Benutzer:Kassbohm/Orthotropie2

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Datei:Ortho.png

Ein Material wird mit horizontalen und vertikalen Strichen markiert (oben). Dann wird es in einem ersten Versuch (links) horizontal belastet und verformt sich zur Ellipse. In einem zweiten Versuch (rechts) wird es in einer anderen Richtung belastet und verformt sich wie im ersten Versuch. Gilt dies für jede Belastungsrichtung, so nennt man das Material isotrop.

Materialien, die unter einer Belastung unabhängig von ihrer Ausrichtung dasselbe Kraft-Verformungs-Verhalten besitzen, nennt man isotrop. Im Gegensatz dazu: Wenn das Kraft-Verformungs-Verhalten eines Materials von seiner Ausrichtung abhängt (wenn das Material also nicht isotrop ist), bezeichnet man es als anisotrop. Die Orthotropie (von griechisch ορθός orthos „richtig, korrekt, recht“ und τρόπος tropos „Weg, Richtung, Art und Weise“) ist ein Spezialfall der Anisotropie: Gilt eine bestimmte (Symmetrie-)Bedingung, dann bezeichnet man das anisotrope Material als orthotrop.

Im eben erwähnten Konzept teilt man die Menge aller Materialien auf in 2 disjunkte Mengen: Isotrope Materialien und anisotrope Materialien. Alternativ kann man die Menge der anisotropen Materialien aber auch als die allgemeinste Materialklasse (der Festkörper) verstehen. Dann wäre die Menge der orthotropen Materialien eine Teilmenge der Menge der anisotropen Materialien (da eine bestimmte Bedingung erfüllt sein muss, damit ein Material orthotrop ist, die im Allgemeinen nicht erfüllt ist). Und die Menge der isotropen Materialien wäre eine Teilmenge der Menge der orthotropen Materialien (da eine noch strengere Bedingung erfüllt sein muss, damit ein Material isotrop ist). D.h. in diesem alternativen Konzept wären isotrope Materialien auch anisotrop.

Zum Verständnis des Artikels sind Kenntnisse zu folgenden Themen hilfreich:

• Elastizitätstheorie, Spannungstensor, Hookesches Gesetz
• Symmetrietransformation
• Einsteinsche Summenkonvention

Bild 1: Belastung eines orthotropen Materials (Gewebe) in den Symmetrieachsen. Die Längskraft verursacht keine Schubverformung.

Bild 2: Belastung außerhalb der Symmetrieachsen. Die Längskraft verursacht nun eine Schubverformung.

In 2D: Dehnt man ein rechteckiges Stück Stoff senkrecht zu einer Symmetrieachse, so bleibt es reckteckig, siehe Bild 1. Dehnt man es jedoch in einer Richtung, die nicht senkrecht zu einer Symmetrieachse liegt, so wird es zum Parallelogramm, siehe Bild 2. Die Symmetrieachsen sind in der Orthotropie senkrecht auf einander.

In 3D: Im Dreidimensionalen treten Symmetrieebenen an die Stelle der Symmetrieachsen im Zweidimensionalen. Die Normalen dieser Symmetrieebenen stehen senkrecht auf einander. Zieht man in Richtung einer Normalen, so treten keine Schubverformungen auf.

Beispiele für orthotrope (oder mit guter Näherung als orthotrop anzusehende) Strukturen:

• Orthorhombisches Kristallsystem
• Gewebe
• Wabenkerne
• Unidirektionale Schicht
• Ausgeglichener Winkelverbund
• Holzbrett

Das Elastizitätsgesetz eines orthotropen Materials lautet in Bezug auf eine Orthonormalbasis, deren Basisvektoren senkrecht auf den Symmetrieebenen stehen in 3D:

${\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{12}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{23}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{E_{1}}}&-{\frac {\nu _{12}}{E_{1}}}&-{\frac {\nu _{13}}{E_{1}}}&0&0&0\\&{\frac {1}{E_{2}}}&-{\frac {\nu _{23}}{E_{2}}}&0&0&0\\&&{\frac {1}{E_{3}}}&0&0&0\\&&&{\frac {1}{G_{12}}}&0&0\\&{\text{sym}}&&&{\frac {1}{G_{13}}}&0\\&&&&&{\frac {1}{G_{23}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{12}\\\sigma _{13}\\\sigma _{23}\end{bmatrix}}$

und in 2D:

