Nabla-Operator

Der Nabla-Operator ist ein Differentialoperator in der Vektorrechnung. Er wird mit dem Nabla-Symbol $\nabla$ bezeichnet oder mit ${\vec {\nabla }}$, um seinen Charakter als formaler Vektor zu betonen.

Nabla wird für die kürzere Schreibung des Gradienten, der Divergenz und der Rotation benutzt.

Im n-dimensionalen Raum Rⁿ liefert ${\vec {\nabla }}$ alle partiellen Ableitungen einer Funktion f von Rⁿ nach R, dies ist genau der Gradient von f.

Als n-Vektor aufgefasst ist

${\vec {\nabla }}=\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right)$

Der differenzierende Charakter des Operators wirkt nach rechts (auf die rechts stehenden Zeichen), während der Vektorcharakter wie ein normaler Vektor verwendet wird.

Die folgenden Formeln gelten für den in der Physik am häufigsten Fall eines dreidimensionalen Ortsraums R³ mit den rechtwinkligen Koordinaten x, y und z.

• Angewandt auf ein Skalarfeld ${\begin{matrix}\Phi (x,y,z)\end{matrix}}$ erhält man den Gradienten des Skalarfeldes

$\operatorname {grad\ } \Phi ={\vec {\nabla }}\Phi =\left({\frac {\partial \Phi }{\partial x}},{\frac {\partial \Phi }{\partial y}},{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)={\frac {\partial \Phi }{\partial x}}e_{x}+{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}e_{y}+{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}e_{z},$

wobei $e_{x},e_{y},e_{z}$ die kanonischen Einheitsvektoren des R³ sind.

• Angewandt auf ein Vektorfeld ${\begin{matrix}{\vec {V}}(x,y,z)\end{matrix}}$ ergibt sich die Divergenz des Vektorfeldes als formales Skalarprodukt mit dem Vektorfeld zu

$\operatorname {div\ } {\vec {V}}={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {V}}={\frac {\partial {\vec {V}}_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial {\vec {V}}_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial {\vec {V}}_{z}}{\partial z}}.$

• Die Rotation ergibt sich durch (rechtsseitige) Verknüpfung über das formale Kreuzprodukt

$\operatorname {rot\ } {\vec {V}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {V}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial V_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial V_{y}}{\partial z}}\\{\frac {\partial V_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial V_{z}}{\partial x}}\\{\frac {\partial V_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial V_{x}}{\partial y}}\\\end{pmatrix}}.$

Ferner gelten für beliebige Skalarfelder φ, ψ und f und Vektorfelder ${\vec {A}}$ und ${\vec {B}}$ folgende Rechenregeln:

${\vec {\nabla }}(\psi \varphi )=\psi {\vec {\nabla }}\varphi +\varphi {\vec {\nabla }}\psi$

${\vec {\nabla }}({\vec {A}}{\vec {B}})=({\vec {A}}{\vec {\nabla }}){\vec {B}}+({\vec {B}}{\vec {\nabla }}){\vec {A}}+{\vec {A}}\times ({\vec {\nabla }}\times {\vec {B}})+{\vec {B}}\times ({\vec {\nabla }}\times {\vec {A}})$

${\vec {\nabla }}f(r)={\frac {df}{dr}}{\frac {\vec {r}}{r}}$

${\vec {\nabla }}(\varphi {\vec {A}})=\varphi {\vec {\nabla }}{\vec {A}}+{\vec {A}}{\vec {\nabla }}\varphi$

${\vec {\nabla }}({\vec {A}}\times {\vec {B}})={\vec {B}}({\vec {\nabla }}\times {\vec {A}})-{\vec {A}}({\vec {\nabla }}\times {\vec {B}})$

${\vec {\nabla }}{\vec {\nabla }}\varphi =\Delta \varphi$

${\vec {\nabla }}({\vec {\nabla }}\times {\vec {A}})=0$

${\vec {\nabla }}\times \varphi {\vec {A}}=\varphi {\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}-{\vec {A}}\times {\vec {\nabla }}\varphi$

${\vec {\nabla }}\times ({\vec {A}}\times {\vec {B}})=({\vec {B}}{\vec {\nabla }}){\vec {A}}-{\vec {B}}({\vec {\nabla }}{\vec {A}})+{\vec {A}}({\vec {\nabla }}{\vec {B}})-({\vec {A}}{\vec {\nabla }}){\vec {B}}$

${\vec {\nabla }}\times {\vec {\nabla }}\varphi ={\vec {0}}$

${\vec {\nabla }}\times ({\vec {\nabla }}\times {\vec {A}})={\vec {\nabla }}({\vec {\nabla }}{\vec {A}})-\Delta {\vec {A}}$

Weitere Rechenregeln siehe unter Gradienten, Divergenz und Rotation.