Diskussion:Differenzenquotient

Delta x ?

was bedeutet denn immer dieses $\displaystyle \Delta x$? wird das irgendwo mal für "normale" leute erklärt? 85.181.207.114

Steht doch ganz am Anfang da: $\displaystyle \Delta x$ sei eine beliebige, von 0 verschiedene Zahl... Mschcsc 20:44, 11. Nov. 2007 (CET)

1. Ableitung

Wenn am Ende sowieso die erste Ableitung rauskommt, warum mach ich die dann nicht gleich am Anfang?

Wenn beim Melken von Kühen am Ende sowieso Milch rauskommt, warum mach' ich dann nicht gleich am Anfang Milch?

Sorry, aber ich versteh' die Frage wirklich nicht.

Mschcsc 14:30, 9. Jan. 2008 (CET)

Kritikpunkte

• Verlinkung zu Ableitung fehlt.
• "Aus dem Differenzenquotienten ergibt sich durch Grenzwertbildung (Δx geht gegen Null) der Differentialquotient oder die Ableitung von f\left(x\right)" ist in dieser Allgemeinheit sachlich falsch. Die Aussage gilt bei an der Stelle x differenzierbaren Funktionen, hierfür ist die weiter oben erwähnte Stetigkeit aber gewiß nicht ausreichend. Und was heißt nun differenzierbar ? - Gerade, daß ein solcher Grenzwert existiert.
• Δx kann beiderlei Vorzeichen haben, eine Definition des Vorwärts- bzw. Rückwärtsdifferentialquotienten sollte also besser nicht das Vorzeichen vor Δx im Term f(x+Δx) ändern und zugleich abrupt die Voraussetzung Δx > 0 einführen, sondern besser Δx auf positive bzw. negative Werte beschränken.
• Wenn Vorwärts- bzw. Rückwärtsdifferentialquotient erwähnt werden, sollten auch linksseitige und rechtsseitige Ableitung und die Beziehung dazu angesprochen werden, sonst scheint das wenig sinnvoll.
• Beim zentralen Differentialquotienten sollte die Güte der Approximation der Ableitung diskutiert werden, sonst erscheint seine Erwähnung wenig sinnvoll.
• "Damit ist der Differenzenquotient wesentlich für die mathematische Basis der Analysis." Was soll das konkret heißen? Soll das heißen, die Analysis baue auf dem Begriff des Differentialquotienten auf? Dann halte ich es für unzutreffend. Denn die Analysis geht ja über die Analysis einer reeller Veränderlicher wesentlich hinaus, und nur wenn man sich auf einen Körper als Urbildraum beschränkt, kann man ja einen Begriff, der auf einem Quotienten, also eine Division aufsetzt, auch nur definieren.
• Ich finde eben und empfehle wärmstens einen Besuch bei Differentialrechnung#Einführung, dort ist das Wesentliche schon anschaulich wie begrifflich wie mit Bild zureichend abgehandelt, und erfreulicherweise wird auch die generischere Definition der Differenzierbarkeit als lineare Approximierbarkeit mit im Grenzwert verschwindender Störung gebracht.

--Silvicola 20:37, 11. Jan. 2008 (CET)

• Verlinkung zu Ableitung fehlt.

Ableitung führt den Leser zu einer Begriffsklärung, die auf Differentialrechnung verweist - und dazu ist der Artikel auch verlinkt; sowohl im Text als auch explizit unter "Siehe auch".

• "Aus dem Differenzenquotienten ergibt sich durch Grenzwertbildung (Δx geht gegen Null) der Differentialquotient oder die Ableitung von f\left(x\right)" ist in dieser Allgemeinheit sachlich falsch. Die Aussage gilt bei an der Stelle x differenzierbaren Funktionen, hierfür ist die weiter oben erwähnte Stetigkeit aber gewiß nicht ausreichend. Und was heißt nun differenzierbar ? - Gerade, daß ein solcher Grenzwert existiert.

