Diskussion:Stetigkeit

Allgemeine Diskusion

Ich bitte darum, nicht gleich einen eigenen Artikel zum "Epsilon-Delta-Kriterium" zu schreiben, sondern es in diesem Artikel zu erklären - immerhin ist es die üblichste Definition der Stetigkeit, die man auch in der Schule lernt usw.

Etwas kurzes zur Lipschitz-Stetigkeit wäre natürlich auch toll ;-) ← erledigt… MikeTheGuru 18:50, 24. Mai 2004 (CEST)

--zeno 15:03, 2. Mai 2003 (CEST)

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Soll diese Seite nach Stetigkeit verschoben werden? Der Zusatz "(Mathematik)" macht ohne Begriffsklärungsseite keinen Sinn und mir fallen keine weiteren Bedeutungen von Stetigkeit ein, die einen Wikipedia-Artikel verdienen. --Caramdir 20:02, 3. Okt 2003 (CEST)

Ich bin dafür. Mir fällt keine andere Bedeutung ein (übrigens auch nicht für den von mir unter überflüssig langem Namen erstellten Artikel Körpererweiterung (Mathematik)). Falls eine weitere Bedeutung auftaucht, kann man es wieder umbenennen. --SirJective 14:35, 4. Okt 2003 (CEST)

Ok, hab die zwei Artikel verschoben. --Caramdir 11:20, 11. Okt 2003 (CEST)

Ich habe das Gegenbeispiel (1/x) gegen die naive Definition entfernt, da es ihr nicht wiedersprach. Man muss zwar den Stift absetzten aber nicht innerhalb des Definitionsbereiches. Kennt jemand ein wirkliches Gegenbeispiel? Ich vermute nämlich das es keins gibt. Stefanwege 15:19, 18. Jun 2004 (CEST)

Ein Gegenbeispiel wäre $f(x)=x\sin({\frac {1}{x}})$ da kann man um den Punkt 0 überhaupt nichts mehr zeichnen, da die Amplitude der Schwingung zwar immer kleiner, aber die Frequenz immer größer wird. Trotzdem ist f(x) auch im Punkt 0 stetig. Ganz im Gegensatz übrigens zu der Funktion $\sin({\frac {1}{x}})$ die sich im Punkt 0 nicht stetig fortsetzen läßt, da es zu jeder Zahl aus [-1,1] eine Nullfolge $a_{n}$ gibt, bei der $\sin({\frac {1}{a_{n}}})$ gegen diese Zahl konvergiert. --Schnitte 11:15, 24. Okt 2004 (CEST)

bei der "naiven definition" ist der definitionsbereich ein intervall, also zusammenhaengend. stetige funktionen duerfen aber auch zerstueckelte definitionsbereiche besitzen, z.b.

$f:(0,1)\cup (2,3)\rightarrow \mathbb {R} ,~x\mapsto x$ ist stetig, man kann aber nicht den graphen zeichnen, ohne den stift abzusetzen. --seth 21:54, 12. Aug 2004 (CEST)

Irgendwie überzeugt mich das Gegenbeispiel nicht - du kannst doch das intervall [1 2] mit Klebeband abpicken :-). Ich bin übrigens gar nicht der Meinung, dass die naive Definition so schlecht wegkommen soll. Versuch mal der Oma von nebenan die epsilon-delta stetikeit zu erklären. Unyxos 01:06, 13. Aug 2004 (CEST)

angenommen, die oma von nebenan hat keine ahnung von mathe. soll dann wirklich, bloss weil sie das nicht versteht, die mathematik ueber den haufen geschmissen werden? imho nein.

die "naive" def. trifft nun mal nur zu, wenn der definitionsbereich ein intervall (bzw. allgemein: zusammenhaengend) ist. und die funktionen, die nicht-zusammenhaengende definitionsbereiche besitzen, sind viel mehr ;-)

nichtsdestotrotz wird ja im artikel die "naive" def. als erste gegeben. und der zusatz, dass sie nicht exakt ist, darf nicht geloescht werden. so wie es ist find ich es ok. --seth 10:08, 13. Aug 2004 (CEST)

Folgenkriterium

Soweit ich mich erinnern kann, gilt die Äquivalenz zwischen Folgenstetigkeit (das ist das was im Kriterium steht) und der Stetigkeit nur wenn ein paar Zusatzbedingungen erfüllt sind. Stefanwege 18:48, 7. Jul 2004 (CEST)

Folgt von Stetigkeit Lipschitzstetigekeit?

