Mathematik
Gegenstand der Mathematik (vom gr. mathema: Wissenschaft,
Lernen) sind die mathematischen, d.h. axiomatischen Theorien, übrigens schon in der Antike. Da also Gegenstand und Methode bei ihr in dieser Weise in eins fallen, nimmt (und nahm) die Mathematik immer eine Sonderstellung unter den Wissenschaften ein.
Daneben ist sie aber auch Hilfswissenschaft für viele andere Wissenschaften wie Physik, die Ingenieurwissenschaften, aber auch Wirtschaftswissenschaft und Sozialwissenschaft. Viele mathematische Themen (z.B. Fourieranalyse, Methode der kleinsten Quadrate) wurden durch nichtmathematische Aufgabenstellungen initiiert.
Eine axiomatische Theorie ist eine Menge wahrer Aussagen, die aus gewissen Axiomen mit ausschließlich logischen Mitteln gefolgert wurden; genauer gesagt: eine Aussage ist genau dann »wahr«, wenn sie:
- ein Axiom ist, oder
- aus anderen wahren Aussagen nach gewissen Schluss- oder Deduktionsregeln abgeleitet werden kann.
Wahre Aussagen heißen Sätze der Theorie; will man einen Satz hervorheben, so nennt man ihn auch Theorem, ist er weniger bedeutend, so sagt man Lemma oder Korollar. Die Ableitungen nennt man Beweise. In der Praxis spielen noch Definitionen eine Rolle, sie gehören aber zum Handwerkszeug der Logik, das vorausgesetzt wird. (So kommt z.B. der Lambda-Kalkül ohne Definitionen aus, während natürlich jede funktionale Programmiersprache dafür Sprachmittel bereitstellen muss; entprechendes gilt auch für Beweissysteme u.ä.)
Im Laufe der historischen Entwicklung hat sich an diesen Begriffen nichts geändert, es ist allerdings zu einer zunehmenden Präzisierung gekommen, die ihren Niederschlag in dem großen und wachsenden Feld der mathematischen Logik gefunden hat.
Wenngleich Gegenstand der Mathematik nur die Mathematik ist, so hat sie sich doch immer in engem Kontakt zu ihren Anwendungen entwickelt. Die Bildung mathematischer Modelle und die Entwicklung effizienter Rechenverfahren stehen dabei in engem Zusammenhang: muss man auf der einen Seite, vor allem am Anfang, den Gegenstandsbereich häufig stark vereinfachen, um ihn einer mathematischen Behandlung zugänglich zu machen, so gewinnt man auf der anderen Seite häufig viel effizientere Zugänge und Möglichkeiten. Im übrigen hat sich die rein technische Seite des Rechnens, wie man weiß, zuletzt stark entwickelt.
Die Mathematik ist eine der ältesten Wissenschaften überhaupt. Eine erste Blüte erlebte sie in in der Antike, in Griechenland und im Hellenismus, von dort datiert die Orientierung an der Aufgabenstellung des »rein logischen Beweisens« und die erste Axiomatisierung, nämlich die euklidische Geometrie. Im Mittelalter überlebte sie unabhängig voneinander im frühen Humanismus der Universitäten und in der arabischen Welt. Die Entwicklung in der Neuzeit ist erst durch die Naturwissenschaften (ab 1600), dann sehr stark durch den innermathematischen Prozess der Axiomatisierung (ab etwa 1850) und schließlich die Entwicklung der Computertechnik (ab 1930) bestimmt worden. Siehe Geschichte der Mathematik und Mathematiker.
Die Kerngebiete der Mathematik im Überblick
Logik und Mengenlehre
Die Mathematik hat natürlich immer der Logik bedurft, doch dauerte es sehr lange, bis sie selbst sich mit ihren Grundlagen befasste.
Es war die Mengenlehre, die dies änderte. Diese hatte sich aus der Beschäftigung mit der Topologie entwickelt, genauer mit den »Paradoxien des Unendlichen« (Bernard Bolzano), wie man sie im Umgang mit den reellen Zahlen erlebte. Als man mit der Mengenlehre die unendlichen Mengen gemeistert hatte, war dies zugleich die Geburtsstunde einer neuen Mathematik, die sich von der Herrschaft der Zahlen und geometrischen Gebilde emanzipiert hatte. Aus dem »Paradies der Mengenlehre« (David Hilbert) wollte man sich nicht mehr vertreiben lassen.
Als sich die »naive« Mengenlehre als unhaltbar erwies, gewann plötzlich das Gebiet der mathematischen Logik jenes Interesse, das ihm von Leibniz bis Frege versagt geblieben war, und blühte rasch auf. Dabei dient die Formalisierung der Logik dem Ziel, die einzelnen Beweisschritte zu isolieren und Beweise vollständig als Folgen elementarer Operationen darstellen zu können, um diese dann mit mathematischen (z.B. arithmetischen) Mitteln (Gödel) zu untersuchen. Bei der Untersuchung axiomatischer Theorien interessiert man sich für deren widerspruchsfreien Aufbau und ihr Verhältnis zueinander.
