Mathematik

Gegenstand der Mathematik (vom gr. mathema: Wissenschaft, Lernen) sind die mathematischen, d.h. axiomatischen Theorien, übrigens schon in der Antike. Da also Gegenstand und Methode bei ihr in dieser Weise in eins fallen, nimmt (und nahm) die Mathematik immer eine Sonderstellung unter den Wissenschaften ein.

Eine axiomatische Theorie ist eine Menge wahrer Aussagen, die aus gewissen Axiomen mit ausschließlich logischen Mitteln gefolgert wurden; genauer gesagt: eine Aussage ist genau dann »wahr«, wenn sie:

1. ein Axiom ist, oder
2. aus anderen wahren Aussagen nach gewissen Schluß- oder Deduktionsregeln abgeleitet werden kann.

Wahre Aussagen heißen Sätze der Theorie; will man einen Satz hervorheben, so nennt man ihn auch Theorem, ist er weniger bedeutend, so sagt man Lemma oder Korollar. Die Ableitungen nennt man Beweise. In der Praxis spielen noch Definitionen eine Rolle, sie gehören aber zum Handwerkszeug der Logik, das vorausgesetzt wird. (So kommt z.B. der Lambda-Kalkül ohne Definitionen aus, während natürlich jede funktionale Programmiersprache dafür Sprachmittel bereitstellen muß; entprechendes gilt auch für Beweissysteme u.ä.)

Im Laufe der historischen Entwicklung hat sich an diesen Begriffen nichts geändert, es ist allerdings zu einer zunehmenden Präzisierung gekommen, die ihren Niederschlag in dem großen und wachsenden Feld der mathematischen Logik gefunden hat.

Wenngleich Gegenstand der Mathematik nur die Mathematik ist, so hat sie sich doch immer in engem Kontakt zu ihren Anwendungen entwickelt. Die Bildung mathematischer Modelle und die Entwicklung effizienter Rechenverfahren stehen dabei in engem Zusammenhang: muß man auf der einen Seite, vor allem am Anfang, den Gegenstandsbereich häufig stark vereinfachen, um ihn einer mathematischen Behandlung zugänglich zu machen, so gewinnt man auf der anderen Seite häufig viel effizientere Zugänge und Möglichkeiten. Im übrigen hat sich die rein technische Seite des Rechnens, wie man weiß, zuletzt stark entwickelt.

Die Mathematik ist eine der ältesten Wissenschaften überhaupt. Eine erste Blüte erlebte sie in in der Antike, in Griechenland und im Hellenismus, von dort datiert die Orientierung an der Aufgabenstellung des »rein logischen Beweisens« und die erste Axiomatisierung, nämlich die euklidische Geometrie. Im Mittelalter überlebte sie unabhängig voneinander im frühen Humanismus der Universitäten und in der arabischen Welt. Die Entwicklung in der Neuzeit ist erst durch die Naturwissenschaften (ab 1600), dann sehr stark durch den innermathematischen Prozeß der Axiomatisierung (ab etwa 1850) und schließlich die Entwicklung der Computertechnik (ab 1930) bestimmt worden. Siehe Geschichte der Mathematik und Mathematiker.

Die Kerngebiete der Mathematik im Überblick

Logik und Mengenlehre

Die Mathematik hat natürlich immer der Logik bedurft, doch dauerte es sehr lange, bis sie selbst sich mit ihren Grundlagen befaßte.

Es war die Mengenlehre, die dies änderte. Diese hatte sich aus der Beschäftigung mit der Topologie entwickelt, genauer mit den »Paradoxien des Unendlichen« (Bernhard Bolzano), wie man sie im Umgang mit den reellen Zahlen erlebte. Als man mit der Mengenlehre die unendlichen Mengen gemeistert hatte, war dies zugleich die Geburtsstunde einer neuen Mathematik, die sich von der Herrschaft der Zahlen und geometrischen Gebilde emanzipiert hatte. Aus dem »Paradies der Mengenlehre« (David Hilbert) wollte man sich nicht mehr vertreiben lassen.

