Diskussion:Ziegenproblem

Der Autor der folgenden Zeilen hat recht. Das weiß ich allerdings schon durch eigenes Nachdenken seit anfang Mai 03. Das 100 Türen Problem ist eine unzulässige Gleichsetzung mit dem Ziegenproblem. Das ist auch nicht ganz richtig, was ich als letztes sagte (sorry). Vielmehr ist beim 100 Türen Problem die Umentscheidung zur anderen Tür a u c h unerheblich also nicht chancenverbessernd (übrigens auch nicht verringernd)

Also ich verstehe das ganze nicht. Wenn eine falsche Tür wegfällt bleiben zwei übrig, von denen eine die Ziege enthält und die andere das Auto. Die Wahrscheinlichkeit, dass hinter der gewählten Tür das Auto ist, beträgt nur noch 1/2, nicht 2/3. Das ist zwar immer noch mehr als 1/3, bedenkt man aber, dass eine falsche Tür automatisch wegfallen wird hat die Chance immer 1/2 betragen. Die in diesem Artikel aufgezeigte Rechnung funktioniert nur, wenn das Auto nach dem Öffnen der einen Tür verschoben wird und man nach der Wahrscheinlichkeit fragt, ob das Auto JEMALS hinter der betreffenden Tür war.

Und was wäre, wenn sich eine der Türen gar nicht öffen lassen würde? Warum willst Du das Problem umformulieren. Es ist doch relativ eindeutig formuliert und die richtige Antwort ist recht eindeutig begründet. Der Unterschied zwischen der gewählten Tür und den anderen Türen ist eben, dass über die anderen Türen die zusätzliche Information vorliegt, hinter welchen Türen sich Nieten befinden.

Trotzdem ist es für manche Menschen anschaulicher, zum 100-Türen-Problem überzugehen. Es gibt bei diesem Problem 100 statt 3 Türen. Zuerst wählt der Kandidat eine aus. Dann öffent der Moderator 98 von den anderen Türen, hinter denen jeweils eine Ziege steht. Jetzt die Frage: Soll der Kanditat bei seiner ursprünglich gewählten Tür bleiben (hinter der sich der Preis mit Wahrscheinlichkeit 1/100 befindet) oder zu der Tür wechseln, die weder er gewählt noch der Moderator geöffnet hat (und hinter der sich der Preis mit Wahrscheinlichkeit 99/100 befindet, nämlich der Wahrscheinlichkeit, dass der erste Tip falsch war).

Die Fehleinschätzung ist: Wenn es zwei Möglichkeiten gibt, dann sind beide gleich wahrscheinlich. Das dahinterliegende Prinzip vom unzureichenden Grund gilt aber nur dann, wenn keine weiteren Informationen vorliegen.

Und die liegen auch nicht vor noch gewinnt man sie dazu. Würde man sich beim zweiten Mal wieder neu entscheiden, wird man mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% das Auto bekommen. Die Immer-Wechseln-Strategie umgeht aber die zweite Entscheidung. Sie steht vorher schon fest. --LC 20:36, 18. Jan 2005 (CET)

Wenn bei einem Münzwurf die beiden Ereignisse "Die Münze bleibt auf der Kante stehen" und "die Münze bleibt nicht auf der Kante stehen" betrachtet werden, dann ist es vermutlich einsichtig, dass nicht nach dem Prinzip vom unzureichenden Grund verfahren wird, d.h. dass nicht beide Ereignisse mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 belegt werden, weil es ja nur zwei gibt. -- (KurtWatzka)

