Dichtefunktion der Gleichverteilung für
a
=
4
,
b
=
8
{\displaystyle a=4,b=8}
a
=
1
,
b
=
18
{\displaystyle a=1,b=18}
a
=
1
,
b
=
11
{\displaystyle a=1,b=11}
Die stetige Gleichverteilung , auch Rechteckverteilung oder Uniformverteilung genannt, ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung . Sie hat auf einem Intervall
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
Wahrscheinlichkeitsdichte . Dies ist gleichbedeutend damit, dass alle Teilintervalle gleicher Länge dieselbe Wahrscheinlichkeit besitzen.
Definition
Eine stetige Zufallsvariable
X
{\displaystyle X}
gleichverteilt auf dem Intervall
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
Wahrscheinlichkeitsdichte
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
Verteilungsfunktion
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
f
(
x
)
=
{
0
x
<
a
1
b
−
a
a
≤
x
≤
b
0
x
>
b
{\displaystyle f(x)={\begin{cases}0&x<a\\{\frac {1}{b-a}}&a\leq x\leq b\\0&x>b\end{cases}}}
F
(
x
)
=
{
0
x
≤
a
x
−
a
b
−
a
a
<
x
<
b
1
x
≥
b
{\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&x\leq a\\{\frac {x-a}{b-a}}&a<x<b\\1&x\geq b\end{cases}}}
Als abkürzende Schreibweise für die stetige Gleichverteilung wird häufig
U
(
a
,
b
)
{\displaystyle {\mathcal {U}}(a,b)}
S
G
(
a
,
b
)
{\displaystyle {\mathcal {S}}G(a,b)}
Eigenschaften
Der Erwartungswert und der Median der stetigen Gleichverteilung ist
E
(
X
)
=
∫
−
∞
∞
x
f
(
x
)
d
x
=
1
b
−
a
∫
a
b
x
⋅
1
d
x
=
1
2
b
2
−
a
2
b
−
a
=
a
+
b
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (X)&=\int \limits _{-\infty }^{\infty }xf(x)dx\\&={\frac {1}{b-a}}\int \limits _{a}^{b}x\cdot 1dx\\&={\frac {1}{2}}{\frac {b^{2}-a^{2}}{b-a}}\\&={\frac {a+b}{2}}.\end{aligned}}}
Varianz
Die Varianz der stetigen Gleichverteilung ist
Var
(
X
)
=
E
(
X
2
)
−
(
E
(
X
)
)
2
=
1
b
−
a
∫
a
b
x
2
⋅
1
d
x
−
(
a
+
b
2
)
2
=
1
3
b
3
−
a
3
b
−
a
−
(
a
+
b
2
)
2
=
1
12
(
4
b
2
+
4
a
b
+
4
a
2
−
3
a
2
−
6
a
b
−
3
b
2
)
=
1
12
(
b
−
a
)
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\operatorname {E} (X^{2})-\left(\operatorname {E} (X)\right)^{2}\\&={\frac {1}{b-a}}\int \limits _{a}^{b}x^{2}\cdot 1dx-\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}\\&={\frac {1}{3}}{\frac {b^{3}-a^{3}}{b-a}}-\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}\\&={\frac {1}{12}}\left(4b^{2}+4ab+4a^{2}-3a^{2}-6ab-3b^{2}\right)\\&={\frac {1}{12}}(b-a)^{2}.\end{aligned}}}
Standardabweichung
Aus der Varianz erhält man die Standardabweichung
σ
x
=
(
b
−
a
)
2
12
=
b
−
a
2
3
.
{\displaystyle \sigma _{x}={\sqrt {\frac {(b-a)^{2}}{12}}}={\frac {b-a}{2{\sqrt {3}}}}.}
Variationskoeffizient
Für den Variationskoeffizienten ergibt sich:
VarK
(
X
)
=
1
3
b
−
a
a
+
b
.
{\displaystyle \operatorname {VarK} (X)={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\frac {b-a}{a+b}}.}
Schiefe
Die Schiefe lässt sich darstellen als
v
(
X
)
=
0.
