der Lie-Algebren, eine Lie-Unteralgebra, welche isomorph zur zweiten speziellen linearen Lie-Algebra ${\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {C} )$ ist. Gemäß des Jacobson-Morozov-Theorems können nilpotente Elemente immer zu 𝔰𝔩₂-Tripeln erweitert werden.

Das Jacobson-Morozov-Theorem ist im mathematischen Teilgebiet der Lie-Theorie, genauer der Theorie der Lie-Algebren, ein Resultat darüber, dass nilpotente Elemente zu 𝔰𝔩₂-Tripeln erweitert werden können.

Das adjungierte Vektorbündel ist in der Kombination aus den mathematischen Teilgebieten der Lie-Theorie und Differentialgeometrie eine Konstruktion, welche einem Hauptfaserbündel (dessen Faser eine Lie-Gruppe ist) ein Vektorbündel zuordnet (dessen Faser die zugehörige Lie-Algebra ist). Dadurch können Beschreibungen beider zueinander übertragen werden. Ein wichtiges Resultat dabei ist, dass der Raum der Zusammenhänge eines Hauptfaserbündel auf dessen Totalraum isomorph zum Raum der vektorbündelwertigen Differentialformen auf deren Basismannigfaltigkeit ist, deren Koeffizienten genau im adjungierten Vektorbündel liegen.

Definition

Sei $G$ eine Lie-Gruppe mit Lie-Algebra ${\mathfrak {g}}$ und $E\twoheadrightarrow B$ ein $G$-Hauptfaserbündel. Es gibt eine kanonische Darstellung von $G$ auf ${\mathfrak {g}}$, genannt die adjungierte Darstellung $\operatorname {Ad} \colon G\rightarrow \operatorname {End} ({\mathfrak {g}})$. Das adjungierte Vektorbündel ist das balancierte Produkt:

$\operatorname {Ad} (E):=E\times _{G}{\mathfrak {g}}:=(E\times {\mathfrak {g}})/\sim$

mit $(e\cdot g,x)\sim (e,\operatorname {Ad} _{g}(x))$ für alle $e\in E$, $x\in {\mathfrak {g}}$ und $g\in G$.

Eine Lie-Algebrawertige Differentialform ist in der Kombination aus den mathematischen Teilgebieten der Lie-Theorie und Differentialgeometrie eine Differentialform mit Koeffizienten aus einer Lie-Algebra. Dabei werden sämtliche Operationen für gewöhnliche Differentialformen wie das Dachprodukt, das Cartan-Differential und der Hodge-Stern-Operator unter zusätzlicher Verwendung der Lie-Klammer verallgemeinert. Besondere Bedeutung hat das Konzept in der Eichtheorie. Lie-Algebrawertige Differentialformen sind Spezialfälle von vektorwertigen Differentialformen, bei welchen die Lie-Klammer fehlt.

Definition

Sei $M$ eine glatte Mannigfaltigkeit und ${\mathfrak {g}}$ eine Lie-Algebra.

$\Omega ^{k}(M,{\mathfrak {g}}):=\Gamma ^{\infty }\left(\Lambda ^{k}T^{*}M\right)\otimes {\mathfrak {g}}=\Gamma ^{\infty }\left(\Lambda ^{k}T^{*}M\otimes {\underline {\mathfrak {g}}}\right)$

Operationen

Dachprodukt

$\left(\sum _{i=1}^{n}\omega _{i}\otimes x_{i}\right)\wedge \left(\sum _{i=1}^{n}\eta _{i}\otimes x_{i}\right)=\sum _{i,j=1}^{n}(\omega _{i}\wedge \eta _{j})\otimes [x_{i},x_{j}]$

Eine wichtige Eigenschaft ist hier, dass das Wedge-Produkt einer Differentialform mit sich selbst aufgrund der Antisymmetrie ihrer Koeffizienten nicht mehr verschwinden muss. Für gewöhnliche Differentialformen ist das immer der Fall. Ein einfaches Beispiel ist die Differentialform $A=\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\in \Omega ^{1}(\mathbb {R} ^{2})$ mit:

$A\wedge A=\underbrace {\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} x} _{=0}+\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y+\underbrace {\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} x} _{=-\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}+\underbrace {\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} y} _{=0}=0$

Für die Differentialform $i\mathrm {d} x\wedge j\mathrm {d} y\in \Omega ^{1}(\mathbb {R} ^{2},{\mathfrak {su}}(2))$ gilt dagegen:

$A\wedge A=\underbrace {[i,i]} _{=0}\underbrace {\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} x} _{=0}+[i,j]\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y+\underbrace {[j,i]} _{=-[i,j]}\underbrace {\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} x} _{=-\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}+\underbrace {[j,j]} _{=0}\underbrace {\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} y} _{=0}=2[i,j]\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y$

Cartan-Differential

$\mathrm {d} \left(\sum _{i=1}^{n}\omega _{i}\otimes x_{i}\right)=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathrm {d} \omega _{i}\otimes x_{i}\right)$

Hodge-Stern-Operator

$\star \left(\sum _{i=1}^{n}\omega _{i}\otimes x_{i}\right)=\left(\sum _{i=1}^{n}\star \omega _{i}\otimes x_{i}\right)$

Eine vektorbündelwertige Differentialform ist in der Kombination aus den mathematischen Teilgebieten der Bündeltheorie und der Differentialgeometrie eine Differentialform mit Koeffizienten in einem Vektorbündel. Dabei werden sämtliche Operationen für gewöhnliche Differentialformen wie das Dachprodukt, das Cartan-Differential und der Hodge-Stern-Operator in Kombination mit Schnitten des Vektorbündels verallgemeinert. Besondere Bedeutung hat das Konzept in der Eichtheorie, wobei dort jedoch allgemeiner Vektorbündel betrachtet werden, deren Fasern sogar Lie-Algebren sind, wie etwa bei das adjungierte Vektorbündel. Dabei werden vektorbündelwertige Differentialformen mit Lie-Algebrawertige Differentialformen kombiniert. Vektorbündelwertige Differentialformen sind Verallgemeinerungen von vektorwertigen Differentialformen, welche sich im Spezialfälle von trivialen Vektorbündeln ergeben.

Dold-Mannigfaltigkeit

Dold-Mannigfaltigkeiten sind spezielle glatte Mannigfaltigkeiten, welche als Repräsentanten von nicht orientieren und orientierten Kobordismusklassen auftreten. Benannt sind Dold-Mannigfaltigkeiten nach Albrecht Dold, welcher diese im Jahr 1956 erstmals einführte. Dadurch wurden Lücken bei der Angabe von Repräsentanten von Kobordismusklassen in der Arbeit von Réne Thom geschlossen, welcher Kobordismen im Jahr 1954 eingeführt hatte.

Definition

$\mathbb {Z} _{2}$ wirkt auf der Sphäre $S^{m}$ durch antipodale Identifikation $x\mapsto -x$ und auf dem komplexen projektiven Raum $\mathbb {C} P^{n}$ durch komplexe Konjugation $z\mapsto {\overline {z}}$. Kombiniert wirkt $\mathbb {Z} _{2}$ dadurch auch auf dem Produkt $S^{m}\times \mathbb {C} P^{n}$ durch $(x,z)\mapsto (-x,{\overline {z}})$, wobei der Quotientenraum:

$P(m,n):=(S^{m}\times \mathbb {C} P^{n})/\mathbb {Z} _{2}$eine Dold-Mannigfaltigkeit ist.

Eigenschaften

• Reelle und komplexe projektive Räume sind Spezialfälle von Dold-Mannigfaltigkeiten durch:

  $P(m,0)=\mathbb {R} P^{m};$

  $P(0,n)=\mathbb {C} P^{n}.$

• $P(1,2)$ generiert die orientierte Kobordismusgruppe $\Omega _{5}^{\operatorname {SO} }\cong \mathbb {Z} _{2}$. Da auch die Wu-Mannigfaltigkeit $\operatorname {SU} (3)/\operatorname {SO} (3)$ diese generiert, sind beide kobordant.

Weblinks

• Dold manifold auf nLab (englisch)

Kurzgeschichten von Greg Egan

Orakel (im Original Oracle) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des australischen Schriftstellers Greg Egan, zuerst veröffentlicht in Asimov's Science Fiction im Juli 2000. Die Kurzgeschichte erschien ebenfalls in den Sammlungen Crystal Nights and Other Stories im Jahr 2009, Oceanic im Jahr 2009 und The Best of Greg Egan im Jahr 2019.

Handlung

Robert Stoney, eine alternative Version von Alan Turing, veröffentlicht ein Paper über eine vierdimensionale Yang-Mills-Theorie der Gravitation. Daraufhin sucht ihn die ihm unbekannte Helen auf und enthüllt, aus einem alternativen Ablauf der Geschichte zu stammen und die antiselbstdualen und selbstdualen Lösungen der Theorie für Reisen vorwärts und rückwärts durch die Zeit zu verwenden. Robert erkennt, dass Helen eine Maschine ist und bekommt von ihr fortgeschrittenes Wissen anvertraut. Dies fällt seinem Kollegen John Hamilton auf, einer alternativen Version von XXXX, und dieser fordert ihn daraufhin zu einer öffentlichen Diskussion darüber auf, ob Maschinen denken können. John argumentiert mithilfe des Gödelschen Unvollständigkeitssatzes dagegen und erklärt ebenfalls das Halteproblem um zu zeigen, dass ein Orakel nicht existieren kann. Helen behauptet als Maschine jedoch, durch ihre Fähigkeit zur Zeitreise selbst ein Orakel zu sein.

Übersetzung

Die Kurzgeschichte wurde in Polnisch, Spanisch, Japanisch von Makoto Yamagishi, Französisch und Chinesisch (2024) übersetzt.

Kritik

Publishers Weekly schreibt über die Kurzgeschichte, dass Egan zeitweise ziemlich schwer sein kann („Egan can be heavy-handed at times“), der Charakter von Jack wie eine Strohmann-Version von C.S. Lewis wirke („the character Jack serves as a straw-man version of C.S. Lewis“) sowie dass Egans Talent für gut gezeichnete Charaktere scheint („Egan’s talent for creating well-drawn characters shines“).

Weblinks

• Samuel Adrian Antz/Drafts in der Internet Speculative Fiction Database (englisch)

Cocoon (englisch für Kokon) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des australischen Schriftstellers Greg Egan, zuerst veröffentlicht XXXX. Die Kurzgeschichte erschien ebenfalls in der Sammlung Luminous im Jahr 1998.

Übersetzung

Die Kurzgeschichte wurde auf Japanisch, Französisch, Griechisch, Spanisch, Tschechisch und Koreanisch übersetzt.

Kritik

Karen Burnham schreibt in Greg Egan (Masters of Modern Science Fiction), dass die Kurzgeschichte eine geradlinige Beschäftigung mit Bioethik aufweist („a straightforward bioethics story“) und die verschiedenen Argumente sowie die politisch aufgeladene Natur solcher Fragen sehr effektiv aufzeigt („develops its different arguments and illustrates the politicized nature of all such questions very effectively“).

Literatur

• Karen Burnham: Greg Egan (Modern Masters of Science Fiction) (= Modern Masters of Science Fiction). University of Illinois Press, 2014, ISBN 978-0-252-03841-9 (englisch). 

Weblinks

• Samuel Adrian Antz/Drafts in der Internet Speculative Fiction Database (englisch)

Hot Rock (englisch für Heißer Stein) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des australischen Schriftstellers Greg Egan, zuerst veröffentlicht XXXX. Die Novelette erschien ebenfalls in den Sammlungen Crystal Nights and Other Stories im Jahr 2009 und Oceanic im Jahr 2009. Die Novelette spielt im gleichen Unviersum wie die Novelette Glory, die Novelle Riding the Crocodile und der Roman Incandescence von Greg Egan.

Handlung

Azar lässt ihr Bewusstsein über das Kommunikationsnetzwerk der außerirdischen Zivilisation der Amalgam über tausendfünfhundert Lichtjahre entfernt zur Raumstation Mologhat schicken. Diese befindet sich im Orbit um den ohne Stern durch den interstellaren Raum fliegenden Planemo Talullah. Azar trifft Shelma und zusammen landen beide auf Tallulah mit dem Ziel, den Grund hinter dessen ungewöhnlich hoher Temperatur zu finden. Sie erschaffen Körper ähnlich zu den außerirdischen echsenartigen Kreaturen, die im Ozean leben und offenbaren sich diesen als fremde Besucher.

Übersetzung

Die Kurzgeschichte wurde in Koreanisch und Chinesisch übersetzt.

Weblinks

• Samuel Adrian Antz/Drafts in der Internet Speculative Fiction Database (englisch)

Seventh Sight (englisch für Siebte Sicht) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des australischen Schriftstellers Greg Egan, zuerst veröffentlicht XXXX.

Kritik

Publishers Weekly schreibt, dass die Kurzgeschichte unerwartet großartig und humanistisch sei („unexpectedly gorgeous and humanistic“).

Weblinks

• Samuel Adrian Antz/Drafts in der Internet Speculative Fiction Database (englisch)

Break my Fall (englisch für Brems meinen Fall) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des australischen Schriftstellers Greg Egan, zuerst veröffentlicht XXXX.

Weblinks

• Samuel Adrian Antz/Drafts in der Internet Speculative Fiction Database (englisch)

Höhere Kategorientheorie

Eine Kategorifizierung ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die XXXX.

Die Grothendieck-Konstruktion ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie eine Konstruktion XXXX.

Weblinks

• Grothendieck construction auf nLab (englisch)

Höhere Kategorientheorie ist in der Mathematik eine Verallgemeinerung der Kategorientheorie.

Weblinks

• higher category theory auf nLab (englisch)

Ein Segal-Raum ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie ein spezieller simplizialer topologischer Raum. In der höheren Kategorientheorie können vollständige Segal-Räume als eine mögliche Modellierung von ∞-Kategorien benutzt werden. Zu anderen Möglichkeiten gehören simpliziale Mengen, simplizial angereicherte Kategorien, topologische Kategorien und Segal-Kategorien. Benannt sind Segal-Räume nach Graeme Segal.

Definition

Sei $\mathbf {Top}$ die Kategorie der topologischen Räume, dann ist $\mathbf {sTop} :=[\Delta ^{\mathrm {op} },\mathbf {Top} ]$ mit der Simplexkategorie $\Delta$ die Kategorie der simplizialen topologischen Räume. Die Kategorie der Segal-Räume ist nun eine Unterkategorie von $\mathbf {sTop}$. Durch Nachkomposition mit dem singulären Funktor $\operatorname {Sing} \colon \mathbf {Top} \rightarrow \mathbf {sSet}$ und dem XXXX $\tau \colon \mathbf {sSet} \rightarrow \mathbf {Cat}$ ergibt sich ein Funktor $\mathbf {sTop} \rightarrow \mathbf {sCat} :=[\Delta ^{\mathrm {op} },\mathbf {Cat} ]$, welcher Segal-Räume auf Segal-Kategorien abbildet und sich dadurch auf deren entsprechende Unterkategorien einschränkt.

Weblinks

• Segal space und complete Segal space auf nLab (englisch)

Eine Segal-Kategorie ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie eine spezielle simpliziale lokal kleine Kategorie. In der höheren Kategorientheorie können diese als eine mögliche Modellierung von ∞-Kategorien benutzt werden. Zu anderen Möglichkeiten gehören simpliziale Mengen, simplizial angereicherte Kategorien, topologische Kategorien und Segal-Räume. Benannt sind Segal-Kategorien nach Graeme Segal.

Definition

Sei $\mathbf {Cat}$ die (nicht lokal kleine) Kategorie der lokal kleinen Kategorien, dann ist $\mathbf {sCat} :=[\Delta ^{\mathrm {op} },\mathbf {Cat} ]$ mit der Simplexkategorie $\Delta$ die Kategorie der simplizialen lokal kleinen Kategorien. Die Kategorie der Segal-Kategorien ist nun eine Unterkategorie von $\mathbf {sCat}$. Durch Nachkomposition mit dem Nerv $N\colon \mathbf {Cat} \rightarrow \mathbf {sSet}$ und der geometrischen Realisierung $|-|\colon \mathbf {sSet} \rightarrow \mathbf {Top}$ ergibt sich ein Funktor $\mathbf {sCat} \rightarrow \mathbf {sTop} :=[\Delta ^{\mathrm {op} },\mathbf {Top} ]$, welcher Segal-Kategorien auf Segal-Räume abbildet und sich dadurch auf deren entsprechende Unterkategorien einschränkt.

Weblinks

• Segal category auf nLab (englisch)

Eine Faserung von simplizialen Mengen ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie ein spezieller Morphismus zwischen simplizialen Mengen mit der Rechtshochhebungseigenschaft bezüglich Horninklusionen.

Weblinks

• right/left Kan fibration auf nLab (englisch)

Eine Kan-Faserung ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie eine spezielle Faserung von simplizialen Mengen, nämlich eine mit der Rechtshochhebungseigenschaft bezüglich aller Horninklusionen.

Kan-Komplexe

Ein Kan-Komplex ist eine simpliziale Menge, für welche der eindeutige terminale Morphismus eine Kan-Faserung ist. Konkret ist also eine simpliziale Menge $X$ ein Kan-Komplex, wenn $X\rightarrow \Delta ^{0}$ eine Kan-Faserung ist, oder äquivalent jeder Morphismus $\Lambda _{k}^{n}\hookrightarrow X$ für $n\geq 1$ und $0\leq k\leq n$ über die kanonische Inklusion $\Lambda _{k}^{n}\hookrightarrow \Delta ^{n}$ faktorisiert.

Jeder Kan-Komplex ist ein ∞-Gruppoid. Sei $X$ ein Kan-Komplex und sei $f\colon x\rightarrow y$ ein $1$-Simplex zwischen $0$-Simplizes $x,y\colon \Delta ^{0}\rightarrow X$. Für den Morphismus $\Lambda _{0}^{2}\rightarrow X$ mit $(0\rightarrow 1)\mapsto f$ und $(0\rightarrow 2)\mapsto \operatorname {id} _{x}$ existiert eine Auffüllung $\Delta ^{2}\rightarrow X$, wobei das Bild von $1\rightarrow 2$ linksinvers zu $f$ ist. Für den Morphismus $\Lambda _{2}^{2}\rightarrow X$ mit $(1\rightarrow 2)\mapsto f$ und $(0\rightarrow 2)\mapsto \operatorname {id} _{y}$ existiert eine Auffüllung $\Delta ^{2}\rightarrow X$, wobei das Bild von $0\rightarrow 1$ rechtsinvers zu $f$ ist.

Jedes ∞-Gruppoid ist ein Kan-Komplex.

Weblinks

• Kan fibration und Kan complex auf nLab (englisch)

Literatur

• Jacob Lurie: Higher Topos Theory. Princeton University Press, 2009, ISBN 978-0-691-14049-0 (englisch, mit.edu [PDF]). 
• Denis-Charles Cisinski: Higher Categories and Homotopical Algebra. Cambridge University Press, 2019, ISBN 978-1-108-47320-0 (englisch, uni-regensburg.de [PDF]). 

Eine stabile ∞-Kategorie ist im mathematischen Teilgebiet der höheren Kategorientheorie eine spezielle ∞-Kategorie.

Weblinks

• stable (infinity,1)-category auf nLab (englisch)

Ein ∞-Topos ist im mathematischen Teilgebiet der höheren Kategorientheorie die Verallgemeinerung eines (1-kategoriellen) Topos, analog wie eine ∞-Kategorie die Verallgemeinerung einer Kategorie ist. Genau wie ein Topos sich ähnlich wie die Kategorie der Prägarben von Mengen auf einem topologischen Raum verhält, verhält sich ein ∞-Topos ähnlich wie die ∞-Kategorie der Prägarben von Räumen auf einer kleinen ∞-Kategorie.

Weblinks

• (infinity,1)-topos und (infinity,1)Topos auf nLab (englisch)

Ein ∞-Gruppoid ist im mathematischen Teilgebiet der höheren Kategorientheorie die Verallgemeinerung eines (1-kategoriellen) Gruppoids, analog wie eine ∞-Kategorie die Verallgemeinerung einer Kategorie ist. Genau wie ein Gruppoid eine nur aus Isomorphismen bestehende Kategorie ist, ist ein ∞-Gruppoid eine nur aus Isomorphismen bestehende ∞-Kategorie.

Gemäß der Homotopiehypothese können ∞-Gruppoide auch als topologische Räume bis auf schwache Homotopieäquivalenz verstanden werden.

Weblinks

• infinity-groupoid auf nLab (englisch)

Die Homotopiehypothese aus dem mathematischen Teilgebiet der höheren Kategorientheorie besagt, dass ∞-Gruppoide auch als topologische Räume bis auf schwache Homotopieäquivalenz verstanden werden können.

Hintergrund

Sei $\mathbf {Top}$ die Kategorie der topologischen Räume und $\mathbf {sSet}$ die Kategorie der simplizialen Mengen. Mit dem singulären Funktor $\operatorname {Sing} \colon \mathbf {Top} \rightarrow \mathbf {sSet}$ und der geometrischen Realisierung $|-|\colon \mathbf {sSet} \rightarrow \mathbf {Top}$ ergibt sich eine Adjunktion $|-|\colon \mathbf {sSet} \leftrightarrows \mathbf {Top} \colon \operatorname {Sing}$ mit $|-|\dashv \operatorname {Sing}$.

Sei $\mathbf {CW}$ die Kategorie der CW-Komplexe und $\mathbf {Kan}$ die Kategorie der Kan-Komplexe. Da der singuläre Funktor stets ein Kan-Komplex und die geometrische Realisierung stets einen CW-Komplex ist, ergibt sich eine Einschränkung $|-|\colon \mathbf {Kan} \leftrightarrows \mathbf {CW} \colon \operatorname {Sing}$ mit $|-|\dashv \operatorname {Sing}$.

Formulierung

Konkret besagt die Homotopiehypothese, dass die ∞-Kategorie der ∞-Gruppoide äquivalent zur simplizialen Lokalisierung der Kategorie der topologischen Räume an den schwachen Homotopieäquivalenzen ist. Bei der Modellierung von ∞-Gruppoiden durch Kan-Komplexe folgt daraus insbesondere das auch aus der CW-Approximation ableitbare Resultat, dass sich jeder schwache Homotopietyp durch eine geometrische Realisierung ausdrücken lässt. Eine allgemeinere Aussage mit Homotopieäquivalenzen gilt nicht, jedoch unter Einschränkung auf XXXX und die Kategorie der CW-Komplexe mithilfe des Satzes von Whitehead.

Weblinks

• homotopy hypothesis auf nLab (englisch)

Stabilisierungshypothese

Die Stabilisierungshypothese aus dem mathematischen Teilgebiet der höheren Kategorientheorie besagt, dass XXXX.

Weblinks

• stabilization hypothesis auf nLab (englisch)

Topologische Gruppentheorie

Eine topologische Halbgruppe ist in der Kombination der mathematischen Teilgebiete der Topologie und Algebra eine Menge, welche sowohl mit der Struktur einer Topologie als auch einer Halbgruppe ausgestattet ist, sodass beide miteinander kompatibel sind.

Kategorie der topologischen Halbgruppen

Die Kategorie der topologischen Halbgruppen wird als $\mathbf {TopHGrp}$ bezeichnet. Es gibt kanonische Vergissfunktoren $\mathbf {TopHGrp} \rightarrow \mathbf {Top}$ und $\mathbf {TopHGrp} \rightarrow \mathbf {HGrp}$ in $\mathbf {Top}$, der Kategorie der topologischen Räume, und $\mathbf {HGrp}$, der Kategorie der Halbgruppen.

Ein topologisches Monoid ist in der Kombination der mathematischen Teilgebiete der Topologie und Algebra eine Menge, welche sowohl mit der Struktur einer Topologie als auch eines Monoides ausgestattet ist, sodass beide miteinander kompatibel sind.

Kategorie der topologischen Monoide

Die Kategorie der topologischen Monoide wird als $\mathbf {TopMon}$ bezeichnet. Ebenfalls üblich ist $\mathbf {Mon} (\mathbf {Top} )$, die Notation für die Kategorie der Monoid-Objekte in $\mathbf {Top}$, der Kategorie der topologischen Räume. Es gibt kanonische Vergissfunktoren $\mathbf {TopMon} \rightarrow \mathbf {Top}$ und $\mathbf {TopMon} \rightarrow \mathbf {Mon}$ in $\mathbf {Top}$, der Kategorie der topologischen Räume, und $\mathbf {Mon}$, der Kategorie der Monoide.

Weblinks

• topological monoid auf nLab (englisch)

Eine topologische abelsche Gruppe ist in der Kombination der mathematischen Teilgebiete der Topologie und Algebra eine Menge, welche sowohl mit der Struktur einer Topologie als auch einer abelschen Gruppe ausgestattet ist, sodass beide miteinander kompatibel sind.

Kategorie der topologischen abelschen Gruppen

Die Kategorie der topologischen abelschen Gruppen wird als $\mathbf {TopAbGrp}$ oder kurz $\mathbf {TopAb}$ bezeichnet. Es gibt kanonische Vergissfunktoren $\mathbf {TopAbGrp} \rightarrow \mathbf {Top}$ und $\mathbf {TopAbGrp} \rightarrow \mathbf {AbGrp}$ in $\mathbf {Top}$, der Kategorie der topologischen Räume, und $\mathbf {AbGrp}$, der Kategorie der abelschen Gruppen.

$\mathbf {TopAbGrp}$ ist keine abelsche Kategorie. Solche kategorientheoretischen Konflikte der Vereinigung von Topologie und Algebra führten zur Entwicklung der verdichteten Mathematik durch Peter Scholze und Dustin Clausen im Jahr 2018.

Weblinks

• topological abelian group auf nLab (englisch)

Ein topologisches Modul ist in der Kombination der mathematischen Teilgebiete der Topologie und Algebra eine Menge, welche sowohl mit der Struktur einer Topologie als auch eines Moduls über einem topologischen Ring ausgestattet ist, sodass beide miteinander kompatibel sind.

Ein Protorus ist in der Kombination der mathematischen Teilgebiete der Topologie und Algebra eine spezielle topologische abelsche Gruppe, deren zugrundeliegende Topologie sowohl kompakt als auch zusammenhängend ist.

