Funktion (Mathematik)
Eine Funktion (engl.: function) drückt die Abhängigkeit einer Größe von einer anderen aus.
Traditionell wurden Funktionen als Regel oder Vorschrift definiert, die eine Eingangsgröße (das Argument) in eine Ausgangsgröße transformiert.
Heute definiert man Funktionen in Begriffen der Mengenlehre.
Ein Synonym zu Funktion ist Abbildung (engl.: map oder mapping).
Definition:
Ein Funktion weist jedem Element einer Definitionsmenge (Definitionsbereich) A genau ein Element einer Wertemenge (Wertebereich) B zu.
Eine Funktion ist daher eine N:1-Relation (d.h. linkstotal und rechtseindeutig).
Schreibweise:
f: A → B (statt f ⊆ A × B) oder f: x → f(x) oder y = f(x) (statt (x,y) ∈ f).
Sprechweise: "Funktion f von A nach B" bzw. "x wird abgebildet auf f von x" bzw. "y ist f von x".
Beispiel: f: R → R, f: x → x2, f(x)=x2.
Wichtige Eigenschaften von Funktionen sind:
- Bijektivität (= injektiv plus surjektiv)
Wichtige Begriffe:
- Das Bild (engl.: image) eines Elements x der Definitionsmenge ist einfach f(x).
- Das Bild einer Funktion (engl.: range oder image) ist die Menge aller Bilder, also f(A) = { f(x) : x ∈ A }
- Das Urbild (engl.: preimage) eines Elements y der Wertemenge ist die Menge aller Elemente der Definitionsmenge, deren Bild y ist. Man schreibt f-1(y) = { x ∈ A : f(x) = y }.
- Das Urbild einer Teilmenge M der Wertemenge ist die Menge aller Elemente der Definitionsmenge, deren Bild Element dieser Teilmenge ist. f-1(M) = { x ∈ A : f(x) ∈ M }.
- Die Komposition (engl.: composition) von Funktionen.
- Die Umkehrfunktion (engl.: inverse function) einer bijektiven Funktion weist jedem Element der Wertemenge das Urbildelement zu. (Bei bijektiven Funktionen hat das Urbild jedes Elements genau ein Element.)
Wichtige Funktionen:
Funktionen, die auf Zusammenhänge wie z.B. Operationen (Addition, etc.) in der Definitions- und der Wertemenge "Rücksicht nehmen", werden Morphismen genannt. Siehe Kategorientheorie.
In der Informatik treten Funktionen auch als Konstrukte in Programmiersprachen auf.