Komplexe Zahl

Komplexe Zahlen erweitern den Körper der reellen Zahlen derart, dass sämtliche (nicht konstanten) algebraischen Gleichungen auflösbar werden, z. B. nicht nur:

x^{2}-1=0

(Lösungen x_1,2 = ±1),

sondern auch

x^{2}+1=0

(keine reellen Lösungen).

Komplexe Zahlen werden meist in der Form

a + bi

dargestellt, wobei a und b reelle Zahlen und i die imaginäre Einheit ist. Für die Menge der komplexen Zahlen wird das Symbol $\mathbb {C}$ verwendet.

Definition

Die folgende Definition nimmt zunächst keinen Bezug auf die imaginäre Einheit i, sondern erfolgt in der Paarschreibweise:

Eine komplexe Zahl ist ein Paar

(a,b)

zweier reeller Zahlen

a

und

b

.

Für die Addition gilt

(a,b)+(c,d):=(a+c,b+d)

(d.h. komponentenweise).

Für die Multiplikation gilt

(a,b)\cdot (c,d):=(a\cdot c-b\cdot d,a\cdot d+b\cdot c)

.

Die Menge $\mathbb {C}$ der Paare reeller Zahlen mit den so definierten Verknüpfungen bildet einen Körper $(\mathbb {C} ,+,\cdot )$ .

Die erste Komponente des Paares $(a,b)$ , also $a$ , nennt man den Realteil der komplexen Zahl $(a,b)$ , den zweiten, also $b$ , den Imaginärteil.

Die Zahl $(0,1)$ hat die Eigenschaft, dass

(0,1)^{2}=(0,1)\cdot (0,1)=(-1,0)=-1

ist. Somit ist $x=(0,1)$ eine Lösung der obigen quadratischen Gleichung $x^{2}+1=0$ . Eine zweite Lösung ist $(0,-1)$ .

Schreibweise a+bi

Komplexe Zahlen mit Imaginärteil $0$ verhalten sich wie reelle Zahlen:

(a,0)+(c,0)=(a+c,0)

(a,0)\cdot (c,0)=(a\cdot c,0)

Man kann sie also mit ihrem Realteil identifizieren, d.h. jede reelle Zahl ist eine komplexe Zahl mit Imaginärteil Null:

a=(a,0)

Zum Beispiel ist $1=(1,0)$ oder $0=(0,0)$ .

Die komplexe Zahl $(0,1)$ nennt man die imaginäre Einheit, kurz $i$ (oder auch $j$ in der Elektrotechnik).

Mit diesen Gleichsetzungen kann jede komplexe Zahl in Realteil und Imaginärteil zerlegt werden:

(a,b)=(a,0)+(0,b)=(a,0)+(b,0)\cdot (0,1)=a+b\cdot i

.

Damit kann von der Paarschreibweise zu einer "gewohnten" Schreibweise übergegangen werden, wobei man neben den reellen Zahlen $a$ , $b$ jetzt aber zusätzlich die (nicht reelle) Zahl $i$ benutzt, die die Eigenschaft $i^{2}=-1$ besitzt, und die daher auch als "Wurzel aus -1" aufgefasst wird.

Die Definitionen von Addition und Multiplikation lassen sich nun als übliche Klammerrechnung interpretieren:

Man addiert die beiden Realteile und die beiden Imaginärteile separat:

(a+b\cdot i)+(c+d\cdot i)=(a+c)+(b+d)\cdot i

Man subtrahiert die beiden Realteile und die beiden Imaginärteile separat:

(a+b\cdot i)-(c+d\cdot i)=(a-c)+(b-d)\cdot i

Der Realteil des Produkts besteht aus dem Produkt der Realteile minus dem Produkt der Imaginärteile, der Imaginärteil des Produkts ist die Summe der beiden gemischten Produkte "Realteil mal Imaginärteil":

(a+b\cdot i)\cdot (c+d\cdot i)=(a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)\cdot i

Der Quotient zweier komplexer Zahlen lässt sich berechnen, indem man mit dem komplex konjugierten des Nenners erweitert. Der Nenner wird dadurch reell.

{\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}}={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+{\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}i

Komplexe Zahlen sind im Gegensatz zu reellen Zahlen nicht mehr geordnet, d.h. man kann keine Relation < (kleiner) oder > (größer) zwischen ihnen aufstellen.

Rechenbeispiele

Addition:

(3+2i)+(5+5i)=(3+5)+(2+5)i=8+7i

Subtraktion:

(5+5i)-(3+2i)=(5-3)+(5-3)i=2+3i

Multiplikation:

(2+5i)\cdot (3+7i)=(2\cdot 3-5\cdot 7)+(2\cdot 7+5\cdot 3)i=-29+29i

Komplexe Ebene

Während sich die Menge der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ an einer Zahlengeraden veranschaulichen lässt, kann man die Menge $\mathbb {C}$ der komplexen Zahlen als Ebene (komplexe Ebene, Gauß'sche Ebene) interpretieren. Die Menge der reellen Zahlen bildet darin die waagerechte Achse, die Menge der rein imaginären Zahlen (d.h. mit Realteil 0) bildet die senkrechte Achse. Eine komplexe Zahl $z=(a,b)$ wird als Punkt mit den Koordinaten $a$ und $b$ dargestellt.

Zahlengerade

Gaußebene

Da die Addition komplexer Zahlen komponentenweise erfolgt, kann sie geometrisch als Pfeiladdition (Vektoraddition) interpretiert werden.

