Spielwürfel

Ein Spielwürfel ist ein Gegenstand, der in einem Spiel als Zufallsgenerator verwendet wird, indem er nach einem Wurf auf mehrere, voneinander unterscheidbare Arten stabil auf der Ebene zu liegen kommen kann. Dazu ist ein Würfel mit mehreren Symbolen versehen, von denen nach dem Wurf eines eine ausgezeichnete Lage einnimmt. Dieses Symbol zeigt dann das Ergebnis des Wurfes an.

Der mit Abstand meistverbreitete Spielwürfel ist der mit den Ziffern 1-6 (bzw. entsprechend vielen Punkten, den Augen) beschriftete Kubus. Wird im Alltag der Begriff Würfel verwendet, ist meist nur dieser Sechsseiter gemeint, und auch für seine geometrische Form wurde der Name übernommen. Jedoch existieren auch viele andere Würfel, die im folgenden ebenfalls beschrieben werden.

Verwendung

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Pokerwürfel

In Würfelspielen sind Würfel das zentrale Spielelement, es kommt nur auf den Vergleich der Würfelergebnisse selbst oder direkt mit ihnen zusammenhängendes Taktieren an. Viele Glücksspiele fallen in diese Kategorie. Hier kommen üblicherweise der klassische Sechserwürfel oder speziell bemalte, jedoch immer noch sechsseitige Würfel zum Einsatz. Darüberhinaus sind Würfel in einer Vielzahl von Brettspielen bedeutend, um etwa die Bewegungsgeschwindigkeit von Spielfiguren oder den Ausgang von Zufallsereignissen zu bestimmen. Auch hier kommen in erster Linie Sechsseiter zum Einsatz. Verwendung finden Würfel auch in Rollenspielen, bei denen sich in den letzten Jahrzehnten die Verwendung einer Vielzahl weiterer Würfel mit anderer Seitenzahl durchgesetzt hat, um die Zufallsentscheidungen flexibler und vielfältiger zu gestalten.

In allen diesen Bereichen gibt es neben dem einfachen Wurf eines Würfels auch Gelegenheiten, bei denen mehrere Würfel gleichzeitig zu werfen sind. Dabei können die Ergebnisse addiert werden (eine Waffe in einem Rollenspiel richtet soviel Schaden an, wie zwei Würfel zusammen anzeigen) oder als Ensemble betrachtet werden (bei vielen Brettspielen folgen auf einen Pasch, mehrere gleiche Zahlen zeigende Würfel, besondere Aktionen). Um das Werfen mehrerer Würfel zu vereinfachen oder wenn das Ergebnis nicht allen Spielern einsichtig sein soll, werden manchmal Würfelbecher (Knobelbecher) benutzt.

Geschichte

In der Antike und im Mittelalter wurden Sprunggelenkknöchelchen von Paarhufern wie Schafen oder Ziegen zum Würfeln verwendet. Im Mittelalter waren sie unter dem Namen Buckelhörner bekannt; der lateinische Name lautet astragali. Durch deren kantige Form sind vier verschiedene Ruhepositionen möglich. Die Wahrscheinlichkeit für diese Ergebnisse ist unterschiedlich hoch, eine Tatsache, die auch in den Regeln des beliebten römischen Würfelspiels Astragaloi berücksichtigt wird.

Eine dem Würfeln verwandte Zufallsentscheidung ist der Münzwurf, der wohl seit der Erfindung der Münzen betrieben wird. Genaugenommen lässt sich eine Münze auch einfach als zweiseitiger Würfel auffassen.