Hallo

Ich habe eine Funktion von R nach R^n und die Funk. ist einmal stetig diff-bar,d.h. gehört zu C^1. Ist dann die Funktion Lipschitzstetig?

Die Überschrift scheint mir eine andere Frage zu beinhalten, als die Frage "stetig diffb. => Lipschitz.stet.". Wenn die Abb. von einer abgeschlossenen Teilmenge von R nach R^n geht, dann bin ich mir ziemlich sicher, dass die Funktion dann auf diesem Intervall auch Lipschitz-stetig ist, da man einfach das supremum |f'(x)| als Lipschitz-Konstante wählen kann. Bei offenen Intervallen wäre ich da sehr vorsichtig, z.B. sqrt(x) auf (0,1) ist stetig diffbar, aber meines Wissens nicht Lipschitz-stetig. -- mkrohn 10:39, 14. Jul 2004 (CEST)

als ergaenzung: aus f stetig differenzierbar folgt f lokal Lipschitz-stetig. --seth 22:51, 12. Aug 2004 (CEST)

lipschitz-stetigkeit nur eine abschwaechung?

im artikel folgt der definition der stetigkeit der satz: "Eine Abschwächung dieser Definition ist die Lipschitz-Bedingung."
ist es nicht gerade andersherum, oder wie ist das gemeint?
fakt ist, dass aus lipschitz-stetigkeit stetigkeit folgt (aber nicht notwendigerweise umgekehrt). deswegen finde ich den satz irritierend. aber vielleicht bin ich ja auch nur die formulierung nicht gewohnt, deswegen frage ich lieber mal, bevor ich etwas aendere. --seth 17:11, 13. Aug 2004 (CEST)

bitte ändern, so wie es dort steht ist bestenfalls irritierend --mkrohn 17:23, 13. Aug 2004 (CEST)

getan --seth 18:41, 13. Aug 2004 (CEST)

Peano Satz

Die Existenzsätze für Anfangswertprobleme verwenden als wichtigsten Bestandteil die gleichgradige Stetigkeit und nicht die gleichmäige, deshalb hab ich das eingefügt. Kompaktheit ist hier das wichtig. Oder? Unyxos 18:05, 1. Sep 2004 (CEST)

sehr salopp gesprochen: der existenzsatz von peano benoetigt (auch in der lok. version) nur stetigkeit. (siehe z.b. google)

der eindeutigkeitssatz von picard-lindeloef benoetigt stetigkeit der funktion, und lipschitz-stetigkeit bzgl. der letzten variablen.--seth 22:40, 1. Sep 2004 (CEST)

Neuaufbau

Dieser Artikel bedarf meiner Meinung nach einen Neuaufbau. Da kommt viel zu viel durcheinander. So wird auf Punktweise Stetigkeit, und Stetigkeit in einzelnen Punkten nicht wirklich eingegangen. So ist die Funktion $\operatorname {sgn}(x)$ die alle negative Zahlen auf -1, alle positiven Zahlen auf 1 und die 0 auf sich selbst abbildet unstetig, da sie in 0 unstetig ist. In allen anderen Punkten aber ist sie stetig. Eine Funktion kann nicht nur im Ganzen stetig oder unstetig sein, sondern auch in einzelnen Punkten.

Überhaupt scheint es den meisten nicht klar zu sein, daß die allermeisten Funktionen nirgendwo irgendwie stetig sind. Die Menge der stetigen reellen Funktionen sind genauso mächtig wie die Menge der reellen Zahlen, da es bei stetigen Funktionen reicht, die Funktionswerten der rationalen Zahlen zu kennen. Die Menge aller reellen Funktionen ist aber so mächtig wie die Potzenmenge der reellen Zahlen.