${\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{E_{1}}}&-{\frac {\nu _{12}}{E_{1}}}&0\\&{\frac {1}{E_{2}}}&0\\{\text{sym}}&&{\frac {1}{G_{12}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\\\end{bmatrix}}$

Lineare Elastizitätstheorie und Voigtsche Notation

Der Zusammenhang zwischen Spannungen $\sigma$ und Verzerrungen $\varepsilon$ sei linear gemäß:

$f_{C}:\varepsilon _{kl}\rightarrow \sigma _{ij}=C_{ijkl}\varepsilon _{kl}$

Dies gilt unabhängig davon, ob das Material orthotrop ist oder nicht. Es ist der allgemeinste lineare Zusammenhang, den es zwischen 2 Tensoren zweiter Stufe gibt. $C$ hat in diesem allgemeinsten Fall also $3^{4}$ Komponenten. In der linearen Elastizitätstheorie (symm. Spannungstensor, symm. Verzerrungstensor, Potential, siehe Voigtsche Notation) kann man für den Zusammenhang zwischen Spannungen und Verzerrungen auch eine 6x6-Matrix $C^{\text{v}}$ definieren, so dass

${\begin{aligned}\sigma _{i}^{\text{v}}&=C_{ij}^{\text{v}}\varepsilon _{j}^{\text{v}}\\{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{12}\\\sigma _{13}\\\sigma _{23}\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}C_{1111}&C_{1122}&C_{1133}&2C_{1112}&2C_{1113}&2C_{1123}&\\&C_{2222}&C_{2233}&2C_{2212}&2C_{2213}&2C_{2223}&\\&&C_{3333}&2C_{3312}&2C_{3313}&2C_{3323}&\\&&&2C_{1212}&2C_{1213}&2C_{1223}&\\&{\text{sym}}&&&2C_{1313}&2C_{1323}&\\&&&&&2C_{2323}&\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\\varepsilon _{12}\\\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{23}\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

Im allgemeinen Fall verbleiben also im Materialgesetz 21 unabhängige Materialparameter.

Äquivalente Definitionen

Ausgangspunkt: Steifigkeits- oder Nachgiebigkeitsmatrix

Ein Material heißt orthotrop, wenn eine Orthonormalbasis existiert, so dass das Elastizitätsgesetz dargestellt in Bezug auf diese Basis folgende Form (mit nur 9 Materialparametern) annimmt:

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{12}\\\sigma _{13}\\\sigma _{23}\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}C_{1111}&C_{1122}&C_{1133}&0&0&0&\\&C_{2222}&C_{2233}&0&0&0&\\&&C_{3333}&0&0&0&\\&&&2C_{1212}&0&0&\\&{\text{sym}}&&&2C_{1313}&0&\\&&&&&2C_{2323}&\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\\varepsilon _{12}\\\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{23}\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

Die Inverse der Steifigkeitsmatrix (die Nachgiebigkeitsmatrix) ist ebenfalls symmetrisch und auch nur an denselben Stellen mit von Null verschiedenen Werten besetzt wie die Steifigkeitsmatrix. Für die Darstellung des Materialgesetzes mit der Nachgiebigkeitsmatrix ist die ganz oben verwendete Darstellung üblich, in der $E_{1},E_{2},E_{3},\nu _{12},\nu _{13},\nu _{23},G_{12},G_{13},G_{23}$ als die 9 Materialparameter verwendet werden.