Polardarstellung, Betrag und Argument

Anstatt durch seine Koordinaten a und b kann ein Punkt in der Ebene auch durch den Abstand vom Ursprung $(0,0)$ und den Winkel zwischen der waagerechten Achse und der Verbindung zum Ursprung beschrieben werden (Polarkoordinaten).

Polarkoordinaten in der Gaußebene

Es gilt dann

r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}

,

\varphi =\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)

,

sowie

a=r\cdot \cos(\varphi )

,

b=r\cdot \sin(\varphi )

.

Man nennt $r$ den Betrag und $\varphi$ das Argument der Zahl $z$ .

Man kann das Argument von $a+bi$ durch die folgende Formel berechnen:

\tan \varphi ={\frac {b}{a}}

Dabei muss man beachten, dass dies nur für a ≠ 0 gilt, und der Tangens denselben Wert zweimal im Intervall [0°, 360°) annimmt. Man muss also noch durch die Betrachtung der Vorzeichen von a und b den richtigen Winkel bestimmen.

Es gilt die Darstellung

z=a+bi=r\cdot (\cos(\varphi )+i\cdot \sin(\varphi ))=r\cdot E(\varphi )

.

Hier ist $E(\varphi )$ eine komplexe Zahl vom Betrag $1$ und vom Argument $\varphi$ . Diese Zahl kann auch als

E(\varphi )=e^{i\varphi }

interpretiert werden, sobald man Potenzen mit komplexen Exponenten eingeführt hat, was durch Potenzreihenentwicklung geschieht. Eine Konsequenz hiervon ist Die bemerkenswerteste Formel der Welt.

Dies ermöglicht auch eine geometrische Interpretation der Multiplikation. Mit

a+bi=r\cdot E(\varphi )=r\cdot e^{i\varphi }

c+di=s\cdot E(\psi )=s\cdot e^{i\psi }

wird

{\begin{matrix}(a+bi)\cdot (c+di)&=&r\cdot e^{i\varphi }\cdot s\cdot e^{i\psi }&&\\&=&(r\cdot s)\cdot e^{i(\varphi +\psi )}&=&(r\cdot s)\cdot E(\phi +\psi )\end{matrix}}

.

Das bedeutet: Bei der Multiplikation komplexer Zahlen werden ihre Beträge multipliziert und ihre Argumente (Winkel) addiert.

Naturphilosophische Aspekte der komplexen Zahlen

Komplexe Zahlen spielen in der Grundlagenphysik eine zentrale Rolle. So passt insbesondere die mathematische Struktur der Quantentheorie exakt zur Struktur der komplexen Zahlenmathematik, die dort nicht weg zu denken ist. In der Relativitätstheorie werden Raum und Zeit zur einer vierdimensionalen Raum-Zeit verknüpft. Substituiert man dazu die Zeit t mittels x₄ = ict durch eine 4. Raumkoordinate x₄, so ergibt sich eine Form der Naturgesetze, in denen diese vier Koordinaten strukturell völlig gleichberechtigt auftreten. So erhält man insbesondere für die Metrik M dieser Raum-Zeit

M = x₁² + x₂² + x₃² + x₄²,

die die gleiche fundamentale Rolle für die Raum-Zeit spielt wie der räumliche Abstand für den gewöhnlichen Raum. In der Praxis hat sich allerdings die Definition x₄ = ct durchgesetzt, was zu einem Minuszeichen in der Gleichung für M bei x₄² führt. Man vermutet jedoch die Existenz zusätzlicher verborgener Dimensionen der Raum-Zeit, über deren Anzahl und Struktur noch spekuliert wird, so dass der Stellenwert der Substitution x₄ = ict letztlich noch offen ist. Es gilt jedoch als unwahrscheinlich, dass die noch zu entdeckenden Theorie der Quantengravitation, die die beiden Säulen des derzeitigen physikalischen Theoriengebäudes, nämlich die Quanten- und die Relativitätstheorie, vereinigen würde, ohne komplexe Zahlen auskommen würde.

Darüber hinaus ist die Mathematik der komplexen Zahlen der reellen Zahlen hinsichtlich Eleganz und Abgeschlossenheit deutlich überlegen. So ist, um nur ein Beispiel zu nennen, jede differenzierbare komplexe Funktion automatisch unendlich oft differenzierbar, anders als in der Mathematik der reellen Zahlen.

Es hat sich gezeigt, dass komplexe Zahlen tiefer in der Natur und auch in der Mathematik verankert sind, als man zur Zeit ihrer Entdeckung ahnen konnte. Die grundlegende Frage scheint fast weniger zu sein, warum die Quantentheorie so gut zu den komplexen Zahlen passt, sondern warum wir bei der physikalischen Beschreibung unserer Alltagswelt eigentlich so gut mit den reellen Zahlen auskommen.

Komplexe Zahlen in der angewandten Mathematik

Komplexe Zahlen haben in der Physik und Technik eine wichtige Rolle als Rechenhilfe. So lässt sich insbesondere die Behandlung von Differentialgleichungen zu Schwingungsvorgängen vereinfachen, da sich damit die komplizierten Beziehungen in Zusammenhang mit Produkten von Sinus- bzw. Kosinusfunktionen durch Produkte von Exponentialfunktionen ersetzen lassen, wobei lediglich die Exponenten addiert werden müssen. So fügt man dazu beispielsweise in der komplexen Wechselstromrechnung willkürliche aber passende Imaginärteile in die reellen Ausgangsgleichungen ein, die man bei der Auswertung der Rechergebnisse dann wieder ignoriert. Es handelt sich dabei lediglich um einen Rechentrick ohne philosophischen Hintergrund.