Eine lokalkompakte abelsche Gruppe ist in der Kombination der mathematischen Teilgebiete der Topologie und Algebra eine spezielle topologische abelsche Gruppe, dessen zugrundeliegende Topologie ein lokalkompakter Hausdorff-Raum ist.

Weblinks

• locally compact topological group auf nLab (englisch)

Ein lokalkompakte Quantengruppe ist in der Kombination der mathematischen Teilgebiete der Topologie und Algebra eine XXXX.

Ein lokalkompakter Körper ist in der Kombination der mathematischen Teilgebiete der Topologie und Algebra ein spezieller topologischer Körper, dessen zugrundeliegende Topologie ein lokalkompakter Hausdorff-Raum ist.

Weblinks

• topological field auf nLab (englisch)

Homotopietheorie

Die Homotopiehochhebungseigenschaft (abgekürzt HLP für englisch homotopy lifting property) ist im mathematischen Teilgebiet der Algebraischen Topologie eine spezielle über Hochhebungen definierte Eigenschaft stetiger Abbildungen. Über die Eckmann-Hilton-Dualität entspricht die Homotopiehochhebungseigenschaft der Homotopieerweiterungseigenschaft. Beide Eigenschaften beschreiben grob ausgedrückt, wann Homotopien auf größere Räume fortgesetzt werden können.

Eigenschaften

• Kompositionen, Faserprodukte und Retrakte von stetigen Abbildungen mit der Homotopiehochhebungseigenschaft haben wieder die Homotopiehochhebungseigenschaft.

Weblinks

• homotopy lifting property auf nLab (englisch)

Literatur

• Denis-Charles Cisinski: Higher Categories and Homotopical Algebra. Cambridge University Press, 2019, ISBN 978-1-108-47320-0 (englisch, uni-regensburg.de [PDF]). 

Die Homotopieerweiterungseigenschaft (abgekürzt HEP für englisch homotopy extension property) ist im mathematischen Teilgebiet der Algebraischen Topologie eine spezielle über Hochhebungen definierte Eigenschaft stetiger Abbildungen. Über die Eckmann-Hilton-Dualität entspricht die Homotopieerweiterungseigenschaft der Homotopiehochhebungseigenschaft. Beide Eigenschaften beschreiben grob ausgedrückt, wann Homotopien auf größere Räume fortgesetzt werden können.

Eigenschaften

• Kompositionen, Kofaserprodukte und Retrakte von stetigen Abbildungen mit der Homotopieerweiterungseigenschaft haben wieder die Homotopieerweiterungseigenschaft.

Weblinks

• homotopy extension property auf nLab (englisch)Literatur

• Denis-Charles Cisinski: Higher Categories and Homotopical Algebra. Cambridge University Press, 2019, ISBN 978-1-108-47320-0 (englisch, uni-regensburg.de [PDF]). 

Die Homotopieausschneidungseigenschaft ist im mathematischen Teilgebiet der Algebraischen Topologie ein zum Ausschneidungsaxiom der axiomatischen Homologie analoges Resultat für Homotopie. Es folgt aus der allgemeinen Formulierung des Blakers-Massey-Theorems und impliziert selbst den Freudenthalschen Einhängungssatz.

Fluiddynamik

Ein Beltrami-Vektorfeld ist im mathematischen Teilgebiet der Vektoranalysis ein spezielles Vektorfeld, welches parallel zur eigenen Rotation ist. (Senkrecht zur eigenen Rotation zu sein führt dagegen auf ein komplex lamellares Vektorfeld.) Benannt sind Beltrami-Vektorfelder nach Eugenio Beltrami.

Definition

Ein Vektorfeld $\mathbf {A} \in {\mathfrak {X}}(\mathbb {R} ^{3})$, also eine glatte Funktion $\mathbf {A} \colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$, für welche:

$(\nabla \times \mathbf {A} )\times \mathbf {A} =\mathbf {0}$

ist ein Beltrami-Vektorfeld. Alternativ gibt es eine glatte Funktion $f\colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R}$ mit:

$\nabla \times \mathbf {A} =f\mathbf {A} .$

Eigenschaften

Ist ein Beltrami-Vektorfeld $\mathbf {A}$ zusätzlich quellenfrei mit $\nabla \cdot \mathbf {A} =\mathbf {0}$, dann gilt weiter:

$\Delta \mathbf {A} =\nabla \underbrace {(\nabla \cdot \mathbf {A} )} _{=0}-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )=-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )=-\nabla \times (f\mathbf {A} ).$

Ist die Funktion $f$ zusätzlich konstant, dann gilt weiter:

$\Delta \mathbf {A} =-\nabla \times (\lambda \mathbf {A} )=-\lambda \nabla \times \mathbf {A} =-\lambda ^{2}\mathbf {A} .$

Ein komplexes lamellares Vektorfeld ist im mathematischen Teilgebiet der Vektoranalysis ein spezielles Vektorfeld, welches senkrecht zur eigenen Rotation ist. (Parallel zur eigenen Rotation zu sein führt dagegen auf ein Beltrami-Vektorfeld.)

Definition

Ein Vektorfeld $\mathbf {A} \in {\mathfrak {X}}(\mathbb {R} ^{3})$, also eine glatte Funktion $\mathbf {A} \colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$, für welche:

$(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {A} =\mathbf {0}$

ist ein komplexes lamellares Vektorfeld.

Das magnetische Skalarpotential ist in der Elektrodynamik, einem Teilgebiet der Physik, eine für die Beschreibung spezieller Magnetfelder nützliche Hilfsgröße.

Beschreibung

Für ein stationäres elektromangetisches Feld mit verschwindender elektrischer Stromdichte, also mit $\mathbf {j} =\mathbf {0}$und ${\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=\mathbf {0}$, wie es etwa bei gewöhnlichen Magneten der Fall ist, folgt mit dem Ampéreschen Gesetz (vierte Maxwell-Gleichung) $\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$ direkt:

$\nabla \times \mathbf {B} =\mathbf {0} .$

Gemäß der Helmholtz-Zerlegung existiert daher ein Skalarfeld $\psi$ mit:

$\mathbf {B} =\nabla \psi ,$

welches magnetisches Skalarpotential genannt wird.

Literatur

• W.J. Duffin: Electricity and Magnetism, Fourth Edition. McGraw-Hill, 1980, ISBN 0-07-084111-X (englisch). 

• Jack Vanderlinde: Classical Electromagnetic Theory. 2005, ISBN 1-4020-2699-4, doi:10.1007/1-4020-2700-1 (englisch, cern.ch). 

Ein Beltrami-Fluss ist in der Fluiddynamik, einem Teilgebiet der Physik, ein spezieller Fluss, deren Geschwindigkeit und Wirbelstärke (Rotation der Geschwindigkeit) parallel zueinander sind. Benannt sind Beltrami-Flüsse nach Eugenio Beltrami.

Der Lamb-Vektor ist in der Fluiddynamik, einem Teilgebiet der Physik, das Kreuzprodukt von Geschwindigkeit und Wirbelstärke (Rotation der Geschwindigkeit) des Fluids. Benannt ist der Lamb-Vektor nach Horace Lamb.

Die Wirbelstärkengleichung ist in der Fluiddynamik, einem Teilgebiet der Physik, eine Gleichung zur Beschreibung der Zeitentwicklung der Wirbelstärke.

${\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial t}}=\nabla \times {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}=\nabla \times \left(-(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} -{\frac {\nabla p}{\rho }}-{\frac {\mu \Delta \mathbf {v} }{\rho }}+{\frac {(\lambda +\mu )\nabla (\mathbf {v} \cdot \nabla )}{\rho }}+{\frac {\mathbf {f} }{\rho }}\right)={\boldsymbol {\omega }}(\nabla \cdot \mathbf {v} )-({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla )\mathbf {v} -(\nabla \cdot \mathbf {v} ){\boldsymbol {\omega }}-{\frac {\nabla \rho \times \nabla p}{\rho }}-{\frac {\mu \Delta \nabla \times \mathbf {v} }{\rho }}+{\frac {\mu \nabla \rho \times \Delta \mathbf {v} }{\rho ^{2}}}-{\frac {(\lambda +\mu )\nabla \rho \times \nabla (\nabla \cdot \mathbf {v} )}{\rho ^{2}}}+\nabla \times {\frac {\mathbf {f} }{\rho }}$

Die barotropische Wirbelstärkengleichung ist in der Fluiddynamik, einem Teilgebiet der Physik, eine Gleichung zur Beschreibung der Zeitentwicklung der Wirbelstärke.

Die vektorwertigen Kugelflächenfunktionen sind

Ein Burgers-Wirbel (oder Burgers-Rott-Wirbel) ist in der Fluiddynamik, einem Teilgebiet der Physik, eine exakte Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen. Gefunden wurde der Burgers-Wirbel von Jan Burgers im Jahr 1948 und später untersucht von Nicholas Rott im Jahr 1958.

Ein Kerr-Dold-Wirbel ist in der Fluiddynamik, einem Teilgebiet der Physik, eine exakte Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen. Gefunden wurde der Kerr-Dold-Wirbel von Oliver S. Kerr und John W. Dold im Jahr 1994.

Ein Sullivan-Wirbel ist in der Fluiddynamik, einem Teilgebiet der Physik, eine exakte Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen. Gefunden wurde der Sullivan-Wirbel von Roger D. Sullivan im Jahr 1959.

Ein Batchelor-Wirbel ist in der Fluiddynamik, einem Teilgebiet der Physik, eine approximative aber nicht exakte Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen. Erstmals beschrieben und benannt wurde der Batchelor-Wirbel vom australischen Mathematiker und Physiker George Keith Batchelor im Jahr 1964.

Weblinks

• Continuous spectra of the Batchelor vortex (geschrieben von Xueri Mao und Spencer Sherwin, veröffentlicht vom Imperial College London)

Ein Taylor-Green-Wirbel ist in der Fluiddynamik, einem Teilgebiet der Physik, eine exakte Lösung der inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen in kartesischen Koordinaten. Gefunden wurde der Taylor-Green-Wirbel vom britischen Mathematiker und Physiker Geoffrey Ingram Taylor und Albert Edward Green im Jahr 1937.

Lusternik-Schnirelmann-Theorem

Das Lusternik-Schnirelmann-Theorem ist im mathematischen Teilgebiet der Fixpunkttheorie, hier insbesondere verbunden mit Algebraischer Topologie und Kombinatorik, ein Resultat über bestimmte Überdeckungen von Sphären durch abgeschlossene Mengen. Zuerst veröffentlicht und benannt wurde das Lusternik-Schnirelmann-Theorem nach den sowjetischen Mathematikern Lasar Aronowitsch Lusternik und Lew Genrichowitsch Schnirelmann im Jahr 1930. Es ist äquivalent zum Satz von Borsuk-Ulam aus der Algebraischen Topologie und dem Lemma von Tucker aus der Kombinatorik.

Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz-Lemma

Das Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz-Lemma ist im mathematischen Teilgebiet der Fixpunkttheorie, hier insbesondere verbunden mit Algebraischer Topologie und Kombinatorik, ein Resultat über bestimmte Überdeckungen von Simplizes durch abgeschlossene Mengen. Zuerst veröffentlicht und benannt wurde das Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz-Lemma von den polnischen Mathematikern Bronisław Knaster, Kazimierz Kuratowski und Stefan Mazurkiewicz im Jahr 1929. Es ist äquivalent zum Fixpunktsatz von Brouwer aus der Algebraischen Topologie und dem Lemma von Sperner aus der Kombinatorik.

Homogene elektromagnetische Wellengleichung

Die homogene elektromagnetischen Wellengleichung ist in der Elektrodynamik eine aus den Maxwell-Gleichungen folgende partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung für die Propagation elektromagnetischer Strahlung ohne Quellen. Mathematisch hat diese die Struktur einer homogenen dreidimensionalen Wellengleichung.

Inhomogene elektromagnetische Wellengleichung

Die inhomogene elektromagnetischen Wellengleichung ist in der Elektrodynamik eine aus den Maxwell-Gleichungen folgende partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung für die Propagation elektromagnetischer Strahlung mit Quellen. Mathematisch hat diese die Struktur einer inhomogenen dreidimensionalen Wellengleichung.

Schwarzschild-De-Sitter-Metrik

Die Schwarzschild-De-Sitter-Metrik (kurz SdS-Metrik, $\Lambda >0$) und Schwarzschild-Anti-De-Sitter-Metrik (kurz SAdS-Metrik, $\Lambda <0$) sind in der Allgemeinen Relativitätstheorie jeweils Verallgemeinerungen der Schwarzschild-Metrik ($\Lambda =0$) unter zusätzlicher Berücksichtigung von dunkler Energie, beschrieben durch die kosmologische Konstante $\Lambda$. Im Vakuum sind diese daher spezielle Lambdavakuumlösungen, also Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen mit verschwindendem Feldstärketensor und mit dunkler Energie. Im Gegensatz zur Schwarzschild-Metrik gibt es in der Schwarzschild-De-Sitter-Metrik eine Obergrenze für den Radius eines Schwarzen Loches, wobei dieser Fall als Nariai-Metrik bekannt ist.

Die Schwarzschild-(Anti)-De-Sitter-Metrik wird von der Reissner-Nordström-(Anti)-De-Sitter-, Kerr-(Anti)-De-Sitter-Metrik und Kerr-Newman-(Anti)-De-Sitter-Metrik verallgemeinert.

Formulierung der Metrik

Mit der Masse $M$ und der kosmologischen Konstante $\Lambda$ ist die Schwarzschild-(Anti)-De-Sitter-Metrik gegeben durch:

$\mathrm {d} ^{2}s=\left(1-{\frac {2M}{r}}-{\frac {\Lambda }{3}}r^{2}\right)\mathrm {d} ^{2}t+\left(1-{\frac {2M}{r}}-{\frac {\Lambda }{3}}r^{2}\right)^{-1}\mathrm {d} ^{2}r+r^{2}\mathrm {d} \Omega .$

Singularitäten der Metrik

Die Schwarzschild-(Anti)-De-Sitter-Metrik wird singulär (die entsprechende Matrixdarstellung nicht mehr invertierbar) für:

$f(r):=g_{tt}(r)=g_{rr}(r)^{-1}={\frac {\Lambda }{3}}r^{3}-r+2M\;{\stackrel {!}{=}}\;0.$

Für XXXX sind die beiden Lösungen dabei der Radius des Ereignishorizont des Schwarzen Loches sowie der kosmologische Radius. Für XXXX fallen die beiden Horizonte dabei zusammen.

• Es gilt $f'(r)=\Lambda r^{2}-1$, also gibt es lokale Extrema bei $r=\pm {\sqrt {1/\Lambda }}$.
• Es gilt $f''(r)=2\Lambda r$, also gibt es einen Krümmungswechsel bei $r=0$.

XXXX

$f\left({\sqrt {1/\Lambda }}\right)=-{\frac {2}{3}}{\sqrt {\frac {1}{\Lambda }}}+2M\;{\stackrel {!}{=}}\;0\Rightarrow M={\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {2}{\Lambda }}}.$

Reissner-Nordström-De-Sitter-Metrik

Die Reissner-Nordström-De-Sitter-Metrik (kurz RNdS-Metrik, $\Lambda >0$) und Reissner-Nordström-Anti-De-Sitter-Metrik (kurz RNAdS-Metrik, $\Lambda <0$) sind in der Allgemeinen Relativitätstheorie jeweils Verallgemeinerungen der Reissner-Nordström-Metrik ($\Lambda =0$) unter zusätzlicher Berücksichtigung von dunkler Energie, beschrieben durch die kosmologische Konstante $\Lambda$. Außerhalb von Materie sind diese daher spezielle Elektrovakuumlösungen, also Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen mit dem elektromagnetischem Feldstärketensor als Quelle des Gravitationsfeldes und mit dunkler Energie.

Die Reissner-Nordström-(Anti)-De-Sitter-Metrik verallgemeinert die Schwarzschild-(Anti)-De-Sitter-Metrik und wird selbst von der Kerr-Newman-(Anti)-De-Sitter-Metrik verallgemeinert.

Formulierung der Metrik

Mit der Masse $M$, der elektrischen Ladung $Q$ und der kosmologischen Konstante $\Lambda$ ist die Reissner-Nordström-(Anti)-De-Sitter-Metrik gegeben durch:

$\mathrm {d} ^{2}s=\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}-{\frac {\Lambda }{3}}r^{2}\right)\mathrm {d} ^{2}t+\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}-{\frac {\Lambda }{3}}r^{2}\right)^{-1}\mathrm {d} ^{2}r+r^{2}\mathrm {d} \Omega .$

Singularitäten der Metrik

Die Reissner-Nordström-(Anti)-De-Sitter-Metrik wird singulär (die entsprechende Matrixdarstellung nicht mehr invertierbar) für:

$f(r)=g_{tt}(r)=g_{rr}(r)^{-1}={\frac {\Lambda }{3}}r^{4}-r^{2}+2Mr-Q^{2}\;{\stackrel {!}{=}}\;0.$

XXXX

• Es gilt $f'(r)={\frac {4\Lambda }{3}}r^{3}-2r+2M$
• Es gilt $f''(r)=4\Lambda r^{2}-2$, also gibt es für $\Lambda >0$ einen Krümmungswechsel bei $r=\pm {\sqrt {2/\Lambda }}$ und für $\Lambda <0$ keinen Krümmungswechsel.

XXXX:

$f'\left({\sqrt {2/\Lambda }}\right)={\frac {2}{3}}{\sqrt {\frac {2}{\Lambda }}}+2M\;{\stackrel {!}{=}}\;0\Rightarrow M={\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {2}{\Lambda }}}.$

Kerr-De-Sitter-Metrik

Die Kerr-De-Sitter-Metrik (kurz KdS-Metrik, $\Lambda >0$) und Kerr-Anti-De-Sitter-Metrik (kurz KAdS-Metrik, $\Lambda <0$) sind in der Allgemeinen Relativitätstheorie jeweils Verallgemeinerungen der Kerr-Metrik ($\Lambda =0$) unter zusätzlicher Berücksichtigung von dunkler Energie, beschrieben durch die kosmologische Konstante $\Lambda$. Im Vakuum sind diese daher spezielle Lambdavakuumlösungen, also Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen mit verschwindendem Feldstärketensor und mit dunkler Energie.

Die Kerr-(Anti)-De-Sitter-Metrik verallgemeinert die Schwarzschild-(Anti)-De-Sitter-Metrik und wird selbst von der Kerr-Newman-(Anti)-De-Sitter-Metrik verallgemeinert.

Kerr-Newman-De-Sitter-Metrik

Abbildung von Ereignishorizonten und Ergosphären in der KNdS-Metrik für verschiedene Verhältnisse von Masse und kosmologischer Konstante

Die Kerr-Newman-De-Sitter-Metrik (kurz KNdS-Metrik, $\Lambda >0$) und Kerr-Newman-Anti-De-Sitter-Metrik (kurz KNAdS-Metrik, $\Lambda <0$) sind in der Allgemeinen Relativitätstheorie jeweils Verallgemeinerungen der Kerr-Newman-Metrik ($\Lambda =0$) unter zusätzlicher Berücksichtigung von dunkler Energie, beschrieben durch die kosmologische Konstante $\Lambda$. Außerhalb von Materie sind diese daher spezielle Elektrovakuumlösungen, also Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen mit dem elektromagnetischem Feldstärketensor als Quelle des Gravitationsfeldes und mit dunkler Energie.

Die Kerr-New-(Anti)-De-Sitter-Metrik verallgemeinert die Schwarzschild-(Anti)-De-Sitter-, Reissner-Nordström-(Anti)-De-Sitter- und Kerr-(Anti)-De-Sitter-Metrik.

Algebraische Quantenfeldtheorie

Algebraische Quantenfeldtheorie (kurz AQFT für englisch algebraic quantum field theory)

Literatur

• Vorlage:Citation
• Vorlage:Citation
• Romeo Brunetti, Klaus Fredenhagen, Rainer Verch: The Generally Covariant Locality Principle – A New Paradigm for Local Quantum Field Theory. In: Communications in Mathematical Physics. 237. Jahrgang, Nr. 1–2, 2003, S. 31–68, doi:10.1007/s00220-003-0815-7, arxiv:math-ph/0112041, bibcode:2003CMaPh.237...31B (englisch, springer.com). 
• Romeo Brunetti, Michael Dütsch, Klaus Fredenhagen: Perturbative Algebraic Quantum Field Theory and the Renormalization Groups. In: Advances in Theoretical and Mathematical Physics. 13. Jahrgang, Nr. 5, 2009, S. 1541–1599, doi:10.4310/ATMP.2009.v13.n5.a7, arxiv:0901.2038 (englisch, inspirehep.net). 
• Christian Bär, Klaus Fredenhagen (Hrsg.): Quantum Field Theory on Curved Spacetimes: Concepts and Mathematical Foundations (= Lecture Notes in Physics. Band 786). Springer, 2009, ISBN 978-3-642-02780-2, doi:10.1007/978-3-642-02780-2 (englisch, springer.com). 
• Romeo Brunetti, Claudio Dappiaggi, Klaus Fredenhagen (Hrsg.): Advances in Algebraic Quantum Field Theory (= Mathematical Physics Studies). Springer, 2015, ISBN 978-3-319-21353-8, doi:10.1007/978-3-319-21353-8 (englisch, springer.com). 
• Kasia Rejzner: Perturbative Algebraic Quantum Field Theory: An Introduction for Mathematicians (= Mathematical Physics Studies). Springer, 2016, ISBN 978-3-319-25901-7, doi:10.1007/978-3-319-25901-7, arxiv:1208.1428 (englisch, springer.com). 
• Thomas-Paul Hack: Cosmological Applications of Algebraic Quantum Field Theory in Curved Spacetimes (= SpringerBriefs in Mathematical Physics. Band 6). Springer, 2016, ISBN 978-3-319-21894-6, doi:10.1007/978-3-319-21894-6, arxiv:1506.01869 (englisch, springer.com). 
• Michael Dütsch: From Classical Field Theory to Perturbative Quantum Field Theory (= Progress in Mathematical Physics. Band 74). Birkhäuser, 2019, ISBN 978-3-03004738-2, doi:10.1007/978-3-030-04738-2 (englisch, springer.com). 
• Donald Yau: Homotopical Quantum Field Theory. World Scientific, 2019, ISBN 978-981-12-1287-1, doi:10.1142/11626, arxiv:1802.08101 (englisch, worldscientific.com). 
• Mykola Dedushenko: Snowmass white paper: The quest to define QFT. In: International Journal of Modern Physics A. 38. Jahrgang, 4n05, 2023, doi:10.1142/S0217751X23300028, arxiv:2203.08053 (englisch). 

Nichtkommutative Quantenfeldtheorie

Nichtkommutative Quantenfeldtheorie (kurz NCQFT für englisch noncommutative quantum field theory)

Literatur

• Gerhard Grensing: Structural Aspects of Quantum Field Theory and Noncommutative Geometry. World Scientific, 2013, ISBN 978-981-4472-69-2, doi:10.1142/8771 (englisch). 
• M. R. Douglas and N. A. Nekrasov, (2001). Noncommutative field theory. Rev. Mod. Phys., 73(4), 977.
• Richard J. Szabo (2003) "Quantum Field Theory on Noncommutative Spaces," Physics Reports 378: 207-99. An expository article on noncommutative quantum field theories.
• Noncommutative quantum field theory, see statistics on arxiv.org
• Valter Moretti (2003), "Aspects of noncommutative Lorentzian geometry for globally hyperbolic spacetimes," Rev. Math. Phys. 15: 1171-1218. An expository paper (also) on the difficulties to extend non-commutative geometry to the Lorentzian case describing causality

Quantenfeldtheorie in gekrümmter Raumzeit

Quantenfeldtheorie in gekrümmter Raumzeit (kurz QFTCS für englisch quantum field theory in curved spacetime)

Klein-Gordon-Gleichung in gekrümmter Raumzeit

Eine Verallgemeinerung der Klein-Gordon-Gleichung zur Beschreibung von Teilchen mit Spin 0 auf eine gekrümmte Raumzeit ist mithilfe des Kovarianzprinzips möglich:

$\square \psi =-\eta ^{\alpha \beta }\partial _{\alpha }\partial _{\beta }\psi \rightsquigarrow -g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\psi =-g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\partial _{\nu }\psi =-g^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\psi +g^{\mu \nu }\Gamma _{\mu \nu }^{\sigma }\partial _{\sigma }\psi =\square \psi +\Gamma ^{\sigma }\partial _{\sigma }\psi .$

Dirac-Gleichung in gekrümmter Raumzeit

Eine Verallgemeinerung der Dirac-Gleichung zur Beschreibung von Teilchen mit Spin 1/2 auf eine gekrümmte Raumzeit ist mithilfe des Kovarianzprinzips möglich:

$\gamma ^{\alpha }\partial _{\alpha }\psi \rightsquigarrow \gamma ^{\mu }\nabla _{\mu }\psi =\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi .$

Literatur

• N. D. Birrell, P. C. W. Davies: Quantum fields in curved space. CUP, 1982, ISBN 0-521-23385-2 (englisch). 
• S. A. Fulling: Aspects of quantum field theory in curved space-time. CUP, 1989, ISBN 0-521-34400-X (englisch). 
• V. Mukhanov, S. Winitzki: Introduction to Quantum Effects in Gravity. CUP, 2007, ISBN 978-0-521-86834-1 (englisch). 
• L. Parker, D. Toms: Quantum Field Theory in Curved Spacetime. Cambridge University Press, 2009, ISBN 978-0-521-87787-9 (englisch). 

String-Gruppe

Die String-Gruppe ist

Die String-Gruppe ist eine Überlagerung der Spin-Gruppe und wird selbst von der Fivebrane-Gruppe überlagert.

Weblinks

• string group und string 2-group auf nLab (englisch)

String-Struktur

Eine String-Struktur ist

Eine String-Struktur ist ein Spezialfall einer Spin-Struktur und eine Verallgemeinerung einer Fivebrane-Struktur.

Weblinks

• string structure auf nLab (englisch)

Fivebrane-Gruppe

Die Fivebrane-Gruppe ist

Die Fivebrane-Gruppe ist eine Überlagerung der String-Gruppe und wird selbst von der Ninebrane-Gruppe überlagert.