Ausgangspunkt: Symmetriebedingung

Spiegelungsmatrizen

Spiegelungen an paarweise aufeinander senkrechten Ebenen können durch Matrizen $A_{x},A_{y},A_{z}$ beschrieben werden, wenn als Bezug eine Orthonormalbasis verwendet wird, deren Basisvektoren sich mit den Normalen der Spiegelebenen decken. Die Matrizen, die die Spiegelungen beschreiben, haben folgende Gestalt:

${\begin{aligned}A_{x}&={\begin{bmatrix}+1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}},A_{y}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&+1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}},A_{z}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&+1\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

Ein Material heißt orthotrop in Bezug auf diese Spiegelebenen bzw. in Bezug auf Achsen senkrecht zu den Ebenen, wenn für die Funktion $f_{C}$. die die Verzerrungen $\varepsilon$ auf die Spannungen $\sigma (\varepsilon )$ abbildet, folgende Symmetrie-Transformation für jede der Spiegelungs-Matrizen und für beliebige Verzerrungen gilt:

${\begin{aligned}Af_{C}(\varepsilon )A^{T}&=f_{C}(A\varepsilon A^{T})\end{aligned}}$

Auf der rechten Seite der Gleichung steht: Wende das Materialgesetz auf die gespiegelten Verzerrungen an. Berechne also die Spannungen aufgrund der gespiegelten Verzerrungen.

Auf der linken Seite steht: Wende das Materialgesetz auf die ungespiegelten Verzerrungen an. Berechne also die Spannungen aufgrund der ungespiegelten Verzerrungen. Dann spiegele diese Spannungen.

Ein Material heißt orthotrop, wenn die Ergebnisse sich gleichen für beliebige Verzerrungen und für jede der genannten Matrizen.

Symmetriebedingung in Voigtscher Schreibweise

Zur Vereinfachung kann hier übergegangen werden zur Voigtschen Schreibweise mit Matrizenmultiplikation als Verknüpfung:

${\begin{aligned}\sigma ^{\text{v}}={\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{12}\\\sigma _{13}\\\sigma _{23}\\\end{bmatrix}}&=C^{\text{v}}\varepsilon ^{\text{v}}=C^{\text{v}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\\varepsilon _{12}\\\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{23}\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

Während die Funktion $f_{C}$ einen Tensor zweiter Stufe auf einen Tensor zweiter Stufe abbildet, wird in der Voigtschen Schreibweise eine Funktion $f_{C^{\text{v}}}$ definiert, die einen Vektor (die Verzerrungen in Voigtscher Schreibweise) auf einen Vektor (die Spannungen in Voigtscher Schreibweise) abbildet.

Die Symmetrietransformation lautet damit in Voigtscher Schreibweise:

${\begin{aligned}A^{\text{v}}f_{C^{\text{v}}}(\varepsilon ^{\text{v}})&=f_{C^{\text{v}}}(A^{\text{v}}\varepsilon ^{\text{v}})\\A^{\text{v}}C^{\text{v}}\varepsilon ^{\text{v}}&=C^{\text{v}}A^{\text{v}}\varepsilon ^{\text{v}}\end{aligned}}$

Da dies für beliebige Verzerrungen gelten muss, ist die Symmetriebedingung:

${\begin{aligned}A^{\text{v}}C^{\text{v}}&=C^{\text{v}}A^{\text{v}}\end{aligned}}$

Spiegelungstransformation in Voigtscher Schreibweise

Man kann leicht zeigen, dass den drei 3x3-Matrizen drei 6x6-Matrizen $A_{\text{id}}^{\text{v}},A_{x}^{\text{v}},A_{y}^{\text{v}},A_{z}^{\text{v}}$ entsprechen, für die gilt