Nochmal von vorne... Die Erklärung: Die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Auto hinter dem zunächst gewählten Tor befindet, beträgt 1/3, dass es hinter einem der anderen beiden steht, 1/3 + 1/3 = 2/3. Wenn nun klar ist, hinter welchem Tor das Auto nicht steht, dieses also die Wahrscheinlichkeit 0 hat, das ausgewählte Tor aber immer noch eine 1/3-Chance hat - siehe weiter unten, liegt jetzt die 2/3-Wahrscheinlichkeit auf dem nichtgewählten Tor. Bei einem Wechsel verdoppelt der Kandidat also seine Chancen auf das Auto. ist schlichtweg falsch. Allein aus der Tatsache, daß nun ein Tor ausgeschlossen werden kann, erhalte ich keine neuen Erkenntnisse über die Verteilung der Zufallsgröße, ich verkleinere lediglich die Ergebnismenge $\Omega$ von {Auto, Ziege1, Ziege2} auf {Auto,Ziege1}. Wenn man sonst keine Erkenntnisse über die Verteilung der Zufallsvariable hat, kann man von der Gleichverteilung ausgehen, in dem Fall also Fifty-Fifty. Das kann man auch am Beispiel eines äquivalenten Spiels etwas anschaulicher zeigen. Man zieht aus einem Beutel mit einer weißen und zwei schwarzen Kugeln eine, ohne sie anzuschauen (die erste Wahl des Tores). Dann wird von den restlichen Kugeln eine schwarze weggenommen. Nun wird die Kugel (die ich nicht angeschaut habe) wieder zurückgelegt und es wird neu gezogen. Die Wahrscheinlichkeit ist 1/2, daß man die weiße erwischt. Das erste Mal ziehen (bzw. die erste Wahl) hätte man sich auch sparen und gleich eine eine schwarze Kugel rausnehmen (bzw. gleich ein Tor mit Ziege öffnen) können, da man durch die erste Ziehung keine Erkenntnisse gewinnt. Das Ganze ist eher psychologisch zu betrachten, da der Showmaster so eher beeinflussen kann. Mathematisch interessanter wird das Spiel erst, wenn man vor die Wahl gestellt wird, daß ein Tor zu nehmen, oder es von vornherein auszuschließen. --LC 16:41, 18. Jan 2005 (CET)

Würde auch alles stimmen, wenn man beim zweiten Mal wirklich wählen würde. Aber genau das umgeht man mit der Strategie: Man legt sich bereits vorher fest und das Endergebnis hängt nur davon ab, was man (zufällig) beim der ersten Wahl erwischt hat. Trotzdem ist die Erklärung so nicht richtig. Werde ich überarbeiten --LC 18:39, 18. Jan 2005 (CET)

So, überarbeitet. Hoffe, die Erklärung ist verständlicher. Hab die Bedingte Wahrscheinlichkeit aus dem Fließtext genommen. Hat eigentlich nicht viel mit dem Problem zu tun.

Überarbeitung

ICh werde wieder das schema mit 3 Fällen wiederherstellen: Es ist verständlicher und realistischer (der Kandidat wählt ja tatsächliche eine von DREI türen) und JA :Bedingte Wahrscheinlichkeit liegt immmer vor, wenn ein VOrwissen ("der schowmaster") eingeht.--^°^ @ 09:56, 19. Jan 2005 (CET)

was ich besonders schlecht finde: Früher wurden 3 Fälle mit 3 Grafiken (Diese Schema finde ich besser) , jetzt 2 Fälle mit 4 Grafiken beschrieben.--^°^ @

Dann bitte wieder auf das alte Schema ändern. Bastle gerade an einer mathematisch formaleren Begründung als Ergänzung. --LC 13:31, 19. Jan 2005 (CET)

Gemacht, es unterscheidet die drei realen Fälle ohne IMHO unnötiger Abstraktion und führt leichter zum richtigen Ergebnis.--^°^ @

Also ich finde die derzeitige schematische Darstellung gut und prägnant. Sie sagt alles. Gruß --Philipendula 11:23, 20. Jan 2005 (CET)

Zum Thema Bayes'sche oder Bayessche (Kurt Jansson):

Aus der neuen deutschen Rechtschreibung:

"Adjektivische Ableitungen von Eigennamen auf -sch werden kleingeschrieben, außer wenn die Grundform eines Personennamens durch einen Apostroph abgegrenzt wird, z.B. die goetheschen/Goethe'schen Dramen, indischer Tee, kafkaeske Stimmung."

Also darf es wohl Bayes'sche oder bayessche heißen

Ben-Zin

Ah ja. Rechtschreibung ist schon was tolles. Sollen wir mal anfangen, immer für alle möglichen (erlaubten) Schreibweisen REDIRECTs anzulegen? Schaden kann's ja nicht. --Kurt Jansson

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mit einem Entscheidungsbaum gehts auch: [1] --'~'

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Man kann es sich vielleicht anschaulich vorstellen, dass die Wahrscheinlichkeit, sich vorher für die falsche Tür entschieden zu haben 2/3 ist, und es deswegen besser ist, zu wechseln.
Wenn ich mich nicht irre, ist es so, dass man beispielweise bei 100 Türen, falls nach und nach n Türen geöffnet werden, am besten n-1-mal bei seiner Wahl bleibt und dann beim letzten Mal wechselt. --Gothmog 15:29, 15. Aug 2003 (CEST)