Theorie

Als Zufallsgenerator sollte ein Würfel möglichst eine Gleichverteilung der möglichen Ergebnisse produzieren, jedes Ergebnis soll also mit der gleichen Wahrscheinlichkeit eintreten. Weist ein Würfel diese Eigenschaft auf, nennt man ihn einen idealen Würfel. Physikalisch bedingt treten immer gewisse Abweichungen bei der Fertigung auf, bei einem guten Würfel ist diese Abweichung jedoch sehr gering. Allerdings ist es nicht mit jeder Form möglich, einen idealen Würfel zu konstruieren - damit die Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, muss der Körper eine hohe Symmetrie aufweisen. Deshalb sind bestimmte geometrische Formen besonders geeignet für Würfel, insbesondere die fünf platonischen Körper. Außer diesen erfüllen nur noch catalanische Körper, Spindeln und Walzen die Anforderungen an absolute Idealität. Nebenbei spricht der Mensch diesen Formen auch einen hohen ästhetischen Reiz zu. Jedoch ist es auch bei exotischen, weniger symmetrischen Formen oft möglich, sehr ausgeglichene Verteilungen zu erreichen, sodass die Würfel für den praktischen Einsatz zufällig genug sind.

Außerdem sollte der Würfel gut, aber nicht zu lange, rollen und die Ruhepositionen sollten eine gewisse Stabilität in ihrer Lage aufweisen, was die Formgebung weiter einschränkt und Anlass zu Details wie abgerundeten Ecken gibt.

Gelegentlich wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung auch bewusst zugunsten bestimmter Ergebnisse manipuliert, möglichst ohne den Würfel optisch zu verändern, um sich im Spiel einen Vorteil zu verschaffen. In diesem Fall spricht man von einem gezinkten Würfel. Die Möglichkeiten beinhalten das Verändern der Gewichtsverteilung, unterschiedlich stark abgerundete Kanten bzw. Ecken sowie das Verziehen von manchen Flächen. Zu stark gezinkte Würfel verraten sich durch eine torkelnde Rollbewegung, was beim Einsatz eines Würfelbechers aber nicht auffällt. Eine weitere Manipulationsmöglichkeit ist es, im Inneren des Würfels einen Dauermagneten zu platzieren, um den Würfelwurf bei Bedarf durch einen zweiten, beispielsweise unter die Tischplatte gehaltenen, Magneten zu beeinflussen. Um das Zinken zu erschweren, werden im Kasino transparente Würfel eingesetzt.

Herstellung

Die meisten Würfel sind heute aus Holz oder Kunststoff, es existieren aber auch Varianten aus Kork, Horn, Stein, Metall und anderen Materialien. Der Standardwürfel hat einen Durchmesser von etwa eineinhalb Zentimetern. Plastikwürfel werden üblicherweise gegossen, wobei ein Einfüllpropfen übrigbleibt, der zusammen mit anderen Unebenheiten durch maschinelles Abrollen geglättet wird. Die Beschriftungen sind meist Vertiefungen, in die dann Farbe eingefüllt wird, seltener aufgedruckt.

Für den Würfel- und Brettspielmassenmarkt gibt es eine Vielzahl an Produzenten, für die exotischeren Rollenspielwürfel existiert jedoch weltweit nur eine kleine Anzahl renommierter Hersteller. Viele der im Folgenden genannten Würfelsorten werden auch ausschließlich von einer dieser Firmen hergestellt, da manche Konstruktionen wie der Zocchihedron sogar patentiert sind. Unter diesen Firmen beherrschen vor allem Koplow und Chessex Games den Massenmarkt, GameScience und Crystal Caste haben sich auf exklusivere Modelle spezialisiert und setzen sich auch teils in den Herstellungsverfahren ab; so lehnt etwa Gamescience das Abrollen der Produktionsspuren ab, da dies der Idealität des Würfels stärker schaden soll als die Spuren selbst.

Formen

Das wichtigste Unterscheidungskriterium von Würfeln ist die Anzahl ihrer Seiten und damit der Zahlenbereich, aus dem sie Zahlen generieren können. Gemäß der bei Rollenspielern üblichen Terminologie werden im Folgenden die Würfel entsprechend der Anzahl n ihrer Seiten als Wn bezeichnet, der normale sechsseitige Würfel also als W6 (häufig auch D6 von englisch dice).

Die Standard-Würfel

Die sechs Standard-Würfel sind, mit Ausnahme des W10, allesamt platonische Körper und in ihrer Form als solche ideal.