${\begin{aligned}A^{\text{v}}&={\begin{bmatrix}A_{11}A_{11}&A_{12}A_{12}&A_{13}A_{13}&A_{11}A_{12}+A_{12}A_{11}&A_{11}A_{13}+A_{13}A_{11}&A_{12}A_{13}+A_{13}A_{12}\\A_{21}A_{21}&A_{22}A_{22}&A_{23}A_{23}&A_{21}A_{22}+A_{22}A_{21}&A_{21}A_{23}+A_{23}A_{21}&A_{22}A_{23}+A_{23}A_{22}\\A_{31}A_{31}&A_{32}A_{32}&A_{33}A_{33}&A_{31}A_{32}+A_{32}A_{31}&A_{31}A_{33}+A_{33}A_{31}&A_{32}A_{33}+A_{33}A_{32}\\A_{11}A_{21}&A_{12}A_{22}&A_{13}A_{23}&A_{11}A_{22}+A_{12}A_{21}&A_{11}A_{23}+A_{13}A_{21}&A_{12}A_{23}+A_{13}A_{22}\\A_{11}A_{31}&A_{12}A_{32}&A_{13}A_{33}&A_{11}A_{32}+A_{12}A_{31}&A_{11}A_{33}+A_{13}A_{31}&A_{12}A_{33}+A_{13}A_{32}\\A_{21}A_{31}&A_{22}A_{32}&A_{23}A_{33}&A_{21}A_{32}+A_{22}A_{31}&A_{21}A_{33}+A_{23}A_{31}&A_{22}A_{33}+A_{23}A_{32}\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

Da - zumindest im Fall der Orthotropie - alle Matrizen nur auf der Hauptdiagonalen besetzt sind, vereinfacht sich das zu:

${\begin{aligned}A^{\text{v}}&={\begin{bmatrix}A_{11}A_{11}&0&0&0&0&0\\0&A_{22}A_{22}&0&0&0&0\\0&0&A_{33}A_{33}&0&0&0\\0&0&0&A_{11}A_{22}&0&0\\0&0&0&0&A_{11}A_{33}&0\\0&0&0&0&0&A_{22}A_{33}\\\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}$

Für die 3 Matrizen ergibt sich:

${\begin{aligned}A_{\text{id}}^{\text{v}}&={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\\\end{bmatrix}}\\A_{x}^{\text{v}}&={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&-1&0\\0&0&0&0&0&1\\\end{bmatrix}},A_{y}^{\text{v}}&={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&-1\\\end{bmatrix}},A_{z}^{\text{v}}&={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&-1&0\\0&0&0&0&0&-1\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

Die Symmetriebedingung $A^{\text{v}}C^{\text{v}}=C^{\text{v}}A^{\text{v}}$ ausgewertet für alle drei Matrizen ergibt