Inzwischen haben sich vielfältige Teilgebiete und Anwendungen in und außerhalb der Mathematik herausgebildet, u.a. gehören dazu in der Informatik auch Beweissysteme.
Die Mengenlehre findet heute Ergänzung als lingua franca der Mathematik in der Kategorientheorie, die sich in den vierziger Jahren aus der algebraischen Topologie entwickelte.
In der modernen Algebra, wie sie seit den zwanziger Jahren gelehrt wird, entwickeln sich aus dem Magma (Nicolas Bourbaki) mit einer einfachen inneren Operation nacheinander die algebraischen Grundstrukturen der Monoide, Gruppen, Ringe und Körper, die allgegenwärtig sind, unter anderem, weil die verschiedenen Zahlmengen solche Strukturen aufweisen. Eng verbunden sind damit Polynome und Moduln/Ideale.
Die Lineare und Multilineare Algebra hat Moduln zu ihrem Gegenstand. Im einfachsten Fall sind dies Vektorräume, d.h. Moduln über Körpern, meistens R oder C. Dies sind die Räume der klassischen Geometrie und Analysis. Aber es gibt auch wesentlich kompliziertere Situationen. Ein enger Zusammenhang besteht zur Ringtheorie und Homologischen Algebra; eine klassische Fragestellung ist die Invariantentheorie.
Die Galois-Theorie ist einer der Höhepunkte der Mathematik im 19. Jhdt. und Anfang der Körpertheorie. Ausgehend von der Frage nach der Lösbarkeit von algebraischen Gleichungen untersucht sie Körperweiterungen (und erfindet dabei die Gruppentheorie). [...]
Weitere Gebiete: Gruppentheorie, Kommutative Algebra
Weitere Gebiete im alphabetischen Überblick
Ein aus dem Studium der Kegelschnitte entstandenes und noch sehr aktives Gebiet. Gegenstand der älteren Theorie sind bis etwa 1950 algebraische Varietäten, d.h. Nullstellenmengen algebraischer Gleichungen im projektiven (komplexen) Raum, heute starke Verallgemeinerung der Fragestellungen und Methoden.
Algebraische und Differentialtopologie
Differentialgeometrie
Funktionalanalysis
Kommutative Algebra
Lie-Gruppen
Ein altes, schon in der Antike blühendes Fach, dessen Ausgangspunkt die überraschenden Eigenschaften der natürlichen Zahlen bilden (auch Arithmetik genannt). Gefragt wird zunächst nach Teilbarkeit und Primalität. Auch viele mathematische Spiele gehören hierher. Viele Sätze der Zahlentheorie sind einfach zu formulieren, aber schwer zu beweisen.
In der Neuzeit findet die Zahlentheorie zuerst bei Fermat erneutes und zugleich zukunftsweisendes Interesse. Gauß' Disquisitiones Arithmeticae bilden 1801 einen Höhepunkt und regen eine intensive Forschung an. Heute haben sich, entsprechend den benutzten Mitteln, zur elementaren die analytische, algebraische und geometrische gesellt.
Lange galt die Zahlentheorie als (praktisch) absolut nutzlos, bis sie mit der Entwicklung der asymmetrischen Kryptographie plötzlich in den Mittelpunkt des Interesses rückte.
Ein wichtiger Begriff der Mathematik ist der der Zahl, deren bekannteste die natürlichen Zahlen und die ganzen Zahlen sind.
Die Zahlentheorie befasst sich mehr mit den Eigenschaften von Zahlen, während die Algebra Operationen mit Zahlen sowie Gleichungen untersucht.
Das zweite traditionelle Gebiet der Mathematik, die Geometrie, ist aus der Struktur des uns umgebenden Raumes inspiriert. Die Euklidische Geometrie der Antike mit ihrer Trigonometrie ist auch heute noch wichtiges Hilfsmittel vieler angewandter Wissenschaften.
Die Beschreibung sich verändernder Werte wird in der Analysis betrieben. Zentrale Begriffe sind (stetige) Funktionen, und die Methoden der Ableitung und Integration.
Diese drei (und andere) Gebiete finden ihre axiomatische Grundlage in der Mengenlehre, der Logik und der Modelltheorie. Die Philosophie der Mathematik wiederum hinterfragt eben diese axiomatischen Systeme.
Auch nichtmenschliche Lebewesen, speziell Tiere sind in begrenztem Umfang fähig, mathematische Leistungen zu erbringen, siehe Phylogenese mathematischer Fähigkeiten.
Anwendung findet die Mathematik insbesondere in den Naturwissenschaften. Aber auch die Gesellschafts- und Geisteswissenschaften benutzen mathematische Konzepte.
Mathematische Themen
Unter Wikipedia:Liste mathematischer Themen gibt es eine (noch unvollständige) Auflistung aller Artikel mit mathematischem Inhalt. Dieser Artikel kann auch als "Letzte Änderungen"-Ersatz für mathematische Themen verwendet werden.