Weblinks

• Fivebrane group und fivebrane 6-group auf nLab (englisch)

Fivebrane-Struktur

Eine Fivebrane-Struktur ist

Eine Fivebrane-Struktur ist ein Spezialfall einer String-Struktur und eine Verallgemeinerung einer Ninebrane-Struktur.

Weblinks

• Fivebrane structure auf nLab (englisch)

Ninebrane-Gruppe

Die Ninebrane-Gruppe ist

Die Ninebrane-Gruppe ist eine Überlagerung der Fivebrane-Gruppe.

Weblinks

• ninebrane group und ninebrane 10-group auf nLab (englisch)

Ninebrane-Struktur

Eine Ninebrane-Struktur ist

Eine Ninebrane-Struktur ist ein Spezialfall einer Fivebrane-Struktur.

Weblinks

• ninebrane structure auf nLab (englisch)

M2-Brane

Eine M2-Brane ist in der M-Theorie, einer gemeinsamen Verallgemeinerung von fünf Stringtheorien, eine zweidimensionale Brane, die sich aus den Feldgleichungen der D = 11 Supergravitation ergibt, dem Niedrigenergiegrenzfall der M-Theorie. Eine M2-Brane ist elektrisch geladen und koppelt elektrisch an das Eichfeld der D = 11 Supergravitation. Über die elektromagnetische Dualität (auch Montonen-Olive-Dualität) korrespondiert die M2-Brane mit der M5-Brane.

Im Whitehead-Turm der orthogonalen Gruppe $\operatorname {O} (n)$ führt die Vernichtung ihrer dritten Homotopiegruppe $\pi _{3}\operatorname {O} (n)$ auf ihre $3$-zusammenhängende Überlagerung, welche als String-Gruppe $\operatorname {String} (n)$ bezeichnet wird. Im Whitehead-Turm der unendlichen orthogonalen Gruppe $\operatorname {O} =\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {O} (n)$ führt die Vernichtung ihrer dritten Homotopiegruppe $\pi _{3}\operatorname {O} \cong \mathbb {Z}$ (welche achtfache Bott-Periodizität aufweisen) entsprechend auf ihre $3$-zusammenhängenden Überlagerung $\operatorname {String} =\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {String} (n)$. Diese korrespondiert mit der M2-Brane.

Literatur

• Edward Witten: String theory dynamics in various dimensions. In: Nucl. Phys. B. Band 443, Nr. 1-2, 1995, S. 409–412, doi:10.1016/0550-3213(95)00158-O, arxiv:hep-th/9503124, bibcode:1995NuPhB.443...85W. 

Weblinks

• M2-brane, fractional M2-brane und M2-M5 bound state auf nLab (englisch)

M5-Brane

Eine M5-Brane ist in der M-Theorie, einer gemeinsamen Verallgemeinerung von fünf Stringtheorien, eine fünfdimensionale Brane, die sich aus den Feldgleichungen der D = 11 Supergravitation ergibt, dem Niedrigenergiegrenzfall der M-Theorie. Eine M2-Brane ist magnetisch geladen und koppelt magnetisch an das Eichfeld der D = 11 Supergravitation. Über die elektromagnetische Dualität (auch Montonen-Olive-Dualität) korrespondiert die M5-Brane mit der M2-Brane.

Im Whitehead-Turm der orthogonalen Gruppe $\operatorname {O} (n)$ führt die Vernichtung ihrer siebten Homotopiegruppe $\pi _{7}\operatorname {O} (n)$ auf ihre $7$-zusammenhängende Überlagerung, welche als Fivebrane-Gruppe $\operatorname {Fivebrane} (n)$ bezeichnet wird. Im Whitehead-Turm der unendlichen orthogonalen Gruppe $\operatorname {O} =\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {O} (n)$ führt die Vernichtung ihrer siebten Homotopiegruppe $\pi _{7}\operatorname {O} \cong \mathbb {Z}$ (welche achtfache Bott-Periodizität aufweisen) entsprechend auf ihre $7$-zusammenhängenden Überlagerung $\operatorname {Fivebrane} =\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {Fivebrane} (n)$. Diese korrespondiert mit der M5-Brane und erklärt ihre Benennung.

Literatur

• Edward Witten: String theory dynamics in various dimensions. In: Nucl. Phys. B. Band 443, Nr. 1-2, 1995, S. 409–412, doi:10.1016/0550-3213(95)00158-O, arxiv:hep-th/9503124, bibcode:1995NuPhB.443...85W. 

Weblinks

• M5-brane, topological M5-brane, M5-brane charge, M5-brane elliptic genus, M5-brane instanton und M2-M5 bound state auf nLab (englisch)

M9-Brane

Eine M9-Brane ist in der Stringtheorie

Im Whitehead-Turm der orthogonalen Gruppe $\operatorname {O} (n)$ führt die Vernichtung ihrer elften Homotopiegruppe $\pi _{11}\operatorname {O} (n)$ auf ihre $11$-zusammenhängende Überlagerung, welche als Ninebrane-Gruppe $\operatorname {Ninebrane} (n)$ bezeichnet wird. Im Whitehead-Turm der unendlichen orthogonalen Gruppe $\operatorname {O} =\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {O} (n)$ führt die Vernichtung ihrer elften Homotopiegruppe $\pi _{11}\operatorname {O} \cong \mathbb {Z}$ (welche achtfache Bott-Periodizität aufweisen) entsprechend auf ihre $11$-zusammenhängenden Überlagerung $\operatorname {Ninebrane} =\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {Ninebrane} (n)$. Diese korrespondiert mit der M9-Brane und erklärt ihre Benennung.

Weblinks

• M9-brane auf nLab (englisch)

NS5-Brane

Eine NS5-Brane ist in der Stringtheorie

Weblinks

• NS-brane auf nLab (englisch)

Draft: Plancksche Relation

Die Plancksche Relation (auch Plancksche Energie-Frequenz-Relation, Planck-Einstein-Relation, Planck-Gleichung oder Planck-Formel) ist ein fundamentaler Zusammenhang aus der Quantenmechanik. mit welcher diese im Jahr 1900 von Max Planck begründet wurde. Gemäß der Planckschen Relation ist die Energie E eines Photons über das Plancksche Wirkungsquantum h mit dessen Frequenz v verbunden durch:

Häufig wird auch eine Umformulierung mit dem reduzierten Planckschen Wirkungsquantum und der Kreisfrequenz angegeben:

Die Plancksche Relation wurde von Max Planck bei der Betrachtung der Schwarzkörperstrahlung zur Vermeidung von Divergenzen postuliert, wobei das Symbol h für Hilfsgröße stand. Später zeigte sich die Bedeutung ebenfalls bei der Erklärung weiterer Phänomene, wie etwa dem photoelektrischen Effekt durch Albert Einstein im Jahr 1905 (ausgezeichnet mit dem Nobelpreis für Physik im Jahr 1921).

Draft: Eddington-Experiment

Das Eddington-Experiment

Draft: Eddington-Zahl

Die Eddington-Zahl gibt in der Astrophysik die Anzahl der Protonen im beobachtbaren Universum an.

Draft: Ein-Elektron-Universum

Das Ein-Elektron-Universum ist eine Hypothese, gemäß der sämtliche Elektronen und Positronen in Wahrheit nur ein einziges Objekt seien, welches sich sowohl vorwärts als auch rückwärts in der Zeit bewegt. Die Idee wurde im Frühling 1940 von John Wheeler in einem Telefonat mit Richard Feynman vorgeschlagen.

QED-Vakuum

Das QED-Vakuum ist das Quantenvakuum der Quantenelektrodynamik (QED).

Siehe auch

• QCD-Vakuum, Quantenvakuum der Quantenchromodynamik (QCD)
• Theta-Vakuum

Weblinks

• QED vacuum auf nLab (englisch)

QCD-Vakuum

Das QCD-Vakuum ist das Quantenvakuum der Quantenchromodynamik (QCD).

Siehe auch

• QED-Vakuum, Quantenvakuum der Quantenelektrodynamik (QED)
• Theta-Vakuum

Weblinks

• QCD vacuum auf nLab (englisch)

Theta-Vakuum

Das Theta-Vakuum ist

Siehe auch

• QED-Vakuum, Quantenvakuum der Quantenelektrodynamik (QED)
• QCD-Vakuum, Quantenvakuum der Quantenchromodynamik (QCD)

Weblinks

• theta vacuum auf nLab (englisch)

Twistor-Raum

Der Twistor-Raum ist in der Twistor-Theorie, einem Ansatz der Quantengravitation zur Kombination der Quantenfeldtheorie und Gravitation, eine Eigenbezeichnung für den dritten komplexen projektiven Raum $\mathbb {C} P^{3}$, welcher den Raum der Lösungen der Twistor-Gleichung beschreibt sowie als Totalraum in der Twistor-Faserung (auch Calabi-Penrose-Faserung) auftaucht. Über dem Twistor-Raum als Basisraum lässt sich zudem die sechsdimensionale holomorphe Chern-Simons-Theorie auf die vierdimensionale Chern-Simons-Theorie reduzieren.

Literatur

• R.S. Ward, R.O. Wells: Twistor Geometry and Field Theory. Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-42268-X (englisch). 
• S.A. Huggett, K.P. Tod: An introduction to twistor theory. Cambridge University Press, 1994, ISBN 978-0-521-45689-0 (englisch). 

Weblinks

• twistor space auf nLab (englisch)

Twistor-Faserung

Die Twistor-Faserung (auch Calabi-Penrose-Faserung) ist in der Twistor-Theorie, einem Ansatz der Quantengravitation zur Kombination der Quantenfeldtheorie und Gravitation, ein spezielles Faserbündel mit der Riemannschen Zahlenkugel $\mathbb {C} P^{1}$ als Faser, dem auch als Twistor-Raum bezeichneten dritten komplexen projektiven Raum $\mathbb {C} P^{3}$ als Totalraum und der vierdimensionalen Sphäre $S^{4}$ als Basisraum.

Weblinks

• twistor fibration auf nLab (englisch)

Twistor-Stringtheorie

Die Twistor-Stringtheorie ist in der Twistor-Theorie, einem Ansatz der Quantengravitation zur Kombination der Quantenfeldtheorie und Gravitation, eine Äquivalenz zwischen N = 4 supersymmetrischer Yang-Mills-Theorie und dem B-Modell der topologischen Stringtheorie.

Weblinks

• twistor string theory auf nLab (englisch)

Twistor-Korrespondenz

Die Twistor-Korrespondenz (auch Penrose-Ward-Korrespondenz) ist in der Twistor-Theorie, einem Ansatz der Quantengravitation zur Kombination der Quantenfeldtheorie und Gravitation, eine Verbindung zwischen vierdimensionaler Yang-Mills-Theorie und komplexer Geometrie.

Nichtlineare Zeit

Nichtlineare Zeit ist ein Konzept aus der theoretischen Physik, welches den geordneten Ablauf der Zeit etwa durch die Verwendung zukünftiger Zustände bei der Beschreibung zeitabhängiger Systeme missachtet. Dabei bezieht sich die Benennung als nichtlinear auf den fehlenden Determinismus zu einem gegebenen Zeitpunkt und bedeutet nicht, dass die zugrundeliegenden Gleichungen nichtlinear sind.

Siehe auch

• Imaginäre Zeit
• Mehrdimensionale Zeit
• Permutation City (1994), Science-Fiction-Roman von Greg Egan über die nichtlineare Simulation von Zeit für ein digitales Bewusstsein nach Mind uploading
• Story of Your Life (1998), Science-Fiction-Kurzgeschichte von Ted Chiang über die nichtlineare Wahrnehmung von Zeit
• Arrival (2016), Verfilmung von Story of Your Life von Denis Villeneuve

Imaginäre Zeit

Imaginäre Zeit ist ein Konzept aus der theoretischen Physik, welches als mathematisches Hilfsmittel zur Verbindung verschiedener Geometrien verwendet wird. Dabei bezieht sich die Benennung als imaginär auf die bei der mathematischen Beschreibung durch die Wick-Rotation vorkommende imaginäre Einheit und bedeutet nicht, dass imaginäre Zeit ein spekulatives oder fiktives Konzept ist. Zeit bezieht sich dabei bereits rein auf die zugrundeliegende Geometrie, insbesondere das im Vergleich zum Raum umgekehrte Vorzeichen, und nicht auf die Zeitwahrnehmung.

Siehe auch

• Nichtlineare Zeit
• Mehrdimensionale Zeit
• Orthogonal-Trilogie (2011-2013), Science-Fiction-Trilogie von Greg Egan bestehend aus The Clockwork Rocket (2011), The Eternal Flame (2012) und The Arrows of Time (2013) über ein Universum, welches auf einer Riemannschen statt Lorentzschen Mannigfaltigkeit basiert, also durch Wick-Rotation aus unserem Universum entsteht, und die andere Funktionsweise von Zeit in diesem, durch die es etwa möglich wird, Nachrichten aus der eigenen Zukunft zu empfangen

Fréchet-Mannigfaltigkeit

Eine Fréchet-Mannigfaltigkeit ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie ein topologischer Raum, welcher lokal homöomorph zu einem Fréchet-Raum ist, ähnlich wie eine differenzierbare Mannigfaltigkeit lokal homöomorph zu einem euklidischen Raum ist. Im Gegensatz zu diesen können Fréchet-Mannigfaltigkeiten (genau wie Fréchet-Räume) jedoch unendlichdimensional sein und bieten daher einen geeigneten Formalismus für die Verallgemeinerung von Resultaten aus der Differentialtopologie. Eine wichtige Anwendung finden Fréchet-Mannigfaltigkeiten in der Differentiationstheorie, etwa beim Nash-Moser-Umkehrsatz. Benannt sind Fréchet-Mannigfaltigkeiten nach dem französischen Mathematiker Maurice René Fréchet.

Eigenschaften

• Da jeder Hilbert-Raum sowie jeder Banach-Raum insbesondere ein Fréchet-Raum ist, ist jede Hilbert-Mannigfaltigkeit sowie jede Banach-Mannigfaltigkeit insbesondere eine Fréchet-Mannigfaltigkeit.

Beispiele

• Jeder offene Teilmenge eines Fréchet-Raumes und dadurch insbesondere jeder Fréchet-Raum ist eine Fréchet-Mannigfaltigkeit. Dabei reicht eine einzige Karte.
• Für diffeomorphe glatte Mannigfaltigkeiten $X$ und $Y$ ist $\operatorname {Diff} (X,Y)$ eine Fréchet-Mannigfaltigkeit.

Einbettung

Für Fréchet-Mannigfaltigkeiten gibt es ähnlich zum Whitneyschen Einbettungssatz für glatte Mannigfaltigkeiten ebenfalls einen Einbettungssatz, jedoch mit Einschränkungen. David Henderson bewies im Jahr 1969, dass jede unendlichdimensionale separable metrische Fréchet-Mannigfaltigkeit sich als offene Menge in den (bis auf Isomorphie eindeutigen) unendlichdimensionale separablen Hilbert-Raum (oft identifiziert mit $\ell ^{2}(\mathbb {R} )$) einbetten lässt. Insbesondere gilt dieses Resultat auch für unendlichdimensionale separable metrische Banach-Mannigfaltigkeiten.

Siehe auch

• Banach-Mannigfaltigkeit
• Hilbert-Mannigfaltigkeit
• Fréchet-Lie-Gruppe

Weblinks

• Fréchet manifold auf nLab (englisch)

Litearatur

• Richard S. Hamilton: The inverse function theorem of Nash and Moser. In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.). 7. Jahrgang, Nr. 1, 1982, ISSN 0273-0979, S. 65–222, doi:10.1090/S0273-0979-1982-15004-2 (englisch). 
• David W. Henderson: Infinite-dimensional manifolds are open subsets of Hilbert space. In: Bull. Amer. Math. Soc. 75. Jahrgang, Nr. 4, 1969, S. 759–762, doi:10.1090/S0002-9904-1969-12276-7 (englisch). 

Hilbert-Mannigfaltigkeit

Eine Hilbert-Mannigfaltigkeit ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie ein topologischer Raum, welcher lokal homöomorph zu einem Hilbert-Raum ist, ähnlich wie eine differenzierbare Mannigfaltigkeit lokal homöomorph zu einem euklidischen Raum ist. Im Gegensatz zu diesen können Fréchet-Mannigfaltigkeiten (genau wie Fréchet-Räume) jedoch unendlichdimensional sein und bieten daher einen geeigneten Formalismus für die Verallgemeinerung von Resultaten aus der Differentialtopologie. Eine wichtige Anwendung finden Hilbert-Mannigfaltigkeiten in der Floer-Theorie, etwa bei XXXX. Benannt sind Hilbert-Mannigfaltigkeit nach dem deutschen Mathematiker David Hilbert.

Eigenschaften

• Da jeder Hilbert-Raum insbesondere ein Banach-Raum sowie ein Fréchet-Raum ist, ist jede Hilbert-Mannigfaltigkeit insbesondere eine Banach-Mannigfaltigkeit sowie eine Fréchet-Mannigfaltigkeit.

Beispiele

• Jeder offene Teilmenge eines Hilbert-Raumes und dadurch insbesondere jeder Hilbert-Raum ist eine Hilbert-Mannigfaltigkeit. Dabei reicht eine einzige Karte.

Siehe auch

• Banach-Mannigfaltigkeit
• Fréchet-Mannigfaltigkeit
• Hilbert-Lie-Gruppe

Weblinks

• Hilbert manifold auf nLab (englisch)

Hilbert-Lie-Gruppe

Eine Hilbert-Lie-Gruppe ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie eine Hilbert-Mannigfaltigkeit mit einer kompatiblen Gruppenstruktur, ähnlich wie eine Lie-Gruppe eine glatte Mannigfaltigkeit mit einer kompatiblen Gruppenstruktur ist. Im Gegensatz zu diesen können Hilbert-Lie-Gruppen (genau wie Hilbert-Mannigfaltigkeiten) jedoch unendlichdimensional sein und bieten daher einen geeigneten Formalismus für die Verallgemeinerung von Resultaten aus der Lie-Theorie. Benannt sind Hilbert-Lie-Gruppen nach dem deutschen Mathematiker David Hilbert und dem norwegischen Mathematiker Sophus Lie.

Definition

Eine Hilbert-Lie-Gruppe ist eine Hilbert-Mannigfaltigkeit mit einer Gruppenstruktur, sodass die Komposition und die Inversion XXXX sind.

Beispiele

Siehe auch

• Banach-Lie-Gruppe
• Fréchet-Lie-Gruppe

Weblinks

• Hilbert Lie group auf nLab (englisch)

Hilbert-Lie-Algebra

Eine Hilbert-Lie-Algebra ist in den mathematischen Teilgebieten der Funktionalanalysis und Lie-Theorie ein Hilbert-Raum mit einer kompatiblen Lie-Klammer und lässt sich ähnlich wie eine Lie-Algebra als Tangentialraum einer Lie-Gruppe analog als Tangentialraum einer Hilbert-Lie-Gruppe konstruieren. Benannt sind Hilbert-Lie-Algebren nach dem deutschen Mathematiker David Hilbert und dem norwegischen Mathematiker Sophus Lie.

Definition

Eine Hilbert-Lie-Algebra ist ein Hilbert-Raum ${\mathfrak {g}}$ mit einer Lie-Klammer $[-,-]\colon {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}$, also einer alternierenden und die Jacobi-Identität erfüllenden Bilinearform.

Siehe auch

• Banach-Lie-Algebra
• Fréchet-Lie-Algebra

Weblinks

• Hilbert Lie algebra auf nLab (englisch)

Banach-Lie-Gruppe

Eine Banach-Lie-Gruppe ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie eine Banach-Mannigfaltigkeit mit einer kompatiblen Gruppenstruktur, ähnlich wie eine Lie-Gruppe eine glatte Mannigfaltigkeit mit einer kompatiblen Gruppenstruktur ist. Im Gegensatz zu diesen können Banach-Lie-Gruppen (genau wie Banach-Mannigfaltigkeiten) jedoch unendlichdimensional sein und bieten daher einen geeigneten Formalismus für die Verallgemeinerung von Resultaten aus der Lie-Theorie. Benannt sind Banach-Lie-Gruppen nach dem polnischen Mathematiker Stefan Banach und dem norwegischen Mathematiker Sophus Lie.

Definition

Eine Banach-Lie-Gruppe ist eine Banach-Mannigfaltigkeit mit einer Gruppenstruktur, sodass die Komposition und die Inversion XXXX sind.

Beispiele

• Für eine glatte Mannigfaltigkeit $X$ und eine kompakte glatte Mannigfaltigkeit $Y$ ist $C^{k}(X,Y)$ eine Banach-Mannigfaltigkeit.

Siehe auch

• Fréchet-Lie-Gruppe
• Hilbert-Lie-Gruppe

Weblinks

• Banach Lie group auf nLab (englisch)

Banach-Lie-Algebra

Eine Banach-Lie-Algebra ist in den mathematischen Teilgebieten der Funktionalanalysis und Lie-Theorie ein Banach-Raum mit einer kompatiblen Lie-Klammer und lässt sich ähnlich wie eine Lie-Algebra als Tangentialraum einer Lie-Gruppe analog als Tangentialraum einer Banach-Lie-Gruppe konstruieren. Benannt sind Banach-Lie-Algebren nach dem polnischen Mathematiker Stefan Banach und dem norwegischen Mathematiker Sophus Lie.

Definition

Eine Banach-Lie-Algebra ist ein Banach-Raum ${\mathfrak {g}}$ mit einer Lie-Klammer $[-,-]\colon {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}$, also einer alternierenden und die Jacobi-Identität erfüllenden Bilinearform.

Siehe auch

• Hilbert-Lie-Algebra
• Fréchet-Lie-Algebra

Weblinks

• Banach Lie algebra auf nLab (englisch)

Fréchet-Lie-Gruppe

Eine Fréchet-Lie-Gruppe ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie eine Fréchet-Mannigfaltigkeit mit einer kompatiblen Gruppenstruktur, ähnlich wie eine Lie-Gruppe eine glatte Mannigfaltigkeit mit einer kompatiblen Gruppenstruktur ist. Im Gegensatz zu diesen können Fréchet-Lie-Gruppen (genau wie Fréchet-Mannigfaltigkeiten) jedoch unendlichdimensional sein und bieten daher einen geeigneten Formalismus für die Verallgemeinerung von Resultaten aus der Lie-Theorie. Benannt sind Fréchet-Lie-Gruppen nach dem französischen Mathematiker Maurice René Fréchet und dem norwegischen Mathematiker Sophus Lie.

Definition

Eine Fréchet-Lie-Gruppe ist eine Fréchet-Mannigfaltigkeit mit einer Gruppenstruktur, sodass die Komposition und die Inversion glatt sind.

Beispiele

• Für eine kompakte glatte Mannigfaltigkeit $X$ ist ihre Diffeomorphismengruppe $\operatorname {Diff} (X)$ eine Fréchet-Lie-Gruppe.

Siehe auch

• Banach-Lie-Gruppe
• Hilbert-Lie-Gruppe

Weblinks

• Fréchet Lie group auf nLab (englisch)

Literatur

• Richard S. Hamilton: The inverse function theorem of Nash and Moser. In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.). 7. Jahrgang, Nr. 1, 1982, ISSN 0273-0979, S. 65–222, doi:10.1090/S0273-0979-1982-15004-2 (englisch). 

Fréchet-Lie-Algebra

Eine Fréchet-Lie-Algebra ist in den mathematischen Teilgebieten der Funktionalanalysis und Lie-Theorie ein Fréchet-Raum mit einer kompatiblen Lie-Klammer und lässt sich ähnlich wie eine Lie-Algebra als Tangentialraum einer Lie-Gruppe analog als Tangentialraum einer Fréchet-Lie-Gruppe konstruieren. Benannt sind Fréchet-Lie-Algebren nach dem französischen Mathematiker Maurice René Fréchet und dem norwegischen Mathematiker Sophus Lie.

Definition

Eine Fréchet-Lie-Algebra ist ein Fréchet-Raum ${\mathfrak {g}}$ mit einer Lie-Klammer $[-,-]\colon {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}$, also einer alternierenden und die Jacobi-Identität erfüllenden Bilinearform.

Siehe auch

• Hilbert-Lie-Algebra
• Banach-Lie-Algebra

Weblinks

• Fréchet Lie algebra auf nLab (englisch)

Smith-Raum

Ein Smith-Raum ist im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis ein vollständiger kompakt generierter lokalkonvexer Vektorraum

Siehe auch

• Brauner-Raum

Weblinks

• Smith space auf nLab (englisch)

Brauner-Raum

Ein Brauner-Raum ist im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis ein vollständiger kompakt generierter lokalkonvexer Vektorraum

Siehe auch

• Smith-Raum

Weblinks

• Brauner space auf nLab (englisch)

Gravitative Instantone

Eine gravitative Instantone ist

Siehe auch

• Gravitative Anomalie

Gravitative Anomalie

Eine gravitatie Anomalie ist

Siehe auch

• Gravitative Instantone

De-Rham-Invariante

Die De-Rham-Invariante ist

Ein Anwendungsbeispiel für die de Rham-Invariante sind die fünfdimensionale Wu-Mannigfaltigkeit $\operatorname {SU} (3)/\operatorname {SO} (3)$ und die fünfdimensionale Dold-Mannigfaltigkeit $P(1,2)=(S^{1}\times \mathbb {C} P^{2})/\mathbb {Z} _{2}$. Da beide die gleiche de Rham-Invariante haben, sind beide auch orientiert kobordant zueinander:

$w_{2}w_{3}[\operatorname {SU} (3)/\operatorname {SO} (3)]=w_{2}w_{3}[P(1,2)]=1.$

Konkret zeigt sich das dadurch, dass beide Mannigfaltigkeiten unter Chirurgie für Einbettungen $D^{2}\times S^{3}\hookrightarrow \operatorname {SU} (3)/\operatorname {SO} (3)$ und $S^{1}\times D^{4}\hookrightarrow P(1,2)$ mit gleichem Rand $S^{1}\times S^{3}$ die jeweils andere ergeben. Ein Kobordismus zwischen beiden Mannigfaltigkeiten ergibt sich also durch das kartesische Produkt einer davon mit dem Einheitsintervall und der entsprechenden Chirurgie an einem Ende.