${\begin{aligned}{\text{wegen }}A_{x}^{\text{v}}C^{\text{v}}=C^{\text{v}}A_{x}^{\text{v}}:\qquad {\begin{bmatrix}C_{11}^{\text{v}}&C_{12}^{\text{v}}&C_{13}^{\text{v}}&C_{14}^{\text{v}}&C_{15}^{\text{v}}&C_{16}^{\text{v}}\\C_{21}^{\text{v}}&C_{22}^{\text{v}}&C_{23}^{\text{v}}&C_{24}^{\text{v}}&C_{25}^{\text{v}}&C_{26}^{\text{v}}\\C_{31}^{\text{v}}&C_{32}^{\text{v}}&C_{33}^{\text{v}}&C_{34}^{\text{v}}&C_{35}^{\text{v}}&C_{36}^{\text{v}}\\-C_{41}^{\text{v}}&-C_{42}^{\text{v}}&-C_{43}^{\text{v}}&-C_{44}^{\text{v}}&-C_{45}^{\text{v}}&-C_{46}^{\text{v}}\\-C_{51}^{\text{v}}&-C_{52}^{\text{v}}&-C_{53}^{\text{v}}&-C_{54}^{\text{v}}&-C_{55}^{\text{v}}&-C_{56}^{\text{v}}\\C_{61}^{\text{v}}&C_{62}^{\text{v}}&C_{63}^{\text{v}}&C_{64}^{\text{v}}&C_{65}^{\text{v}}&C_{66}^{\text{v}}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}C_{11}^{\text{v}}&C_{12}^{\text{v}}&C_{13}^{\text{v}}&-C_{14}^{\text{v}}&-C_{15}^{\text{v}}&C_{16}^{\text{v}}\\C_{21}^{\text{v}}&C_{22}^{\text{v}}&C_{23}^{\text{v}}&-C_{24}^{\text{v}}&-C_{25}^{\text{v}}&C_{26}^{\text{v}}\\C_{31}^{\text{v}}&C_{32}^{\text{v}}&C_{33}^{\text{v}}&-C_{34}^{\text{v}}&-C_{35}^{\text{v}}&C_{36}^{\text{v}}\\C_{41}^{\text{v}}&C_{42}^{\text{v}}&C_{43}^{\text{v}}&-C_{44}^{\text{v}}&-C_{45}^{\text{v}}&C_{46}^{\text{v}}\\C_{51}^{\text{v}}&C_{52}^{\text{v}}&C_{53}^{\text{v}}&-C_{54}^{\text{v}}&-C_{55}^{\text{v}}&C_{56}^{\text{v}}\\C_{61}^{\text{v}}&C_{62}^{\text{v}}&C_{63}^{\text{v}}&-C_{64}^{\text{v}}&-C_{65}^{\text{v}}&C_{66}^{\text{v}}\end{bmatrix}}\\{\text{wegen }}A_{y}^{\text{v}}C^{\text{v}}=C^{\text{v}}A_{y}^{\text{v}}:\qquad {\begin{bmatrix}C_{11}^{\text{v}}&C_{12}^{\text{v}}&C_{13}^{\text{v}}&C_{14}^{\text{v}}&C_{15}^{\text{v}}&C_{16}^{\text{v}}\\C_{21}^{\text{v}}&C_{22}^{\text{v}}&C_{23}^{\text{v}}&C_{24}^{\text{v}}&C_{25}^{\text{v}}&C_{26}^{\text{v}}\\C_{31}^{\text{v}}&C_{32}^{\text{v}}&C_{33}^{\text{v}}&C_{34}^{\text{v}}&C_{35}^{\text{v}}&C_{36}^{\text{v}}\\-C_{41}^{\text{v}}&-C_{42}^{\text{v}}&-C_{43}^{\text{v}}&-C_{44}^{\text{v}}&-C_{45}^{\text{v}}&-C_{46}^{\text{v}}\\C_{51}^{\text{v}}&C_{52}^{\text{v}}&C_{53}^{\text{v}}&C_{54}^{\text{v}}&C_{55}^{\text{v}}&C_{56}^{\text{v}}\\-C_{61}^{\text{v}}&-C_{62}^{\text{v}}&-C_{63}^{\text{v}}&-C_{64}^{\text{v}}&-C_{65}^{\text{v}}&-C_{66}^{\text{v}}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}C_{11}^{\text{v}}&C_{12}^{\text{v}}&C_{13}^{\text{v}}&-C_{14}^{\text{v}}&C_{15}^{\text{v}}&-C_{16}^{\text{v}}\\C_{21}^{\text{v}}&C_{22}^{\text{v}}&C_{23}^{\text{v}}&-C_{24}^{\text{v}}&C_{25}^{\text{v}}&-C_{26}^{\text{v}}\\C_{31}^{\text{v}}&C_{32}^{\text{v}}&C_{33}^{\text{v}}&-C_{34}^{\text{v}}&C_{35}^{\text{v}}&-C_{36}^{\text{v}}\\C_{41}^{\text{v}}&C_{42}^{\text{v}}&C_{43}^{\text{v}}&-C_{44}^{\text{v}}&C_{45}^{\text{v}}&-C_{46}^{\text{v}}\\C_{51}^{\text{v}}&C_{52}^{\text{v}}&C_{53}^{\text{v}}&-C_{54}^{\text{v}}&C_{55}^{\text{v}}&-C_{56}^{\text{v}}\\C_{61}^{\text{v}}&C_{62}^{\text{v}}&C_{63}^{\text{v}}&-C_{64}^{\text{v}}&C_{65}^{\text{v}}&-C_{66}^{\text{v}}\end{bmatrix}}\\{\text{wegen }}A_{z}^{\text{v}}C^{\text{v}}=C^{\text{v}}A_{z}^{\text{v}}:\qquad {\begin{bmatrix}C_{11}^{\text{v}}&C_{12}^{\text{v}}&C_{13}^{\text{v}}&C_{14}^{\text{v}}&C_{15}^{\text{v}}&C_{16}^{\text{v}}\\C_{21}^{\text{v}}&C_{22}^{\text{v}}&C_{23}^{\text{v}}&C_{24}^{\text{v}}&C_{25}^{\text{v}}&C_{26}^{\text{v}}\\C_{31}^{\text{v}}&C_{32}^{\text{v}}&C_{33}^{\text{v}}&C_{34}^{\text{v}}&C_{35}^{\text{v}}&C_{36}^{\text{v}}\\C_{41}^{\text{v}}&C_{42}^{\text{v}}&C_{43}^{\text{v}}&C_{44}^{\text{v}}&C_{45}^{\text{v}}&C_{46}^{\text{v}}\\-C_{51}^{\text{v}}&-C_{52}^{\text{v}}&-C_{53}^{\text{v}}&-C_{54}^{\text{v}}&-C_{55}^{\text{v}}&-C_{56}^{\text{v}}\\-C_{61}^{\text{v}}&-C_{62}^{\text{v}}&-C_{63}^{\text{v}}&-C_{64}^{\text{v}}&-C_{65}^{\text{v}}&-C_{66}^{\text{v}}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}C_{11}^{\text{v}}&C_{12}^{\text{v}}&C_{13}^{\text{v}}&C_{14}^{\text{v}}&-C_{15}^{\text{v}}&-C_{16}^{\text{v}}\\C_{21}^{\text{v}}&C_{22}^{\text{v}}&C_{23}^{\text{v}}&C_{24}^{\text{v}}&-C_{25}^{\text{v}}&-C_{26}^{\text{v}}\\C_{31}^{\text{v}}&C_{32}^{\text{v}}&C_{33}^{\text{v}}&C_{34}^{\text{v}}&-C_{35}^{\text{v}}&-C_{36}^{\text{v}}\\C_{41}^{\text{v}}&C_{42}^{\text{v}}&C_{43}^{\text{v}}&C_{44}^{\text{v}}&-C_{45}^{\text{v}}&-C_{46}^{\text{v}}\\C_{51}^{\text{v}}&C_{52}^{\text{v}}&C_{53}^{\text{v}}&C_{54}^{\text{v}}&-C_{55}^{\text{v}}&-C_{56}^{\text{v}}\\C_{61}^{\text{v}}&C_{62}^{\text{v}}&C_{63}^{\text{v}}&C_{64}^{\text{v}}&-C_{65}^{\text{v}}&-C_{66}^{\text{v}}\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

