Nach der Dreiecksungleichung ist im Dreieck die Summe der Längen zweier Seiten a und b stets größer oder gleich der Länge der dritten Seite c . Das heißt formal:
c
≤
a
+
b
{\displaystyle c\leq a+b}
Man kann auch sagen, der Abstand von A nach B ist stets kleiner oder gleich dem Abstand von A nach C und von C nach B zusammen, oder um es populär auszudrücken: "Der direkte Weg ist immer der Kürzeste."
Das Gleichheitszeichen gilt dabei nur, wenn a, b und c in die gleiche Richtung weisen.
Da aus Symmetriegründen auch
a
≤
c
+
b
{\displaystyle a\leq c+b}
a
−
b
≤
c
{\displaystyle a-b\leq c}
b
−
a
≤
c
{\displaystyle b-a\leq c}
|
a
−
b
|
≤
c
≤
a
+
b
{\displaystyle \left|a-b\right|\leq c\leq a+b}
Die Dreiecksungleichung charakterisiert Abstands- und Betragsfunktionen. Sie wird daher als ein Axiom der abstrakten Abstandsfunktion in metrischen Räumen verwendet.
Für reelle Zahlen gilt:
|
|
a
|
−
|
b
|
|
≤
|
a
+
b
|
≤
|
a
|
+
|
b
|
{\displaystyle {\Big |}|a|-|b|{\Big |}\leq \left|a+b\right|\leq \left|a\right|+\left|b\right|}
Beweis
Weil alle Seiten nichtnegativ sind, ist Quadrieren eine Äquivalenzumformung :
a
2
−
2
|
a
b
|
+
b
2
≤
a
2
+
2
a
b
+
b
2
≤
a
2
+
2
|
a
b
|
+
b
2
{\displaystyle a^{2}-2\left|ab\right|+b^{2}\leq a^{2}+2ab+b^{2}\leq a^{2}+2\left|ab\right|+b^{2}}
Das ist äquivalent zur Ungleichung
−
2
|
a
b
|
≤
2
a
b
≤
2
|
a
b
|
{\displaystyle -2\left|ab\right|\leq 2ab\leq 2\left|ab\right|}
welche gilt, weil
−
|
x
|
≤
x
≤
|
x
|
{\displaystyle -|x|\leq x\leq |x|}
x
{\displaystyle x}
Für komplexe Zahlen gilt:
|
|
Z
1
|
−
|
Z
2
|
|
≤
|
Z
1
+
Z
2
|
≤
|
Z
1
|
+
|
Z
2
|
{\displaystyle {\Big |}\left|Z_{1}\right|-\left|Z_{2}\right|{\Big |}\leq \left|Z_{1}+Z_{2}\right|\leq \left|Z_{1}\right|+\left|Z_{2}\right|}
Beweis
Da alle Seiten positiv sind, ist Quadrieren eine Äquivalenzumformung und man erhält
Z
1
Z
1
¯
−
2
|
Z
1
Z
2
|
+
Z
2
Z
2
¯
≤
Z
1
Z
1
¯
+
Z
1
Z
2
¯
+
Z
1
¯
Z
2
+
Z
2
Z
2
¯
≤
Z
1
Z
1
¯
+
2
|
Z
1
Z
2
|
+
Z
2
Z
2
¯
{\displaystyle Z_{1}{\bar {Z_{1}}}-2\left|Z_{1}Z_{2}\right|+Z_{2}{\bar {Z_{2}}}\leq Z_{1}{\bar {Z_{1}}}+Z_{1}{\bar {Z_{2}}}+{\bar {Z_{1}}}Z_{2}+Z_{2}{\bar {Z_{2}}}\leq Z_{1}{\bar {Z_{1}}}+2\left|Z_{1}Z_{2}\right|+Z_{2}{\bar {Z_{2}}}}
wobei der Überstrich komplexe Konjugation bedeutet. Setzt man
Z
:=
Z
1
Z
2
¯
{\displaystyle Z:=Z_{1}{\bar {Z_{2}}}}
−
2
|
Z
|
≤
Z
+
Z
¯
≤
2
|
Z
|
{\displaystyle -2\left|Z\right|\leq Z+{\bar {Z}}\leq 2\left|Z\right|}
Mit
Z
=
u
+
i
v
{\displaystyle Z=u+iv}
−
2
u
2
+
v
2
≤
(
u
+
i
v
)
+
(
u
−
i
v
)
=
2
u
≤
2
u
2
+
v
2
{\displaystyle -2{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}\leq (u+iv)+(u-iv)=2u\leq 2{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}
bzw.
|
u
|
≤
u
2
+
v
2
{\displaystyle |u|\leq {\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}
was wegen
0
≤
v
2
{\displaystyle 0\leq v^{2}}
Für Vektoren gilt:
|
|
a
→
|
−
|
b
→
|
|
≤
|
a
→
+
b
→
|
≤
|
a
→
|
+
|
b
→
|
{\displaystyle {\Big |}\left|{\vec {a}}\right|-\left|{\vec {b}}\right|\,\,{\Big |}\leq \left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|\leq \left|{\vec {a}}\right|+\left|{\vec {b}}\right|}
Die Gültigkeit dieser Beziehung sieht man durch Quadrieren
|
a
→
|
2
−
2
|
a
→
|
⋅
|
b
→
|
+
|
b
→
|
2
≤
|
a
→
|
2
+
2
a
→
⋅
b
→
+
|
b
→
|
2
≤
|
a
→
|
2
+
2
|
a
→
|
⋅
|
b
→
|
+
|
b
→
|
2
{\displaystyle \left|{\vec {a}}\right|^{2}-2\left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|+\left|{\vec {b}}\right|^{2}\leq \left|{\vec {a}}\right|^{2}+2{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}+\left|{\vec {b}}\right|^{2}\leq \left|{\vec {a}}\right|^{2}+2\left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|+\left|{\vec {b}}\right|^{2}}
und Anwendung der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung :
|
a
→
⋅
b
→
|
≤
|
a
→
|
⋅
|
b
→
|
{\displaystyle \left|{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\right|\leq \left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|}
|
a
−
b
|
≤
c
≤
a
+
b
{\displaystyle \left|a-b\right|\leq c\leq a+b}
Sphärisches Dreieck
p Die Dreiecksungleichung in Lp wird Minkowski-Ungleichung genannt und mittels der Hölderschen Ungleichung bewiesen.
In einem metrischen Raum
(
X
,
d
)
{\displaystyle \left(X,d\right)}
Axiom für die abstrakte Abstandsfunktion verlangt, dass die Dreiecksungleichung in der Form
d
(
x
,
y
)
≤
d
(
x
,
z
)
+
d
(
z
,
y
)
{\displaystyle d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)}
x
,
y
,
z
∈
X
{\displaystyle x,y,z\in X}
|
d
(
x
,
z
)
−
d
(
z
,
y
)
|
≤
d
(
x
,
y
)
{\displaystyle \left|d(x,z)-d(z,y)\right|\leq d(x,y)}
x
,
y
,
z
∈
X
{\displaystyle x,y,z\in X}
