Lineare Funktion

Mit dem Begriff lineare Funktion wird oft (insbesondere in der Schulmathematik) eine Abbildung der Form

f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \quad {\mbox{mit}}\quad x\mapsto \ m\cdot x+n\;;\quad m,n\in \mathbb {R} ,

also eine Polynomfunktion höchstens ersten Grades, bezeichnet.

Im mathematisch strengen Sinne handelt es sich dabei jedoch nicht um eine lineare Abbildung, sondern um eine affine Abbildung, da die Linearitätsbedingung i. A. nicht erfüllt ist. Erst für den Spezialfall $n=0$ wird daraus eine lineare Funktion im eigentlichen Sinne, auch als homogene lineare Funktion oder Proportionalität bezeichnet. Nur in Anlehnung an diese Bezeichnung wird die Funktion für den Fall $n\neq 0$ auch allgemeine lineare Funktion oder linear-inhomogene Funktion genannt (siehe dazu auch Geradengleichung), was jedoch unter Umständen zu Verwirrungen führen kann. Trotzdem wird in diesem Artikel die häufig verwendete Bezeichnung lineare Funktion beibehalten.

Lineare Funktionen gehören zu den relativ einfachen Funktionen in der Mathematik. Sie sind stetig und differenzierbar. Viele Probleme lassen sich für lineare Funktionen leicht lösen; daher versucht man oft, komplizierte Problemstellungen durch lineare Zusammenhänge zu approximieren.

Graph

Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade. In kartesischen Koordinaten $(x,y)$ erfüllen solche Geraden also die Gleichung

y=m\cdot x+n,

wobei $x$ (die Abszisse) eine unabhängige und $y$ (die Ordinate) die abhängige Variable ist.

Es gibt zahlreiche andere Bezeichnungskonventionen für den Funktionsterm, z. B. $ax+b,$ $mx+c,$ $mx+b,$ $mx+t$ oder $ax+b.$ In Österreich wird häufig $y=kx+d$ verwendet, in der Schweiz hingegen $y=mx+q.$ In Belgien findet man auch $y=mx+p$ oder $y=kx+t.$

Diese Darstellung bezeichnet man auch als die Normalform einer linearen Funktion. Ihre zwei Parameter lassen sich wie folgt interpretieren:

Die Zahl m gibt die Steigung der Geraden an.
Die Zahl n ist der y-Achsen- oder Ordinatenabschnitt, die Inhomogenität oder die Verschiebungskonstante.

Der Graph einer linearen Funktion verläuft nie parallel zur y-Achse, da damit einem x mehr als ein y zugeordnet wäre. Dies würde der Definition einer Funktion als eindeutige Zuordnung widersprechen.

Bestimmung des Funktionsterms aus zwei Punkten

Es wird vorausgesetzt, dass die Punkte $(x_{1}|y_{1})$ und $(x_{2}|y_{2})$ auf dem Graphen der linearen Funktion $f$ liegen und voneinander verschieden sind.

Die Steigung $m$ lässt sich berechnen zu

m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.

Der y-Achsenabschnitt $n$ ergibt sich zu

n=y_{1}-m\cdot x_{1}

oder

n=y_{2}-m\cdot x_{2}.

Der gesuchte Funktionsterm $f(x)$ ist also gegeben durch

f(x)={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\cdot x+\left(y_{1}-{\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\cdot x_{1}\right)

oder einfacher durch

f(x)={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\cdot (x-x_{1})+y_{1}.

Zusammenfassung

Funktionsgleichung

Eine Funktion

f\,

mit

f(x)=a_{1}x+a_{0}\,

heißt ganzrationale Funktion 1. Grades oder lineare Funktion.

Die graphische Darstellung des Funktionsgraphen ist eine Gerade.

Achsenschnittpunkte

Schnittpunkt

P

mit der x-Achse:

P(x_{P}|0)\Rightarrow f(x_{P})=0\,

Schnittpunkt

Q

mit der y-Achse:

Q(0|y_{Q})\Rightarrow y_{Q}=f(0)\,

Steigung

Die Steigung

\tan \alpha \,

des Graphen einer linearen Funktion

f\,

lässt sich als Koeffizient

a_{1}\,

aus der Funktionsgleichung

f(x)=a_{1}x+a_{0}\,

ablesen.

Aus den Koordinaten zweier Punkte der Geraden wird sie so berechnet:

\tan \alpha ={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}\,

bedeutet das das möglicher weise richtig ist

Funktionsgleichung aufstellen

Die Steigung $a_{1}=a$ und ein Punkt $P_{1}(x_{1}|y_{1})$ , der auf der Geraden liegt, seien bekannt.

Ansatz:

f(x)=ax+a_{0}

P_{1}(x_{1}|y_{1})\quad \Rightarrow \quad f(x_{1})=y_{1}\quad \Rightarrow \quad ax_{1}+a_{0}=y_{1}\quad \Rightarrow \quad a_{0}=y_{1}-ax_{1}

Die Koordinaten zweier Punkte $P_{1}(x_{1}|y_{1})$ und $P_{2}(x_{2}|y_{2}),$ die auf der Geraden liegen, seien bekannt.

Zuerst wird der Steigungsfaktor

a_{1}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}

berechnet, dann damit

a_{0}\,

:

P_{1}(x_{1}|y_{1})\quad \Rightarrow \quad f(x_{1})=y_{1}\quad \Rightarrow \quad a_{1}x_{1}+a_{0}=y_{1}\quad \Rightarrow \quad a_{0}=y_{1}-a_{1}x_{1}

oder

P_{2}(x_{2}|y_{2})\quad \Rightarrow \quad f(x_{2})=y_{2}\quad \Rightarrow \quad a_{1}x_{2}+a_{0}=y_{2}\quad \Rightarrow \quad a_{0}=y_{2}-a_{1}x_{2}

Schnittpunkt zweier Geraden

Ansatz:

f(x)=g(x)\,

Die Lösung

x_{S}\,

dieser Gleichung ist die x-Koordinate des Schnittpunktes der beiden Geraden.

y_{S}=f(x_{S})=g(x_{S})\,

ist dann die y-Koordinate dieses Schnittpunktes

S(x_{S}|y_{S}).\,

Orthogonale Geraden

Für die Steigungen

a_{1}

und

a_{2}

zweier senkrecht aufeinander stehender Geraden

g_{1}

und

g_{2}

gilt:

a_{1}\cdot a_{2}=-1\,

a_{1}=-{\frac {1}{a_{2}}}\,

a_{2}=-{\frac {1}{a_{1}}}\,

Ableitung und Stammfunktion

Die Ableitung von $f\left(x\right)=mx+n$ ist $f'\left(x\right)=m,$ also immer eine konstante Funktion (eine lineare Funktion lässt sich auch als Funktion mit konstanter Ableitung definieren), da die Ableitung einer Funktion die Steigung ihrer Tangente im Punkt $P(x|f\left(x\right))$ angibt.