An den letzten 3 Gleichungen erkennt man, dass C nur folgende Gestalt haben kann

${\begin{aligned}C^{\text{v}}&={\begin{bmatrix}C_{11}^{\text{v}}&C_{12}^{\text{v}}&C_{13}^{\text{v}}&0&0&0\\C_{21}^{\text{v}}&C_{22}^{\text{v}}&C_{23}^{\text{v}}&0&0&0\\C_{31}^{\text{v}}&C_{32}^{\text{v}}&C_{33}^{\text{v}}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}^{\text{v}}&0&0\\0&0&0&0&C_{55}^{\text{v}}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}^{\text{v}}\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

Da diese Voigtsche Steifigkeitsmatrix außerdem symmetrisch ist (siehe Voigtsche Notation), bleibt

${\begin{aligned}C^{\text{v}}&={\begin{bmatrix}C_{11}^{\text{v}}&C_{12}^{\text{v}}&C_{13}^{\text{v}}&0&0&0\\&C_{22}^{\text{v}}&C_{23}^{\text{v}}&0&0&0\\&&C_{33}^{\text{v}}&0&0&0\\&&&C_{44}^{\text{v}}&0&0\\&{\text{sym}}&&&C_{55}^{\text{v}}&0\\&&&&&C_{66}^{\text{v}}\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

Literatur

• H. Altenbach, J. Altenbach, R. Rikards: Einführung in die Mechanik der Laminat- und Sandwichtragwerke. Stuttgart: Deutscher Verlag für Grundstoffindustrie, 1996. ISBN 3-342-00681-1