Kreiszahl

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Die berühmteste Zahl der Weltgeschichte, die Kreiszahl π (pi), beschreibt das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser. Sie hat ungefähr den Wert 3,14.

π wird mit dem kleinen griechischen Buchstaben pi bezeichnet, nach dem Anfangsbuchstaben des griechischen Wortes perifereia (Randbereich). Sie wird auch Archimedes' Konstante oder Ludolf'sche Zahl (nach Ludolph van Ceulen) genannt.

Datei:Buchstabepi.png

M Mittelpunkt, r Radius, d Durchmesser

Mathematische Grunddaten

Definition

Es existieren mehrere gleichwertige Definitionen für π:

Das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser.
Die Fläche eines Kreises mit dem Radius 1.
Der Umfang eines Kreises mit dem Radius 0,5.
Das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle des Kosinus (nach Edmund Landau).

Irrationalität & Transzendenz

Datei:Lambert 3.jpg

Johann Heinrich Lambert, 1728-1777

Die Zahl π ist keine rationale Zahl. Das heißt, sie kann nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen geschrieben werden. Dies wurde 1761 (oder 1767) von Johann Heinrich Lambert bewiesen. Tatsächlich ist die Zahl transzendent. Dies bedeutet, dass es kein Polynom mit ganzzahligen oder rationalen Koeffizienten gibt, dessen Nullstelle π ist. Als Konsequenz ergibt sich daraus, dass es unmöglich ist, π nur mit ganzen Zahlen oder Brüchen und Wurzeln auszudrücken. Die Transzendenz von π wurde von Ferdinand von Lindemann 1882 bewiesen. Eine Folge davon ist unter anderem, dass die Quadratur des Kreises nur mit Zirkel und Lineal nicht möglich ist.

Näherung auf 120 Stellen

Wegen der Transzendenz von π lässt sich die mathematische Konstante nur angenähert ausdrücken. Angenähert auf 120 Stellen beträgt der Wert

π = 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067 982 148 086 513 282 306 647 093 844 609 550 582 231 725 359 408 128 481 117 450 284 102 701 938 521 105 559 644 622 948 954 493 038 196 442 881 097 566 593 344 612 847 564 823 378 678 316 527 120 190 914...

Geschichte der Zahl π – von Schätzungen zur Rekordjagd

Kaum eine andere Zahl hat die Menschen in ihrer Geschichte mehr beschäftigt und fasziniert als die Kreiszahl π. Schon vor den Griechen suchten die Völker nach dieser geheimnisvollen Zahl und obschon die Schätzungen immer genauer wurden, gelang es erstmals dem griechischen Mathematiker Archimedes um 250 v. Chr., diese Zahl mathematisch zu bändigen. In der weiteren Geschichte wurden die Versuche zur größtmöglichen Annäherung an π phasenweise zu einer regelrechten Rekordjagd, die zuweilen skurrile und auch aufopfernde Züge annahm.

Die alltägliche Praxis drängt zu ersten Schätzungen

Aus sehr praktischen Erwägungen heraus versuchten die Menschen schon in sehr früher Zeit, dem Phänomen Kreis näher zu kommen. Sollten Räder beschlagen werden, war es wichtig zu wissen, welchen Umfang der Beschlag haben musste. Sollte eine Säule mit einem Kranz geschmückt werden, war der Umfang des Kranzes zu bestimmen. Sollte ein Fass mit Wein gefüllt werden, interessierten sich unsere Vorfahren für das nötige Volumen. Oder es sollte, wie die Bibel im ersten Buch der Könige, Kapitel 7, Vers 23 berichtet, ein rundes Becken umspannt werden: Hierauf fertigte er ein kreisrundes Becken an, das von einem Rand bis zum anderen 10 Ellen maß..., eine Schnur von 30 Ellen umspannte es. Somit wird in der Bibel der Wert für π mit 3 angegeben. Diesen Wert nutzte man auch im alten Babylon, selbst wenn eine einfache Messung durch ein Maßband zeigt, dass π in Wirklichkeit noch etwas größer ist als 3;. Es gab sogar Schätzungen von 4.