Weblinks

• de Rham invariant auf nLab (englisch)Literatur

Casson-Invariante

Die Casson-Invariante ist

Weblinks

• Casson invariant auf nLab (englisch)

Literatur

Rokhlin-Theorem

Das Rokhlin-Theorem ist

Weblinks

• Rokhlin's theorem auf nLab (englisch)

Literatur

Draft: LessWrong

LessWrong ist ein öffentlicher Blog und Forum zur Diskussion von kognitiver Verzerrung, Philosphie, Psychologie, Wirtschaft, Rationalität und künstliche Intelligenz sowie weiteren verwandten Themen. LessWrong erlangte vor allem Bekanntheit durch die dort entstandene Überlegung von Rokos Basilisk.

Geschichte

LessWrong entstand aus dem früheren Blog

Neoreaktion

Die neoreaktionäre Bewegung wuchs zuerst auf LessWrong und zog viele Benutzer von der Seite der Eugenik und evolutionären Psychologie an. Yudkowsky lehnte die Neoreaktion stark ab. In einer Umfrage auf LessWrong aus dem Jahr 2016 identifizierten sich 28 von 3060 Benutzer (0,92 %) als „neoreaktionär“.

Effektiver Altruismus

LessWrong played a significant role in the development of the effective altruism (EA) movement, and the two communities are closely intertwined. In a survey of LessWrong users in 2016, 664 out of 3,060 respondents, or 21.7%, identified as "effective altruists". A separate survey of effective altruists in 2014 revealed that 31% of respondents had first heard of EA through LessWrong, though that number had fallen to 8.2% by 2020. Two early proponents of effective altruism, Toby Ord and William MacAskill, met transhumanist philosopher Nick Bostrom at Oxford University. Bostrom's research influenced many effective altruists to work on existential risk reduction.

Weblinks

• LessWrong

Einzelnachweise

[[Kategorie:Webforum]]

[[Kategorie:Gergründet 2009]]

Teranesia

Teranesia ist ein Science-Fiction-Roman des australischen Schriftstellers Greg Egan. Die englische Ausgabe wurde im Jahr 2000 von Gollancz veröffentlicht. Die deutsche Ausgabe wurde im Jahr 2001 vom Heyne Verlag veröffentlicht. Die Übersetzung stammt von Bernhard Kempen. Der Roman beschreibt die Flucht zweier Kinder durch einen Bürgerkrieg in Indonesien sowie ihre Migration nach Kanada, sowie deren spätere Rückkehr zur Fortführung der Forschung ihrer verstorbenen Eltern. Greg Egan sagte vor Veröffentlichung, der Roman behandle Evolution, die Indian Rationalists Association, den Zusammenbruch von Indonesien, Quantenmechanik und Sex. („It’s about evolution, the Indian Rationalists Association, the breakup of Indonesia, quantum mechanics, and sex.“) Teranesia wurde mit verschiedenen Preisen ausgezeichnet, jedoch lehnte Greg Egan den Ditmar Award ab.

Handlung

Prabir, ein neunjähriger Junge, lebt mit Madhusree, seiner achtzehn Monate alten Schwester, sowie ihrer Mutter Radha und ihrem Vater Rajendra auf einer fiktiven abgelegenen südlichen Molukkeninsel, welche von ihnen Teranesia genannt wird. Radha und Rajendra erforschen heimische Schmetterlinge und migrierten dazu nach ihren Universitätsabschlüssen aus Indien nach Teranesia. Radha tutorierte einst Rajendra an der Universität in Kolkata, welcher aus armen Verhältnissen stammt und nur durch ein Stipendium studieren konnte. Prabir eignet sich seine Lebensgeschichte bei der Korrespondenz mit einer Universitätsprofessorin aus New York City über den aktuellen Bürgerkrieg in Indonesien an, um sein wahres Alter zu verheimlichen. Bei einem Angriff auf Teranesia werden Minen abgeworfen, welche Radha und Rajendra töten. Prabir kann mit Madhusree in einem kleinen Boot auf eine benachbarte Insel fliehen. Beide werden von Behörden erst nach Australien und dann zu ihrer Tante Amita und ihrem Ehemann Keith nach Toronto gebracht. Prabir gerät oft durch deren pseudointellektuelle Überzeugungen mit ihnen aneinander. Etwa glaubt Keith an die Notwendigkeit einer invertierten Programmiersprache für Gleichberechtigung aufgrund der Symbolik von Geschlechtsteilen in Binärzahlen oder Amita greift bezüglich sozialer Ungerechtigkeit zu unangebrachten Vergleichen mit dem Holocaust. Nachdem Prabir volljährig ist und Madhusree in der Schule ebenso von pseudointellektuellen Strömungen gelernt hat, also auch deren Unsinn entlarvt, ziehen beide in eine eigene Wohnung. Viele Jahre später arbeitet Prabir für eine Technikfirma und unterstützt Madhusree, welche nun Biologie wie einst ihre Eltern studiert. Prabir ist inzwischen mit Felix zusammen, welcher blind ist und über eine mit künstlichen Kontaktlinsen verknüpfte sensorische Matte auf seinem Rücken trotzdem gut zurechtkommt. Aus starker Gewohnheit lehnt Felix sogar eine inzwischen mögliche direkte Verknüpfung der Kontaktlinsen mit seinem Gehirn ab. Madhusree erzählt Prabir an einer Forschungsreise zu den südlichen Molukken zum Studium von sich extrem schnell ausbreitenden Mutationen teilnehmen zu können, jedoch Geld zu brauchen. Prabir, welcher sich sein ganzes Leben in der Verantwortung für sie sah und vor Teranesia in Sicherheit brachte, verweigert ihr jedoch plötzlich das Geld und äußert irrationale Bedenken bezüglich noch vergrabener Minen. Madhusree treibt das Geld jedoch unabhängig durch Nebenjobs auf und tritt die Forschungsreise heimlich an. Prabir ist extrem stolz und sieht seine Lebensaufgabe als beendet an, was ihn letztendlich zu einem Suizidversuch treibt. Nach dessen Abbruch reist Prabir stattdessen seiner Schwester hinterher.

Auf den Molukken wird Prabir mit Traumata seiner Vergangenheit konfrontiert und wirft sich etwa vor, durch seine damaligen Korrespondenzen mit der Universitätsprofessorin erst den Angriff auf Teranesia provoziert zu haben und dadurch am Tod seiner Eltern schuld zu sein. Dadurch setzt bei ihm die Erkenntnis ein, nie wirklich Madhusree vor den Molukken beschützt haben zu wollen, sondern lediglich vor der Enthüllung seiner eigenen Geheimnisse. Zudem stellt sich ihm die Frage, ob seine Fürsorge für sie rein genetischer Natur statt Freier Wille sein könnte. Prabir trifft auf die Biologin Martha Grant, welche für eine Pharmafirma arbeitet und ihre Ergebnisse daher nicht publizieren darf. Prabir handelt mit ihr eine Führung auf Teranesia dafür aus, dies letztendlich doch zu tun. Beim Besuch des Strandes, an dem seine Eltern starben, schaltet Prabir den Minendetektor ab und beginnt einen weiteren Suizidversuch, welchen Martha Grant jedoch mit Betäubungspfeilen rechtzeitig verhindert. Durch ihre Überzeugung gibt Prabir sich nicht länger die Schuld an der Vergangenheit und versucht sich Martha Grant trotz seiner Homosexualität sexuell anzunähern. Später treffen beide schließlich auf die Forschungsgruppe von Madrusree, welche Prabir seine Anwesenheit verzeiht. Nach der Gefangennahme durch eine christliche Miliz stellt sich heraus, dass Prabir mit dem die Mutationen verursachende São Paulo-Protein infiziert ist, welches nach der Heimatstadt der es entdeckenden Forschungsgruppe benannt wurde. Inzwischen wurde geklärt, dass die schnellen Mutationen durch die Verwendung der quantenmechanischen Superposition bei der Kombination von DNA kommen, welche viele verschiedene Möglichkeiten der Evolution gleichzeitig ausprobieren können. Darüber hinaus scheint das São Paulo-Protein dadurch sogar über das Äquivalent einer Intelligenz zu verfügen, löscht aber zugleich bei Prabir alle Besonderheiten eines eigenen Bewusstseins wie etwa Liebe zugunsten des obersten Zieles der eigenen Fortpflanzung aus. Prabir tritt langsam in ein Stadium schneller Metamorphose ein und bittet Madhusree um seine Verbrennung, um die Ausbreitung des São Paulo-Proteins zu verhindern. Jedoch extrahiert diese es mit dem Versprechen, einen neuen Wirt zu suchen, wodurch Prabir wieder normal wird. Nun auf dem Weg nach Darwin in Australien, überlegen beide, in die Heimatstadt Kolkata ihrer Eltern auf vielbesuchte Feste zu reisen. Madhusree meint dazu, von Prabir gelernt zu haben, dass das Leben ultimativ bedeutungslos sei.

Themen

Greg Egan meinte vor Veröffentlichung des Romans mehrmals, zentrale Themen seien Evolution und Sexualität. Christopher Palmer, ebenfalls Autor und Experte für Science-Fiction, analysierte nach Veröffentlichung den Umgang mit geschlechtertypischen Stereotypen sowied Klischees und nennt dabei als Beispiele, dass Prabir oft von Frauen gerettet wird, etwa von einer Wissenschaftlerin vor einem Python, Martha Grant vor seinem Suizid und Madhusree vor der christlichen Miliz. Karen Burnham schreibt dazu auf , dass Greg Egan einer der Pioniere bei der Beschreibung des Druckes auf Frauen in wissenschaftlichen Berufen sei. Später merkt sie in einer Kritik zu The Eternal Flame auf Strange Horizons mit einem Rückblick auf Distress an, wobei beide Romane dies ebenfalls thematisieren, dass Greg Egan dabei einen langen Weg zurückgelegt habe. („Egan has come a long way in understanding and portraying the different forces that affect women in the sciences.“)

Karen Burnham verweist ebenfalls auf die satirischen Karikaturen von intellektuellen Modeerscheinungen, welche Greg Egan wohl während der 1990er frustrierend fand und welche sich ebenfalls in Distress und Zendegi finden. („largely caricatures of intellectual fads that Egan presumably found frustrating in the 1990s“) In Teranesia versteht Karen Burnham dabei die Spuren des Patriarchats in der sexistischen Natur der Binärzahlen als satirischen Kommentar von Greg Egan darüber, dass es einen Unterschied zwischen den Behauptungen gebe, die Praxis der Wissenschaft sei frauenfeindlich und die Wissenschaft selbst sei inhärent patriarchal.

Kritik

Simon Petrie, ebenfalls Science-Fiction-Autor und in der Jury des australischen Aurealis Awards, lobt die Fokussierung auf Charaktere im Kontrast zu der Fokussierung auf Wissenschaft in den anderen Romanen. Greg L. Johnson, ein Autor für die New York Review of Science Fiction, schreibt auf der SF Site, dass die wahre Stärke des Romans die Charakterentwicklung sei, da die emotionalen Krisen wichtiger behandelt werden als die wissenschaftlichen Entdeckungen. Jedoch sei der Roman in den letzten Kapiteln im Vergleich zum Rest überhastet.

Jon Courtenay Grimwood, ebenfalls Science-Fiction-Autor und Akademiker, hebt positiv hervor, dass es Greg Egan gelingt, eine Begeisterung für Wissenschaft auch für Menschen außerhalb der Wissenschaft verständlich zu machen („passion of science appear understandable to non-scientists“). Negativ anzumerken sei jedoch, dass Greg Egan nicht vollständig auf relevante Themen wie Religion, politische Unruhen und indonesischen Imperialismus eingeht, wodurch viele der Motivationen von Prabir mit Irrtümern behaftet seien.

Weblinks

• Offizielle Webseite (englisch)
• Samuel Adrian Antz/Drafts in der Internet Speculative Fiction Database (englisch)

[[Kategorie:Literarisches Werk]]

[[Kategorie:Roman, Epik]]

[[Kategorie:Science-Fiction-Literatur]]

[[Kategorie:Literatur (20. Jahrhundert)]]

[[Kategorie:Literatur (Englisch)]]

[[Kategorie:Australische Literatur]]

Zendegi

Zendegi ist ein Science-Fiction-Roman des australischen Schriftstellers Greg Egan. Die englische Ausgabe wurde im Juni 2010 von Gollancz veröffentlicht. Der Roman beschreibt den Aufbau einer virtuelle Realität (VR) für digitalisierte Gehirne im von politischen Unruhen erschütterten Iran. Greg Egan arbeitet dabei persönliche Erfahrungen aus dem jahrelangen Kontakt mit Flüchtenden aus dem Iran sowie einer Reise in das Land in die Geschichte mit ein.

Handlung

Im Jahr 2012 reist Martin Seymour, ein australischer Journalist, für einen Beitrag über die Parlamentswahlen in den Iran. Wegen des Ausschlusses von Opposition kommt es zu Protesten, bei welchen Martin sich mit der politischen Aktivistin Mahnoosh anfreundet. Nach Eskalation der Unruhen kommt es zu Neuwahlen. Nasim Golestani, eine iranische Computerwissenschaftlerin und Cousine von Manoosh, floh nach der Exekution ihres Vaters durch das iranische Ministerium für Nachrichtenwesen (ehemals VEVAK, inzwischen MOIS/VAJA) und forscht seitdem am Massachusetts Institute of Technology (MIT) im Rahmen des Human Connectome Project (HCP) an der Aufzeichnung neuronaler Aktivität in Gehirnen, in ihrem Fall dem von Zebrafinken zur Simulation ihres Gesangs. Nach Streichung der Finanzierung ihrer Forschung kehrt Nasim in den Iran zurück und will bei dessen Neuaufbau helfen.

Im Jahr 2027 ist Martin in den Iran emigriert und hat Manoosh geheiratet. Beide haben einen gemeinsamen Sohn, genannt Javeed, welcher inzwischen eingeschult wird. Javeed überredet Martin, eine als Zendegi-ye-Behtar (persisch für besseres Leben) oder kurz Zendegi bekannte virtuelle Realität (VR) besuchen zu dürfen, was beide mit entsprechenden Anzügen tun. Nasim arbeitet inzwischen in Teheran an Zendegi, welches über Cloud Computing durch Server in vielen verschiedenen Ländern betrieben wird und entsprechend Konkurrenz hat. Nasim sucht daher nach neuen Ideen, welche Zendegi von dieser abheben können, wobei sich das inzwischen erfolgreiche Human Connectome Project, welches ihre Forschung letztendlich nicht benutzte, als hilfreich erweist. Inzwischen wurden mithilfe von Magnetresonanztomographie (MRT) tausende Abbilder von menschlichen Organspendern angefertigt und in der Pathologie eingesetzt. Mithilfe der öffentlich zugänglichen Ergebnisse fertigt Nasim ein Abbild eines lebenden Menschen an, um die sich in Zendegi befindenden Avatare zu verbessern. Ein digitales Abbild des iranischen Fußballspielers Ashkan Azimi bei der geistigen Wiederholung von vergangenen Spielen und die Einführung seines virtuellen Avatars als Digital Azimi in Zendegi lassen dessen Popularität daraufhin schlagartig steigen.

Bei einem Autounfall wird Martin schwer verletzt und Manoosh getötet, was Javeed aufgrund seines jungen Alters jedoch noch nicht komplett versteht. Als bei Martin daraufhin Leberkrebs diagnostiziert wird, was seinen eigenen Tod in Reichweite rückt, erklärt sich sein guter Freund Omar im Ernstfall für die Übernahme der Vormundschaft von Javeed bereit. Martin ist jedoch mit vielen seiner Ansichten, etwa einer abwertenden Haltung gegenüber Afghanen, nicht einverstanden, traut sich jedoch nicht es anzusprechen. Martin lässt sich daher von Nasim ein Abbild seines eigenen Gehirns in Zendegi anfertigen, um Javeed selbst nach seinem Tod weiter selbst erziehen zu können, wobei es ihm sogar wichtig genug ist, um eine lebensrettende aber potentiell tödliche Operation für die Transplantation einer neuen aus seinen Zellen gezüchteten Leber weiter hinauszuzögern. Sein Arzt warnt zwar vor den höheren Risiken, diese werden jedoch von Martin mit Lügen, mehr Zeit mit seinem Sohn verbringen zu wollen, abgetan. Martin und Nasim experimentieren beide mit seinem digitalen Avatar in Zendegi, etwa der Simulation eines neunjährigen Javeed im Jahr 2030 oder eines neunzehnjährigen Javeed im Jahr 2040, jedoch ist dieser noch nicht weit genug entwickelt, um ganz wie Martin selbst zu reagieren. Ähnliches gilt für Digital Azimi, weshalb unter anderem Nasim von der Cis-Humanist League (CHL) unter Druck gesetzt wird, ihre Experimente in Zendegi einzustellen. Unterstrichen wird die Forderung mit digitalen Angriffen in Zendegi und letztendlich einem Attentat im realen Houston auf das ehemalige Projekt, für welches Nasim einst in den Vereinigten Staaten arbeitete. Bei einer Diskussion in Zendegi versucht Nasim sich anschließend gegen die ethischen Vorwürfe zu verteidigen, dass selbstbewusste Software verstümmelt und versklavt werden würde. Martin erklärt sich nun für die weitaus riskantere Operation bereit und führt davor ein Gespräch mit Omar, bei dem Javeed nun wohnt. Omar erzählt, dass Javeed demnächst einen afghanischen Schuldfreund mitbringt, worauf Martin seine Vorurteile anspricht und fragt, ob Iran auch sein Land war, woraufhin Omar sein ehrenhaftes Verhalten lobt und ihm verspricht, dass jeder Freund von Javeed auch ein Freund von ihm sei. Martin verabschiedet sich ebenfalls von Javeed und stirbt anschließend während der Operation. Nach seiner Beerdigung gesteht sich Nasim ein, dass ein Argument ihrer Gegner aus der früheren Diskussion bei ihr hängen geblieben ist, nämlich dass wenn Menschen erschaffen werden sollen, dann müssen sie auch ganz sein.

Hintergrund

Greg Egan begann mit der Arbeit an Zendegi im Frühling 2008 und reiste im Oktober 2008 selbst in den Iran mit Aufenthalten in Teheran, Isfahan, Yazd und Schiras. Dabei war diese Reise seine erste außerhalb von Australien. Sein Interesse am Iran kam vom Kontakt mit zahlreichenden Flüchtenden während einer sechsjährigen Schreibpause kurz zuvor (zwischen Schild’s Ladder im Jahr 2002 und Incandescence im Jahr 2008), in welcher Greg Egan ehrenamtliche Hilfe leistete. Seine Erlebnisse dazu wurden von ihm im Essay The Razor Wire Looking Glass beschrieben oder in der Kurzgeschichte Lost Continent verarbeitet. Darüber hinaus wurden Migration und Flucht von ihm bereits in Teranesia im Jahr 2000 thematisiert und auch später in Perihelion Summer im Jahr 2019 wieder aufgegriffen.

Nach seinem Visaantrag im Juni 2008 sickerte eine Synopsis des Romans mit der Erwähnung des Niedergangs des iranischen Regimes über seinen Verlag durch. Greg Egan hatte dadurch nicht nur zu befürchten, dass im der Visaantrag verweigert werden würde, sondern ihm womöglich sogar eine Verhaftung im Iran drohen könnte. Jedoch hatten nur wenige Seiten über die durchgesickerte Synopsis berichtet und sein Verlag veröffentlichte daraufhin eine offizielle Synopsis ohne kompromittierende Einsichten in die Handlung. Nach seiner Rückkehr erfuhr Greg Egan, dass in Kaschan während seines Aufenthaltes durch einen Zwischenflug tatsächlich zwei Tauben aufgrund des Verdachtes von Spionage „verhaftet“ worden waren. Während der Skizzierung des Niedergangs des iranischen Regimes während seines Aufenthalts war das Land zwar noch ruhig, was sich jedoch nach den Parlementswahlen im Juni 2009 gerade einmal einen Monat nach der Fertigstellung des Romans mit der Wiederwahl von Präsident Mahmud Ahmadineschād änderte.

In einem Interview mit David Conyers für Virtual Worlds and Imagined Futures im Jahr 2009 erzählte Greg Egan, dass Distress bisher sein Lieblingsroman unter seinen eigenen sei, jedoch inzwischen Zendegi diesen Platz übernommen habe. („Distress was my favourite novel until recently, but I think the one I just finished, Zendegi, has taken its place.“) Gerade im Vergleich zu seiner Lieblingskurzgeschichte unter seinen eigenen, Gute Gründe fröhlich zu sein, komme das von haufenweise Elementen, welche leicht komplett anders hätten sein könnten. („It’s full of lots of serendipitous things that could easily have been different.“) Etwa habe eine Lesung des persischen Epos Schāhnāme des Dichters Abū ʾl-Qāsim Firdausī einen großen Einfluss auf die endgültige Form der Geschichte gehabt. („For example, at one point in my research for the book I decided to read the Persian epic the Shahnameh. If I hadn’t done that, I would still have written the novel, but it would have been very different.“)

Weblinks

• Offizielle Webseite (englisch)
• Samuel Adrian Antz/Drafts in der Internet Speculative Fiction Database (englisch)

Draft: Peterson-Raum

In der algebraischen Topologie ist ein Peterson-Raum ein CW-Komplex, welcher nur in einem einzigen Grad eine nichttriviale reduzierte Kohomologiegruppe hat und ist daher die kohomologische Analogie eines Eilenberg–MacLane-Raumes in der Homotopietheorie, welcher nur in einem einzigen Grad eine nichttriviale Homotopiegruppe hat.

Definition

Für eine endlich generierte abelsche Gruppe $G$ und eine natürliche Zahl $n\geq 3$ ist ein einfach zusammenhängender (wegzusammenhängend mit trivialer Fundamentalgruppe) CW-Komplex $X$, dessen reduzierte singuläre Kohomologiegruppen gegeben sind durch:

${\widetilde {H}}^{k}(X;\mathbb {Z} )=\left\{{\begin{array}{cl}0&;k\neq n\\G&;k=n\\\end{array}}\right.$

ein Peterson-Raum vom Typ $P(G,n)$. Ein Peterson-Raum ist eindeutig bis auf schwache Homotopieäquivalenz, was die eigenständige Notation begründet. Peterson-Räume müssen nicht immer existieren, etwa gibt es keine für den rationalen Körper $\mathbb {Q}$.

Lemmata

Beispiele

Siehe auch

• Eilenberg–MacLane-Raum, das analoge Konzept für Homotopie.
• Moore-Raum, das analoge Konzept für reduzierte Homologie.

Draft: Hopf-Konstruktion

Reele Hopf-Faserung

Die Sphäre $S^{0}$ ist diffeomorph zur orthogonalen Lie-Gruppe $\operatorname {O} (1)\cong \mathbb {Z} _{2}$ und daher eine topologische Gruppe. Die Hopf-Konstruktion der Verknüpfung ist die reele Hopf-Faserung $S^{1}\rightarrow S^{1}$.

Eine alternative Konstruktion der reellen Hopf-Faserung mithilfe von reell projektiven Räumen (was die Benennung erklärt) ist die mit der kanonischen Projektion $\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} P^{1}$ erzeugte Abbildung

$\mathbb {R} ^{2}\supset S^{1}\rightarrow S^{1}\cong \mathbb {R} P^{1},(x,y)\mapsto [x:y]$.

Die Homotopieklasse der reellen Hopf-Faserung ist zweiten Grades und daher kein Generator der Homotopiegruppe $\pi _{1}(S^{1})\cong \mathbb {Z}$.

Komplexe Hopf-Faserung

Die Sphäre $S^{1}$ ist diffeomorph zur unitären Lie-Gruppe $\operatorname {U} (1)$ und daher eine topologische Gruppe. Die Hopf-Konstruktion der Verknüpfung ist die komplexe Hopf-Faserung $S^{3}\rightarrow S^{2}$.

Eine alternative Konstruktion der komplexen Hopf-Faserung mithilfe von komplex projektiven Räumen (was die Benennung erklärt) ist die mit der kanonischen Projektion $\mathbb {C} ^{2}\rightarrow \mathbb {C} P^{1}$ erzeugte Abbildung

$\mathbb {C} ^{2}\cong \mathbb {R} ^{4}\supset S^{3}\rightarrow S^{2}\cong \mathbb {C} P^{1},(z,w)\mapsto [z:w]$.

Die komplexe Hopf-Faserung hat folgende Eigenschaften:

• Ihre Homotopieklasse ist ein Generator der Homotopiegruppe $\pi _{3}(S^{2})\cong \mathbb {Z}$.
• Ihre Einhängung ist der Generator der stabilen Homotopiegruppe $\pi _{1}^{\mathrm {stab} }\cong \mathbb {Z} _{2}$.

Quaternionische Hopf-Faserung

Die Sphäre $S^{3}$ ist diffeomorph zur speziellen unitären Lie-Gruppe $\operatorname {SU} (2)$ und daher eine topologische Gruppe. Die Hopf-Konstruktion der Verknüpfung ist die quaternionische Hopf-Faserung $S^{7}\rightarrow S^{4}$.

Eine alternative Konstruktion der quaternionischen Hopf-Faserung mithilfe von quaternionisch projektiven Räumen (was die Benennung erklärt) ist die mit der kanonischen Projektion $\mathbb {H} ^{2}\rightarrow \mathbb {H} P^{1}$ erzeugte Abbildung

$\mathbb {H} ^{2}\cong \mathbb {R} ^{8}\supset S^{7}\rightarrow S^{4}\cong \mathbb {H} P^{1},(q,p)\mapsto [q:p]$.

Die quaternionische Hopf-Faserung hat folgende Eigenschaften:

• Ihre Homotopieklasse ist ein Generator des Nichttorsionsteils der Homotopiegruppe $\pi _{7}(S^{4})\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} _{12}$.
• Ihre Einhängung ist ein Generator der stabilen Homotopiegruppe $\pi _{3}^{\mathrm {stab} }\cong \mathbb {Z} _{24}$.

Oktonionische Hopf-Faserung

Die Sphäre $S^{7}$ ist mit der Moufang-Struktur eine topologische Gruppe. Die Hopf-Konstruktion der Verknüpfung ist die oktonionsiche Hopf-Faserung $S^{15}\rightarrow S^{8}$.