Typ	Form	Ideal	Hersteller	Informationen
W4	Tetraeder	Ja	Diverse	Beim W4 bleibt stets eine Spitze oben liegen, so dass das normale Ableseverfahren nicht umsetzbar ist. Es existieren zwei Varianten des W4: Bei beiden stehen auf jeder Fläche 3 Zahlen, die so angeordnet sind, dass der Würfel aus jedem Blickwinkel das gleiche Ergebnis zeigt. Diese befinden sich entweder an den Kanten oder den Ecken. Bei der Kantenvariante zählt als Würfelergebnis die an den Kanten mit Bodenkontakt angezeigte Zahl, bei der Eckenvariante die Zahl an der obenliegenden Ecke. Da der W4 sehr schlecht rollt, wird er gewöhnlich hochgeworfen wie bei einem Münzwurf. (*)
W6	Hexaeder	Ja	Diverse	Er besteht aus 6 Quadraten, die von 1 bis 6 beschriftet sind und entspricht dem üblichen Spielwürfel. Die Flachen sind ansteigend gegen den Uhrzeigersinn spiralförmig um den Würfel verteilt - von der Ecke betrachtet liegt bei einem W6 die Seite 1 rechts neben der 2 und der 3. Die Summe der gegenüberliegenden Seiten ist stets 7. (*)
W8	Oktaeder	Ja	Diverse	Die Seiten dieses Oktaeders sind gegenläufig mit 1, 3, 5 und 7 bzw 2, 4, 6, und 8 beschriftet - die Summe der gegenüberliegenden Seiten ist 9. (*)
W10	2x 5-seitiges Deltoeder	Ja	Diverse	Dieser Würfel ist ein Körper aus 10 drachenförmigen Vierecken (als einziger der gängigen Würfel KEIN platonischer Körper), die von 0 bis 9 beschriftet sind, die 0 gilt üblicherweise als 10. (*)
W12	Dodekaeder	Ja	Diverse	Die 5-eckigen Seitenflächen sind mit 1-12 beschriftet, die Summe der gegenüberliegenden Seiten ist 13. (*)
W20	Ikosaeder	Ja	Diverse	Bei einem W20 (3-eckige Seitenflächen) sind die Werte mit Uhrzeigersinn angeordnet - zwischen dem Zählen werden stets 3 Werte übersprungen bis der nächste Zählschritt erreicht ist. Die 1 ist mit der 2 über die Flächen 13, 5 und 18 bzw die Kante zwischen 5 und 15 verbunden - die 2 ist mit der 3 über 20, 8 und 16 bzw die Kante zwischen 8 und 10 verbunden - dieses logische Muster lässt sich bis zur Hälfte des Würfelwerts (also bis 10) fortsetzen. Die Summe der gegenüberliegenden Seiten ist 21. (*)

(* Anm.: Es exisitieren keinerlei Normen für die Beschriftungsabfolgen der Seitenflächen eines Rollenspielwürfels, bei Würfeln bestimmter Hersteller weicht die Ausrichtung der Ziffern bzw. die Reihenfolge der Seitenflächen vom gängigen Muster ab. Manchmal lässt sich anhand dieser speziellen Reihenfolge sogar der Hersteller des Würfels bestimmten.)

Nichtplatonische Polyeder

Diese Würfel haben die Form eines stark symmetrischen, aber nicht platonischen Polyeders, Catalanische Körper eignen sich hierfür besonders gut.

Typ	Form	Ideal	Hersteller	Informationen
W12	Rhombendodekaeder	Ja		Ist ein Polyeder aus 12 identischen Rhomben, die von 1 bis 12 beschriftet sind.
W14	Kuboktaeder	Nein		Körper aus 7 Vier- und 7 Dreiecken. In diesem Fall mit asiatischen Symbolen beschriftet, auch als 1-14 erhältlich.
W24	Tetrakishexaeder	Ja	Chessex, GameScience, Koplow	Ist ein Polyeder aus 24 gleichschenkligen Dreiecken. Man kann sich das Gebilde als geometrischen Würfel mit vier aufgepfropften, vierseitigen Pyramiden vorstellen. Seine Seiten sind von 1 bis 24 beschriftet.
W24	Deltoidalikositetraeder	Ja		Ist ein Polyeder aus 24 Deltoiden. Seine Seiten sind ebenfalls von 1 bis 24 beschriftet.
W30	Rhombentriakontaeder	Ja	GameScience, Koplow	Ist ein Polyeder aus 30 identischen Rhomben, die von 1 bis 30 beschriftet sind.
W48	Hexakisoktaeder	Ja		Ist ein Polyeder aus 48 identischen Dreiecken, die von 1 bis 48 beschriftet sind.