Genauer waren die Angaben in Ägypten. Das älteste bekannte Rechenbuch der Welt, das Rechenbuch des Ahmes (auch Papyrus Rhind), nennt den Wert (16/9)² = 3,1604.... In Indien benutzte man in den Sulbasutras, den Schnurregeln zur Konstruktion von Altären, den Wert (26/15)² = 3,0044... für π. In dem astronomischen Werk des Ptolemäus, dem Almagest (ca. 100 n.Chr.), finden sich dann bereits Tabellen von Winkelfunktionen, für welche genauere Werte der Zahl π bekannt gewesen sein müssen. Die Grundlage dafür schuf Archimedes.

Der Kreiszahl-Bändiger Archimedes von Syrakus

Für Archimedes und noch für viele Mathematiker nach ihm war unklar, ob die Berechnung von π nicht doch irgendwann zum Abschluss käme, ob π also eine rationale Zahl sei, was die jahrhundertelange Jagd auf die Zahl verständlich werden lässt. Lange dachte man, es sei nur die richtige Methode zur Berechnung noch nicht gefunden.

Die Möndchen des Hippokrates aus Kos

Erst 1761/1767 konnte die Irrationalität von π tatsächlich bewiesen werden, auch wenn die Mathematiker dies schon lange vermutet hatten. Zwar war den griechischen Philosophen seit dem Satz des Pythagoras mit der Irrationalität von ${\sqrt {2}}$ die Existenz derartiger Zahlen bekannt, dennoch hatte Archimedes keinen Grund, bei einem Kreis von vornherein eine rationale Darstellbarkeit der Flächenberechnung auszuschließen.

Denn es gibt durchaus allseitig krummlinig begrenzte Flächen, die sogar von Kreisteilen eingeschlossen sind, die sich als rationale Zahl darstellen lassen. Bereits vor Archimedes konnte mittels der so genannten Möndchen, die dem griechischen Arzt Hippokrates (Eid des Hippokrates) zugeschrieben werden, gezeigt werden, dass die Flächen dieser Kreisteile rational ausgedrückt werden können. Mit Hilfe des erweiterten Pythagoreischen Lehrsatzes fanden schon die antiken Mathematiker heraus, dass die Summe zweier über den Segmenten der Katheten errichteter Kreisteile identisch mit der Fläche des zugehörigen rechtwinkligen Dreiecks ist.

Umbeschreibung und Einbeschreibung bis zu 96 Ecken

Häufig versuchten die Forscher, sich mit Vielecken dem Kreis anzunähern und so Näherungen für π zu gewinnen – so auch Archimedes. Archimedes von Syrakus (um 287 v. Chr. - 212 v. Chr.) war ein antiker griechischer Mathematiker, Physiker und Ingenieur. Er bewies, dass das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser sich genauso verhält, wie das Verhältnis der Fläche des Kreises zum Quadrat des Radius. Mit umbeschriebenen und einbeschriebenen Vielecken bis hin zum 96-Eck berechnete er obere und untere Schranken für den Kreisumfang. Er kam zu der für die damalige Zeit äußerst bedeutsamen Abschätzung, dass das gesuchte Verhältnis etwas kleiner als 3 10/70 sein müsse, jedoch größer als 3 10/71:

3,1408450...=3+{\frac {10}{71}}<\pi <3+{\frac {10}{70}}=3,1428571...

Die Bezeichnung "π" stammt nicht von Archimedes, sondern wurde erst 1706 von dem englischen Mathematiker William Jones in seinem Werk A New Introduction to Mathematics für Archimedes Konstante eingeführt; für die Bezeichnung des Kreisumfangs war die Bezeichnung allerdings schon einige Zeit zuvor gebräuchlich. Zum standardisierten endgültigen Durchbruch gelangte der griechische Buchstabe als Bezeichnung der Kreiszahl dann mit seiner Adaption durch Leonhard Euler im Jahr 1734.