{\displaystyle \operatorname {v} (X)=0.}
Die Wölbung lässt sich ebenfalls geschlossen darstellen als
γ
2
=
−
6
5
.
{\displaystyle \gamma _{2}=-{\frac {6}{5}}.}
Summe von gleichverteilten Zufallsvariablen
Die Summe zweier unabhängiger und stetig gleichverteilter Zufallsvariablen ist dreiecksverteilt .
Verteilungsdichten der Summe von bis zu 6 Gleichverteilungen
Charakteristische Funktion
Die charakteristische Funktion hat die Form
ϕ
X
(
t
)
=
1
(
b
−
a
)
i
t
(
e
i
t
b
−
e
i
t
a
)
,
{\displaystyle \phi _{X}(t)={\frac {1}{(b-a)it}}(e^{itb}-e^{ita}),}
wobei
i
{\displaystyle i}
imaginäre Einheit darstellt.
Momenterzeugende Funktion
Die momenterzeugende Funktion der stetigen Gleichverteilung ist
m
X
(
s
)
=
{
e
b
s
−
e
a
s
(
b
−
a
)
s
s
≠
0
1
s
=
0.
{\displaystyle m_{X}(s)={\begin{cases}{\frac {\displaystyle e^{bs}-e^{as}}{\displaystyle (b-a)s}}&s\neq 0\\1&s=0.\end{cases}}}
und speziell für
a
=
0
{\displaystyle a=0}
b
=
1
{\displaystyle b=1}
m
X
(
s
)
=
1
s
(
e
s
−
1
)
.
{\displaystyle m_{X}(s)={\frac {1}{s}}(e^{s}-1).}
Damit ergeben sich die ersten allgemeinen Momente zu
m
1
=
1
2
(
a
+
b
)
.
{\displaystyle m_{1}={\frac {1}{2}}(a+b).}
Beziehung zu anderen Verteilungen
Mit der Inversionsmethode lassen sich gleichverteilte Zufallszahlen in andere Verteilungen überführen. Wenn
X
{\displaystyle X}
Y
=
−
1
λ
ln
(
X
)
{\displaystyle Y=-{\tfrac {1}{\lambda }}\ln(X)}
Exponentialverteilung mit dem Parameter
λ
{\displaystyle \lambda }
Häufig wird
a
=
0
{\displaystyle a=0}
b
=
1
{\displaystyle b=1}
f
(
x
)
=
1
{\displaystyle f(x)=1}
0
≤
x
≤
1
{\displaystyle 0\leq x\leq 1}
F
(
x
)
=
x
{\displaystyle F(x)=x}
0
≤
x
≤
1
{\displaystyle 0\leq x\leq 1}
E
(
X
)
=
0
,
5
{\displaystyle \operatorname {E} (X)=0{,}5}
Var
(
X
)
=
1
/
12
{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=1/12}
σ
x
=
Var
(
X
)
=
1
/
12
≈
0
,
29
{\displaystyle \sigma _{x}={\sqrt {\operatorname {Var} (X)}}={\sqrt {1/12}}\approx 0{,}29}
Ein Beispiel für eine auf dem Intervall
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
Z
(
y
)
=
y
{\displaystyle Z(y)=y}
P
(
Z
≤
x
)
=
P
(
[
−
∞
,
x
]
)
=
F
(
x
)
=
{
0
x
≤
0
x
0
<
x
<
1
1
x
≥
1
,
{\displaystyle \mathbb {P} (Z\leq x)=\mathbb {P} ([-\infty ,x])=F(x)={\begin{cases}0&x\leq 0\\x&0<x<1\\1&x\geq 1,\end{cases}}}
daher ist
Z
{\displaystyle Z}
Siehe auch
Diskrete Gleichverteilung
Weblinks
Diskrete univariate Verteilungen
Kontinuierliche univariate Verteilungen
Multivariate Verteilungen
![{\displaystyle [a,b]}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle [0,1]}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
![{\displaystyle \mathbb {P} (Z\leq x)=\mathbb {P} ([-\infty ,x])=F(x)={\begin{cases}0&x\leq 0\\x&0<x<1\\1&x\geq 1,\end{cases}}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/92a1948c152f819802ac6c787dfbfe896c76a455)