Weiso ist das "sachlich falsch"? Es wird ja nicht behauptet, dass der Grenzwert immer und unter allen Umständen auch tatsächlich existieren muss. Hinzuschreiben, dass man den Grenzwert nur dann bilden kann, wenn er auch tatsächlich existiert, ist eine Tautologie.

Man kann auch schlecht "Differenzierbarkeit" als bekannt vorraussetzen um den Begriff "Differentialquotient" zu erklären.

Einen expliziten Hinweis darauf, dass der Grenzwert nicht zwangsläufig existieren muss könnte man aber tatsächlich im Artikel unterbringen.

• Δx kann beiderlei Vorzeichen haben, eine Definition des Vorwärts- bzw. Rückwärtsdifferentialquotienten sollte also besser nicht das Vorzeichen vor Δx im Term f(x+Δx) ändern und zugleich abrupt die Voraussetzung Δx > 0 einführen, sondern besser Δx auf positive bzw. negative Werte beschränken.

Δx auf ein bestimmtes Vorzeichen festzulegen ist eine unnötige und willkürliche Beschränkung. Die "aprupte" Vorraussetzung (Δx > 0) gilt hier ja nur im Kontext der Veranschaulichung der Begriffe Vorwärtsdifferenzenquotient und Rückwärtsdifferenzenquotient dazu, einen "Richtungswechsel" (auf dem Funktionsgraphen) zu vermeiden. Für Δx < 0 muss man beim Vorwärtsdifferenzenquotienten von $f\left(x\right)$ ausgehend "rückwärts" nach $f\left(x+\Delta x\right)$ gehen, um Δy zu ermitteln. Das ist mathematisch völlg korrekt, aber ich denke dem Leser sollte man diese unnötige Konfusion bei der Veranschaulichung des Begriffs wirklich ersparen - zumal die Definition davon ja unberührt bleibt.

Ich date zwar, das wäre klar, aber vielleicht könnte man ja etwas deutlicher herausstellen, dass sich (Δx > 0) bloß auf den Begriff "vorwärts" bzw. "rückwärts" im selben Satz bezieht. Vielleicht sollte man auch noch explizit darauf hinweisen, dass "vorwärts" und "rückwärts" sich auf einen gedachten Funktionsgraphen beziehen?

• Wenn Vorwärts- bzw. Rückwärtsdifferentialquotient erwähnt werden, sollten auch linksseitige und rechtsseitige Ableitung und die Beziehung dazu angesprochen werden, sonst scheint das wenig sinnvoll.

Gut, dass Du das ansprichst. Das ist nämlich ein weiterer Grund, weshalb man den Vorwärts- oder Rückwärtsdifferenzenquotienen gerade nicht am Vorzeichen von Δx festmachen sollte. Denn das Vorzeichen von Δx bestimmt darüber, ob der Grenzwertübergang die rechtsseitige oder die linksseitige Ableitung liefert. Man kann nun aber selbstverständlich sowohl für den Vorwärts-, für den Rückwärts- und den zentralen Differenzquotienten jeweils sowohl die linksseitige als auch die rechtsseitige Ableitung bestimmen (natürlich nur wenn beide existieren) - das Eine ist vom Anderen völlig unabhängig.

Eine Diskussion über rechtsseitige und linksseitige Ableitungen und Grenzwerte würde den Rahmen dieses Artikels wohl eindeutig sprengen - und ist sicher bei Artikeln über Grenzwerte und/oder Differentialquotienten besser aufgehoben.

• Beim zentralen Differentialquotienten sollte die Güte der Approximation der Ableitung diskutiert werden, sonst erscheint seine Erwähnung wenig sinnvoll.

Das wird im verlinkten Artikel zur numerischen Differentation betrachtet.

• "Damit ist der Differenzenquotient wesentlich für die mathematische Basis der Analysis." Was soll das konkret heißen? Soll das heißen, die Analysis baue auf dem Begriff des Differentialquotienten auf? Dann halte ich es für unzutreffend. Denn die Analysis geht ja über die Analysis einer reeller Veränderlicher wesentlich hinaus, und nur wenn man sich auf einen Körper als Urbildraum beschränkt, kann man ja einen Begriff, der auf einem Quotienten, also eine Division aufsetzt, auch nur definieren.