Prismen

Prismen- oder Säulenwürfel bestehen aus zwei Grundflächen und einer beliebigen, meist relativ kleinen ungeraden Anzahl von Seitenflächen. Fällt ein Prismawürfel ungerader Flächenanzahl auf eine seiner Seitenflächen, so weist eine Kante nach oben. Deshalb werden hier die Werte mit über die Seitenkanten verlaufenden, farbig abgegrenzten Punkten angezeigt. Alternativ erfolgt die Beschriftung wie bei einem herkömmlichen W4, da in den möglichen Ruhepositionen keine der Seitenflächen oben liegt.

Prismawürfel mit mehr als zwei Flächen sind nur schwer als ideale Würfel herstellbar, da die korrekten Verhältnisse von Seiten- und Grundflächen für eine ausgeglichene Wahrscheinlichkeitsverteilung schwer zu berechnen sind. GameScience sind aber zumindest angeblich ideale W5 und W7 gelungen - gemeinhin werden derartige Formen aber als nicht ideal angesehen.

Typ	Form	Ideal	Hersteller	Informationen
W2	Zylinder (Scheibe)	Nein		Ein W2 ist eigentlich kein klassischer Würfel, sondern gleicht in seiner Beschaffenheit einer Münze, die Bezeichnung W2 ist eher scherzhaft zu betrachten. In vielen Rollenspielen sind zufällige Ja/Nein-Entscheidungen erforderlich, aus diesem Grund werden von manchen Würfelherstellern speziell beschriftete Scheiben hergestellt. Der Rand stellt die einzige Seitenfläche dar und wird aufgrund seiner äußerst geringen Trefferwahrscheinlichkeit im Normalfall vernachlässigt.
W3	Dreicksprisma	Nein	Keine industrielle Herstellung	In dieser Form nicht gut umgesetzt, da mit unbewerteten Deckflächen mit nicht verschwindender Landewahrscheinlichkeit. Besser wäre eine Walze, s.u.
W5	Dreicksprisma	Nein	GameScience	Ein W5 ist eine Dreieckssäule, deren Deckflächen mit 1 und 5 beschriftet sind. Die Werte 2-4 sind auf die Seitenflächen verteilt und an den schmalen Kanten markiert. Der bekannte W5 von GameScience ist genaugenommen kein echter Prismenwürfel, der Übergang von Seiten- zu Deckflächen wurde für besseres Verhalten abgeschrägt.
W7	Fünfecksprisma	Nein	GameScience	Der W7 ist eine Fünfeckssäule, deren Deckflächen mit 1 und 7 beschriftet sind. Die Werte 2-6 sind auf die Seitenflächen verteilt und an den Kanten markiert.
W9	Siebenecksprisma	Nein	GameScience	Der W9 ist eine Siebeneckssäule, deren Deckflächen mit 1 und 9 beschriftet sind. Die Werte 2-8 sind auf die Seitenflächen verteilt und an den Kanten markiert. Ein regelmäßiges Siebeneck kann nicht mit euklidische Werkzeugen konstruiert, sondern nur berechnet werden, darum sind derartige Würfel sehr schwierig zu fertigen und äußerst unüblich. Als Abhilfe wird üblicherweise ein W10 verwendet, bei einem 0-Wurf wird erneut geworfen.