Genauer und genauer - von Ludolph van Ceulen zu John Machin

Wie in manchen anderen gesellschaftlichen und kulturellen Bereichen gab es auch in der Mathematik eine sehr lange Zeit der Stagnation nach Ende der Antike und während des Mittelalters. Erst über 1800 Jahre später und in den darauf folgenden Jahrhunderten gelangen weitere große Fortschritte. 1596 gelang es Ludolph van Ceulen, die ersten 35 Dezimalstellen von π zu berechnen. Angeblich hat er 30 Jahre seines Lebens für diese Berechnung geopfert. Er war so stolz auf diese Leistung, dass er das Ergebnis auf seinem Grabstein verewigen ließ. Van Ceulen steuerte allerdings noch keine neuen Gedanken zur Berechnung bei. Er rechnete einfach nach der Methode des Archimedes weiter, aber während Archimedes beim 96-Eck aufhörte, führte Ludolph diese bis zum eingeschriebenen 2⁶²-Eck fort. Der Name Ludolf'sche Zahl erinnert an seine Leistung.

Der englische Mathematiker John Wallis entwickelte 1665 das nach ihm benannte Wallissche Produkt:

2/1 * 2/3 * 4/3 * 4/5 * 6/5 * 6/7 * 8/7 * 8/9 * ... = π/2

Allmählich wurden die Rechnungen komplizierter, Leibniz steuerte 1671 folgende Formel bei:

$\sum _{\nu =0}^{\infty }{\frac {(-1)^{\nu }}{2\nu +1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-\dots ={\frac {\pi }{4}}$

Leonhard Euler führt in seiner im Jahre 1748 erschienenen Introductio in Analysin Infinitorum im ersten Bande π bereits auf 148 Stellen genau an.

Datei:Euler.jpg

Leonhard Euler, 1707-1783

Im gleichen Buch benennt Euler auch eine Methode für die Berechnung von Logarithmen. Diese stimmt grundsätzlich mit dem Verfahren zur Berechnung des Kreisumfanges / π überein, indem jene gleichfalls das Quadratwurzelverfahren zur fortlaufenden Verbesserung des Resultates benützt.

Handwerker benutzten in Zeiten vor Rechenschieber und Taschenrechner die Näherung 22/7 = 3,142857... und berechneten damit vieles im Kopf. Der Fehler gegenüber π beträgt etwa 0,04%. Für alltägliche praktische Situationen war das völlig ausreichend. Eine andere oft genutzte Näherung war der Bruch 355/113 =3,1415929..., immerhin auf sieben Stellen genau.

Keine der bislang entwickelten Formeln konnte zur effizienten Berechnung von Näherungswerten an π dienen, auch die Formel des Inders Srinivasa Ramanujan aus dem Jahr 1914 war dazu noch nicht geeignet:

{\frac {\sqrt {8}}{9801}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(4n)!\cdot (1103+26390n)}{(n!)^{4}\cdot 396^{4n}}}={\frac {1}{\pi }}

John Machin berechnete mit seiner Formel von 1706 die ersten 100 Stellen von π. Seine Formel

4 arctan(1/5) - arctan(1/239) = π/4

lässt sich zusammen mit der taylorschen Reihenentwicklung der Arcustangens-Funktion für schnelle Berechnungen verwenden. Diese Formel wird sofort klar, wenn man sie in Polarkoordinaten der komplexen Zahlen angibt, beginnend mit

(5+i)⁴ · (-239 + i) = -114244-114244 i.

Moderne Näherungsrechnung und Bestimmung

David H. Bailey

1996 hat David H. Bailey, zusammen mit Peter Borwein und Simon Plouffe, eine neue Formel für π entdeckt:

\pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right)

Diese Formel erlaubt es auf einfache Weise, die n-te Stelle einer binären oder hexadezimalen Darstellung von π zu berechnen, ohne dass man zuvor die n-1 vorherigen Ziffernstellen berechnen muss. http://www.nersc.gov/~dhbailey/ ist Baileys Webseite und enthält eine Herleitung des Verfahrens und auch Implementationen in verschiedenen Programmiersprachen.