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Das Ganze geht natuerlich davon aus, dass der Moderator nicht versucht, den Kandidaten in die Irre zu fuehren, weil er weiss, dass er das richtigte Tor gewaehlt hat, und ihn nur deshalb fragt, ob er wechseln will. Haette er ein falsches gewaehlt, haette der Moderator nicht gefragt. Damit ergaebe sich eine voellig andere Berechnung und man landet bei der 50:50 Chance, die der "gesunde Menschenverstand" annimmt. Ergo: Da man annehmen muss, dass der Moderator genau das versucht, wechselt man lieber nicht.

~ Moderator nicht versucht der Moderator versucht gar nix, er zeigt ein Tür wo eine Zieg dahinter ist. --'~'

Mehrere Türen

Ich habe die 100-Türen-Erklärung herausgenommen, da sie extrem irreführend ist. Auch wenn der Moderator nur eine der verbleibenden 99 Türen öffnen muss, mit der Maßgabe, auf keinen Fall das Auto zu zeigen, lohnt sich der Wechsel (Chance steigt durch Hilfe des Moderators geringfügig von 1/100 auf 99/100 x 1/98, also von 1% auf ca. 1,01%), und darum geht es.

In der Ursprungsaufgabe mit 3 Türen ist die Anweisung Öffne eine Tür mit einer Ziege identisch mit der Anweisung Öffne alle bis auf eine Tür, und zwar nur Türen mit Ziegen. Bei mehr als 3 Türen ist dies aber nicht der Fall. Deswegen lässt sich die Aufgabenstellung nicht in der gezeigten Form von 3 auf 3+n Türen übertragen, da zusätzliche einschränkende Annahmen einfließen.

--Abe Lincoln 16:49, 15. Feb 2005 (CET)

Habe jetzt einen entsprechenden Abschnitt zur Erläuterung im Artikel eingefügt, vielleicht mag ihn ja jemand noch schön formatieren... jetzt wo der Artikel exzellent gemacht werden soll... --Abe Lincoln 16:20, 15. Apr 2005 (CEST)

Warum verändert sich die Chance nicht

Ein oft falsch gegangener Gedankenweg besteht darin, dass man sich nach Aufdeckung
einer der Ziegentore eine fälschlicherweise davon ausgegangene "vergleichbare"
Situation vorstellt: Wenn man die Auswahl zwischen 2 Toren hat, aber nur 1 die
Richtige ist, dann müssen die Chancen 50% zu 50% stehen. Dies wäre aber eine
andere Situation als die des Ziegenproblems, denn die Wahrscheinlichkeiten, dass
der Gewinn sich hinter dem einem bzw. dem anderen Tor befindet, sind nicht gleich.

Warum ist das eine andere Situation? Gary Luck 15:09, 21. Mär 2005 (CET)

Die Situation ist deshalb anders, weil der Moderator einen Teil seines Wissens eingebracht hat. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto hinter irgendeiner Tür steht, ist 1/3. Sie ändert sich nicht, wenn eine Tür geöffnet wird. Deshalb ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie hinter einer der beiden anderen steht, 2/3. Wenn der Moderator die eine dieser beiden öffnet, bleibt die Wahrscheinlichkeit 2/3. Nur, dass ich jetzt weiß, bei deiner der Türen ist sie Null, also muss sie bei der anderen 2/3 sein, weil die Summe ja 2/3 ist. Man kann das alles sehr leicht mit einem Würfel und drei Türen testen. In der anderen Situation mit zwei Türen ist die Wahrscheinlichkeit hinter jeder Tür 1/2. (Es sind zwei und nicht drei Türen.) --Hutschi 15:40, 21. Mär 2005 (CET)

einen Teil seines Wissens eingebracht hat... wie immer bei einer bedingte Wahrscheinlichkeit.--^°^ @

Es gibt nur eine Situation: Nämlich die, die variabel ist. Statische Vorgänge kann man immer außen vor lassen. So z.B. der Vorgang, dass ein Tor gewählt und anschließend ein Tor geöffnet wird. Die Wahl ist nicht relevant, weil sie jederzeit geändert werden kann. Es bleibt also der Vorgang, dass ein Tor geöffnet wird. Da nie das Auto-Tor geöffnet wird ergibt sich immer die Situation, dass zwei Tore - eins mit Ziege und eins mit Auto - übrig bleiben. Also eine Wahrscheinlichkeit von 50% die Ziege zu treffen. Die Berechnungen auf der Seite dienen nur dazu, Studenten zu beschäftigen. --wigwam 16:17, 14. Apr 2005 (CEST)