Eine alternative Konstruktion der oktonionischen Hopf-Faserung mithilfe von oktonionisch projektiven Räumen (was die Benennung erklärt) ist die mit der kanonischen Projektion $\mathbb {O} ^{2}\rightarrow \mathbb {O} P^{1}$ erzeugte Abbildung

$\mathbb {O} ^{2}\cong \mathbb {R} ^{16}\supset S^{15}\rightarrow S^{8}\cong \mathbb {O} P^{1},(o,n)\mapsto [o:n]$.

Die oktonionische Hopf-Faserung hat folgende Eigenschaften:

• Ihre Homotopieklasse ist ein Generator des Nichttorsionsteils der Homotopiegruppe $\pi _{15}(S^{8})\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} _{120}$.
• Ihre Einhängung ist ein Generator der stabilen Homotopiegruppe $\pi _{7}^{\mathrm {stab} }\cong \mathbb {Z} _{240}$

Donaldson-Thomas-Theorie

Donaldson-Thomas-Theorie ist im mathematischen Teilgebiet der algebraischen Geometrie das Studium von Donaldson-Thomas-Invarianten. Benannt sind Donaldson-Thomas-Invarianten nach Simon Donaldson und Richard Thomas, welche diese im Jahr XXXX eingeführt haben.

Donaldson-Thomas-Invarianten haben zahlreiche Verbindungen zu anderen Invarianten. Etwa können diese als holomorphe Verallgemeinerung der Casson-Invariante von dreidimensionalen Homologiesphären gesehen werden und hängen eng mit den Gromov-Witten-Invarianten zusammen, was als GW/DT-Korrespondenz bezeichnet wird. Eine Verallgemeinerung, bei welcher nicht die Modulräume von Garben sondern die Modulräume von derivierten Kategorien betrachtet werden, ist die Pandharipande-Thomas-Theorie.

Literatur

• Yukinobu Toda: Recent Progress on the Donaldson–Thomas Theory: Wall-Crossing and Refined Invariants. 15. Dezember 2021, doi:10.1007/978-981-16-7838-7. 

Weblinks

• Donaldson-Thomas invariant auf nLab (englisch)

Pandharipande-Thomas-Theorie

Pandharipande-Thomas-Theorie ist im mathematischen Teilgebiet der algebraischen Geometrie das Studium von Pandharipande-Thomas-Invarianten. Benannt sind Pandharipande-Thomas-Invarianten nach Rahul Pandharipande und Richard Thomas, welche diese im Jahr XXXX eingeführt haben.

GW/DT-Korrespondenz

Die Gromov-Witten/Donaldson-Thomas-Korrespondenz (kurz GW/DT-Korrespondenz) ist eine Beziehung zwischen Gromov-Witten- und Donaldson-Thomas-Invarianten.

Literatur

• Davesh Maulik, Nikita Nekrasov, Andrei Okounkov und Rahul Pandharipande: Gromov–Witten theory and Donaldson–Thomas theory. In: Compositio Mathematica. Band 142, Nr. 5, 2003, S. 1263–1285, doi:10.1112/S0010437X06002302, arxiv:math/0312059. 
• Davesh Maulik, Nikita Nekrasov, Andrei Okounkov und Rahul Pandharipande: Gromov-Witten/Donaldson-Thomas correspondence for toric 3-folds. 23. September 2003, arxiv:0809.3976v1 [abs]. 
• Dustin Ross: On GW/DT and Ruan’s Conjecture in All Genus for Calabi-Yau 3-Orbifolds. 24. September 2014, arxiv:1409.7015. 

Weblinks

• GW/DT correspondence auf nLab (englisch)

Geeichte Supergravitation

Geeichte Supergravitation (kurz Geeichte SUGRA) ist

Konforme Supergravitation

Konforme Supergravitation (kurz Konforme SUGRA) ist eine Kombination

Draft: Balanciertes Smash-Produkt

Das balancierte Smash-Produkt ist im mathematischen Teilgebiet der Algebraischen Topologie ein Smash-Produkt für punktierte G-Räume. Dieses berücksichtigt beim Smash-Produkt der zugrundeliegenden punktierten topologischen Räume zusätzlich die stetige Gruppenwirkung auf ihnen durch eine topologische Gruppe mit die Bildung eines Quotienten.

Definition

Für eine topologische Gruppe $G$, einen punktierten $G$-Rechtsraum $X$ und einen punktierten $G$-Rechtsraum $Y$ ist:

$X\wedge _{G}Y:=(X\wedge Y)/\sim$

mit der wohldefinierten Äquivalenzrelation $[(xg,y)]\sim [(x,yg)]$ für alle $g\in G$, $x\in X$ und $y\in Y$ dessen balanciertes Smash-Produkt. Die Topologie auf diesem ergibt sich durch die Produkt- und Quotiententopologie.

Lemmata

Siehe auch

• Balanciertes Produkt, analoge Definition für nichtpunktierte G-Räume

[[Kategorie:Gruppentheorie]]

[[Kategorie:Topologie]]

Draft: Lokaler Hausdorff-Raum

Ein lokaler Hausdorff-Raum ist im mathematischen Teilgebiet der Topologie ein topologischer Raum, welcher nur lokal (also auf Umgebungen) ein Hausdorff-Raum ist.

Definition

Ein topologischer Raum, für den für je zwei verschiedene Punkte zwei disjunkte offene Teilmengen existieren, die jeweils einen der Punkte enthalten, wird Hausdorff-Raum (oder hausdorffsch) genannt.

Ein topologischer Raum, für den jeder Punkt eine Umgebung hat, welche mit der Teilraumtopologie ein Hausdorff-Raum ist, wird lokaler Hausdorff-Raum (oder lokal hausdorffsch) genannt. Oft wird statt einer hausdorffschen Umgebung gleich eine ganze Umgebungsbasis aus hausdorffschen Teilmengen gefordert, doch diese Definition ist für gewöhnlich stärker und daher nicht äquivalent zur ursprünglichen. In diesem Fall werden Räume nach der ursprünglichen Definition auch schwach lokal hausdorffsch genannt.

Lemmata

• Hausdorff-Räume sind lokale Hausdorff-Räume. Das folgt daraus, dass jeder Teilraum eines Hausdorff-Raumes wieder ein Hausdorff-Raum ist.
• Lokale Hausdorff-Räume sind T₁-Räume.
• Lokale Hausdorff-Räume sind nüchtern.

Beispiele

• Die reellen Zahlen mit zwei Ursprüngen (definiert als $\mathbb {R} \times \{0,1\}/\sim$ mit $(x,0)\sim (x,1)$ für $x\neq 0$) sind lokal hausdorffsch, aber nicht hausdorffsch.

Weblinks

• locally Hausdorff topological space auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Topologischer Raum]]

Draft: Lokal regulärer Raum

Ein lokal regulärer Raum ist im mathematischen Teilgebiet der Topologie ein topologischer Raum, welcher nur lokal (also auf Umgebungen) regulär ist.

Definition

Ein topologischer Raum, für den für jede abgeschlossene Teilmenge und jeden Punkt, welcher in dieser nicht enthalten ist, zwei disjunkte offene Teilmengen existieren, die jeweils die abgeschlossene Teilmenge und den Punkt enthalten, wird regulär genannt.

Ein topologischer Raum, für den jeder Punkt eine Umgebung hat, welche mit der Teilraumtopologie regulär ist, wird lokal regulär genannt. Oft wird statt einer regulären Umgebung gleich eine ganze Umgebungsbasis aus regulären Teilmengen gefordert, doch diese Definition ist für gewöhnlich stärker und daher nicht äquivalent zur ursprünglichen. In diesem Fall werden Räume nach der ursprünglichen Definition auch schwach lokal regulär genannt.

Lemmata

• Reguläre Räume sind lokal reguläre Räume. Das folgt daraus, dass jeder Teilraum eines regulären Raumes wieder ein regulärer Raum ist.
• Lokal reguläre T₁-Räume sind lokal hausdorffsch. Das folgt daraus, dass reguläre T₁-Räume hausdorffsch sowie Unterräume von T₁-Räumen wieder T₁-Räume sind.

Beispiele

• XXXX ist lokal regulär, aber nicht regulär.

Weblinks

• locally regular space auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Topologischer Raum]]

Draft: Lokal normaler Raum

Ein lokal normaler Raum ist im mathematischen Teilgebiet der Topologie ein topologischer Raum, welcher nur lokal (also auf Umgebungen) normal ist.

Definition

Ein topologischer Raum, für den für je zwei disjunkte abgeschlossene Teilmengen zwei disjunkte offene Teilmengen existieren, die jeweils einen der abgeschlossenen Teilmengen enthalten, wird normal genannt.

Ein topologischer Raum, für den jeder Punkt eine Umgebung hat, welche mit der Teilraumtopologie normal ist, wird lokal normal genannt. Oft wird statt einer normalen Umgebung gleich eine ganze Umgebungsbasis aus normalen Teilmengen gefordert, doch diese Definition ist für gewöhnlich stärker und daher nicht äquivalent zur ursprünglichen. In diesem Fall werden Räume nach der ursprünglichen Definition auch schwach lokal normal genannt.

Lemmata

• Normale Räume sind lokal normale Räume. Das folgt daraus, dass jeder Teilraum eines normalen Raumes wieder ein normaler Raum ist.
• Lokal normale T₁-Räume sind lokal regulär und lokal hausdorffsch. Das folgt daraus, dass normale T₁-Räume regulär und hausdorffsch sowie Unterräume von T₁-Räumen wieder T₁-Räume sind.

Beispiele

• Die reellen Zahlen mit der kofiniten Topologie sind ein T₁-Raum, welcher nicht lokal normal ist.

Weblinks

• locally normal space auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Topologischer Raum]]

Draft: Arnold-Vermutung

Die Arnold-Vermutung ist eine Ungleichung aus dem mathematischen Teilgebiet der symplektischen Geometrie (wiederrum ein Teilgebiet der Differentialgeometrie), welche die Betti-Zahlen einer symplektischen Mannigfaltigkeit mit der mindestens notwendigen Anzahl an Fixpunkten eines nichtdegenerierten Hamiltonschen Symplektomorphismus auf ihr verbindet. Benannt ist die Vermutung nach Wladimir Arnold. Die Arnold-Vermutung ist eine höherdimensionale Verallgemeinerung des Satzes von Poincaré–Birkhoff.

Formulierung

Sei $(M,\omega )$ eine kompakte $2n$-dimensionale symplektische Mannigfaltigkeit.

Siehe auch

• Arnold–Givental-Vermutung

Weblinks

• Arnold conjecture auf nLab (englisch)

Literatur

• Dusa McDuff und Dietmar Salamon: Introduction to Symplectic Topology. In: Clarendon Press (Hrsg.): Oxford mathematical monographs, Oxford science publications. 1998, ISBN 0-19-851177-9 (englisch). 

[[Kategorie:Symplektische Topologie]]

Draft: Arnold–Givental-Vermutung

Die Arnold–Giventhal-Vermutung ist eine Ungleichung aus dem mathematischen Teilgebiet der symplektischen Geometrie (wiederrum ein Teilgebiet der Differentialgeometrie), welche die Betti-Zahlen einer Lagrangeschen Untermannigfaltigkeit einer symplektischen Mannigfaltigkeit mit der mindestens notwendigen Anzahl an Schnittpunkten mit einer anderen Lagrangeschen Untermannigfaltigkeit verbindet, welche aus der ursprünglichen durch eine Hamiltonsche Isotopie hervorgeht und diese transversal schneidet. Benannt ist die Vermutung nach Wladimir Arnold und Alexander Giventhal.

Formulierung

Sei $(M,\omega )$ eine kompakte $2n$-dimensionale symplektische Mannigfaltigkeit und $L\subset M$eine reelle Lagrangesche Mannigfaltigkeit, also darstellbar als Fixpunktmenge einer antisymplektischen Involution $f\colon M\rightarrow M$, also sodass $f\circ f=\operatorname {id} _{M}$ und $f^{*}\omega =-\omega$.

Die Arnold-Vermutung ist ein Spezialfall der Arnold–Givental-Vermutung. Eine symplektische Mannigfaltigkeit $(M,\omega )$ erzeugt eine symplektische Mannigfaltigkeit $(M\times M,(-\omega )\oplus \omega )$, auf welcher der Koordinatentausch $M\times M\rightarrow M\times M,(x,y)\mapsto (y,x)$ eine antisymplektische Involution ist. Deren Fixpunktmenge ist die Diagonale $\Delta _{M}:=\{(x,x)|x\in M\}$, weshalb diese eine reelle Lagrangesche Mannigfaltigkeit ist. Für eine XXXX $f\colon M\rightarrow M$ ist ihre Fixpunktmenge $\operatorname {Fix} (f)$ genau der Schnitt $\operatorname {graph} (f)\cap \Delta _{M}$.

$\#\operatorname {Fix} (f)=\#(\operatorname {graph} (f)\cap \Delta _{M})$

Status

Die Arnold-Giventhal-Vermutung wurde für einige Spezialfälle bewiesen:

• Alexander Givental selbst bewies 1989 den Spezialfall für $(M,L)=(\mathbb {C} P^{n},\mathbb {R} P^{n})$.
• Yong-Geun Oh bewies 1995 den Spezialfall von zusätzlichen Annahmen an den Maslov-Index.
• Kenji Fukaya, Yong-Geun Oh, Hirosh Otha und Kaoru Ona bewiesen 2000 den Speziallfall für semipositive symplektische Mannigfaltigkeiten.
• Urs Frauenfelder bewies 2004 den Spezialfall für bestimmte symplektische Reduktionen unter Verwendung von Floer-Homologie.

Siehe auch

• Arnold-Vermutung

[[Kategorie:Symplektische Topologie]]

Fehlt:

Für XXXX ist $\operatorname {Ham} (M,\omega )$ sogar eine Lie-Gruppe. Ihre zugehörige Lie-Algebra ${\mathfrak {Ham}}(M,\omega )$ ist in diesem Fall die der Hamiltonschen Vektorfelder.

Diese ist die Lie-Algebra der Lie-Gruppe der Hamiltonschen Diffeomorphismen $\operatorname {Ham} (M,\omega )$.

Definition auf Poisson-Mannigfaltigkeiten

Symplektische Mannigfaltigkeiten sind spezielle Poisson-Mannigfaltigkeiten, da die symplektische Form eine Poisson-Klammer erzeugt. Für Hamilton-Funktionen $G,H\in C^{\infty }(M)$ auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit $M$ gilt dadurch der Zusammenhang:

,

durch den Hamiltonsche Vektorfelder allgemeiner auf Poisson-Mannigfaltigkeiten definiert werden können.

Lemmata auf Poisson-Mannigfaltigkeiten

XXXX

$\mathrm {d} F(X_{aG+bH})=\{F,aG+bH\}=a\{F,G\}+a\{F,H\}=a\mathrm {d} F(X_{G})+b\mathrm {d} F(X_{H})=\mathrm {d} F(aX_{G}+bX_{H})$

$\mathrm {d} F(X_{GH})=\{F,GH\}=G\{F,H\}+\{F,G\}H=G\mathrm {d} F(X_{H})+\mathrm {d} F(X_{G})H=\mathrm {d} F(GX_{H}+HX_{G})$

Draft: Lie-Gruppoide

Lie-Gruppoide sind Verallgemeinerungen von Lie-Gruppen im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie.

Ein Lie-Gruppoid ${\mathcal {G}}$, für das der Anker $(s,t)\colon {\mathcal {G}}_{1}\rightarrow {\mathcal {G}}_{0}\times {\mathcal {G}}_{0}$ surjektiv ist, wird transitiv genannt.

• Paargruppoide sind eigentlich.
• Einheitsgruppoide sind eigentlich.

Ein Lie-Gruppoid ${\mathcal {G}}$, für das der Anker $(s,t)\colon {\mathcal {G}}_{1}\rightarrow {\mathcal {G}}_{0}\times {\mathcal {G}}_{0}$ eigentlich ist, wird eigentlich genannt.

• Paargruppoide sind eigentlich.
• Einheitsgruppoide sind eigentlich.

Ein Lie-Gruppoid ${\mathcal {G}}$, für das $s,t\colon {\mathcal {G}}_{1}\rightrightarrows {\mathcal {G}}_{0}$ lokale Diffeomorphismen sind, wird étale genannt.

• Paargruppoide sind étale.
• Einheitsgruppoide sind nie étale.

Weblinks

• Lie gruppoid auf nLab (englisch)

Draft: Lie-Algebroide

Lie-Algebroide sind Verallgemeinerungen von Lie-Algebren im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie.

Weblinks

• Lie algebroid auf nLab (englisch)

Draft: Unitäre Transformation

XXXX

Eigenschaften

• Unitäre Transformationen erhalten hermitische, antihermitesche und unitäre Operatoren
• Unitäre Transformationen erhalten Bose-Operatoren und Fermi-Operatoren.

XXXX

Draft: Arnold–Kuiper–Massey-Theorem

Das Arnold–Kuiper–Massey-Theorem (oder AKM-Theorem) ist im mathematischen Teilgebiet der projektiven Geometrie eine aus drei verwandten Teilresultaten bestehende Erkenntnis über projektive Ebenen und ihre Verbindung zu Sphären.

Komplexes AKM-Theorem

Quaternionisches AKM-Theorem

Oktonionisches AKM-Theorem

Weblinks

• Arnold–Kuiper–Massey-Theorem auf nLab (englisch)

Draft: Kategorie der kleinen Kategorien

Die Kategorie der kleinen Kategorien, notiert als $\mathbf {Cat}$, ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller kleinen Kategorien als Objekten und der Klasse aller Funktoren als Morphismen.

Eigenschaften

$\mathbf {Cat}$ ist

• kartesisch abgeschlossen, aber nicht lokal kartesisch abgeschlossen.

Weblinks

• Cat auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft: Kategorie der Mengen

Die Kategorie der Mengen, notiert als $\mathbf {Set}$, ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller Mengen als Objekten und der Klasse aller Abbildungen als Morphismen.

Ähnliche Kategorien

Die volle Unterkategorie der endlichen Mengen wird als $\mathbf {Set} _{\mathrm {fin} }$ bezeichnet.

Eigenschaften

$\mathbf {Set}$ ist

• balanciert, also ist jeder Bimorphismus bereits ein Isomorphismus.
• (klein) bivollständig, also (klein) vollständig und (klein) kovollständig.
• kartesisch abgeschlossen.
• regulär.
• lokal endlich präsentierbar.

$\mathbf {Set} _{\mathrm {fin} }$ ist:

• nicht lokal endlich präsentierbar.

Zudem gilt:

• Jeder Monomorphismus ist regulär, lässt sich also als Differenzkern darstellen, und jeder Epimorphismus ist regulär, lässt sich also als Differenzkokern darstellen.

Weblinks

• Set auf nLab (englisch)
• SimpSet auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft: Kategorie der Gruppen

Die Kategorie der Gruppen, notiert als $\mathbf {Grp}$, ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller Gruppen als Objekten und der Klasse aller Gruppenhomomorphismen als Morphismen.

Verbindung zu anderen Kategorien

• Es gibt einen kanonischen Vergissfunktor $\mathbf {Grp} \rightarrow \mathbf {Set}$ in die Kategorie der Mengen, welcher die Gruppenstruktur vergisst. Dadurch ist $\mathbf {Grp}$ eine konkrete Kategorie.
• Es gibt eine kanonische und volle Inklusion $\mathbf {AbGrp} \hookrightarrow \mathbf {Grp}$ der Kategorie der abelschen Gruppen mit der Abelisierung $\cdot ^{\mathrm {ab} }\colon \mathbf {Grp} \rightarrow \mathbf {AbGrp}$ als linksadjungiertem Funktor (Reflektor).

Ähnliche Kategorien

Die volle Unterkategorie der endlichen Gruppen wird als $\mathbf {Grp} _{\mathrm {fin} }$ bezeichnet.

Eigenschaften

$\mathbf {Grp}$ ist

• balanciert, also ist jeder Bimorphismus bereits ein Isomorphismus.

• regulär.

Zudem gilt:

• Jeder Monomorphismus ist regulär, lässt sich also als Differenzkern darstellen, und jeder Epimorphismus ist regulär, lässt sich also als Differenzkokern darstellen.

Weblinks

• Grp auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft: Kategorie der abelschen Gruppen

Die Kategorie der abelschen Gruppen, notiert als $\mathbf {AbGrp}$ (oder nur $\mathbf {Ab}$), ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller abelschen Gruppen als Objekten und der Klasse aller Gruppenhomomorphismen als Morphismen.

Verbindung zu anderen Kategorien

• Es gibt einen kanonischen Vergissfunktor $\mathbf {AbGrp} \rightarrow \mathbf {Set}$ in die Kategorie der Mengen, welcher die Gruppenstruktur vergisst. Dadurch ist $\mathbf {AbGrp}$ eine konkrete Kategorie. Der Funktor der freien abelschen Gruppe $\mathbb {Z} \colon \mathbf {Set} \rightarrow \mathbf {AbGrp}$ ist linksadjungiert (ein Reflektor) zu diesem.
• Es gibt einen kanonischen und vollen Inklusionsfunktor $\mathbf {AbGrp} \hookrightarrow \mathbf {Grp}$ in die Kategorie der Gruppen mit der Abelisierung $\cdot ^{\mathrm {ab} }\colon \mathbf {Grp} \rightarrow \mathbf {AbGrp}$ als linksadjungiertem Funktor (Reflektor)
• Da abelsche Gruppen genau $\mathbb {Z}$-Moduln sind, ist die Kategorie der abelschen Gruppen isomorph zur Kategorie der $\mathbb {Z}$-Moduln:

  $\mathbf {Ab} \cong \mathbf {Mod} _{\mathbb {Z} }$.

Ähnliche Kategorien

Die volle Unterkategorie der endlichen Mengen wird als $\mathbf {AbGrp} _{\mathrm {fin} }$ bezeichnet.

Eigenschaften

$\mathbf {AbGrp}$ ist

• nicht kartesisch abgeschlossen.

Weblinks

• Ab auf nLab (englisch)
• sAb auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft: Kategorie der Ringe

Die Kategorie der Ringe, notiert als $\mathbf {Ring}$, ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller Ringe (mit Einheitselement) als Objekten und der Klasse aller Ringhomomorphismen als Morphismen.

Verbindung zu anderen Kategorien

• Es gibt einen kanonischen Vergissfunktor $\mathbf {Ring} \rightarrow \mathbf {Set}$ in die Kategorie der Mengen, welcher die Ringstruktur vergisst. Dadurch ist $\mathbf {Ring}$ eine konkrete Kategorie.

Ähnliche Kategorien

Eigenschaften

$\mathbf {Ring}$ ist

• nicht balanciert. Etwa ist $\mathbb {Z} \hookrightarrow \mathbb {Q}$ monisch und episch, aber kein Isomorphismus.

Weblinks

• Ring auf nLab (englisch)
• CRing auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft (nicht en): Kategorie der Körper

Die Kategorie der Körper, notiert als $\mathbf {Field}$, ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller Körper als Objekten und der Klasse aller Körperhomomorphismen als Morphismen.

Verbindung zu anderen Kategorien

• Es gibt einen kanonischen Vergissfunktor $\mathbf {Field} \rightarrow \mathbf {Set}$ in die Kategorie der Mengen, welcher die Körperstruktur vergisst. Dadurch ist $\mathbf {Field}$ eine konkrete Kategorie.

Ähnliche Kategorien

Der rationale Körper $\mathbb {Q}$ ist kein initiales Objekt in der Kategorie $\mathbf {Field}$ (da etwa kein Körperhomomorphismus in einen endlichen Körper existiert), aber in der Kategorie $\mathbf {Field} _{0}$. Aus diesem Grund kann das Studium von Körpererweiterungen mit verschwindender Charakteristik (wie in der Algebraischen Galoistheorie) stets ohne Beschränkung der Allgemeinheit auf die Betrachtung von Körpererweiterungen über dem rationalen Körper $\mathbb {Q}$ (genannt Zahlenkörper) beschränkt werden.

Eigenschaften

$\mathbf {Field}$ ist:

• nicht lokal endlich präsentierbar.

Weblinks

• Field auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft: Kategorie der Moduln

Die Kategorie der $R$-Linksmoduln bzw. $R$-Rechtsmoduln für einen Ring $R$, notiert als $_{R}\mathbf {Mod}$ bzw. $\mathbf {Mod} _{R}$, ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller $R$-Linksmoduln bzw. $R$-Rechtsmoduln als Objekten und der Klasse aller Modulhomomorphismen als Morphismen.

Verbindung zu anderen Kategorien

• Es gibt kanonische Vergissfunktoren $_{R}\mathbf {Mod} ,\mathbf {Mod} _{R}\rightarrow \mathbf {Set}$ in die Kategorie der Mengen, welche die Modulstruktur vergessen. Dadurch sind $_{R}\mathbf {Mod}$ und $\mathbf {Mod} _{R}$ konkrete Kategorien.
• Da $\mathbb {Z}$-Moduln genau abelsche Gruppen sind, ist die Kategorie der $\mathbb {Z}$-Moduln isomorph zur Kategorie der abelschen Gruppen:

  $\mathbf {Mod} _{\mathbb {Z} }\cong \mathbf {Ab}$.

Eigenschaften

$\mathbf {Mod}$ ist

• balanciert, also ist jeder Bimorphismus bereits ein Isomorphismus.
• lokal endlich präsentierbar.

Zudem gilt:

• Jeder Monomorphismus ist regulär, lässt sich also als Differenzkern darstellen, und jeder Epimorphismus ist regulär, lässt sich also als Differenzkokern darstellen.

Kategorie aller Moduln

Weblinks

• Mod auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft (nicht en): Kategorie der Vektorräume

Die Kategorie der $\mathbb {K}$-Vektorräume für einen Körper $\mathbb {K}$, notiert als $\mathbf {Vect} _{\mathbb {K} }$, ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller $\mathbb {K}$-Vektorräume als Objekten und der Klasse aller linearen Abbildungen (Vektorraumhomomorphismen) als Morphismen.