Berechnung mittels Flächenformel

In ein Quadrat eingeschriebener Kreis für die Berechnung mittels Flächenformel

Diese Berechnung nutzt den Zusammenhang aus, dass in der Flächenformel des Kreises π enthalten ist und in Bezug zum Quadrat gesetzt werden kann.

Die Formel für den Flächeninhalt des Kreises : π · r²

Die Formel für den Flächeninhalt des Quadrates : (2r)²

${\frac {\mathrm {Kreistreffer} }{\mathrm {Quadrattreffer} }}\approx {\frac {\pi \cdot r^{2}}{(2r)^{2}}}={\frac {\pi }{4}}$

$\pi \approx 4\cdot {\frac {\mathrm {Kreistreffer} }{\mathrm {Quadrattreffer} }}$

Programm

 r = 1000
 kreistreffer = 0
 quadrattreffer = (2*r)^2
 for y = -r to r
   for x = -r to r
     if wurzel(x^2+y^2) <= r then kreistreffer = kreistreffer + 1
 ausgabe (4*kreistreffer/quadrattreffer) { 3.141549 }

Die Genauigkeit kann mittels r kontrolliert werden. Mit r = 10 bekommt man 3.17 und mit r = 100 die Zahl 3.1417 usw.

Statistische Bestimmung

Eine sehr interessante Methode zur Bestimmung von π ist die statistische Methode. Für die Berechnung lässt man zufällige Punkte auf ein Quadrat "regnen" und berechnet, ob sie innerhalb oder ausserhalb eines eingeschriebenen Kreises liegen. Das Verhältnis von innen- zu aussenliegenden Punkten ist gleich π.

Die Berechnung mittels Flächenformel ist ein Monte-Carlo-Algorithmus. Sie verwendet Wahrscheinlichkeiten und ist deshalb nur eine Näherung von π. Sie ist deshalb nie vollständig korrekt, sondern nur mit einer gewissen Irrtumswahrscheinlichkeit. Durch das Gesetz der grossen Zahl steigt jedoch die Genauigkeit mit der Anzahl der vermessenen Punkte.

Algorithmus (Java):

   public static double berechne_pi (int tropfenzahl) {
       double pi = 0;
       int innerhalb = 0;
       int gesamt = tropfenzahl;
       while (tropfenzahl > 0) { //generiere Tropfen und addiere je nach Zugehoerigkeit
           double dotx = 2 * Math.random() - 1;
           double doty = 2 * Math.random() - 1;
           if (Math.sqrt(dotx*dotx + doty*doty) <= 1 ) {
               //System.out.println("Punkt (" + dotx + "|" + doty + ") liegt innen.");
               innerhalb++;
           } else {
               //System.out.println("Punkt (" + dotx + "|" + doty + ") liegt aussen.");
           }
           tropfenzahl--;
       }
       pi = 4*(double)innerhalb/gesamt;
       return pi;
   }

1,241 Billionen Stellen und Chaostheorie

Formeln, die π enthalten:

Formeln der Geometrie:

Umfang eines Kreises mit Radius r: U = 2 π r
Fläche eines Kreises mit Radius r: A = π r²
Volumen einer Kugel mit Radius r: V = (4/3) π r³
Oberfläche einer Kugel mit Radius r: O = 4 π r²
Volumen eines Zylinders mit Radius r und Höhe a: V = r² π a
Volumen eines durch die Rotation der Funktion f(x) um die X-Achse definierten beliebigen Drehkörpers mit den Grenzen a und b: $A=\pi \int _{a}^{b}f(x)^{2}dx$
Eigenschaft der Sinusfunktion: $\sin \left(\alpha \right)=\sin(\alpha +2\pi )$

Formeln der Analysis:

Datei:Jean baptiste joseph fourier.jpg

Jean Baptiste Joseph Fourier, 1768-1830

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ (Euler)
$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}$
$n!\approx {\sqrt {2\pi n}}({\frac {n}{e}})^{n}$ (Stirlingsche Formel für große n)
e^π i + 1 = 0 (Eulersche Identität)