Als sich die »naive« Megenlehre als unhaltbar erwies, gewann plötzlich das Gebiet der mathematischen Logik jenes Interesse, das ihm von Leibniz bis Frege versagt geblieben war, und blühte rasch auf. Dabei dient die Formalisierung der Logik dem Ziel, die einzelnen Beweisschritte zu isolieren und Beweise vollständig als Folgen elementarer Operationen darstellen zu können, um diese dann mit mathematischen (z.B: arithmetischen) Mitteln (Gödel) zu untersuchen. Bei der Untersuchung axiomatischer Theorien interessiert man sich für deren widerspruchsfreien Aufbau und ihr Verhältnis zueinander.

Inzwischen haben sich vielfältige Teilgebiete und Anwendungen in und außerhalb der Mathematik herausgebildet, u.a. gehören dazu in der Informatik auch Beweissysteme.

Die Mengenlehre findet heute Ergänzung als lingua franca der Mathematik in der Kategorientheorie, die sich in den vierziger Jahren aus der algebraischen Topologie entwickelte.

Weitere Gebiete im Überblick

Zahlentheorie

 Ein wichtiger Begriff der Mathematik ist der der Zahl, deren bekannteste die natürlichen Zahlen und die ganzen Zahlen sind. Die Zahlentheorie befasst sich mehr mit den Eigenschaften von Zahlen, während die Algebra Operationen mit Zahlen sowie Gleichungen untersucht.

Das zweite traditionelle Gebiet der Mathematik, die Geometrie, ist aus der Struktur des uns umgebenden Raumes inspiriert. Die Euklidische Geometrie der Antike mit ihrer Trigonometrie ist auch heute noch wichtiges Hilfsmittel vieler angewandter Wissenschaften.

Die Beschreibung sich verändernder Werte wird in der Analysis betrieben. Zentrale Begriffe sind (stetige) Funktionen, und die Methoden der Ableitung und Integration.

Diese drei (und andere) Gebiete finden ihre axiomatische Grundlage in der Mengenlehre, der Logik und der Modelltheorie. Die Philosophie der Mathematik wiederum hinterfragt eben diese axiomatischen Systeme.

Auch nichtmenschliche Lebewesen, speziell Tiere sind in begrenztem Umfang fähig, mathematische Leistungen zu erbringen, siehe Evolution der Mathematik

Anwendung findet die Mathematik insbesondere in den Naturwissenschaften. Aber auch die Gesellschafts- und Geisteswissenschaften benutzen mathematische Konzepte.

Zahlen

Natürliche Zahlen -- Ganze Zahlen -- Rationale Zahlen -- Algebraische Zahlen -- Reelle Zahlen -- Komplexe Zahlen -- Römische Zahlen -- Quaternionen -- Oktaven -- Hyperreelle Zahlen -- Surreale Zahlen -- Ordinalzahlen -- Kardinalzahlen -- p-adische Zahlen -- Mathematische Konstanten -- Primzahlen -- Zahleneigenschaften -- Zahlennamen -- Unendlich

Das Veränderliche

Algebra -- Analysis -- Mehrdimensionale Analysis -- Differentialgleichungen -- Trigonometrische Funktionen -- Statistik -- Spezielle Funktionen -- Dynamische Systeme -- Chaostheorie-- Vektorrechnung

Mathematische Strukturierungen

Abstrakte Algebra -- Zahlentheorie -- Gruppentheorie -- Monoide -- Analysis -- Topologie -- Geometrie -- Lineare Algebra -- Graphentheorie -- Kategorientheorie

Mathematische Räume

Topologie -- Geometrie -- Trigonometrie -- Lineare Algebra -- Tensoren -- Differentialgeometrie -- Abgebraische Geometrie

Diskrete Mathematik

Kombinatorik -- Mengenlehre -- Statistik -- Berechenbarkeitstheorie -- Graphentheorie -- Spieltheorie -- Kryptographie