Verbindung zu anderen Kategorien

• Es gibt einen kanonischen Vergissfunktor $\mathbf {Vect} _{\mathbb {K} }\rightarrow \mathbf {Set}$ in die Kategorie der Mengen, welcher die Vektorraumstruktur vergisst. Dadurch ist $\mathbf {Vect} _{\mathbb {K} }$ eine konkrete Kategorie.

Ähnliche Kategorien

Die volle Unterkategorie der endlichdimensionalen $\mathbb {K}$-Vektorräume wird als $\mathbf {Vect} _{\mathrm {\mathbb {K} ,fin} }$ bezeichnet.

Kategorie aller Vektorräume

Eigenschaften

$\mathbf {Vect}$ ist

• balanciert, also ist jeder Bimorphismus bereits ein Isomorphismus.

Weblinks

• Vect auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft (nicht en): Kategorie der normierten Räume

Die Kategorie der (reelen oder komplexen) normierten Vektorräume, notiert als $\mathbf {Norm} _{\mathbb {R} }$ oder $\mathbf {Norm} _{\mathbb {C} }$, ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller normierten $\mathbb {K}$-Vektorräume als Objekten und der Klasse aller linearen Abbildungen (Vektorraumhomomorphismen) als Morphismen.

Verbindung zu anderen Kategorien

• Es gibt kanonische Vergissfunktoren $\mathbf {Norm} _{\mathbb {R} }\rightarrow \mathbf {Vect} _{\mathbb {R} }$ oder $\mathbf {Norm} _{\mathbb {C} }\rightarrow \mathbf {Vect} _{\mathbb {C} }$ in die Kategorie der $\mathbb {R}$ bzw. $\mathbb {C}$-Vektorräume, welcher die Norm vergisst.

Ähnliche Kategorien

Die volle Unterkategorie der endlichdimensionalen normierten $\mathbb {K}$-Vektorräume wird als $\mathbf {Norm} _{\mathrm {\mathbb {K} ,fin} }$ bezeichnet.

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft (nicht en): Kategorie der Banachräume

Die Kategorie der (reelen oder komplexen) Banachräume, notiert als $\mathbf {Ban} _{\mathbb {R} }$ oder $\mathbf {Ban} _{\mathbb {C} }$, ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller Banachräume (vollständige normierte Vektorräume) als Objekten und der Klasse aller linearen Abbildungen (Vektorraumhomomorphismen) als Morphismen.

Verbindung zu anderen Kategorien

• Es gibt kanonische Vergissfunktoren $\mathbf {Ban} _{\mathbb {R} }\rightarrow \mathbf {Norm} _{\mathbb {R} }$ und $\mathbf {Ban} _{\mathbb {C} }\rightarrow \mathbf {Norm} _{\mathbb {C} }$ in die jeweiligen Kategorie der normierten Vektorräume, welcher die Vollständigkeit der Norm vergisst.

Eigenschaften

$\mathbf {Ban} _{\mathbb {R} }$ und $\mathbf {Ban} _{\mathbb {C} }$ sind

• (klein) bivollständig, also klein-vollständig und klein-kovollständig.
• haben alle kleinen Produkte und alle kleinen Koprodukte.
• haben alle Differenzkerne und Differenzkokerne.

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft: Kategorie der metrischen Räume

Die Kategorie der metrischen Räume, notiert als $\mathbf {Met}$, ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller metrischen Räume als Objekten und der Klasse aller stetigen Abbildungen als Morphismen.

Verbindung zu anderen Kategorien

• Es gibt einen kanonischen Vergissfunktor $\mathbf {Met} \rightarrow \mathbf {Set}$ in die Kategorie der Mengen, welcher die Metrik vergisst. Dadurch ist $\mathbf {Met}$ eine konkrete Kategorie.

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft: Kategorie der topologischen Räume

Die Kategorie der topologischen Räume, notiert als $\mathbf {Top}$, ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller topologischen Räume als Objekten und der Klasse aller stetigen Abbildungen als Morphismen.

Verbindung zu anderen Kategorien

• Es gibt einen kanonischen Vergissfunktor $\mathbf {Top} \rightarrow \mathbf {Set}$ in die Kategorie der Mengen, welcher die Topologie vergisst. Dadurch ist $\mathbf {Top}$ eine konkrete Kategorie. Der Funktor der diskreten Topologie $\operatorname {Dis} \colon \mathbf {Set} \rightarrow \mathbf {Top}$ ist linksadjungiert (ein Reflektor) und der Funktor der indiskreten Topologie $\operatorname {Indis} \colon \mathbf {Set} \rightarrow \mathbf {Top}$ ist rechtsadjungiert (ein Koreflektor) zu diesem.

Eigenschaften

$\mathbf {Top}$ ist

• (klein) bivollständig, also (klein) vollständig und (klein) kovollständig.
• nicht kartesisch abgeschlossen und nicht lokal kartesisch abgeschlossen.
• nicht regulär.
• nicht lokal endlich präsentierbar.

Weblinks

• Top auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft (nicht en): Kategorie der punktierten topologischen Räume

Die Kategorie der punktierten topologischen Räume, notiert als $\mathbf {Top} _{*}$, ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller punktierten topologischen Räume als Objekten und der Klasse aller punktierten stetigen Abbildungen als Morphismen.

Verbindung zu anderen Kategorien

• Es gibt einen kanonischen Vergissfunktor $\mathbf {Top} _{*}\rightarrow \mathbf {Set}$ in die Kategorie der Mengen, welcher die Punktierung und die Topologie vergisst. Dadurch ist $\mathbf {Top} _{*}$ eine konkrete Kategorie.
• Es gibt einen kanonischen Vergissfunktor $\mathbf {Top} _{*}\rightarrow \mathbf {Top}$ in die Kategorie der topologischen Räume mit dem Funktor der Vereinigung mit dem einpunktigen Raum $\cdot +\{*\}\colon \mathbf {Top} \rightarrow \mathbf {Top} _{*}$ als linksadjungiertem Funktor (Reflektor).

Adjunktion zwischen dem Schleifenraum und der Einhängung

Zwei zentrale Endofunktoren (Funktoren von einer Kategorie in sich selbst) auf der Kategorie $\mathbf {Top} _{*}$ sind die reduzierte Einhängung $\Sigma \colon \mathbf {Top} _{*}\rightarrow \mathbf {Top} _{*}$ und der Schleifenraum $\Omega \colon \mathbf {Top} _{*}\rightarrow \mathbf {Top} _{*}$, welche adjungiert zueinander sind. $\Sigma$ ist der linksadjungierte und $\Omega$ ist der rechtsadjungierte Funktor, notiert als $\Sigma \dashv \Omega$. Seien $(X,x_{0})$ und $(Y,y_{0})$ punktierte topologische Räume. Einer stetigen punktierten Abbildung $\Sigma (X,x_{0})\rightarrow (Y,y_{0})$lässt sich eine stetige punktierte Abbildung:

${\widetilde {f}}\colon (X,x_{0})\rightarrow \Omega (Y,y_{0}),x\mapsto (t\mapsto f([(x,t)]))$

zuordnen. Einer stetigen punktierten Abbildung $g\colon (X,x_{0})\rightarrow \Omega (Y,y_{0})$lässt sich umgekehrt eine stetige punktierte Abbildung:

${\widetilde {g}}\colon \Sigma (X,x_{0})\rightarrow (Y,y_{0}),[(x,t)]\mapsto g(x)(t)$

zuordnen. Da die doppelte Anwendung der Konstruktion wieder auf die jeweils ursprünglichen Abbildungen zurückführt (also ${\widetilde {\widetilde {f}}}=f$ und ${\widetilde {\widetilde {g}}}=g$) bilden diese eine Bijektion zwischen den stetigen punktierten Abbildungen $(X,x_{0})\rightarrow \Omega (Y,y_{0})$ und den stetigen punktierten Abbildungen $\Sigma (X,x_{0})\rightarrow (Y,y_{0})$.

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft: Kategorie der topologischen Vektorräume

Die Kategorie der topologischen $\mathbb {K}$-Vektorräume für einen topologischen Körper $\mathbb {K}$, notiert als $\mathbf {TVect} _{\mathbb {K} }$, ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller topologischen $\mathbb {K}$-Vektorräumen als Objekten und der Klasse aller stetigen und linearen Abbildungen als Morphismen.

Verbindung zu anderen Kategorien

• Es gibt einen kanonischen Vergissfunktor $\mathbf {TVect} _{\mathbb {K} }\rightarrow \mathbf {Vect} _{\mathbb {K} }$ in die Kategorie der $\mathbb {K}$-Vektorräume, welcher die Topologie vergisst.
• Es gibt einen kanonischen Vergissfunktor $\mathbf {TVect} _{\mathbb {K} }\rightarrow \mathbf {Top}$ in die Kategorie der topologischen Räume, welcher die Vektorraumstruktur vergisst.

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft (nicht en): Kategorie der kompakten Hausdorff-Räume

Die Kategorie der kompakten Hausdorff-Räume, notiert als $\mathbf {cHaus}$ (oder $\mathbf {CHaus}$), ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller topologischen Räume als Objekten und der Klasse aller stetigen Abbildungen als Morphismen.

Verbindung zu anderen Kategorien

• Es gibt einen kanonischen und vollen Inklusionsfunktor $\mathbf {cHaus} \hookrightarrow \mathbf {Top}$ in die Kategorie der topologischen Räume mit der Stone–Čech-Kompaktifizierung $\beta \colon \mathbf {Top} \rightarrow \mathbf {cHaus}$ als linksadjungiertem Funktor (Reflektor).

Eigenschaften

$\mathbf {cHaus}$ ist

• balanciert, also ist jeder Bimorphismus bereits ein Isomorphismus.
• nicht kartesisch abgeschlossen.
• exakt.

Zudem gilt:

• Jeder Monomorphismus ist regulär, lässt sich also als Differenzkern darstellen, und jeder Epimorphismus ist regulär, lässt sich also als Differenzkokern darstellen.

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft: Kategorie der kompakt generierten schwachen Hausdorff-Räume

Die Kategorie der kompakt generierten schwachen Hausdorff-Räume, notiert als $\mathbf {cgwHaus}$ (oder $\mathbf {CGWHaus}$), ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller kompakt generierten schwachen Hausdorff-Räume als Objekten und der Klasse aller stetigen Abbildungen als Morphismen. Da kompakt generierte schwache Hausdorff-Räume speziellere und nützliche Eigenschaften haben, welche sich auf ihre Kategorie übertragen, wird diese in der Algebraischen Topologie oft bevorzugt zur Kategorie der topologischen Räume verwendet.

Verbindung zu anderen Kategorien

• Es gibt einen kanonischen und vollen Inklusionsfunktor $\mathbf {cgwHaus} \hookrightarrow \mathbf {Top}$ in die Kategorie der topologischen Räume.

Eigenschaften

• $\mathbf {cgwHaus}$ und $\mathbf {cgHaus}$ sind regulär.

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft: Kategorie der diffeologischen Räume

Die Kategorie der diffeologischen Räume, notiert als $\mathbf {Difflog}$ (teils auch nur als $\mathbf {Diff}$, wobei jedoch Verwechselungsgefahr mit der Kategorie der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten besteht), ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie die Kategorie mit der Klasse aller diffeologischen Räume als Objekten und der Klasse aller glatten Abbildungen als Morphismen.

Eigenschaften

$\mathbf {Difflog}$ ist:

• (klein) bivollständig, also (klein) vollständig und (klein) kovollständig
• kartesisch abgeschlossen

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft: Simplex-Kategorie

Die Simplex-Kategorie ist im mathematischen Teilgebiet der Homotopischen Algebra

Weblinks

• simplex category auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft: Simpliziales Objekt

Ein simpliziales Objekt ist im mathematischen Teilgebiet der Homotopischen Algebra

Ein simpliziales Objekt

• in $\mathbf {Set}$, der Kategorie der Mengen, ist eine simpliziale Menge.
• in $\mathbf {Grp}$, der Kategorie der Gruppen, ist eine simpliziale Gruppe.
• in $\mathbf {Top}$, der Kategorie der topologischen Räume, ist ein simplizialer topologischer Raum.

Weblinks

• simplicial object auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft: Simplizialer topologischer Raum

Ein simplizialer topologischer Raum ist im mathematischen Teilgebiet der Homotopischen Algebra ein simpliziales Objekt in der Kategorie der topologischen Räume.

Definition

Ein simplizaler topologischer Raum ist ein kontravarianter Funktor $\Delta \rightarrow \mathbf {Top}$ oder alternativ ein kovarianter Funktor $\Delta ^{\mathrm {op} }\rightarrow \mathbf {Top}$ aus der (dualen) Simplexkategorie in die Kategorie der topologischen Räume. Ein solcher besteht also aus einer Folge $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ von topologischen Räumen sowie stetigen Abbildungen $d_{i}^{n}\colon X_{n}\rightarrow X_{n-1}$ (englisch degeneracy map) und $s_{i}^{n}\colon X_{n}\rightarrow X_{n+1}$ (englisch face map) für alle $n\in \mathbb {N}$ und alle $0\leq i\leq n$, sodass die simplizialen Identitäten erfüllt sind.

Kategorie der simplizialen topologischen Räume

Die Kategorie der simplizialen Gruppen wird als $\mathbf {sTop} :=\mathbf {Fun} (\Delta ^{\mathrm {op} },\mathbf {Top} )$ (siehe Funktorkategorie) bezeichnet. Der kanonische Vergissfunktor $\mathbf {Top} \rightarrow \mathbf {Set}$ induziert durch Nachkomposition einen kanonsichen Funktor $\mathbf {sTop} \rightarrow \mathbf {sSet}$.

Weblinks

• simplicial topological space auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Draft: Simpliziale Gruppe

Eine simpliziale Gruppe ist im mathematischen Teilgebiet der Homotopischen Algebra ein simpliziales Objekt in der Kategorie der Gruppen.

Definition

Eine simplizale Gruppe ist ein kontravarianter Funktor $\Delta \rightarrow \mathbf {Grp}$ oder alternativ ein kovarianter Funktor $\Delta ^{\mathrm {op} }\rightarrow \mathbf {Grp}$ aus der (dualen) Simplexkategorie in die Kategorie der Gruppen. Ein solcher besteht also aus einer Folge $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ von Gruppen sowie Gruppenhomomorphismen $d_{i}^{n}\colon X_{n}\rightarrow X_{n-1}$ (englisch degeneracy map) und $s_{i}^{n}\colon X_{n}\rightarrow X_{n+1}$ (englisch face map) für alle $n\in \mathbb {N}$ und alle $0\leq i\leq n$, sodass die simplizialen Identitäten erfüllt sind.

Lemmata

• Die zugrundeliegende simpliziale Menge einer simplizialen Gruppe ist ein Kan-Komplex.

Kategorie der simplizialen Gruppen

Die Kategorie der simplizialen Gruppen wird als $\mathbf {sGrp} :=\mathbf {Fun} (\Delta ^{\mathrm {op} },\mathbf {Grp} )$ (siehe Funktorkategorie) bezeichnet. Der kanonische Vergissfunktor $\mathbf {Grp} \rightarrow \mathbf {Set}$ induziert durch Nachkomposition einen kanonsichen Funktor $\mathbf {sGrp} \rightarrow \mathbf {sSet}$. Nach einem der obigen Lemmata faktorisiert dieser Funktor über $\mathbf {Kan}$.

Weblinks

• simplicial group auf nLab (englisch)
• simplicial abelian group auf nLab (englisch)
• free simplicial abelian group auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Exotischer euklidischer Raum

Ein exotischer euklidischer Raum ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialtopologie eine glatte Mannigfaltigkeit, die homöomorph aber nicht diffeomorph zu einem euklidischen Raum ist.

Klassifikation

Kleiner exotischer euklidischer Raum

Ein exotischer $\mathbb {R} ^{4}$, der sich in den in den gewöhnlichen $\mathbb {R} ^{4}$ einbetten lässt, wird klein genannt.

Großer exotischer euklidischer Raum

Ein exotischer $\mathbb {R} ^{4}$, der sich nicht in den in den gewöhnlichen $\mathbb {R} ^{4}$ einbetten lässt, wird groß genannt.

Literatur

• Michael H. Freedman, Frank Quinn: Topology of 4-manifolds (= Princeton Mathematical Series. Band 39). Princeton University Press, Princeton, NJ 1990, ISBN 0-691-08577-3 (englisch, archive.org). 
• Michael H. Freedman, Laurence R. Taylor: A universal smoothing of four-space. In: Journal of Differential Geometry. 24. Jahrgang, Nr. 1, 1986, ISSN 0022-040X, S. 69–78, doi:10.4310/jdg/1214440258 (englisch, projecteuclid.org [abgerufen am 5. August 2024]). 
• Robion C. Kirby: The topology of 4-manifolds (= Lecture Notes in Mathematics. Band 1374). Springer-Verlag, Berlin 1989, ISBN 3-540-51148-2 (englisch). 
• Alexandru Scorpan: The wild world of 4-manifolds. American Mathematical Society, Providence, RI 2005, ISBN 978-0-8218-3749-8 (englisch). 
• John Stallings: The piecewise-linear structure of Euclidean space. In: Proc. Cambridge Philos. Soc. 58. Jahrgang, Nr. 3, 1962, S. 481–488, doi:10.1017/s0305004100036756, bibcode:1962PCPS...58..481S (englisch, cambridge.org). 
• Robert E. Gompf, András I. Stipsicz: 4-manifolds and Kirby calculus (= Graduate Studies in Mathematics. Band 20). American Mathematical Society, Providence, RI 1999, ISBN 0-8218-0994-6 (englisch). 
• Clifford Henry Taubes: Gauge theory on asymptotically periodic 4-manifolds. In: Journal of Differential Geometry. 25. Jahrgang, Nr. 3, 1987, 1214440981, S. 363–430, doi:10.4310/jdg/1214440981 (englisch, projecteuclid.org [abgerufen am 5. August 2024]). 

Exotische Sphäre

Eine exotische Sphäre ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialtopologie eine glatte Mannigfaltigkeit, die homöomorph aber nicht diffeomorph zu einer Standardsphäre ist.

Milnor-Sphäre

→ Hauptartikel: Milnor-Sphäre

John Milnor gab im Jahr 1956 die ersten Beispiele für exotische Sphären mithilfe von Vektorbündeln an. Brieskorn-Sphäre

→ Hauptartikel: Brieskorn-Sphäre

Egbert Brieskorn gab im Jahr 1966 eine alternative Konstruktionen für exotische Sphären als über Vektorbündel an.

Draft: Homotopietheorie

Sei $I=[0,1]$ das Einheitsintervall. Eine stetige Abbildung $h\colon X\times I\rightarrow Y$ wird eine Homotopie von $h_{0}=h(0,-)\colon X\rightarrow Y$ nach $h_{1}=h(1,-)\colon X\rightarrow Y$ genannt, diese werden dann homotop genannt. When $X$ und $Y$ jeweils punktierte Räume sind, dann müssen die Abbildungen $h_{t}=h(t,-)$ jeweils den Basispunkt festhalten, in diesem Fall ist $h$ eine punktierte Homotopie und XXXX. (Punktierte) Homotopie ist eine Äquivalenzrelation.

Für (punktierte) topologische Räume $X$ und $Y$ wird die Menge der (punktierte) stetigen Abbildungen $X\rightarrow Y$ als $C(X,Y)$ bzw. $C_{*}(X,Y)$ bezeichnet. Die Quotientenmenge unter der Äquivalenzrelation der (punktierten) Homotopie ist die (punktierte) Abbildungsklasse $[X,Y]$ bzw. $[X,Y]_{*}$, deren Elemente als (punktierte) Homotopieklassen bezeichnet werden.

Für einen punktierten topologischen Raum $X$ und eine natürliche Zahl $n\geq 1$ sei $\pi _{n}(X)=[S^{n},X]_{*}$ die Homotopieklasse XXXX.

Literatur

• Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge 2002, ISBN 0-521-79160-X (englisch, cornell.edu). 

Weblinks

• homotopy theory auf nLab (englisch)

Draft: Homotopiegruppen von Sphären

Die Homotopiegruppen der Sphären beschreiben im mathematischen Teilgebiet der Algebraischen Topologie wie Sphären verschiedener Dimension umeinander gewickelt werden können.

Literatur

• Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge 2002, ISBN 0-521-79160-X (englisch, cornell.edu). 

Weblinks

• homotopy groups of spheres auf nLab (englisch)

Douban

Douban (Chinese: 豆瓣; pinyin: Dòubàn), gestartet am 6. März 2005,

Douban ist nach einem Hutong im Stadtbezirk Chaoyang in Beijing benannt, in welchem Gründer Yang Bo während der Arbeit an der Webseite wohnte.

Douban hatte 2013 insgesamt 200 Millionen registierte Nutzer und einige chinesische Schriftsteller wie Kritiker registrieren dort ihre offiziellen eigenen Seiten. Die Webseite wurde mit anderen Reviewseiten wie IMDb, Rotten Tomatoes und Goodreads. verglichen.

Chinesische Science-Fiction

Chinesische Science-Fiction (traditionelles Chinese: 科學幻想, vereinfachtes Chinesisch: 科学幻想, Pinyin: kēxué huànxiǎng, meist abgekürzt zu 科幻/kēhuàn, wörtlich wissenschafltiche Fantasie) ist ein Genre der Literatur, welches sich mit potentiellen sozialen und technologischen Weiterentwicklung der Zukunft in Ostasien befasst.

Festlandchina

Späte Qing-Dynastie

Science-Fiction wurde in China beginnend mit der Übersetzung westlicher Science-Fiction-Werke während der späten Qing-Dynastie bekanntgemacht. Befürworter der westlichen Modernisierung wie Liang Qichao und Kang Youwei wollten diese als Werkzeug zur Unterstützung technologischer Neuerungen und wissenschaftlichen Fortschritts nutzen. Mit der Übersetzung von Zwei Jahre Ferien von Jules Verne in klassisches Chinesisch (als Fünfzehn kleine Helden) wurde Liang Qichao dabei zum ersten und einflussreichsten Antreiber der chinesischen Science-Fiction.

Das frühste eigenständige Werk der chinesischen Science-Fiction ist mutmaßlich der unfertige Roman Mondkolonie (月球殖民地小說), welcher im Jahr 1904 von einem unbekannten Autoren unter dem Pseudonym Alter Fischermann am abgelegenen Fluss (荒江釣叟) veröffentlicht wurde.

Zeit der Republik China

Nach dem Ende der Qing-Dynastie im Jahr 1911 ging China durch eine Serie von dramatischen sozialen und politischen Veränderungen, welche das Genre der Science-Fiction enorm beeinträchtigten.

Zeit der Volksrepublik China

1949–1966

Nach dem Chinesischen Bürgerkrieg (1945–49) und der Ausrufung der Volksrepublik China auf dem chinesischen Festland

1978–1983

Während der Kulturrevolution (1966–76) wurde wenig Literatur gedruckt und Science-Fiction verschwand aus Festlandchina. Im Jahr 1979 begann das neu gegründete Magazin Wissenschaftliche Literatur (科学文艺) übersetzte und neu geschriebene Science-Fiction zu veröffentlichen. Zheng Wenguang widmete sich während dieser Zeit wieder dem Schreiben von Science-Fiction. Tong Enzheng schrieb Todesstrahl auf einer Koralleninsel, welcher später der erste chinesische Science-Fiction-Film wurde. Andere einflussreiche Schriftsteller aus dieser Zeit sind Liu Xingshi, Wang Xiaoda, and der aus Hong Kong stammende Ni Kuang.

Taiwan

Taiwanesische Science-Fiction-Autoren sind unter anderem Wu Mingyi (吳明益), Zhang Xiaofeng (張曉風), Zhang Ziguo (张系国), Huang Hai (黃海), Huang Fan (黃凡), Ye Yandou (葉言都), Lin Yaode (林燿德), Zhang Dachun (張大春), Su Yiping (蘇逸平), Chi Ta-wei (紀大偉), Hong Ling (洪凌), Ye Xuan (葉軒), Mo Handu (漠寒渡), Yu Wo (御我), and Mo Ren (莫仁).

Malaysia

Zhang Cao (張草) ist ein malaysisch-chinesische Science-Ficition-Autor, welcher mehrere Romans in chinesischer Sprache veröffentlicht hat.

• Supernova (超新星纪元) von Liu Cixin, ISBN 978-3-641-24533-7.
• Kugelblitz (球状闪电) von Liu Cixin, ISBN 978-3-453-32030-7.
• Trisolaris-Trilogie (三体三部曲):
  • Die drei Sonnen (三体) von Liu Cixin, ISBN 978-3-453-31716-1.
  • Der dunkle Wald (黑暗森林) von Liu Cixin, ISBN 978-3-453-31765-9.
  • Jenseits der Zeit (死神永生) von Liu Cixin, ISBN 978-3-453-31766-6.

• Botschafter der Sterne (观想之宙) von Baoshu

• Vagabonds (流浪苍穹) von Hao Jingfang

• Jumpnauts (宇宙跃迁者) von Hao Jingfang

• Die Siliziuminsel (硅屿) von Chen Qiufan

• Die Kolonie (蚁生) von Wang Jinkang
• Hospital-Trilogie (医院三部曲):
  • Hospital (医院) von Han Song
  • Exorcism (驱魔) von Han Song
  • Dead Souls (亡灵) von Han Song

Sammlungen

• Die wandernde Erde von Liu Cixin, ISBN 978-3-453-31924-0.
• Hold Up the Sky von Liu Cixin, ISBN 978-7-5505-0883-5.
• Der Blick von den Sternen von Liu Cixin, ISBN 978-7-110-09821-9.

Anthologien

• Zerbrochene Sterne, ISBN 978-3-453-32058-1.

• Quantenträume, ISBN 978-3-453-31904-2.

• Invisible Planets

• Sinopticon

Draft: Shanghai Fortress

Shanghai Fortress (chinesisch 上海堡垒, Pinyin shànghǎi bǎolěi) ist ein chinesischer Science-Fiction-Film aus dem Jahr 2019 unter der Regie von Teng Huatao und mit Beteiligung von Lu Han und Shu Qi. Die Geschichte basiert auf dem gleichnamigen Science-Fiction-Roman von Jiang Nan (auch bekannt als Once Upon a Time in Shanghai), in welchem die Menschheit sich gegen Außerirdische verteidigen muss, welche die Erde im Jahr 2042 wegen einer versteckten Energiequelle angreifen. Die Premiere des Films war am 9. August 2019 in China. Es war der letzte Film mit Godfrey Gao vor seinem Tod am 27. November 2019.