Dass die Analysis (unter anderem) auf dem Begriff des Differnzenquotienten aufbaut bedeutet ja nicht, dass sie auf nichts anderem als dem Differenzenquotienten beruht. Und dass eine Theorie über ihre Grundlagen hinausgeht scheint mir auch kein Widerspruch zu sein, sondern sogar selbstverständlich. Auch in historischem Kontext ist die Entwicklung der Analysis durch Newton und Leibnitz eng mit den Begriffen Sekantensteigung (=Differenzenquotient) und Tangentensteigung (=Differentialquotient) verknüpft.

• Ich finde eben und empfehle wärmstens einen Besuch bei Differentialrechnung#Einführung, dort ist das Wesentliche schon anschaulich wie begrifflich wie mit Bild zureichend abgehandelt, und erfreulicherweise wird auch die generischere Definition der Differenzierbarkeit als lineare Approximierbarkeit mit im Grenzwert verschwindender Störung gebracht.

Dass in diesem Artikel die Differenzierbarkeit abgehandelt wird, ist völlig in Ordnung. Vorwärts- und Rückwärtsdifferenzenquotient werden jedoch nicht erwähnt, was auch in Ordnung ist, denn der Artikel behandelt ja nicht den Differenzenquotienten, sonden den Differentialquotienten.

In diesem Artikel hier geht es aber in erster Linie um den Differenzenquotienten und nicht um den Differentialquotienten. Deshalb werden hier auch Vorwärts- Rückwärts und zentraler Differantiolquotiant besprochen, nicht aber die rechts- oder linksseitige Ableitung.

Der Differenzenquotient ist ein so wichtiger Begriff, dass er definitiv einen eigenen Artikel verdient, er spielt auch noch in anderen Bereichen der Mathematik eine Rolle, wie der bereits erwähnten numerischen Differentation und anderen Näherungsverfahren.

Ich finde es auch wichtig, dass man den Begriff irgendwo so beschreibt, dass er auch von demjenigen Leser verstanden werden kann, der mit Begriffen wie "Links-Rechtsseitige Ableitung", "Differenzierbarkeit", "Differenzial" etc. noch nichts anfangen kann. Wer bei "Differenzenquotient" nachschlägt, weil er's noch nicht (genau) weiss, der weiss wohl auch kaum was "Differenzierbarkeit" ist.

Mschcsc 00:10, 12. Jan. 2008 (CET)

Ableitung führt den Leser zu einer Begriffsklärung, die auf Differentialrechnung verweist - und dazu ist der Artikel auch verlinkt; sowohl im Text als auch explizit unter "Siehe auch". - Zugegeben, über Differentialquotient im Text und die Verwandten Themen. Das fettgeschriebene Ableitung trug keinen Link.

...ist in dieser Allgemeinheit sachlich falsch... -> "Wieso ist das "sachlich falsch"? Es wird ja nicht behauptet, dass der Grenzwert immer und unter allen Umständen auch tatsächlich existieren muss. Hinzuschreiben, dass man den Grenzwert nur dann bilden kann, wenn er auch tatsächlich existiert, ist eine Tautologie. - Weiter unten in der Antikritik heißt es, sinngemäß, daß der Artikel sich vor allem auch an Laien wende - "dass man den Begriff irgendwo so beschreibt, dass er auch von demjenigen Leser verstanden werden kann, der mit Begriffen wie ...". Der wird nun aber nicht gerade annehmen, daß ein Grenzwert auch nicht existieren kann, wenn schlankweg dasteht "Aus dem X ergibt sich durch Grenzwertbildung der Y". Zumindest muß da relativiert werden, à la "Differentialquotienten haben bei vielen Funktion für Δx -> 0 einen Grenzwert, den man Differentialquotient nennt", "... bei den meisten praktisch auftretenden Funktionen...", o.ä. Aber nur nichts sagen, was falsch ist oder verstanden werden könnte. Die schlechte Saat geht leider oft besser auf als die gute.