Walzen

Für Walzenwürfel gibt es zwei verschiedene, aber ähnliche Konstruktionsweisen: Zum einen können n-seitige Prismen verwendet werden, denen an den Deckflächen ensprechend n-seitige Pyramiden aufgesetzt werden. Die andere Möglichkeit sind Antiprismen (also wechselseitig versetzte Dreiecke als Seitenflächen) mit ${\frac {n}{2}}$ -seitigen Pyramiden auf den Deckflächen. In beiden Fällen sorgen die Pyramiden dafür, dass weder die Deckflächen noch die Pyramidenflächen als Ergebnis auftreten können, die Werte verteilen sich also ausschließlich über die Seitenflächen. Das Prisma-Prinzip ermöglicht jede Seitenanzahl $\geq 3$ , wird aber eher selten verwendet. Bei der Antiprisma-Variante sind ausschließlich gerade Seitenanzahlen $\geq 6$ möglich, sie ist die stärker verbreitete Form der Walzenwürfel, meist als Alternative zu den Standardwürfeln.

Typ	Form	Ideal	Hersteller	Informationen
W3	trigonales Prisma mit aufgesetzten Pyramiden	Ja		In dieser Form gut möglich, aber seltsamerweise kaum anzutreffen.
W4	tetragonales Prisma mit aufgesetzten Pyramiden	Ja	Diverse
W4		Ja		Dieser W4 stellt eine entartete Sonderform der Antiprisma-Walzen-Konstruktion dar: er besteht zwar aus Dreiecken, die um jeweils 180° versetzt angeordnet sind, besitzt aber statt der aufgesetzten Pyramiden lediglich zwei Kanten.
W6	trigonales Antiprisma mit aufgesetzten Pyramiden	Ja	Diverse
W8	tetragonales Antiprisma mit aufgesetzten Pyramiden	Ja	Diverse
W10	pentagonales Antiprisma mit aufgesetzten Pyramiden	Ja	Diverse	Die Anordnung der Flächen entspricht dem Ikosaeder (W20), allerdings ist der Mittelteil gestreckt.
W12	hexagonales Antiprisma mit aufgesetzten Pyramiden	Ja	Diverse
W20	dekagonales Antiprisma mit aufgesetzten Pyramiden	Ja	Diverse

Spindeln

Spindelwürfel bestehen aus zwei mit der Grundfläche zusammengeklebten Pyramiden (diese wirken bei hohen Seitenzahlen wie angeschnittene Kegel), damit ähneln sie optisch Kreiseln. Prinzipiell sind mit dieser Konstruktion alle geraden Zahlen (auch ein W2) erreichbar, verwendet wird sie aber meist nur für seltene, eher große Zahlenwerte.

Typ	Form	Ideal	Hersteller	Informationen
W14	Doppelte 7-seitige Pyramide	Ja	Chessex, GameScience	Ein W16 besteht aus zwei Kegelhälften mit je 8 Seiten, so dass er insgesamt von 1 bis 16 beschriftet ist.
W16	Doppelte 8-seitige Pyramide	Ja	Chessex, GameScience	Ein W16 besteht aus zwei Kegelhälften mit je 8 Seiten, so dass er insgesamt von 1 bis 16 beschriftet ist.
W34	Doppelte 17-seitige Pyramide	Ja	Chessex	Ein W34 besteht aus zwei Kegelhälften mit je 17 Seiten, so dass er insgesamt von 1 bis 34 beschriftet ist. Er wird als Danish Lottery Die vermarktet.
W48	Doppelte 24-seitige Pyramide	Ja		Ein W48 besteht aus zwei Kegelhälften mit je 24 Seiten, so dass er insgesamt von 1 bis 48 beschriftet ist.
W50	Doppelte 25-seitige Pyramide	Ja	GameScience	Ein W50 besteht aus zwei Kegelhälften mit je 25 Seiten, so dass er insgesamt von 1 bis 50 beschriftet ist.

Der schon weiter oben aufgeführte W10 sieht auf den ersten Blick einem Spindelwürfel ähnlich, fällt aber nicht in diese Kategorie, da die Flächen der "oberen" und "unteren" Hälfte gegeneinander versetzt sind und so kein knickfreier "Äquator" existiert.

Kugeln

Kugelwürfel sind tatsächlich kugelförmig geformt. Die Oberfläche ist mit einer Anzahl von Vertiefungen versehen, auf denen der Würfel zum Liegen kommen kann. Diese Würfel sind innen hohl und teilweise mit Sand oder Kunststoffschrot gefüllt, so dass sie nicht zu lange rollen.