Grundlagen und Methoden

Philosophie der Mathematik -- Intuitionalismus -- Konstruktivismus -- Grundlagen der Mathematik -- Mengenlehre -- Symbolische Logik -- Modelltheorie -- Beweistheorie -- Kategorientheorie

Angewandte Mathematik

Mechanik -- Numerik -- Optimierung -- Diskrete Mathematik -- Statistik

Theoreme und Vermutungen

Satz des Pythagoras -- Fermats Letztes Theorem -- Waringsches Problem -- Goldbachsche Vermutung -- Riemansche Hypothese -- Poincaresche Vermutung -- Primzahlzwillinge -- Vier-Farben-Problem -- Fundamentalsatz der Algebra -- Fundamentalsatz der Analysis -- Zentraler Grenzwertsatz -- Kontinuumshypothese -- Zornsches Lemma -- Gödelscher Vollständigkeitssatz -- Gödelscher Unvollständigkeitssatz

Diverses

Phylogenese mathematischer Fähigkeiten --Phylogenese mathematischer Fähigkeiten Geschichte der Mathematik -- Mathematiker -- Fields-Medaille -- Die bemerkenswerteste Formel der Welt -- Die internationale mathematische Union -- Mathematikwettbewerbe--

Mathematische Begriffe und Themen

Abbildung -- Absoluter Betrag -- Abszisse -- Achse -- Addition -- Algebra -- Amplitude -- Argument -- arc -- Arcus -- Assoziativgesetz -- asymptotisch -- Beweis -- Betrag -- Bijektiv -- Binomialkoeffizient -- Binomische Formeln -- Bogenmaß -- Bit -- Bruch -- Byte Cosinus -- Definition -- Definitionsbereich -- Dekadisch -- Dezimal -- Diagonale -- Differenz -- Dimension -- Diophantische Gleichung -- Disjunkt -- Distributivgesetz -- Division -- Durchschnitt -- e -- Ebene -- Eineindeutig -- Einheit -- Einheitskreis -- Faktor -- Fakultät -- Fibonacci-Zahl -- Fraktal -- Formel -- Frequenz -- Funktion -- Ganze Zahl -- Geordnet -- Gerade -- Gleichung -- Gon -- Goldener Schnitt -- Grad -- Graph -- Grafik -- ggT -- Grundmenge -- Hochzahl -- Hyberbel -- Identität -- implizit -- Induktion -- Information -- injektiv -- Intervall -- Invers -- Irrationale Zahl -- Isomorph -- Karte -- Kartesisches Koordinatensystem -- Kehrwert -- Klammer -- kgV -- Koeffizient -- Kommutativ -- Komplementär -- Konkav -- konstant -- konvex -- Koordinate -- Körper -- Kreis -- Kubik -- Kürzen -- Leere Menge -- Linear -- Lineal -- Logarithmus -- Lösung -- Mächtigkeit -- mehrstellig -- Median -- Menge -- Monoton -- Multiplikation -- Natürliche Zahlen -- Nenner -- Neugrad -- Normal -- Null -- Numerisch -- Oben -- offen -- Ordinate -- Ordnung -- Pi -- Paar -- Parameter -- Pascalsches Dreieck -- Periodisch -- Permutation -- Phase -- Pol -- polar -- Polynom -- Potenz -- Primzahl -- Produkt -- Quadrat -- Quadratwurzel -- Quersumme -- Quotient -- Radius -- Radiant -- Rationale Zahl -- Rechenschieber -- Reell -- relativ -- Relation -- Rest -- reziprok -- Rundung -- Sinus Tangens Zähler --

Tabelle mit mathematischen Symbolen

Index Mathematik

Alle Begriffe aus dem Bereich Mathematik in alphabetischer Reihenfolge.

Externe Links

• http://www.mathe-online.at/mathint/lexikon/index.html
  • Mathematisches Lexikon