"Man kann auch schlecht "Differenzierbarkeit" als bekannt vorraussetzen, um den Begriff "Differentialquotient" zu erklären." - Durchaus einverstanden. Aber dann sollte man auch nicht im Schweinsgalopp gleich zur Ableitung kommen.

"Einen expliziten Hinweis darauf, dass der Grenzwert nicht zwangsläufig existieren muss könnte man aber tatsächlich im Artikel unterbringen." - Nur zu.

"Δx auf ein bestimmtes Vorzeichen festzulegen ist eine unnötige und willkürliche Beschränkung. Die "aprupte" Vorraussetzung (Δx > 0) gilt hier ja nur im Kontext der Veranschaulichung der Begriffe Vorwärtsdifferenzenquotient' und Rückwärtsdifferenzenquotient' dazu, einen "Richtungswechsel" (auf dem Funktionsgraphen) zu vermeiden. Für Δx < 0 muss man beim Vorwärtsdifferenzenquotienten von $f\left(x\right)$ ausgehend "rückwärts" nach $f\left(x+\Delta x\right)$ gehen, um Δy zu ermitteln. Das ist mathematisch völlg korrekt, aber ich denke dem Leser sollte man diese unnötige Konfusion bei der Veranschaulichung des Begriffs wirklich ersparen - zumal die Definition davon ja unberührt bleibt." - Mir sind VDnQ, RDnQ, ZDnQ bisher nur in der Numerik begegnet(Diskretisierung und Differenzenmethode zur Lösung von DGL). Dort wird dann statt Δx meist h benutzt, und h bezeichnet die Schrittweite. Obgleich formal wohl anders möglich, wird h praktisch stets als positiv genommen, denn für Gitterweiten usw. nimmt man die Elementarlänge halt gerne positiv, damit "kleineres h" stets zu "feineres Gitter" synonym bleibt. Was die Bezeichnungsteile vorwärts und rückwärts motiviert, ist also wohl, daß das Steigungsdreieck an der Kurve in einem Fall nach rechts an die Stützstelle x anliegt ("vorwärts"), und im anderen nach links. Läßt man dagegen Δx bzw. h beliebiges Vorzeichen haben, dann geht diese Anschauung verloren, weil das Steigungsdreieck durch VZW umkippt. Eine Erklärung im Stile von "Der VorwärtsDnQ heißt vorwärts, weil er, wenn zudem noch Δx > 0 vorausgesetzt wird (also in der Hälfte der Fälle!), wirklich vorwärts ist (wohingegen er in der anderen Hälfte dann wohl rückwärts ist!)", die ist verwirrend. Da muß also dringends umformuliert werden. Übrigens wäre den Laien unter den Lesern auch sehr geholfen, wenn sie nicht nur den Begriff Steigung läsen, sondern auch eine Graphik sähen vergleichbar der unter Differentialrechnung. Läßt man das VZ von Δx bei der Definition der speziellen DnQ allerdings offen, scheitert diese graphische Veranschaulichung.

Übrigens sollte bei der Definition von VDnQ, RDnQ, ZDnQ immer der ganze definierende Ausdruck stehen, und nicht nur der Zähler unter der Hand umdefiniert werden.