Meist ist es nicht möglich die Vertiefungen so über die Kugel zu verteilen, dass ein idealer Würfel entsteht. Die existierenden Modelle können aber in guter Näherung als ideal angesehen werden:

Ein W50 ist neben dem spindelförmigen Modell auch als Kugel mit 50 Vertiefungen, die von 1 bis 50 beschriftet sind, erhältlich.
Ein W100 ist eine Kugel mit 100 Vertiefungen, die von 1 bis 100 beschriftet sind. Nach seinem Erfinder Lou Zocchi wird er auch Zocchihedron genannt.

Es existieren auch kugelförmige W6. Im Inneren befindet sich ein Oktaeder-förmiger Hohlraum mit einer Kugel, die in einer der sechs Ecken zum Liegen kommt. Die Kugel hat damit sechs stabile Zustände; er ist ebenso ideal wie ein normaler W6. Je nach Produktionsqualität kann es bei dieser Form zu sehr langen Rolldauern kommen.

Sonstige

Neben diesen Familien gibt es einige noch exotischere Modelle, dazu gehören polyederförmige, aber weniger reguläre Körper sowie völlig vereinzelte Konstruktionsprinzipien.

Typ	Form	Ideal	Hersteller	Informationen
W3	eingedelltes Ellipsoid	Ja	GameScience	Neben den Zahlen 1-3 mit RPS für Schere, Stein, Papier beschriftet.
W18	Irregulärer Polyeder	Nein	GameScience	Körper aus Vier-, Fünf- und Sechsecken.
W26	Irregulärer Polyeder	Nein	GameScience	Körper aus 2 regelmäßigen Fünfecken, 8 Rechtecken und 16 Trapez (Geometrie)en.

Alternative Beschriftungen

Sehr weit verbreitet sind auch Würfel mit alternativen Beschriftungen. Dazu gehören:

"Halbierte Würfel": Beispielsweise ein W2, der dadurch erzeugt wird, dass ein W4 mit zwei Einsen und zwei Zweien beschriftet ist, ein W5 durch einen doppelt 1-5 beschrifteten W10, etc.
Zehnerstellenwürfel: Vom W10 existieren Varianten, die statt mit 0-9 mit 00-90, 000-900 oder 0000-9000 beschriftet sind, es gibt sogar die Beschriftungen .0-.9, .00-.09 und .000-.009. Diese werden in Kombination gewürfelt und die Ergebnisse addiert, sodass man Wurfergebnisse mit allen Zehnerstellen erhält. Verbreitet ist vor allem die Verwendung eines W10 mit 00-90 und eines mit 0-9 als simulierter W100 (auch W% genannt). Dies kann auch durch zwei verschiedenfarbige W10 mit 0-9, bei denen beispielsweise der Rote die Zehnerstelle darstellt, erreicht werden.
Bilderwürfel: Würfel beliebiger Seitenzahl mit Bildern statt Zahlen (zB Pokerwürfel).
Sonstige Beschriftungen: Gelegentlich zu finden sind auch Sonderanfertigungen wie W4 mit den vier Grundrechenarten, W8 mit acht Himmelsrichtungen, W30 mit den Buchstaben des Alphabets und ähnliches.
"normale" W6-Würfel, bei denen eine Seite (meist die 6) durch ein Bild - in der Regel ein Firmenlogo wie etwa das Shadowrun-Symbol oder ein Symbol aus den Warhammer-Universen ersetzt wurde.

Zitate

Gott würfelt nicht. – Albert Einstein
Gott würfelt nicht nur mit dem Universum, sondern wirft die Würfel manchmal so, dass wir sie nicht sehen können. - Stephen Hawking
Alea iacta est (Der Würfel ist geworfen). - Julius Caesar

Weblinks

Wie Würfel aussehen können
Kevin Cook's Dice Collection – Weltgrößte private Würfelsammlung, mit Bildern (Englisch)
Properties of Dice – Mathematische Untersuchung zu möglichen Würfeldesigns (Englisch)

Commons: Spielwürfel – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien

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