Formeln der Physik:

Δx Δp ≥ h / (4π) (Heisenbergsche Unschärferelation)
ω = 2 π f (Kreisbewegung: Winkelgeschwindigkeit gleich 2 π mal Umlauffrequenz)
${\mathcal {F}}\{f(t)\}=F(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt$ (Fourier-Transformation = Frequenz-Transformation)

Anwendungen

Grenzen des Vorstellungsvermögens

Die Näherungswerte und -verfahren zur Kreiszahl waren lange Zeit insbesondere für die angewandten Wissenschaften (Ingenieurbau etc.) sehr wertvoll; die neueren Näherungswerte hingegen haben bereits so viele Stellen, dass ein praktischer Nutzen kaum noch gegeben ist. Es genügen beipielsweise zur Berechnung des Kreisumfangs auf 1 mm Genauigkeit
- bei einem Radius von 30 Metern 4 Dezimalstellen von π
- bei dem Erdradius 10 Dezimalstellen;
- bei einen Radius mit dem Abstand Erde-Sonne 15 Dezimalstellen;
Bereits mit 100 Dezimalstellen sind 1mm genaue Berechnungen für Kreisumfänge möglich, deren Radius die menschliche Vorstellungskraft nahezu sprengt – der derzeitige Näherungsrekord liegt bei 1,241 Billionen Stellen!

Pi spielt in verschiedenen Zweigen der Mathematik eine wichtige Rolle - nicht nur innerhalb der Geometrie. Siehe dazu beispielsweise Algebra, Analysis, Trigonometrische Funktion und Zahlentheorie.

Apfelsine und Äquator

Großkreise wie der Äquator

Ein auch für mathematische Laien nachvollziehbares und immer wieder verblüffendes Anwendungsbeispiel ergibt sich aus folgender Überlegung und Berechnung, die unsere alltägliche Anschauung auf die Probe stellt: Wir legen eine Schnur ringförmig anliegend um eine Apfelsine. Anschließend verlängern wir die Schnur um einen Meter in der Weise, dass wir überall den gleichen Abstand von der Apfelsine erhalten. Die nun knapp über 1m lange Schnur bildet somit etwa 1/3 Meter Durchmesser und hat demzufolge überall rund 16 cm Abstand von der Apfelsine.

Nun denken wir uns ein um den Äquator anliegendes Kabel, das mit dem Äquatorumfang rund 40.000 km lang wäre. Auch dieses Kabel verlängern wir genau um einen Meter! Das Kabel schlottert also ein wenig um die Erde. Der Wissenschaftsautor Paul Karlson fragt: Wie groß mag ... der Abstand von der Erde sein? Sehr klein gewiß ... Ob wohl ein Floh noch zwischen dem Kabel und der Erde durchkriechen könnte? Ob man vielleicht noch gerade ein Blatt Papier oder eine Rasierklinge hindurchschieben könnte? Der Äquatorumfang beträgt immerhin 40 000 Kilometer – was kann da eine Verlängerung von 1 Meter ausmachen?

Der Mathematiker kennt die Lösung und hier staunt der Laie in der Regel tatsächlich sprichwörtlich: Der Abstand beträgt ebenfalls rund 16 cm – exakt so viel wie bei der Apfelsine. Die Berechnung mittels der Zahl π hätte bereits Archimedes vornehmen können, wenn er den Äquatorumfang gekannt hätte. Ist D der Durchmesser der Erde (rund 13.000 km), beträgt die Länge des Kabels π · D. Die um 1m verlängerte Größe wäre π · D + 1 m. Der Durchmesser wäre um den doppelten Abstand 2x, also auf die Länge D+2x gewachsen. Daraus ergibt sich, dass der Umfang des Kreises mit dem Durchmesser D+2x identisch ist mit der Länge des um 1 m verlängerten Kabels, also mit π · D + 1. Damit wäre π · D + π · 2x = π · D + 1 und somit

x={\frac {1}{2\pi }}m\approx {\frac {1}{6,28}}m\approx 15,92cm

Es ergibt sich der gleiche Wert wie bei der Apfelsine. Der Grund: der Wert D kommt in der Formel nicht mehr vor, unabhängig von D ist x in beiden Fällen = 1 durch 2 π. Verblüffenderweise könnte unter dem – um nur 1m verlängerten – Äquatorkabel fast ein Mensch durchkriechen.