Handlung

In der nahen Zukunft stößt die Menschheit im Weltraum auf die Energiequelle Xianteng (仙藤, xiānténg), welche innerhalb weniger Jahre andere Energieträger wie Öl und Kohle vollständig ersetzt und die Entwicklung zahlreicher Städte rasant vorantreibt. Auf der Suche nach Xianteng greifen ein außerirdisches Mutterschiff und eine begleitende Zerstörerflotte nacheinander die darüber verfügenden Städte an. Die letzte verbleibende Stadt ist Shanghai, welche von einem schützenden Kraftfeld komplett umgeben ist. In einem Simulationszentrum beobachten Kommandantin Lin Lan und Offizier Shao Yiyun eine Übung von Jiang Yang, Zeng Yu und Lu Yiyi gegen den bevorstehenden Angriff durch die Steuerung von Abwehrdrohnen. Jiang Yang ist heimlich in Lin Lan verliebt und schreibt ihr abends eine Nachricht.

Das außerirdische Mutterschiff erreicht Shanghai und feuert auf das Kraftfeld, um durch die dabei entstehenden Löcher einen Schwarm an Robotern eindringen zu lassen. Der Angriff kann vorerst abgewehrt werden. Als eine Schwachstelle am Mutterschiff entdeckt wird, schlägt der Kanonen-Kommandant Yang Jiannan, welcher mit Lin Lan verlobt ist, den Einsatz der Shanghai-Kanone (上海大炮, shànghǎi dàpào) vor, die sich im Huangpu-Fluss befindet. Shao Yiyun lehnt das ohne weitere Kenntnisse über den Feind zunächst ab und führt Lin Lan anschließend in eine unterirdische Höhle, in welcher Xianteng aufbewahrt wird. Inzwischen hat es begonnen, sich selbst zu reproduzieren und speist zudem das schützende Kraftfeld von Shanghai. Ein Einsatz der Shanghai-Kanone könnte dieses daher massiv schwächen.

Besetzung

• Lu Han als Jiang Yang (江洋)
• Shu Qi als Lin Lan (林澜)
• Godfrey Gao als Yang Jiannan (杨建南)
• Shi Liang als Shao Yiyun (邵一云)
• Wang Sen als Pan Hantian
• Wang Gongliang als Zeng Yu (曾煜)
• Sun Jialing als Lu Yiyi (路依依)

Veröffentlichung

Der erste Trailer für den Film wurde am 10. Februar 2019 veröffentlicht. Der Film wurde am 9. August 2019 in China veröffentlicht.

Weblinks

• Shanghai Fortress auf IMDb
• Shanghai Fortress auf Douban (chinesisch)
• Shanghai Fortress auf Mtime.com (chinesisch)

Flug 39

Georg Elser wird am Vorabend des Attentats vom 8. November 1939 auf Adolf Hitler und andere Führungskräfte des nationalsozialistischen Regimes außerhalb des Münchner Bürgerbräukellers von einem mysteriösen Mann aufgehalten, welcher sich als Max Jung vorstellt. Mit Bildern von den Nachwirkungen des gescheiterten Attentates bittet dieser um Vorstellung des Zeitzünders der von ihm dort platzierten Bombe.

Christoph Wilder arbeitet als Pilot und gerät bei einem Flug über den Atlantik unerwartet in eine Wolke aus Vulkanasche eines isländischen Vulkans. Unter Neustart zweier Triebwerke kann die Maschine über Kommunikation mit Shannon Radio im irischen Shannon gelandet werden. Während des kritischen Sinkfluges mit Druckabfall in der Kabine kam jedoch trotzdem ein alter Mann durch einen Herzinfarkt zu Tode. Seine schockierte Ehefrau Erika Prandtl beschuldigt in ihrer Trauer und besonders verzweifelt, da sein achtzigster Geburtstag kurz bevorstand, anschließend Christoph seines Todes. Während der Untersuchung der Vorfälle wird dieser vom Dienst suspendiert und erhält unerwartet eine Einladung von Erika Prandtl, welche sich bei ihm für ihr Verhalten entschuldigt und zudem von der Geschichte ihres Ehemannes erzählt. Etwa wurden beide im Jahr 1939 sowohl zeitlich als auch räumlich nah aneinander geboren, kannten sich schon seit dem Kindergarten und reisten wegen seiner Arbeit in der Politik oft gemeinsam um die Welt. Christoph sichert ihr erneut seine Unterstützung zu, jedoch wünscht sie sich nur ihren Ehemann zurück. Nach seiner Rehabitilation bleibt sein Ruf weiterhin durch zuvor geäußerte Klatschnachrichten in Boulevardblättern ruiniert, welche Wochen später kein Interesse mehr an der Aufklärung des Vorfalls haben. Als Reaktion wird Christopher daraufhin die Versetzung in den Innendienst als Trainer für Auszubildende in Simulationen oder Kurzstreckenflüge in anderen Regionen der Welt wie etwa dem Nahen Osten angeboten. Alternativlos nimmt Christoph ein Angebot des Deutschen Zentrums für Luft- und Raumfahrt an, ein Flugzeug mit einem unter Gehimhaltung stehenden Experiment in einem Testgelände in der Nordsee zu fliegen. Später wird ihm erklärt dass es sich dabei um einen Teilchenbeschleuniger handelt. Dabei wurde ein (als EPR-Paradoxon bekannter) Widerspruch bezüglich Kausalität zwischen (in der Realität durch das Non-Communication-Theorem verbotener) instantaner Kommunikation durch Quantenverschränkung sowie der Relativität der Gleichzeitigkeit ausgenutzt. Experimente hatten gezeigt, dass quantenverschränkte Teilchen ihre Informationen über Wurmlöcher (siehe ER=EPR) austauschen und diese durch falsche Vakuumenergie vergrößert werden können, sodass ganze Flugzeuge passieren und durch die Zeit reisen können. Vor dem ersten Testflug besucht Christoph noch seinen von ihm entfremdeten Sohn Michael, welcher ihn für den Tod seiner Mutter Elena bei einem Autounfall verantwortlich macht, sowie seine Ehefrau Andrea und seinen kleinen Enkel Paul. Beide gehen erneut unzufrieden auseinander.

Während des Testfluges XF39 entführen Max Jung und Werner ????, beide Mitglieder der Forschungsgruppe, gemeinsam die Maschine und stellen die bisher noch ungetestete Zeitmaschine auf einige Tage vor dem Attentat am 8. November 1939. Erst bestätigen ein sofort verschwindender Mond und dann kleinere und schwächer leuchtende Städte ihren Erfolg. Werner springt ohne Möglichkeit zur Rückkehr mit einem Fallschirm ab; mit dabei sind zur Flucht in die Schweiz gefälschte Papiere für sich und Georg. Nach einem kurzen Kampf kann Werner, nach Erfolg ihres Plans nun zur Kooperation für den Rückflug bereit, überwältigt werden. Nach erneuter Passage des nicht mehr lange stabilen Wurmloches befindet sich die zukünftige Welt jedoch komplett in Trümmern eines Atomkrieges. Nach einer Landung zurück in Köln trifft die Gruppe auf Herbert Steinmann, welcher fünfzig Jahre in einem unterirdischen Bunker gelebt hat. Nach dem kürzlichen Tod seiner Ehefrau und erschöpften Vorräten blieb ihm nur noch der Wunsch, lieber draußen zu sterben. Christoph und Reuter erfahren von ihm die komplette Alternativgeschichte. Max und Georg konnten unentdeckt entkommen. Herman Göring übernahm die Macht und vergolt sich am Vereinigten Königreich, zugleich stiegen Spannungen zwischen den Vereinigten Staaten und der Sowjetunion. Ohne Hiroshima und Nagasaki als Warnung an die ganze Welt entlud sich ein nukleares Wettrüsten schnell in einem globalen Nuklearkrieg, begonnen am 21. Juli 1969, dem urspünglichen Tag der ersten Mondlandung. Steinmann kommt anschließend mit an Bord des Fluges XF39 als die Gruppe beschließt, durch ein neues Wurmloch in die Zukunft zurückzukehren und das Attentat durch einen Funkspruch doch zu verhindern. Doch zu spät, da sich die zukünftigen Wurmlöcher scheinbar schneller in der Zeit vorwärts bewegen. Über Radio sind bereits die Beschuldigungen des neuen Reichskanzlers Herman Göring zu hören. Als Notfallplan wird nun überlegt, nach London zu fliegen und mangels moderner Landeplätze in der Themse zu wassern. Spontan kommt ???? durch Steinmann der Einfall, da ihre Gruppe die Änderung ihrer Zeit überlebte, dass die Wurmlöcher nicht intraunivers sind, sondern tatsächlich verschiedene Universen verbinden. So wäre das ursprüngliche Wurmloch der ersten Reise immer noch über der Nordsee. Kurz bevor die Gruppe aufgibt findet Reuter dieses über eine Wärmebildkamera. Da inzwischen Jadgflieger des Deutschen Reiches die Verfolgung und durch das Attentat auch ohne Vorwarnung den Beschuss aufnehmen, fliegt Christoph in einem Steilflug hinein. Ein sofortiger Wechsel der Sonnenposition deutet den Erfolg an, dann treffen passende Radionachrichten und Funksprüche ein. In der Gegenwart sind inzwischen durch die schnellere Bewegung des zukünftigen Wurmloches zwei ganze Tage vergangen und Flug XF39 galt bereits als verschollen.

Christoph will sich nun um den von der modernen Welt völlig überwältigten Steinmann kümmern und vertraut ihm, erstmals überhaupt jemandem, den Grund hinter seinem Bruch mit seinem Sohn Michael und dessen Ehefrau Andrea an. Christoph hielt sie für unpassend für seinen Sohn und erfand eine Lüge über einen anderen Freund. Steinmann erfährt auf Nachfrage, dass Christoph sich niemals dafür entschuldigt hat und rät ihm, dies endlich zu tun. Daraufhin erkennt Christoph ihn trotz dürrer und gezeichneter Gestalt wieder und lässt sich von Erika über Telefon bestätigen, dass ihr Ehemann damals ihren Nachnamen zur Distanzierung annahm, da sein Vater bei der Sturmabteilung tätig war. Christoph führt beide zusammen, welche überglücklich sind, sich trotz ihrer verschiedenen Leben miteinander als auch ohneeinander wieder zu haben. Christoph fährt nun zufrieden zu seinem Sohn.

Draft: Die Kolonie

Die Kolonie (chinesisch 蚁生, Pinyin yǐshēng 'Ameisenleben') ist ein Science-Fiction-Roman des chinesischen Schriftstellers Wang Jinkang.

Gemäß einer Bemerkung zu Beginn des Buches sind zwar die Charaktere und die Handlung frei erfunden, basieren jedoch auf wahren Begebenheiten, welche Wang Jinkang während der Kulturrevolution selbst erlebt hat.

Handlung

Buch I: Die Ameisen

In der Nacht wird Cen Mingxia von Lai Ansheng vergewaltigt, wobei Sun Xiaoxiao alles heimlich mitbekommt. Sie erzählt es ihrer Freundin Guo Qiuyun, die es wiederum ihrem Freund Yan Zhe erzählt. Dieser plant daraufhin völlig aufgebracht eine Anzeige. Guo Qiuyun rät Yan Zhe jedoch davon ab, da Cen Mingxia wohl aus Scham und Sun Xiaoxiao wohl durch Druck von Lai Ansheng alles abstreiten würden und Lai Ansheng anschließend Yan Zhe der Intrige gegen einen revolutionären Führungskader beschuldigen könnte. Zhuang Xuexu tritt an die beiden heran und behauptet, dass Lai Ansheng darüber hinaus sogar erfahren hat, dass Yan Zhe ihn anzeigen will, und ihn daher zur eigenen Sicherheit von zwei anderen Jungen der Farm, Chen Decai und Chen Xiukuan, ermorden lassen will. Yan Zhe ist wegen seines „Schatzes“ zwar völlig unbesorgt, doch Guo Qiuyun hält ohne sein Mitwissen verzweifelt Wache in einem Baum vor seiner Hütte. Dabei denkt sie an den Suizid seiner Eltern zurück, an welchen sie sich schuldig fühlt.

Zu Beginn der Kulturrevolution wurden Yan Fuzhi (wegen seinen Behauptungen zur kollektiven Struktur von Ameisenkolonien) und seine Ehefrau Yuan Chenlu (wegen eines zu freizügigen Urlaubsfotos) in Beiyin schnell als Feindbilder angesehen. Yan Fuzhi wird erst öffentlich denuziert und dann geschlagen, erstmals auf dem Schulhof von dem Oberstufenschüler XXXX Jiasheng. Guo Qiuyun versucht derweil bei Zhuang Xuexu, der inzwischen zum Vorsitzenden der XXXX ernannt wurde, die sofortige Beendigung der Quälerei des Vaters ihres Freundes zu erwirken. Doch Zhuang Xuexu, der einst in sie verliebt gewesen war und sich wegen ihrer Beziehung zu Yan Zhe an ihr rächen will, ignoriert die Forderung. Nachdem Zhuang Xuexu auf einem Abbild von Mao Zedong das Wort „Tyrann“ zu erkennen glaubt, ruft er tief nachts die gesamte Mittelschule dazu auf, sich zu rächen. Guo Qiuyun wird von ihren Zweifeln, ob ihre gestrige Anfrage zum Einhalt als konterrevolutionär verurteilt werden könnte, sowie (wesentlich stärker) von der aufgebrachten Masse gepackt und tritt einen der am Boden liegenden XXXX. Als dieser sich umdreht, erkennt sie den blutbeschmierten Yan Fuzhi, worauf sie verzweifelt davonläuft und von völligem Unverständnis geplagt wird, wie die aufgebrachte Masse sie überhaupt dazu bringen konnte. (Auch XXXX Jiasheng würde seine grausame Tat einige Zeit später auf ähnliche Weise bereuen.) Yuan Chenlu ruft nach der Aktion verzweifelt die Wachen herbei und enthüllt, dass sie und ihr Ehemann Yan Fuzhi vorab geplant hatten, gemeinsam Suizid mit in ihren Schuhsohlen versteckten Rasierklingen zu begehen, sofern die Lage zu aussichtslos sei. Sie fürchtet, dass Yan Fuzhi den Zeitpunkt nun für gekommen hält, und zeigt eine halbe Rasierklinge als Beweis. Tatsächlich hat Yan Fuzhi bereits Suizid begangen. Guo Qiuyun wird aufgrund ihrer Beziehung absichtlich als Wache für Yuan Chenlu eingeteilt und überlegt, ihr die Mitschuld am Suizid von Yan Fuzhi anzuvertrauen. Sie glaubt, dass dieser gerade bei ihrem Anblick jede Hoffnung verloren habe. Stattdessen versichert sie Yuan Chenlu, ihrem Sohn Yan Zhe als seine Freundin beizustehen. Yuan Chenlu begeht daraufhin heimlich Suizid mit der versteckten anderen Hälfte der Rasierklinge. Guo Qiuyun fühlt sich erneut schuldig, da sie glaubt, ihr mit ihrer Bemerkung die letzte Hürde genommen zu haben.

Im frühen Morgengrauen hört Guo Qiuyun von ihrem Versteck aus unbemerkt ein Gespräch von Chen Decai und Chen Xiukuan. Diese diskutieren über ein Mädchen, welches alle drei (inklusive Lai Ansheng) bereits vergewaltigt haben. Guo Qiuyun vermutet dabei jedoch nicht Cen Mingxia, sondern ein ganz anderes Mädchen. Das weitere Gespräche bestätigt die Gerüchte über den geplanten Mord an Yan Zhe. Als Chen XXXX sich drücken will, erinnert ihn Chen XXXX daran, dass ihnen allen die Erschießung droht und sie daher nichts mehr zu verlieren haben. Lei Ansheng teilt Yan Zhe anschließend bei der morgendlichen Versammlung unüblich in eine Gruppe mit den beiden ein, um fernab Besorgungen zu machen. Yan Zhe versichert Guo Qiuyun, dass sie sich keine Sorgen machen braucht, holt seinen „Schatz“ und läuft mit beiden davon.

Buch II: Die Königin

Buch III: Das Serum

Draft: Liu Cixin

Liu Cixin ist verheiratet und hat eine Tochter. Ihr ist sein Roman Supernova gewidmet, wobei beide in diesem sogar namentlich auftreten. Laut eigener Aussage haben jedoch weder seine Frau noch Tochter seine Werke je gelesen. Liu Cixin lebt in Taiyuan.

Seine Fans bezeichneten sich früher selbst als Magnete (XXXX, Pinyin XXXX). Von seinen Fans wird Liu Cixin auch 'Lehrer Liu' (刘老师, Pinyin liú lǎoshī) oder 'Großer Liu' (大刘, Pinyin dà liú), genannt. Letztere Bezeichnung wird in China sogar auf einigen Ausgaben seiner Publikationen verwendet. In deutschen Ausgaben, etwa im Vorwort der Kurzgeschichte „Großes steht bevor“ von Baoshu (erschienen in der Anthologie „Zerbrochene Sterne“), wird dafür die Übersetzung 'Großmeister Liu' verwendet.

Barack Obama zeigte sich als großer Fan der Trisolaris-Trilogie, listete das erste Buch „Die drei Sonnen“ in seiner Buchleseliste für den Sommer 20XX und nannte es in einem Interview „wildly imaginative, really interesting“. Bei einem Besuch von Obama in Beijing im XXXX 20XX

Am 20. April 2023 hielt Liu Cixin anlässlich des Chinese Language Day eine Rede vor den Vereinten Nationen.

Draft: Die wandernde Erde III

Hintergrund

Einige Fans nennen den Film scherzhaft "Das wandernde Ohr"(流浪耳朵). Das liegt daran, dass das offizielle Poster des zweiten Teils das letzte "H" des englischen Titels ("THE WANDERING EARTH") in die römische Zahl "II" umwandelte und daher einige nicht offizielle Poster des dritten Teils das "TH" in "III", was "EARTH" (englisch für Erde) auf "EAR" (englisch für Ohr) reduziert. Aber es wird erwartet, dass das offizielle Poster stattdessen das "E" in die chinesische Zahl "三" umwandeln wird, um ebenfalls Die drei Sonnen (三体) von Liu Cixin zu referenzieren.

Draft: Hold Up The Sky (de)

The Time Migration (englisch für Zeitmigration, chinesisch 时间移民, Pinyin shíjiān yímín) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des chinesischen Schriftstellers Liu Cixin, zuerst veröffentlicht im April 2010. Im Jahr 2020 erschien die Kurzgeschichte in der Sammlung Hold Up the Sky, herausgegeben von Head of Zeus/Ad Astra im Oktober 2020 und später ebenfalls von Subterranean Press (als To Hold Up the Sky) im Jahr 2021.

Handlung

Weblinks

• 时间移民 in der Internet Speculative Fiction Database (ISFDB)
• 时间移民 in der Chinese Speculative Fiction Database (CSFDB)

== Einzelnachweise ==

<references/>

[[Kategorie:Literarisches Werk]]

[[Kategorie:Science-Fiction-Literatur]]

[[Kategorie:Kurzgeschichte]]

[[Kategorie:Literatur (21. Jahrhundert)]]

[[Kategorie:Literatur (Chinesisch)]]

Fire in the Earth (englisch für Feuer in der Erde, chinesisch 地火, Pinyin de huǒ) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des chinesischen Schriftstellers Liu Cixin, zuerst veröffentlicht in Science Fiction World (chinesisch 科幻世界, Pinyin kēhuàn shìjiè) in Chengdu in der Provinz Sichuan im Februar 2000. Im Jahr 2020 erschien die Kurzgeschichte in der Sammlung Hold Up the Sky, herausgegeben von Head of Zeus/Ad Astra im Oktober 2020 und später ebenfalls von Subterranean Press (als To Hold Up the Sky) im Jahr 2021.

Handlung

Weblinks

• 地火 in der Internet Speculative Fiction Database (ISFDB)
• 地火 in der Chinese Speculative Fiction Database (CSFDB)

== Einzelnachweise ==

<references/>

[[Kategorie:Literarisches Werk]]

[[Kategorie:Science-Fiction-Literatur]]

[[Kategorie:Kurzgeschichte]]

[[Kategorie:Literatur (21. Jahrhundert)]]

[[Kategorie:Literatur (Chinesisch)]]

Full-Spectrum Barrage Jamming (englisch für Rocken auf ganzer Frequenz, chinesisch 全频带阻塞干扰, Pinyin quán píndài zǔsè gānrǎo) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des chinesischen Schriftstellers Liu Cixin, zuerst veröffentlicht in Science Fiction World (chinesisch 科幻世界, Pinyin kēhuàn shìjiè) in Chengdu in der Provinz Sichuan im März 2009. Im Jahr 2020 erschien die Kurzgeschichte in der Sammlung Hold Up the Sky, herausgegeben von Head of Zeus/Ad Astra im Oktober 2020 und später ebenfalls von Subterranean Press (als To Hold Up the Sky) im Jahr 2021.

Handlung

Auszeichnung

Die Kurzgeschichte gewann den Galaxy Award im Jahr 2001.

Weblinks

• 全频带阻塞干扰 in der Internet Speculative Fiction Database (ISFDB)
• 全频带阻塞干扰 in der Chinese Speculative Fiction Database (CSFDB)

== Einzelnachweise ==

<references/>

[[Kategorie:Literarisches Werk]]

[[Kategorie:Science-Fiction-Literatur]]

[[Kategorie:Kurzgeschichte]]

[[Kategorie:Literatur (21. Jahrhundert)]]

[[Kategorie:Literatur (Chinesisch)]]

Cloud of Poems (englisch für Wolke der Gedichte, chinesisch 诗云, Pinyin shīyún) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des chinesischen Schriftstellers Liu Cixin, zuerst veröffentlicht in Science Fiction World (chinesisch 科幻世界, Pinyin kēhuàn shìjiè) in Chengdu in der Provinz Sichuan im März 2003. Im Jahr 2020 erschien die Kurzgeschichte in der Sammlung Hold Up the Sky, herausgegeben von Head of Zeus/Ad Astra im Oktober 2020 und später ebenfalls von Subterranean Press (als To Hold Up the Sky) im Jahr 2021.

Handlung

Nach den Ereignissen von Weltenzerstörer kehrte dieser zur Erde zurück und half diese auszuhöhlen und eine Welt für Menschen darin zu erschaffen. Die Sonne im Zentrum ist tatsächlich ein Weißes Loch, welches das Licht vom zugehörigen Schwarzen Loch im Orbit um einen anderen Stern abstrahlt. Künstliche Gravitation wird durch eine schnellere Erdrotation erzeugt, sodass keine an den Polen herrscht. Der Mensch Yiyi, der Dinosaurier Großzahn und ein außerirdischer Klon des chinesischen Dichters Li Bai sind auf dem Weg zum Südpol, um die Erde zu verlassen und die Wolke der Gedichte anzusehen. Zuvor hatten die Dinosaurier den Kontakt mit einer gottgleichen außerirdischen Zivilisation hergestellt, die wegen ihrer fortgeschrittenen Technologie auf Literatur herabsieht. Einer der Götter redet mit Yiyi und Großzahn und klont Li Bai, um sein Bewusstsein in diesen zu übertragen und diese Ansicht zu demonstrieren. Nachdem Yiyi immer noch widerspricht, da es für Außerirdische einfach unmöglich ist wie Menschen zu fühlen und zu denken, will Li Bai das ganze Sonnensystem in einen Speicher umwandeln und jedes mögliche Gedicht schreiben, um seine ursprüngliche Version zu übertreffen. Eine Flotte seiner Zivilisation trifft ein und vernichtet ebenfalls den Weltenzerstörer, wobei nur wenige Dinosaurier zur Erde entkommen. Danach wird der Nebel erschaffen, den Yiyi, Großzahn und Li Bai nach Verlassen der Erde sehen können. Yiyi ist nun beeindruckt von der Technologie während Li Bai sich an den erschaffenen Gedichten erfreut und sogar von einem erzählt, in welchem sein Freund Yiyi wahre Liebe findet.

Weblinks

• 诗云 in der Internet Speculative Fiction Database (ISFDB)
• 诗云 in der Chinese Speculative Fiction Database (CSFDB)

== Einzelnachweise ==

<references/>

[[Kategorie:Literarisches Werk]]

[[Kategorie:Science-Fiction-Literatur]]

[[Kategorie:Kurzgeschichte]]

[[Kategorie:Literatur (21. Jahrhundert)]]

[[Kategorie:Literatur (Chinesisch)]]

The Thinker (englisch für Der Denker, chinesisch 思想者, Pinyin sīxiǎng zhě) ist eine Science-Fiction-Kurzgeschichte des chinesischen Schriftstellers Liu Cixin, zuerst veröffentlicht in Science Fiction World (chinesisch 科幻世界, Pinyin kēhuàn shìjiè) in Chengdu in der Provinz Sichuan im Dezember 2003. Im Jahr 2020 erschien die Kurzgeschichte in der Sammlung Hold Up the Sky, herausgegeben von Head of Zeus/Ad Astra im Oktober 2020 und später ebenfalls von Subterranean Press (als To Hold Up the Sky) im Jahr 2021.

Weblinks

• 思想者 in der Internet Speculative Fiction Database (ISFDB)
• 思想者 in der Chinese Speculative Fiction Database (CSFDB)

== Einzelnachweise ==

<references/>

[[Kategorie:Literarisches Werk]]

[[Kategorie:Science-Fiction-Literatur]]

[[Kategorie:Kurzgeschichte]]

[[Kategorie:Literatur (21. Jahrhundert)]]

[[Kategorie:Literatur (Chinesisch)]]

Hintergrund

Die Kurzgeschichte „Ode to Joy“ (2005) wird unter ihrem Titel als alternative Geschichte des Sophons bezeichnet, einer außerirdischen Pikotechnologie aus „Die drei Sonnen“ (2006), einem Roman von Liu Cixin. Die Beschreibungen des sich selbst bewussten Objektes in beiden Werken gleichen einander dabei in den wichtigsten Punkten.