Meine Fresse... Nachdem ich meien Behauptung beweisen wollte, habe ich das mal kurz simuliert (=programmiert). Die Wahrscheinlichkeit von 1/3 zu 2/3 stimmt. Warum - das muss ich jetzt kapieren... Den PHP-Code gibt's hier: http://www.spotlite.de/stuff/ziege.phps --wigwam 16:41, 14. Apr 2005 (CEST)

Mir ging es auch so, Wigwam. Erst nachdem ich es mit einem Würfel getestet hatte, glaubte ich es. Seitdem bin ich aber der festen Überzeugung. Nimm einen Würfel und drei Türen, 1 und 4 sind Tor 1, 2 und 5 Tor 2, 3 und 6 Tor 3. Nimm zwei Cent als Ziegen und einen Euro als Auto und würfle es. Du siehst noch deutlicher als mit dem Programm, was passiert. --Hutschi 09:39, 15. Apr 2005 (CEST)

Ziegenproblem#Schema, so hab ich es kapiert!--^°^ @

Wenn übrigens der Moderator nichts weiß und zufällig die Tür mit dem Auto öffnet, dann ist die Wahrscheinlichkeit gleich Null, dass hinter einer der anderen Türen ein Auto steht. Wenn er die Niete zieht, ändert sich nichts. dann ist Wechseln auch günstiger. Wenn die Zahl der Autos und Ziegen vorher nicht feststeht, also ein, zwei oder drei Autos dastehen können, muss die ganze Aufgabe neu bedacht werden. (Das war in einer deutschen Variante mit dem "Zonk" der Fall.) --Hutschi 13:10, 15. Apr 2005 (CEST)

Ziegenproblem,15. April 2005

• PRO wenn sogar ich es versteh:-)--^°^ @

• CONTRA, Eine Illustration sollte noch in die Einleitung und das Bild eines Entscheidungsbaums wäre auch schön. --Suricata 10:59, 15. Apr 2005 (CEST)
  • 'Bild eines Entscheidungsbaums' ist im link google.groups und würde alle Maßstäbe sprengen.--^°^ @
  • ' Illustration sollte noch in die Einleitung' und was genau?--^°^ @
  • Bild eines Entscheidungsbaum ist jetzt drin. --Tkarcher 09:12, 2. Mai 2005 (CEST)

*contra Das Problem ist ja ziemlich bekannt, und zwar durch einen Artikel von Marilyn vos Savant. Das sollte schon erwaehnt werden. VIele Gruesse --DaTroll 14:13, 15. Apr 2005 (CEST)

• • Sei mutig.--^°^ @
  • Marilyn vos Savant ist jetzt erwähnt. --Tkarcher 09:12, 2. Mai 2005 (CEST)

• Contra. Haben wir eigentlich keinen Artikel zur guten Vos Savant? Mal nachschauen... -- Carbidfischer Kaffee? 16:20, 15. Apr 2005 (CEST)

Ich habe mal schnell Teile des englischen Artikels zu ihr übersetzt: Marilyn vos Savant. Ich habe schon Fernsehberichte zu ihr gesehen, es klingt so gut, wenn der intelligenteste Mensch der Welt eine Frau ist (war, jetzt ist ja ein anderer intelligenter). -- Dishayloo [ +] 21:24, 15. Apr 2005 (CEST)

• PRO. Der Artikel ist gut. Ja, ein Entscheidungsbaum und/oder eine Vierfeldertafel wären für den optisch eingestellten Leser hilfreich. Aber der Artikel ist auch ohne dieses Beiwerk gut, weil verständlich, und das ist bei bedingten Wahrscheinlichkeiten nicht eben selbstverständlich.Pard 21:26, 25. Apr 2005 (CEST)

• PRO - wie mein Vorredner, außerdem in so prägnanter Kürze wohltuend besser als manche über-langatmig "Exzellent"-geschaffte. -- WHell 14:06, 26. Apr 2005 (CEST)

• Pro - Kurz, prägnant, verständlich. Da ich ein absolutes Subgenie in Mathe bin, dennoch die Frage (die ich aus einem Rätselbuch habe): Ist das Phänomen in etwa gleichzusetzen mit dem Schützen, der bei drei Schüssen mindestens einmal trifft und daher um seine Chancen einen seiner beiden Gegner zu treffen zu erhöhen, den ersten Schuss absichtlich in die Luft abgibt ? --nfu-peng 20:44, 1. Mai 2005 (CEST)

