Mathematik
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Gegenstand der Mathematik (altgr.: μαθηματική von mathema: Wissenschaft, Lernen) sind schon seit der Antike die mathematischen, d.h. axiomatischen Theorien. Da also Gegenstand und Methode bei ihr in dieser Weise in eins fallen, nimmt (und nahm) die Mathematik immer eine Sonderstellung unter den Wissenschaften ein.
Daneben ist sie aber auch Hilfswissenschaft für viele andere Wissenschaften wie Physik, die Ingenieurwissenschaften, aber auch Wirtschaftswissenschaft und Sozialwissenschaft. Viele mathematische Themen (z.B. Fourieranalyse, Methode der kleinsten Quadrate) wurden durch nichtmathematische Aufgabenstellungen initiiert.
Auch nichtmenschliche Lebewesen, speziell Tiere sind in begrenztem Umfang fähig, mathematische Leistungen zu erbringen, siehe Phylogenese mathematischer Fähigkeiten.
Axiomatische Theorie
Eine axiomatische Theorie ist eine Menge wahrer Aussagen, die aus gewissen Axiomen mit ausschließlich logischen Mitteln gefolgert wurden; genauer gesagt: eine Aussage ist genau dann »wahr«, wenn sie:
- ein Axiom ist, oder
- aus anderen wahren Aussagen nach gewissen Schluss- oder Deduktionsregeln abgeleitet werden kann.
Wahre Aussagen heißen Sätze der Theorie; will man einen Satz hervorheben, so nennt man ihn auch Theorem. Handelt es sich dabei um einen Hilfssatz im Rahmen einer Beweisführung, spricht man von einem Lemma. Ein Korollar ist eine Sammlung von Aussagen/Sätzen, die direkt aus einem anderen Satz folgen, wobei die Folgerung meist trivial ist. Die Ableitungen nennt man Beweise. In der Praxis spielen noch Definitionen eine Rolle, sie gehören aber zum Handwerkszeug der Logik, das vorausgesetzt wird. (So kommt z.B. der Lambda-Kalkül ohne Definitionen aus, während natürlich jede funktionale Programmiersprache dafür Sprachmittel bereitstellen muss; entsprechendes gilt auch für Beweissysteme u.ä.)
Im Laufe der historischen Entwicklung hat sich an diesen Begriffen nichts geändert, es ist allerdings zu einer zunehmenden Präzisierung gekommen, die ihren Niederschlag in dem großen und wachsenden Feld der mathematischen Logik gefunden hat.
Anwendungen
Wenngleich Gegenstand der Mathematik nur die Mathematik ist, so hat sie sich doch immer in engem Kontakt zu ihren Anwendungen entwickelt. Die Bildung mathematischer Modelle und die Entwicklung effizienter Rechenverfahren stehen dabei in engem Zusammenhang: muss man auf der einen Seite, vor allem am Anfang, den Gegenstandsbereich häufig stark vereinfachen, um ihn einer mathematischen Behandlung zugänglich zu machen, so gewinnt man auf der anderen Seite häufig viel effizientere Zugänge und Möglichkeiten. Im Übrigen hat sich die rein technische Seite des Rechnens, wie man weiß, zuletzt stark entwickelt.
Anwendung findet die Mathematik insbesondere in den Naturwissenschaften. Aber auch die Gesellschafts- und Geisteswissenschaften benutzen mathematische Konzepte.
Geschichte
Die Mathematik ist eine der ältesten Wissenschaften überhaupt. Eine erste Blüte erlebte sie in der Antike, in Griechenland und im Hellenismus, von dort datiert die Orientierung an der Aufgabenstellung des »rein logischen Beweisens« und die erste Axiomatisierung, nämlich die euklidische Geometrie. Im Mittelalter überlebte sie unabhängig voneinander im frühen Humanismus der Universitäten und in der arabischen Welt. Die Entwicklung in der Neuzeit ist erst durch die Naturwissenschaften (ab 1600), dann sehr stark durch den innermathematischen Prozess der Axiomatisierung (ab etwa 1850) und schließlich die Entwicklung der Computertechnik (ab 1930) bestimmt worden. Siehe Geschichte der Mathematik und Mathematiker.
