Gleichmäßige Stetigkeit

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Der Begriff Gleichmäßige Stetigkeit bezeichnet einen Spezialfall der Stetigkeit.

Sei $M$ eine Teilmenge aus $\mathbb {R} ^{m}$, kurz $M\subseteq \mathbb {R} ^{m}$.

Eine Abbildung $f:M\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ heißt gleichmäßig stetig, genau dann, wenn $\left[\forall \varepsilon >0~\exists \delta >0~\forall x_{1},x_{2}\in M:\|x_{1}-x_{2}\|<\delta \Rightarrow \|f(x_{1})-f(x_{2})\|<\varepsilon \right]$.

In der Topologie wird oftmals folgende allgemeinere Definition verwendet:
Seien $(X,d_{x}),(Y,d_{y})$ zwei metrische Räume.
Eine Abbildung $f:X\rightarrow Y$ heißt gleichmäßig stetig, genau dann, wenn $\left[\forall \varepsilon >0~\exists \delta >0~\forall x_{1},x_{2}\in X:d_{x}(x_{1}-x_{2})<\delta \Rightarrow d_{y}(f(x_{1})-f(x_{2}))<\varepsilon \right]$.

Es gilt: $f$ gleichmäßig stetig $\Rightarrow$ $f$ stetig
Die Umkehrung gilt in aller Regel nicht. Eine Ausnahme bilden hier stetige Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen (Satz von Heine), bzw. allgemein auf kompakten Mengen.

Beispiel für eine stetige, aber nicht gleichmäßig stetige Funktion ist die Quadtratfunktion $f:x\mapsto x^{2}$

Eine spezielle Form der gleichmäßigen Stetigkeit ist die Lipschitz-Stetigkeit.