Andere Teile der Trisolaris-Trilogie haben ihre Wurzel ebenfalls in den Kurzgeschichten. So gibt es einen theoretischen Physiker namens Ding Yi, der gerne Pfeife raucht, sowohl in „Contraction“ (1985) als auch in der Trisolaris-Trilogie (2006-2010) sowie der im selben Universum spielenden Vorgeschichte „Kugelblitz“ (2004). Der Vergleich der Milchstraße mit einem Gehirn und der „Lähmung“ aufgrund der langsamen Lichtgeschwindigkeit aus „The Thinker“ (2003) findet sich in ganz ähnlicher Formulierung als „Dreihunderttausend-Syndrom“ ebenfalls in „Jenseits der Zeit“ (2010).

Draft: Hospital-Trilogie

Die Hospital-Trilogie (chinesisch 医院三部曲, Pinyin yīyuàn sān bù qǔ) ist eine dystopischer Science-Fiction-Trilogie des chinesischen Schriftstellers Han Song, bestehend aus dem Romanen Hospital, Exorcism und Dead Souls.

Romane

• Hospital: Auf Chinesisch erschienen am 1. Juni 2016. Eine englische Übersetzung von Michael Berry erschien am 28. März 2023.
• Exorcism: Auf Chinesisch erschienen im Mai 2017. Eine englische Übersetzung von Michael Berry erschien am 28. November 2023.
• Dead Souls: Auf Chinesisch erschienen im Mai 2018. Eine englische Übersetzung von Michael Berry erschien am 7. Januar 2025.

Übersetzung

Michael Berry berichtete von der Übersetzung der Hospital-Trilogie in The Paris Review am 26. Januar 2024, dass diese ihn voll eingenommen und sogar verfolgt habe („translating the trilogy has fully consumed, even haunted me“). Sein Fazit ist, von der Trilogie immer mehr wie ein Traum oder sogar Alptraum zu denken, die auf einer tiefen Ebene des Bewusstseins stattfindet und erlebt statt intellektualisiert oder analyisiert werden sollte („think of the trilogy as a dream, or a nightmare, taking place on a deep subconscious level; it is meant to be experienced more than intellectualized or analyzed“).

Weblinks

• Hospital-Trilogie in der Internet Speculative Fiction Database (ISFDB)

Draft: Exorcism (de)

Exorcism (chinesisch 驱魔, Pinyin qūmó) ist ein dystopischer Science-Fiction-Roman des chinesischen Schriftstellers Han Song und der zweite Teil der Hospital-Trilogie (chinesisch 医院三部曲, Pinyin yīyuàn sān bù qǔ). Die chinesische Ausgabe erschien im Mai 2017 beim Shanghai Literature and Art Publishing House (chinesisch 上海文艺术出, Pinyin shànghǎi wén yìshù chū). Die englische Ausgabe erschien am 28. November 2023 bei Amazon Crossing. Die Übersetzung stammt von Michael Berry.

Handlung

Kritik

Auf Douban erreichte Exorcism eine Bewertung von 7,1/10 Sternen.

Weblinks

• Exorcism (englische Version), Exorcism (chinesische Version) in der Internet Speculative Fiction Database (ISFDB)
• Exorcism auf Douban (chinesisch)

Draft: Dead Souls (de)

Dead Souls (chinesisch 亡灵, Pinyin wánglíng) ist ein dystopischer Science-Fiction-Roman des chinesischen Schriftstellers Han Song und der dritte Teil der Hospital-Trilogie (chinesisch 医院三部曲, Pinyin yīyuàn sān bù qǔ). Die chinesische Ausgabe erschien im Mai 2018 beim Shanghai Literature and Art Publishing House (chinesisch 上海文艺术出, Pinyin shànghǎi wén yìshù chū). Die englische Ausgabe erschien am XXXX bei Amazon Crossing. Die Übersetzung stammt von Michael Berry.

Handlung

Kritik

Auf Douban erreichte Dead Souls eine Bewertung von 8,1/10 Sternen.

Weblinks

• Dead Souls (englische Version), Dead Souls (chinesische Version) in der Internet Speculative Fiction Database (ISFDB)
• Dead Souls auf Douban (chinesisch)

Draft: Die Siliziuminsel

Die Siliziuminsel (chinesisch 荒潮, Pinyin huāng cháo) ist ein Science-Fiction-Roman des chinesischen Schriftstellers Chen Qiufan. Es ist der erste von ihm verfasste. Die deutsche Ausgabe wurde am 9. September 2019 vom Heyne Verlag veröffentlicht. Die Übersetzung stammt von Marc Hermann.

Handlung

Kritik

Draft: Klassifizierender Raum von Sp(n)

Der klassifizierende Raum $\operatorname {BSp} (n)$ der symplektischen Lie-Gruppe $\operatorname {Sp} (n)$ ist ein Spezialfall eines klassifizierenden Raumes und dient der Klassifikation von $\operatorname {Sp} (n)$-Hauptfaserbündeln über parakompakten Räumen.

Kohomologiering

Der Kohomologiering von $\operatorname {BSp} (n)$ mit Koeffizienten im Ring $\mathbb {Z}$ der ganzen Zahlen wird von den Pontrjagin-Klassen erzeugt:

$H^{*}(\operatorname {BSp} (n);\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [p_{1},\ldots ,p_{n}].$

Literatur

• Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge 2002, ISBN 0-521-79160-X (englisch, cornell.edu). 

Draft: Totaler Raum von O(n)

Der totale Raum $\operatorname {EO} (n)$ der orthogonalen Lie-Gruppe $\operatorname {O} (n)$ ist

Definition

Eigenschaften

• $\operatorname {EO} (n)$ ist schwach zusammenziehbar.

Kleinster totaler Raum

Es ist $\operatorname {EO} (1)\cong S^{\infty }$ die unendlich-dimensionale Sphäre.

Unendlicher totaler Raum

XXXX:

$\operatorname {EO} :=\varinjlim _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {EO} (n)$

Siehe auch

• Totaler Raum von SO(n)
• Totaler Raum von U(n)
• Totaler Raum von SU(n)
• Totaler Raum von Sp(n)

Weblinks

• EO(n) auf nLab (englisch)

Literatur

• Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge 2002, ISBN 0-521-79160-X (englisch, cornell.edu). 

[[Kategorie:Algebraische Topologie]]

Draft: Totaler Raum von SO(n)

Der totale Raum $\operatorname {ESO} (n)$ der speziellen orthogonalen Lie-Gruppe $\operatorname {SO} (n)$ ist

Definition

XXXX:

$\operatorname {EO} (n):=V_{n}(\mathbb {R} ^{\infty })=\varinjlim _{k\in \mathbb {N} }V_{n}(\mathbb {R} ^{k})$

Kleinster totaler Raum

Es ist $\operatorname {SO} (1)\cong 1$ die triviale Gruppe.

Eigenschaften

Unendlicher totaler Raum

XXXX:

$\operatorname {ESO} =\varinjlim _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {ESO} (n)$

Siehe auch

• Totaler Raum von O(n)
• Totaler Raum von U(n)
• Totaler Raum von SU(n)
• Totaler Raum von Sp(n)

Weblinks

• ESO(n) auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Algebraische Topologie]]

Draft: Totaler Raum von U(n)

Der totale Raum $\operatorname {EU} (n)$ der unitären Lie-Gruppe $\operatorname {U} (n)$ ist

Definition

XXXX:

$\operatorname {EO} (n):=V_{n}(\mathbb {C} ^{\infty })=\varinjlim _{k\in \mathbb {N} }V_{n}(\mathbb {C} ^{k})$

Eigenschaften

• $\operatorname {EU} (n)$ ist schwach zusammenziehbar.

Kleinster totaler Raum

Es ist $\operatorname {EU} (1)\cong S^{\infty }$ die unendlich-dimensionale Sphäre.

Unendlicher totaler Raum

XXXX:

$\operatorname {EU} :=\varinjlim _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {EU} (n)$

Siehe auch

• Totaler Raum von O(n)
• Totaler Raum von SO(n)
• Totaler Raum von U(n)
• Totaler Raum von Sp(n)

Weblinks

• EU(n) auf nLab (englisch)

Literatur

• Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge 2002, ISBN 0-521-79160-X (englisch, cornell.edu). 

[[Kategorie:Algebraische Topologie]]

Draft: Totaler Raum von SU(n)

Der totale Raum $\operatorname {ESU} (n)$ der speziellen unitären Lie-Gruppe $\operatorname {SU} (n)$ ist

Definition

Eigenschaften

Kleinster totaler Raum

Es ist $\operatorname {SU} (1)\cong 1$ die triviale Gruppe.

Unendlicher totaler Raum

XXXX:

$\operatorname {ESU} :=\varinjlim _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {ESU} (n)$

Siehe auch

• Totaler Raum von O(n)
• Totaler Raum von SO(n)
• Totaler Raum von SU(n)
• Totaler Raum von Sp(n)

Weblinks

• ESU(n) auf nLab (englisch)

[[Kategorie:Algebraische Topologie]]

Draft: Totaler Raum von Sp(n)

Der totale Raum $\operatorname {ESp} (n)$ der symplektischen Lie-Gruppe $\operatorname {Sp} (n)$ ist

Definition

XXXX:

$\operatorname {ESp} (n):=V_{n}(\mathbb {H} ^{\infty })=\varinjlim _{k\in \mathbb {N} }V_{n}(\mathbb {H} ^{k})$

Eigenschaften

• $\operatorname {ESp} (n)$ ist schwach zusammenziehbar.

Unendlicher totaler Raum

XXXX:

$\operatorname {ESp} :=\varinjlim _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {ESp} (n)$.

Siehe auch

• Totaler Raum von O(n)
• Totaler Raum von SO(n)
• Totaler Raum von U(n)
• Totaler Raum von SU(n)

Weblinks

• ESp(n) auf nLab (englisch)

Literatur

• Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge 2002, ISBN 0-521-79160-X (englisch, cornell.edu). 

[[Kategorie:Algebraische Topologie]]

Drafts aus dem Blockseminar

Das Llarull-Theorem aus der Riemannschen Geometrie besagt

Benannt ist das Theorem nach dem Mathematiker Marcelo Llarull, welcher es in Mathematische Annalen im Jahr 1998 veröffentlichte.

Weblinks

• Llarull's theorem auf nLab (englisch)

Die Geroch-Vermutung ist im mathematischen Teilgebiet der Riemannschen Geometrie eine Vermutung darüber, dass Metriken mit positiver Skalarkrümmung auf Tori flach sein müssen.

In zwei Dimensionen, für welche die Gaußsche Krümmung $K$ gleich der Skalarkrümmung $\operatorname {scal}$ ist, ist die Geroch-Vermutung eine direkte Folge aus dem Satz von Gauß-Bonnet. Für eine Metrik $g$ auf dem Torus $T^{2}$ gilt aufgrund von dessen verschwindender Euler-Charakteristik:

$\int _{T^{2}}K\mathrm {d} \operatorname {vol} _{g}=\int _{T^{2}}\operatorname {scal} _{g}\mathrm {d} \operatorname {vol} _{g}=4\pi \chi (T^{2})=0.$

Weblinks

• Geroch conjecture auf nLab (englisch)

Die Min-Oo-Vermutung ist im mathematischen Teilgebiet der Riemannschen Geometrie eine widerlegte Vermutung darüber, dass bestimmte Riemannsche Mannigfaltigkeiten isometrisch zur Sphäre gleicher Dimension mit der Standardmetrik sein müssen. Aufgestellt und benannt wurde die Vermutung von Maung Min-Oo, welcher im Jahr XXXX einen fehlerhaften Beweis für diese veröffentlichte. Korrekt ist die Vermutung nur in zwei Dimensionen, wobei die Widerlegung in höheren Dimensionen von Simon Brendle, Fernando Marques und André Neves im Jahr 2010 gefunden wurde.

Die Min-Oo-Vermutung besagt, dass eine kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit

Weblinks

• Min-Oo conjecture auf nLab (englisch)

Die Lichnerowicz-Formel (oder Lichnerowicz-Weitzenböck-Formel) ist im mathematischen Teilgebiet der Riemannschen Geometrie eine grundlegende Gleichung für Spinoren auf Pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeiten. Benannt ist die Formel nach André Lichnerowicz und Roland Weitzenböck.

Weblinks

• Lichnerowicz formula auf nLab (englisch)

Die Weitzenböck-Identität ist in den mathematischen Teilgebieten der Differentialgeometrie, der mathematischen Physik und der Darstellungstheorie eine Verbindung zwischen elliptischen Differentialoperatoren zweiter Ordnung mit gleichem Hauptsymbol auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit. Die Weitzenböck-Identität ist das reelle Analogon der Bochner-Kodaira-Nakano-Identität. Benannt ist die Identität nach Roland Weitzenböck.

Weblinks

• Weitzenböck formula auf nLab (englisch)

Die Bochner-Kodaira-Nakano-Identität ist in den mathematischen Teilgebieten der Differentialgeometrie, der mathematischen Physik und der Darstellungstheorie eine Verbindung zwischen elliptischen Differentialoperatoren zweiter Ordnung mit gleichem Hauptsymbol auf einer Hermiteschen Mannigfaltigkeit. Die Bochner-Kodaira-Nakano-Identität ist das komplexe Analogon der Weitzenböck-Identität. Benannt ist die Identität nach Salomon Bochner, Kunihiko Kodaira und Hidegoro Nakano.

Weblinks

• Bochner-Kodaira-Nakano identity auf nLab (englisch)

Die Bochner-Identität ist in den mathematischen Teilgebieten der Differentialgeometrie und Riemannschen Geometrie eine Identität über harmonische Abbildungen auf Riemannschen Mannigfaltigkeit. Benannt ist die Identität nach Salomon Bochner.

Weblinks

• Bochner identity auf nLab (englisch)

Die Bochner-Formel ist im mathematischen Teilgebieten der Differentialgeometrie und Riemannschen Geometrie eine Formel über die Verbindung von harmonischen Abbildungen auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit mit ihrer Ricci-Krümmung. Benannt ist die Formel nach Salomon Bochner.

Weblinks

• Bochner formula auf nLab (englisch)

Drafts zu Stratifizierung

Ein stratifizierter Raum ist im mathematischen Teilgebiet der Topologie ein topologischer Raum mit einer Stratifizierung, also einer Zerlegung in Unterräume, welche in einer gewissen Weise gutartig sind.

Weblinks

• stratification auf nLab (englisch)
• stratified space auf nLab (englisch)

Eine Whitney-Stratifikation ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialtopologie eine spezielle Stratifizierung, deren Strata die Whitney-Bedingungen erfüllt. Diese sind zwei Bedingungen an Paare an disjunkte und lokal abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten.

Siehe auch

• Harder-Narasimhan-Stratifizierung
• Thom–Mather-Stratifizierung

Literatur

• Mather, John Notes on topological stability, Harvard, 1970 (available on his webpage at Princeton University).
• Thom, René Ensembles et morphismes stratifiés, Bulletin of the American Mathematical Society Vol. 75, pp. 240–284), 1969.
• Trotman, David Stability of transversality to a stratification implies Whitney (a)-regularity, Inventiones Mathematicae 50(3), pp. 273–277, 1979.
• Trotman, David Comparing regularity conditions on stratifications, Singularities, Part 2 (Arcata, Calif., 1981), volume 40 of Proc. Sympos. Pure Math., pp. 575–586. American Mathematical Society, Providence, R.I., 1983.
• Whitney, Hassler Local properties of analytic varieties. Differential and Combinatorial Topology (A Symposium in Honor of Marston Morse) pp. 205–244 Princeton Univ. Press, Princeton, N. J., 1965.
• Whitney, Hassler, Tangents to an analytic variety, Annals of Mathematics 81, no. 3 (1965), pp. 496–549.

Weblinks

• Whitney stratifications auf nLab (englisch)

Eine Thom-Mather-Stratifikation ist im mathematischen Teilgebiet der Topologie eine spezielle Stratifizierung, dessen Strata jeweils topologische Mannigfaltigkeiten sind.

Siehe auch

• Harder-Narasimhan-Stratifizierung
• Whitney-Stratifizierung

Literatur

• Goresky, Mark; MacPherson, Robert Stratified Morse theory, Springer-Verlag, Berlin, 1988.
• Goresky, Mark; MacPherson, Robert Intersection homology II, Invent. Math. 72 (1983), no. 1, 77--129.
• Mather, J. Notes on topological stability, Harvard University, 1970.
• Thom, R. Ensembles et morphismes stratifiés, Bulletin of the American Mathematical Society 75 (1969), pp.240-284.
• Shmuel Weinberger: The topological classification of stratified spaces (= Chicago Lectures in Mathematics). University of Chicago Press, Chicago, IL 1994, ISBN 978-0-226-88566-7 (englisch, uchicago.edu). 

Weblinks

• Thom-Mather stratifications auf nLab (englisch)

Eine Harder–Narasimhan-Stratifikation ist in den mathematischen Teilgebieten der algebraischen und komplexen Geometrie eine spezielle Stratifizierung des Modulstacks von Hauptfaserbündeln durch lokal abgeschlossene Unterstacks.

Siehe auch

• Thom–Mather-Stratifizierung
• Whitney-Stratifizierung

Literatur

• Nitin Nitsure, Schematic Harder-Narasimhan Stratification

Weblinks

• Harder-Narasimhan stratifications auf nLab (englisch)

Ein Stratifold ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialtopologie

Weblinks

• stratifolds auf nLab (englisch)

Drafts zur Morse-Theorie

Die digitale Morse-Theorie ist eine Abwandlung der Morse-Theorie.

Siehe auch

• Diskrete Morse-Theorie
• Kreiswertige Morse-Theorie
• Stratifizierte Morse-Theorie

LiteraturVorlage:Refbegin

• Sanjay Rana: Topological Data Structures for Surfaces. Wiley, 2004, ISBN 978-0-470-85151-7 (englisch, google.com). 

Vorlage:RefendWeblinks

• digital Morse theory auf nLab (englisch)

Die diskrete Morse-Theorie ist eine Abwandlung der Morse-Theorie.

Siehe auch

• Digitale Morse-Theorie
• Kreiswertige Morse-Theorie
• Stratifizierte Morse-Theorie

LiteraturVorlage:Refbegin

• Robin Forman: Morse theory for cell complexes. In: Advances in Mathematics. 134. Jahrgang, Nr. 1, 1998, S. 90–145, doi:10.1006/aima.1997.1650 (englisch, core.ac.uk [PDF]). 
• Robin Forman: A user's guide to discrete Morse theory. In: Séminaire Lotharingien de Combinatoire. 48. Jahrgang, 2002, S. Art. B48c, 35 pp (englisch, emis.de [PDF]). 
• Dmitry Kozlov: Combinatorial algebraic topology (= Algorithms and Computation in Mathematics. Band 21). Springer, 2007, ISBN 978-3-540-71961-8 (englisch). 
• Jakob Jonsson: Simplicial complexes of graphs. Springer, 2007, ISBN 978-3-540-75858-7 (englisch). 
• Peter Orlik, Volkmar Welker: Algebraic Combinatorics: Lectures at a Summer School In Nordfjordeid (= Universitext). Springer, 2007, ISBN 978-3-540-68375-9, doi:10.1007/978-3-540-68376-6 (englisch). 
• Discrete Morse theory. nLab; abgerufen im 1. Januar 1 (englisch). 

Vorlage:RefendWeblinks

• discrete Morse theory auf nLab (englisch)

Die kreiswertige Morse-Theorie ist eine Abwandlung der Morse-Theorie.

Siehe auch

• Diskrete Morse-Theorie
• Digitale Morse-Theorie
• Stratifizierte Morse-Theorie

Weblinks

• circle-valued Morse theory auf nLab (englisch)

Die stratifizierte Morse-Theorie ist eine Abwandlung der Morse-Theorie.

Siehe auch

• Diskrete Morse-Theorie
• Digitale Morse-Theorie
• Kreiswertige Morse-Theorie

LiteraturVorlage:Refbegin

• M. Goresky, R. MacPherson: Stratified Morse theory. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-71714-7 (englisch, Vorlage:GBurl – [1988]).  DJVU file on Goresky's page
• D. Handron: Generalized billiard paths and Morse theory on manifolds with corners. In: Topology and Its Applications. 126. Jahrgang, Nr. 1, 2002, S. 83–118, doi:10.1016/S0166-8641(02)00036-6 (englisch, core.ac.uk [PDF]). 
• S.A. Vakhrameev: Morse lemmas for smooth functions on manifolds with corners. In: J Math Sci. 100. Jahrgang, Nr. 4, 2000, S. 2428–45, doi:10.1007/s10958-000-0003-7 (englisch). 

Vorlage:RefendWeblinks

• stratified Morse theory auf nLab (englisch)

#Notizen

Da der orientierte Bordismusring $\Omega _{7}^{\operatorname {SO} }$ (dessen Elemente die Bordismusklassen siebendimensionaler glatter Mannigfaltigkeiten sind) trivial ist (was mithilfe des Thom-Spektrums gezeigt werden kann), ist jede siebendimensionale glatte Mannigfaltigkeit der Rand einer achtdimensionalen Mannigfaltigkeit, denn eine solche ist orientiert bordant zur $7$-Sphäre $S^{7}$, welche der Rand der $8$-Scheibe $D^{8}$ ist.

Saddam Hussein wird von der „Republikanergarde“ befreit und verjagt die Vereinigten Staaten aus dem Irak. Michail Gorbatschow vereint als Reaktion auf massive Wirtschaftsprobleme eine Reihe von Ländern in der Sowjetunion, dem sich der östliche Teil des in zwei Teile zerbrochenen Deutschlands anschließt.

The Merchant and the Alchimist's Gate

XXXX tells the majesty of Baghdad of his meeting with a vendor of the city, who has build an arc leading twenty years into the past or future depending on the direction it has been crossed, and three stories told about it. Hassan, a rope vendor, learns from his older self, who is unexpected wealthy, during regular visits, including how to avoid misfortune and the location of a buried treasure. A non-expected pocket thief lets him realize, how good it was to not know anything ahead, and does not return to the future after a last visit. Ajib, a poor man who heard this story, finds himself still being poor in the future, but having an unused chest of golden dirham, which he steals to instead have a good life. One day, all His wealth gets stolen from him and his wife appealing to his honor persuades him to recollect everything to give back to the generous donor not known to her. XXXX, the wife of the older Hassan, finds the shop previously described by him and witnesses her husband twenty years prior trying to sell a necklace later given to her with the criminal shop owner recognizing it as part of his buried chest. Together with herself after another twenty years, she tricks the shop owner to believe that the necklace is very common and saves her future husband. She then begins a short affair with him and turns him into the good lover she will meet later. XXXX wants to use the doorway himself and

Liviu Suciu writes on fantasybookcritic.blogspot.com, that the novel is „top novel of the year for the combination of sense of wonder, great world building, characters“ and it is „the one sf novel I strongly recommend to read if you want to understand why the genre has fascinated so many people for so long“.

Liviu Suciu schreibt auf fantasybookcritic.blogspot.com, dass Greg Egan den besten Roman des Jahres geschrieben habe, aufgrund der Kombination des Sinn für Wunder, großartige Erschaffung von Welten und Charaktere („top novel of the year for the combination of sense of wonder, great world building, characters“) und es genau der Roman wäre, der zu empfehlen sei, um die Begeisterung für das Genre aufzuzeigen („the one sf novel I strongly recommend to read if you want to understand why the genre has fascinated so many people for so long“).

Reversing the flow of time is known as T-symmetry and part of the CPT theorem in Quantum field theory, where also charge (C-symmetry) and parity (P-symmetry) are reversed. In the novel, the idea appears near the beginning, when the last deacceleration phase is discussed and some characters are thinking, that their engines won't work when sending photons into the past of the interstellar dust around. They eventually realize, that an absorption for them will correspond to an emission for the interstellar dust under T-symmetry, and hence won't be a problem at all. The principle also lays the foundation for in the messaging system, for which receiving time-inversed light from the future is observed as an emission from the camera (contrary to receiving normal light from the past being observed as absorption). It also causes problems on the time-inverted world of Esilio, for example by making it impossible to take samples back to the Peerless as in this case they have never been part of the planet in the first place. But the crew notices Esilian dust inside their spaceships, hence samples from the planet that have been in the Peerless and Surveyor all along.

The final scientific discovery presented in the novel is that of the topology of the universe. The sign change in the metric is directly visible in the wave operator, given in our universe by $\square =-\partial _{t}^{2}+\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}+\partial _{z}^{2}$ and by $\square =\partial _{t}^{2}+\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}+\partial _{z}^{2}$ in the universe of Orthogonal. (Non-constant) solutions to the latter (for example electromagnetic waves) diverge, requiring the universe to be finite in every direction, a mathematical property known as compactness. This topic was already dealt with by Yalda when researching light in the sequel The Clockwork Rocket, who suspected the universe to be a 4-torus. However, after the innovation blockade in The Arrows of Time is lifted, Lila's student Pelagia concludes this to contradict itself. Due to the periodicity in every direction, a Fourier expansion can be used to describe the fields, whose coefficients (also called modes) contribute to the vacuum energy. (This is for example used in string theories when describing closed strings.) As in every one of the four directions, there can either be a sign change or not for fermions, there are sixteen different possibilities for them in total, resulting in a too large negative contribution to the vacuum energy, making the universe have positive curvature everywhere. With the Gauss–Bonnet theorem, this gives a contradiction for the Euler characteristic ($\chi (T^{4})=0$, hence for every area of positive curvature, there has to be a corresponding area of negative curvature). On a 4-sphere on the other hand, every loop is contractible, hence there is no sign change for fermions at all. There is no inevitable contradiction, but instead the requirement for the vacuum energy, curvature and density to not be uniform, which explains the entropy gradient and the arrows of time, giving rise to the entire existence of the characters.

Projektive Räume:

Homotopie

Die Homotopiegruppen des quaternionisch projektiven Raumes sind gegeben durch:

$????$

Kohomologie

Die Kohomologiegruppen des quaternionisch projektiven Raumes sind gegeben durch:

$H^{k}(\mathbb {H} P^{n})\cong ????$