Die Kerngebiete der Mathematik
Ein Charakteristikum der Mathematik ist ihr großer Zusammenhalt, der sich in engen und häufig auch überraschenden Querverbindungen zwischen ihren Teilen zeigt, und der jeder Einteilung der Mathematik bald eine Grenze setzt. Der Artikel Teilgebiete der Mathematik orientiert sich im groben Zügen an Bourbakis Éléments de Mathématique.
Mathematische Themen in der Wikipedia
Unter Wikipedia:Liste mathematischer Themen gibt es eine (noch unvollständige) Auflistung aller Artikel mit mathematischem Inhalt. Dieser Artikel kann auch als "Letzte Änderungen"-Ersatz für mathematische Themen verwendet werden.
Natürliche Zahlen -- Ganze Zahlen -- Rationale Zahlen -- Algebraische Zahlen -- Reelle Zahlen -- Komplexe Zahlen -- Römische Zahlen -- Mathematische Konstanten -- Liste besonderer Zahlen -- Primzahlen -- Zahleneigenschaften -- Zahlennamen -- Unendlich -- π -- e
Das Veränderliche
Algebra -- Analysis -- Differentialgleichungen -- Funktion (Mathematik) -- Trigonometrische Funktionen -- Statistik -- Spezielle Funktionen -- Dynamische Systeme -- Chaostheorie-- Vektorrechnung
Mathematische Strukturen
Zahlentheorie -- Gruppentheorie -- Topologie -- Geometrie -- Lineare Algebra -- Graphentheorie
Topologie -- Geometrie -- Trigonometrie -- Lineare Algebra -- Tensor -- Differentialgeometrie -- Abgebraische Geometrie
Grundlagen und Methoden
Philosophie der Mathematik -- Intuitionismus -- Konstruktivismus -- Grundlagen der Mathematik -- Mathematik für die Schule -- Mengenlehre -- Symbolische Logik -- Modelltheorie -- Beweistheorie -- Beweismethoden -- Kategorientheorie
Mechanik -- Numerik -- Optimierung -- Diskrete Mathematik -- Statistik
Bekannte Theoreme, Vermutungen und ungelöste Probleme
Satz des Pythagoras -- Großer Fermatscher Satz -- Waringsches Problem -- Goldbachsche Vermutung -- Riemannsche Hypothese -- Poincaré-Vermutung -- Primzahlzwillinge -- Vier-Farben-Problem -- Fundamentalsatz der Algebra -- Fundamentalsatz der Analysis -- Zentraler Grenzwertsatz -- Kontinuumshypothese -- Zornsches Lemma -- Gödelscher Vollständigkeitssatz -- Gödelscher Unvollständigkeitssatz
siehe auch Liste_mathematischer_Sätze
Formel- und Definitionssammlungen
Algebra -- Geometrie -- Stochastik -- Glossar mathematischer Attribute
Diverses
Phylogenese mathematischer Fähigkeiten -- Geschichte der Mathematik -- Mathematiker -- Fields-Medaille -- Die internationale mathematische Union -- Mathematikwettbewerbe -- Tabelle mit mathematischen Symbolen
siehe auch: Portal Mathematik
Weblinks
- PlanetMath Enzyklopädie und mehr (engl.)
- Mathematics Subject Classification (2000)
- Mathematical Atlas
- Mathematisches Lexikon
- Verzeichnis nützlicher Links zu Online-Werkzeugen und mathematischen Themen
- Nützliche Links zu mathematischen Themen
- Cornell University Library Historical Mathematical Monographs
- Darstellung von mathematischen Problemen und Lösungen - englisch