Ist auch klar, warum sollte der Funktionswert von $\pi$ irgendetwas mit dem Funktionswert von 3.14 oder mit dem Funktionswert 3.1415 zu tun haben? Jeder Zahl wird irgend einen Wert zugeordnet. Das kann man bei überabzählbar vielen Zahlen natürlich gar nicht machen, da muß man Regeln angeben. Aber die allermeisten Funktionen kann man so nicht beschreiben, und auch nicht irgendwie anders. Allein aus diesem Grund sind die allermeisten Funktionen die uns in der Mathematik begegnen, mehr oder weniger, stetige Funktionen.

Was aber geht, ist etwa die charakteristische Funktion der Rationalen Zahlen $1_{\mathbb {Q} }(x):={\begin{cases}1&fallsx\in \mathbb {Q} \\0&sonst\end{cases}}$ Diese Funktion ist nirgendwo stetig. Interessant ist die Funktion, die jedem rationalen Wert, der gekürzt als ${\frac {p}{q}}$ dargestellt wird, den Wert ${\frac {1}{q}}$ zuordnet und alle irrationalen Zahlen, sowie der 0 die 0. Diese Funktionen ist in allen irrationalen Punkten stetig, sonst unstetig.

Die Aussage f(x) = 1/x ist für x=0 nicht definiert ist eine für die Schule typische schlampige Aussage. Wenn man eine Funktion definiert, muß man als erstes angeben, was die Urbildmenge, und was die Bildmenge ist, und dann muß man jedem Element der Urbildmenge genau einen Wert der Bildmenge zuordnen. In der Schule ist immer klar, solange nichts anderes gesagt wird, sind Bild und Urbildmenge die reellen Zahlen. Klappt an einer Stelle die Zuordnungsvorschrift nicht, dann wird diese Stelle aus der Urbildmenge impliziet herausgenommen. Richtig hingegen ist: Die Funktion $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \setminus \{0\},x\mapsto {\frac {1}{x}}$ ist überall stetig, die Funktion $g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,x\mapsto {\begin{cases}{\frac {1}{x}}&{\mbox{falls }}x\neq 0\\C&sonst\end{cases}}$ ist im Punkt 0 unstetig, egal welchen Wert man für C nimmt.

Letztendlich ist die Stetigkeit ein Begriff der Topologie. Rein formal reicht es zu definieren, daß eien Funktion stetig heißt, wenn das Urbild offener Mengen offen ist. Die Stetigkeit reeller Funktionen und beliebiger Metriken ist dann gleich mitdefiniert. Allerdings wäre das für eine Darstellung hier reichlich gewagt, so vorzugehen.

Folgekonvergenz gilt nicht nur für reelle Zahlen und beliebige Metriken, sondern für beliebige Topologien.

Gleichmäßige Stetigkeit ist eine Eigenschaft von uniformen Räumen.

Ist f(x) stetig an der Stelle a, so ist die Umkehrfunktion $f^{-1}(x)$ stetig an der Stelle f(a): Dafür muß es erst mal eine Umkehrfunktion geben.

So, nachdem mein Diskusionsbeitrag nun mindestens so chaotisch ist wie der Artikel, höre ich besser auf. Ich wollte es nur zur Diskusion stellen, da eine so umfangreiche Änderung nicht mal so eben gemacht werden kann. --Schnitte 10:54, 24. Okt 2004 (CEST)

"f(x) = 1/x ist für x = 0 nicht definiert" finde ich ok, es gibt mit Sicherheit eine Möglichekeit, den Begriff "maximaler Definitionsbereich" oder "maximaler Bereich, in dem ein Term definiert ist" formal zu fassen. Mich stört an dieser Stelle eher "In der Schulmathematik sagt man dann, f wäre in der 0 unstetig". Wenn an der Schule Unsinn erzählt wird, ist das keine Entschuldigung dafür, den Unsinn hier zu wiederholen. (Ich habe mir sagen lassen, dass an der Uni gelegentlich derselbe Unsinn erzählt wird.)

Ein paar Beispiele zu unstetigen Funktionen wären nicht schlecht.