Offene Fragen

Die zur Zeit drängendste mathematische Frage bezüglich π ist, ob sie eine normale Zahl ist, d.h. ob sie zum Beispiel in einer binären (oder jeder anderen n-adischen) Zahlendarstellung jede mögliche Binär- bzw. sonstige Zifferngruppe gleichermaßen enthält - so wie dies die Statistik erwarten ließe, wenn man eine Zahl vollkommen nach dem Zufall erzeugen würde. (Beispielsweise findet sich die dem Wort "wiki" entsprechende Bitfolge 10111010010101101001 ab der 889,356,628. Stelle der Binärdarstellung von π.)

Bailey und Crandal haben 2000 gezeigt, dass die Existenz der oben angegebenen Bailey-Borwein-Plouffe-Formel und ähnlicher Ableitungen belegt, dass die Normalität von π zur Basis 2 (wie auch die von verschiedenen anderen Konstanten) auf eine bestehende Vermutung der Chaostheorie reduziert werden kann. Für weitere Details dazu siehe die Webseite von Bailey.

Anhang für Liebhaber der Zahl π

Vom Auswendiglernen, vom Film und von Überraschungen

Der derzeitige Rekord der Berechnung von pi wird durch Yasumasa Kanada auf einem HITACHI Supercomputer mit 1,241 Billionen Stellen gehalten.
Der aktuelle Rekord im Auswendiglernen von pi-Nachkommastellen liegt bei 42.195, aufgestellt am 18. Februar 1995 vom Japaner Hiroyuki Goto.
Den deutschen Rekord hat Ulrich Voigt am 2. Juni 2003 auf 5000 erhöht.
Die ersten eine Million Ziffern von π und ihres Kehrwerts 1/π sind als Datei beim Projekt Gutenberg erhältlich.
Freunde der Zahl Pi gedenken am 14. März der Kreiszahl.
Aus Sternstunden der modernen Mathematik von Keith Devlin: Ein weiteres Beispiel, in dem Pi überraschend eine Rolle spielt, ist das folgende: Wenn man ein Streichholz auf ein Brett wirft, das durch parallele, jeweils eine Streichholzlänge voneinander entfernte Linien unterteilt ist, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass das Streichholz so fällt, dass es eine Linie schneidet, genau 2/pi

Wappen Indianas

1998 veröffentlichte Darren Aronovsky (Requiem for a Dream) den Film "pi", in dem ein mathematisches Genie (Sean Gullette als "Maximilian Cohen") die Weltformel aus pi herausfiltern möchte. "Der erstaunlichste Film, den uns das US-amerikanische Kino präsentiert, seit David Lynchs Eraserhead". (Le Monde)
Im Jahre 1897 gab es im US-Bundesstaat Indiana einen Gesetzentwurf, mit dem die Zahl pi per Gesetz als 3,2 definiert werden sollte. Nach der Aufklärung durch einen Mathematiker vertagte die zweite Kammer des Parlaments den vom Repräsentantenhaus bereits beschlossenen Entwurf jedoch auf unbestimmte Zeit.

Merkregeln

Immer wieder haben lange Zahlenfolgen zu einfachen Merksätzen geführt, bei denen die Anzahl der Buchstaben jeden Wortes jeweils eine Stelle der Zahl anzeigt:
Der im Deutschen sicherlich bekannteste Merksatz ist folgender:

Wie, o dies π. Macht ernstlich so vielen viele Müh,
Lernt immerhin, Jünglinge, leichte Verselein, wie so zum Beispiel dies dürfte zu merken sein!