• Pro. Das Problem wird anschaulich beschrieben, die Lösung ausführlich erklärt und auf verschiedene Weisen hergeleitet - aus meiner Sicht bleibt nichts zu wünschen übrig. --Tkarcher 09:12, 2. Mai 2005 (CEST)
• pro - sehr überzeugend und (fast) auf Anhieb laienverständlich. --Lienhard Schulz 18:08, 2. Mai 2005 (CEST)

• Jetzt pro. @Nfu-peng, ne, was Du beschreibst ist das nur ein Witz, um das landläufig falsche Verständnis von Wahrscheinlichkeiten zu beschreiben. Das Ziegenproblem kann jeder bei sich zu Hause nachspielen, auch wenns beim 100.mal langweilig werden könnte. ;-) Viele Gruesse --DaTroll 22:03, 2. Mai 2005 (CEST)

• pro sehr schön! --Leipnizkeks 23:27, 2. Mai 2005 (CEST)

• Pro Finde auch, dass der Artikel klärend dazu beiträgt, die "Bauernmeinung" von Stochastik zu klären. Ist nicht nur für Laien, sondern auch für Spezialisten erklärt. Sehr löblich. --Mifrank 01:44, 3. Mai 2005 (CEST)

• PRO, denn der Artikel ist eine sehr gute Referenz für jedes Mal, wenn die Ziegen-Diskussion in irgendeiner Mailingliste auftaucht, um den Thread sofort zu beenden. :-) Ernsthaft, sehr gut beschrieben und auch für Nicht-Mathematiker verständlich.

Ich hab da ein Problem

Ich habe den interessanten Artikel gelesen und ,soweit es meine mathematische Ausbildung gestattet, auch verstanden.

Ich habe nur ein Problem:

Nehmen wir das Beispiel mit der Fernsehshow und verändern es etwas: Nachdem ich z.B. in einer Fernsehshow das Tor eins gewählt habe, hat der Showmaster bewusst das Tor 2 mit der Niete geöffnet. Nun steigt also nach allgemeiner Meinung bei einem Wechsel des Tores die Chance auf den Hauptgewinn von 1/3 auf 2/3.

So weit, so gut.

Aber was, wenn ich Tor 2 mit dem Zonk von der Bühne schiebe und mir irgend einen Passanten draussen vor dem Fernsehstudio hole und den zwischen den mittlerweile 2 Toren entscheiden lasse. Dieser Passant soll nichts von dem Zonk wissen, man sagt ihm lediglich, das hinter einem Tor eine Niete und hinter einem anderen der Hauptgewinn ist.

Wie sind dessen Chancen auf den Hauptgewinn?

50/50!

Wie kann es also sein, dass für mich die Wahrscheinlichkeit anders verteilt ist, als für den Passanten?

Dieser Zustand kann nicht erlaubt sein, oder?

Die gesamte Wahrscheinlichkeitsrechnung könnte man abschreiben, wenn es so wäre, das ein und dasselbe Tor 2 Wahrscheinlichkeiten auf einen Hauptgewinn böte.

Der Passant weiß nicht, welches Tor zuerst gewählt wurde. Die Wahrscheinlichkeit, dass hinter dem einen Tor ein Zonk ist, ist 1/3, die Wahrscheinlichkeit, dass hinter dem anderen Tor ein Zonk ist, dagegen 2/3. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Unbekannte das richtige Tor wählt, ist 50%, wenn er zufällig wählt. Wenn er aber vorgesagt bekommt, welches Tor der andere Spieler zuerst gewählt hat, kann er die zusätzliche Information nutzen und das Tor mit 2/3 Wahrscheinlichkeit wählen. (Wenn einem der Nachbar in der Schule vorsagt, hat man auch größere Chancen, die richtige Antwort zu kennen. Ob die Antwort stimmt, ist dagegen in beiden Fällen ungewiss.) - Es ist beim Zonk eben nur 1/3 zu 2/3. Vergleiche es mit dem Extrem, dass alle Tore offen waren. Wenn der Neue nicht die Lösung kennt, bleibt ihm nur raten. Sonst kann er sein Wissen ausnutzen. --Hutschi 16:06, 18. Mai 2005 (CEST)