Folgenstetigkeit in beliebigen topologischen Räumen ist nicht dasselbe wie Stetigkeit (erstes (?) Abzählbarkeitsaxiom).--Gunther 10:42, 2. Mär 2005 (CET)

stetigkeit der umkehrfunktion

warum wird der def.bereich der im abschnitt "Stetigkeit der Umkehrfunktion" momentan genannten funktion so gross (und damit die vorschrift so kompliziert) gewaehlt, wenn doch eh bloss die (un)stetigkeit in 0 interessiert? und nur mal so interesse halber: wie lautet denn die vorschrift der umkehrfkt. von $f$ (in einer umgebung um 0)? --seth 01:16, 2. Mär 2005 (CET)

1. Hm, das war halt die erste Funktion, die mir so in den Sinn kam. Ein bisschen Abstand von der 0 braucht man für die Unstetigkeit, und mit kleinerem Definitionsbereich wäre die Funktion nicht einfacher.

2. Uh, also:

g(1/k) = 1/k, g(0) = 0. (Das war einfach.)

auf (1/2k, 1/(2k − 1)): g(x) = 1/x

auf (1/(2k + 1), 1/2k): g(x) = 1/(1/x − k).

Benutzer:SirJective hat dankenswerterweise auf Benutzer_Diskussion:Gunther Bilder des Funktionsgraphen eingestellt.--Gunther 02:04, 2. Mär 2005 (CET)

ahh, danke! ich bin ja soo doof. hatte die funktion falsch interpretiert (vielmehr falsch gelesen). jetzt hab ich die idee verstanden und finde sie auch ganz toll. die bilder allerdings gefallen mir nicht so gut, da die unstetigkeitsstellen verbunden sind. --seth 22:51, 2. Mär 2005 (CET)

Ist natuerlich ein Manko der Bilder, dass sie nicht zur "Stift-Definition" passen. Aber sie sagen trotzdem mehr als tausend Formeln...--Gunther 11:38, 3. Mär 2005 (CET)

verallgemeinerter Zwischenwertsatz oder Satz von Bolzano

Wo ist da die Verallgemeinerung? --213.54.208.95 01:30, 2. Mär 2005 (CET)

Nirgends, geändert.--Gunther 02:08, 2. Mär 2005 (CET)

"Spezialfälle" der Stetigkeit

Ich finde das Wort "Spezialfall" ungünstig gewählt, ich stelle mir darunter Beispiele vor, wie der Stetigkeitsbegriff in speziellen Fällen aussieht, nicht einen stärkeren Begriff. Wie wäre es mit "Andere Stetigkeitsbegriffe"?--Gunther 10:51, 2. Mär 2005 (CET)

Definition

Es mag ja sein, dass die vandalierte Definition korrekt ist, aber verständlich ist sie nicht. Zumindest die Quantoren sollte man ausschreiben.--Gunther 22:40, 14. Mai 2005 (CEST)

Hast recht, - bin aber dafür, dass die Definition an sich erhalten bleibt und ein (d.h. eine Funktion ist stetig...) bekommt. Tom1200 23:22, 14. Mai 2005 (CEST)

Ich glaube mit den zusätzlichen Punkten kann man es nun so stehen lassen. Die erste Definition ist recht elegant wenn man verstanden hat wie der Limes von Funktionen definiert ist; leider habe ich aber in der Wikipedia keine saubere Definition gefunden (nur über Folgen). Tom1200 16:54, 15. Mai 2005 (CEST)

globale stetigkeit

bei den aenderungen von Tom1200 (die ich im grossen und ganzen gut finde), bin ich auf ein paar ungereimtheiten gestossen. eine davon ist die lokale/globale stetigkeit. auf seite 6 des scriptums http://www.ruhr-uni-bochum.de/ffm/Lehrstuehle/Lehrstuhl-VII/daten/ana12002/skript/ana10602.pdf kann man recht schoen nachlesen, was lokal bedeutet. ich habe deswegen die / lokal(e[rns]?)?/ wieder geloescht./
die definition der globalen stetigkeit von Tom1200:
"Ist die Funktion $f:D\to \mathbb {R}$ an jeder Stelle $x$ im Intervall $\rbrack a;b\lbrack \in D$ stetig, so heißt die Funktion $f$ in diesem (offenen) Intervall global stetig."
habe ich vorerst mal auskommentiert, da sie imho naeherer erlaeuterung bedarf. (ausserdem soll es wohl $(a,b)\subseteq D$ heissen und nicht "\in").--seth 14:07, 16. Mai 2005 (CEST)