Ausführlich bis auf 31 Stellen (nicht für Atheisten!):

Nie, o Gott, o guter, verliehst Du meinem Hirne die Kraft, mächtige Zahlreih'n dauernd verkettet bis in die späteste Zeit getreu zu merken; drum hab' ich Ludolfen mir zu Lettern umgeprägt.

Kürzer ist: Gib O Gott, O Vater Fähigkeit zu lernen!
Oder: Ist's doch, o Isaak, schwierig zu wissen wofür sie steht!

Viele Stellen hinter dem Komma verbirgt diese englische Eloge:

Now I, even I, would celebrate. In rhymes unapt, the great
Immortal Syracusan, rivaled nevermore, who in his wondrous lore, passed on before, left men his guidance, how to circles mensurate.

Der folgende französische Merkspruch ehrt ebenfalls den Archimedes, lässt dann allerdings an Klarheit zu wünschen:

Que j'aime à faire connaître un nombre utile aux sages! Immortel Archimède, artiste, ingénieur,
Qui de ton jugement peut priser la valeur? Pour moi ton problème eut de pareils avantages.

Dann lieber gleich plancker Nonsens?

How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics. All of thy geometry, Herr Planck, is fairly hard.

Auf der Jagd nach π – Tabelle

Mathematiker	Jahr	Dezimalstellen
Muhammad ibn Musa al-Chwarizmi	ca. 800	4
François Viète	1593	9
Ludolph van Ceulen	1596	35
Jurij Vega	1794	136
Daniel Shanks	1874	527
Levi B. Smith, John W. Wrench	1949	1.120
Daniel Shanks, John W. Wrench	1961	100.265
Yasumasa Kanada, Sayaka Yoshino, Yoshiaki Tamura	1982	16.777.206
Yasumasa Kanada, Yoshiaki Tamura, Yoshinobu Kubo	1987	134.217.700
Chudnovskys	1989	1.011.196.691
Yasumasa Kanada, Daisuke Takahashi	1997	51.539.600.000
Yasumasa Kanada, Daisuke Takahashi	1999	206.158.430.000
Yasumasa Kanada	2002	1.241.100.000.000

Siehe auch: Liste der Mathematiker, Algebra, Analysis, Trigonometrische Funktion, Zahlentheorie

Quellen und Literatur

David Blatner: Pi, Magie einer Zahl. Rowohlt Taschenbuch Verlag 2001. ISBN 3499611767
Jörg Arndt & Christoph Haenel: Pi-Algorithmen, Computer, Arithmetik (mit CD-Rom). Springer Verlag 1998. ISBN 3-540-63418-3
Keith Devlin, Sternstunden der modernen Mathematik. DTV, München 1992. ISBN 3423330163
Paul Karlson: Vom Zauber der Zahlen. Eine unterhaltsame Mathematik für Jedermann. (8., völlig neu überarb. Aufl.). Verlag Ullstein, Berlin 1965. ISBN B0000BJZH4 (Zitat nach der Ausgabe 1957, S. 158)
Egmont Colerus: Vom Einmaleins zum Integral. Mathematik für Jedermann. Paul Zsolnay Verlag, Wien, Hamburg 1934
Heinrich Tietze: Mathematische Probleme. Gelöste und ungelöste mathematische Probleme aus alter und neuer Zeit. Vierzehn Vorlesungen für Laien und Freunde der Mathematik. C.H. Beck'sche Verlagsbuchhandlung, München 1959
Jonathan M. Borwein & Peter B. Borwein: Pi and the AGM, Wiley Interscience, 1998, ISBN 047131515X.

Weblinks

Geschichte der Zahl pi
eine Seite über die Zahl pi mit einigen Bildern und vielen Links
sehr ausführliche englische pi-Seite
Freunde der Zahl Pi
The Pi-Search Page - Ziffernfolgen innerhalb von pi suchen
Weltrangliste der pi-Auswendiglerner
Die Pi-Konferenz