Inverse Betaverteilung

Die Beta-prime-Verteilung (auch Beta-Primärverteilung genannt) Bp ist eine univariate Verteilung für stetige Zufallsvariablen, mit zwei Parametern α und β. Es handelt sich um einen Sonderfall der Gamma-Gamma-Verteilung und somit um eine Mischverteilung.

Die Dichtefunktion ist:

f(x)={\frac {x^{\alpha -1}(1+x)^{-\alpha -\beta }}{B(\alpha ,\beta )}}

.

Dabei ist B(α, β) die Beta-Funktion.

mit Erwartungswert

E(X)={\frac {\alpha }{\beta -1}}{\text{ falls }}\beta >1

Modus

Mod(X)={\frac {\alpha -1}{\beta +1}}{\text{ falls }}\alpha \geq 1{\text{, 0 sonst}}\!

und Varianz

Var(X)={\frac {\alpha (\alpha +\beta -1)}{(\beta -2)(\beta -1)^{2}}}{\text{ falls }}\beta >2

Beziehung zur Gammaverteilung

Ist der zweite Parameter ε der Gammaverteilung G(a,ε) eine Zufallsvariable, die wie eine Gammaverteilung G(b,1) verteilt ist, dann ist die hervorgehende Zufallsvariable wie eine Beta-Primärverteilung Bp(a, b) verteilt.

Beziehung zur Gamma-Gamma-Verteilung

Eine Gamma-Gamma-Verteilung Gg(a, b=1, d) entspricht einer Beta-Primärverteilung Bp(α=d, β=a)