Lineare Funktion

Im mathematischen Sprachgebrauch werden Funktion und Abbildung heute weitgehend synonym verwendet. Traditionell findet der Begriff der Abbildung sich eher im Bereich der Linearen Algebra, während in der Analysis der Begriff der Funktion verbreiteter ist.

Der Begriff lineare Funktion wird nicht einheitlich gebraucht. Zum einen bedeutet lineare Funktion dasselbe wie eine lineare Abbildung. Lineare Funktionen in diesem Sinne findet man z.B. in der Differentialgeometrie, wobei es sich um lineare Abbildungen von einem (Tangential-)Vektorraum in die reellen Zahlen handelt.

Andererseits wird mit dem Begriff lineare Funktion oft (besonders in der Schule) eine Abbildung der Form

$f:\quad \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \quad {\mbox{mit}}\quad x\mapsto f(x)=m\;x+n$,

also ein Polynom erster Ordnung, bezeichnet. Eine solche Funktion wird auch allgemeine lineare Funktion oder linear-inhomogene Funktion genannt. Im mathematisch strengen Sinn handelt es sich dabei jedoch um eine affine Abbildung. Für den Spezialfall $n=0$ wird daraus eine lineare Funktion im eigentlichen Sinne, auch als homogene lineare Funktion oder Proportionalität bezeichnet.

Lineare Funktionen sind die einfachsten Funktionen in der Mathematik. Sie sind stetig und differenzierbar. Viele Probleme lassen sich für lineare Funktionen leicht lösen; daher versucht man oft, komplizierte Problemstellungen durch lineare Zusammenhänge zu approximieren.

Graph

Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade (umgangssprachlich eine Linie). In kartesischen Koordinaten $(x,y)$ erfüllen solche Geraden also die Gleichung

$y=m\;x+t$, (manchmal auch als "f(x)=mx+n" oder "f(x)=mx+c" oder sogar "y=ax+b" zu finden)

wobei x (die Abszisse) unabhängige und y (die Ordinate) abhängige Variablen sind. Diese Form bezeichnet man auch als die Normalform einer linearen Funktion. Ihre Komponenten lassen sich wie folgt interpretieren:

• Die Zahl m gibt den linearen Faktor oder die Steigung der Geraden an.
• Die Zahl t ist die Inhomogenität, die Verschiebungskonstante oder der y-Achsenabschnitt.

Datei:Lineare Funktion.PNG

Übrigens kann der Graph einer linearen Funktion niemals parallel zur y-Achse verlaufen, da sonst einem x-Wert mehrere y-Werte zugeordnet wären, was der Definition einer Funktion als eindeutige Zuordnung widerspräche und in einem solchen Falle die Steigung mx = 1/0 wäre, ein Term, der wiederum nicht definiert wäre, weil die Division durch 0 keinen Sinn macht. vvf

Errechnung der Funktion

Um die Steigung $m$ zu errechnen, rechnet man $(y_{2}-y_{1})/(x_{2}-x_{1})$,

um den y-Ac $y_{1}-m*x_{1}$.

Die endgültige Formel lautet: $f(x)=((y_{2}-_{1})/(x_{2}-x_{1}))*x+(y_{1}-m*x_{1})$