Zustimmung: Man sollte von "stetig in einem Punkt" und "stetig" sprechen. Lokal/global ist hier nicht sinnvoll.--Gunther 14:20, 16. Mai 2005 (CEST)

Auch hier Zustimmung, - anscheinend zwei Quellen etwas durcheinandergebracht. Nur eine Frage - ist es bei der Intervallschreibweise nicht besser die ]a,b[ anstatt die englische mit () zu verwenden - ich glaube Schüler tun sich mit der ersteren leichter. Tom1200 15:01, 16. Mai 2005 (CEST)

Edit: Nein, doch nicht geirrt, seht sinngemäß in der Quelle mit offenen Intervall, da die "Endpunkte" jeweils nicht differenzierbar sind. Andere Frage: Ist bei Bijektivität 'streng monoton' nötig?

zur intervall-schreibweise: beide schreibweisen werden sowohl in schulen als auch an den unis und in der fachliteratur benutzt. imho ist egal, was man davon verwendet. ich persoenlich finde die ()-variante huebscher.

den ersten satz des edits habe ich nicht verstanden. zur frage: ja. die umkehrfunktion einer reellen funktion ist anschaulich nur eine spiegelung an der hauptdiagonalen (f(x)=x). beim spiegeln des grafen einer monotonen, aber nicht streng monotonen funktion wuerde man nicht den grafen einer funktion erhalten. (verstoss gegen rechtseindeutigkeit)--seth 15:39, 16. Mai 2005 (CEST)

Z.B. ist $f(x)=1$ monoton, aber nicht streng monoton.--Gunther 15:44, 16. Mai 2005 (CEST)

Danke, das ist jetzt absolut klar. Nochmal zu meinen, - das Bild einer Funktion im Intervall [a,b] ist nicht zu verwechseln mit dem vom Zwischenwertsatz gelieferten Intervall [f(a),f(b)] (ich weiß ich habe es schlechter formuliert). Aber wenn es stimmt, dass das die Bildmenge nicht mit der Intervallmenge überein stimmen muss und das wollte ich klar machen. Zum Edit: es bezieht sich auf "das sollte noch in einer diskussion erlaetern werden:...".

Nochmal zur Intervall Schreibweise mit den runden Klammern. Auf Unis ist das schon klar, aber in der Schule ist sicher nicht üblich. Habe jetzt ein paar Leute gefragt und die kennen diese Schreibweise nicht. Und ich bin ehrlich gesagt auch nicht sonderlich glücklich darüber, da man es schnell verwechseln kann

[verwechslung von def.- und wertebereich] imho muss das im artikel nicht noch naeher ausgefuehrt werden. es steht ja schon jetzt zwei mal das gleiche da. aber ich moechte mich auch nicht kategorisch gegen einen gut formulierten zusatz stellen.

[globale stetigkeit] sorry, ich hab's immer noch nicht verstanden.

[intervall-schreibweise] "ein paar leute" gefragt. nun ja, vielleicht zu wenig. ;-) wir hatten in der schule beide schreibweisen kennengelernt, da wir lehrer hatten, welche die ()-variante, aber auch welche, die die ][-variante bevorzugten. beide varianten haben ihre vor- und nachteile (runde klammern sind ueberladen z.b. mit vektoren- und skalarproduktschreibweise; die ][-variante dagegen kann ein fliessendes lesen stoeren, da wir es gewohnt sind, klammern syntaktisch anders(herum) im kopf zu verarbeiten). ich finde, dass man es einem mathematik-interessierten schueler, der eine der beiden schreibweise noch nie gesehen hat, zumuten kann, dass er sich z.b. via google oder Intervall_(Mathematik) ueber deren bedeutung informiert; das wort "intervall" steht ja sogar fast immer dabei.--seth 10:49, 17. Mai 2005 (CEST)