Zahlen
Natürliche Zahlen -- Ganze Zahlen -- Rationale Zahlen -- Algebraische Zahlen -- Reelle Zahlen -- Komplexe Zahlen -- Römische Zahlen -- Quaternionen -- Oktaven -- Hyperreelle Zahlen -- Surreale Zahlen -- Ordinalzahlen -- Kardinalzahlen -- p-adische Zahlen -- Mathematische Konstanten -- Primzahlen -- Zahleneigenschaften -- Zahlennamen -- Unendlich
Das Veränderliche
Algebra -- Analysis -- Mehrdimensionale Analysis -- Differentialgleichungen -- Trigonometrische Funktionen -- Statistik -- Spezielle Funktionen -- Dynamische Systeme -- Chaostheorie-- Vektorrechnung
Mathematische Strukturierungen
Abstrakte Algebra -- Zahlentheorie -- Gruppentheorie -- Monoide -- Analysis -- Topologie -- Geometrie -- Lineare Algebra -- Graphentheorie -- Kategorientheorie
Topologie -- Geometrie -- Trigonometrie -- Lineare Algebra -- Tensor -- Differentialgeometrie -- Abgebraische Geometrie
Kombinatorik -- Mengenlehre -- Statistik -- Berechenbarkeitstheorie -- Graphentheorie -- Spieltheorie -- Kryptographie
Grundlagen und Methoden
Philosophie der Mathematik -- Intuitionalismus -- Konstruktivismus -- Grundlagen der Mathematik -- Mengenlehre -- Symbolische Logik -- Modelltheorie -- Beweistheorie -- Beweismethoden -- Kategorientheorie
Mechanik -- Numerik -- Optimierung -- Diskrete Mathematik -- Statistik
Theoreme und Vermutungen
Satz des Pythagoras -- Fermats Letztes Theorem -- Waringsches Problem -- Goldbachsche Vermutung -- Riemansche Hypothese -- Poincaresche Vermutung -- Primzahlzwillinge -- Vier-Farben-Problem -- Fundamentalsatz der Algebra -- Fundamentalsatz der Analysis -- Zentraler Grenzwertsatz -- Kontinuumshypothese -- Zornsches Lemma -- Gödelscher Vollständigkeitssatz -- Gödelscher Unvollständigkeitssatz
Diverses
Phylogenese mathematischer Fähigkeiten -- Geschichte der Mathematik -- Mathematiker -- Fields-Medaille -- Die bemerkenswerteste Formel der Welt -- Die internationale mathematische Union -- Mathematikwettbewerbe--
Mathematische Begriffe und Themen
Abbildung -- Absoluter Betrag -- Abszisse -- Achse -- Addition -- Algebra -- Amplitude -- Argument -- arc -- Arcus -- Assoziativgesetz -- asymptotisch -- Beweis -- Betrag -- Bijektiv -- Binomialkoeffizient -- Binomische Formeln -- Bogenmaß -- Bit -- Bruch -- Byte Cosinus -- Definition -- Definitionsbereich -- Dekadisch -- Dezimalbruch --
Dezimaldarstellung -- Dezimalzahl -- Diagonale -- Differenz -- Dimension -- Diophantische Gleichung -- Disjunkt -- Distributivgesetz -- Division -- Durchschnitt -- e -- Ebene -- Eineindeutig -- Einheit -- Einheitskreis -- Faktor -- Fakultät -- Fibonacci-Zahl -- Fraktal -- Formel -- Frequenz -- Funktion -- Ganze Zahl -- Geordnet -- Gerade -- Gleichung -- Gon -- Goldener Schnitt -- Grad -- Graph -- Grafik -- ggT -- Grundmenge -- Hochzahl -- Hyberbel -- Identität -- implizit -- Induktion -- Information -- injektiv -- Intervall -- Invers -- Irrationale Zahl -- Isomorph -- Karte -- Kartesisches Koordinatensystem -- Kehrwert -- Klammer -- kgV -- Koeffizient -- Kommutativ -- Komplementär -- Konkav -- konstant -- konvex -- Koordinate -- Körper -- Kreis -- Kubik -- Kürzen -- Leere Menge -- Linear -- Lineal -- Logarithmus -- Lösung -- Mächtigkeit -- mehrstellig -- Median -- Menge -- Monoton -- Multiplikation -- Natürliche Zahlen -- Nenner -- Neugrad -- Normal -- Null -- Numerisch -- Oben -- offen -- Ordinate -- Ordnung -- Pi -- Paar -- Parameter -- Pascalsches Dreieck -- Periodisch -- Permutation -- Phase -- Pol -- polar -- Polynom -- Potenz -- Primzahl -- Produkt -- Quadrat -- Quadratwurzel -- Quersumme -- Quotient -- Radius -- Radiant -- Rationale Zahl -- Rechenschieber -- Reell -- relativ -- Relation -- Rest -- reziprok -- Rundung -- Sinus Tangens Zähler --
Tabelle mit mathematischen Symbolen