"Das ist nämlich ein weiterer Grund, weshalb man den Vorwärts- oder Rückwärtsdifferenzenquotienen gerade nicht am Vorzeichen von Δx festmachen sollte. Denn das Vorzeichen von Δx bestimmt darüber, ob der Grenzwertübergang die rechtsseitige oder die linksseitige Ableitung liefert. Man kann nun aber selbstverständlich für den Vorwärts-, für den Rückwärts- und den zentralen Differenzquotienten jeweils sowohl die linksseitige als auch die rechtsseitige Ableitung bestimmen (natürlich nur wenn beide existieren) - das Eine ist vom Anderen völlig unabhängig." - Die linksseitige Ableitung an Stelle x, wenn existent, ist gleich dem rechtseitigen Grenzwert des VDnQ und dem linksseitigen des RDnQ (nur erlaubt, wenn der nicht VZbeschränkt definiert verstanden wird). Wenn rechte und linke Ableitung existieren, aber verschieden sind, dann sind die Limiten von VDnQ wie RVnQ - wenn h im Limes nicht VZbeschränkt sein soll - gar nicht existent.

Eine Diskussion über rechtsseitige und linksseitige Ableitungen und Grenzwerte würde den Rahmen dieses Artikels wohl eindeutig sprengen - und ist sicher bei Artikeln über Grenzwerte und/oder Differentialquotienten besser aufgehoben. - Nun gut. Aber als reine Formelsammlung wäre der Artikel doch reichlich sinnlos. Man sollte im Text etwas darüber sagen, wo er vorkommt, etwa in der numerischen Lösung von DGL. Und zwar nicht nur, daß er dort vorkommt und unbestimmt wichtig ist, sondern etwas wie - ich improvisiere und skizziere aber wirklich nur - "DnQ finden bei der numerischen Lösung von DGL Verwendung. Dabei werden in den DGL statt der vorkommenden Ableitungen näherungsweise DnQs eingesetzt, womit die entstehenden Gleichungen einer Lösung mit einfachen algebraischen Methoden zugänglich werden." Die direkte Beziehung zu den einseitigen Ableitungen opfert man selbstredend, wenn man VDnQ und RDnQ nicht vorzeichenbeschränkt definiert.

"Dass die Analysis (unter anderem) auf dem Begriff des Differenzenquotienten aufbaut bedeutet ja nicht, dass sie auf nichts anderem als dem Differenzenquotienten beruht. Und dass eine Theorie über ihre Grundlagen hinausgeht, scheint mir auch kein Widerspruch zu sein, sondern sogar selbstverständlich. Auch in historischem Kontext ist die Entwicklung der Analysis durch Newton und Leibnitz eng mit den Begriffen Sekantensteigung (=Differenzenquotient) und Tangentensteigung (=Differentialquotient) verknüpft." - Dann sollte man ziemlich genau das sagen: DnQs waren in der geschichtlichen Entwicklung der Mathematik bedeutsam, weil ... Leibniz, Newton, ... Entstehung des Grenzwertbegriff, ... Begründung der Infinitesimalrechnung ..."

Differenzen von Funktionswerten beliebiger mathematischen Funktionen können i.a. nicht den Zähler eines Bruches bilden. Der erste Satz muß umformuliert werden.

-- Silvicola 14:00, 12. Jan. 2008 (CET)

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Ableitung führt den Leser zu einer Begriffsklärung, die auf Differentialrechnung verweist - und dazu ist der Artikel auch verlinkt; sowohl im Text als auch explizit unter "Siehe auch". - Zugegeben, über Differentialquotient im Text und die Verwandten Themen. Das fettgeschriebene Ableitung trug keinen Link.

Aus gutem Grund. Denn Ableitung führt auch wieder bloß zu dem bereits verlinkten Differentialquotienten - nur muss der Leser noch die Begriffserklärung durchforsten und nochmal klicken!

...ist in dieser Allgemeinheit sachlich falsch... -> "Wieso ist das "sachlich falsch"? Es wird ja nicht behauptet, dass der Grenzwert immer und unter allen Umständen auch tatsächlich existieren muss. Hinzuschreiben, dass man den Grenzwert nur dann bilden kann, wenn er auch tatsächlich existiert, ist eine Tautologie. - Weiter unten in der Antikritik heißt es, sinngemäß, daß der Artikel sich vor allem auch an Laien wende - "dass man den Begriff irgendwo so beschreibt, dass er auch von demjenigen Leser verstanden werden kann, der mit Begriffen wie ...". Der wird nun aber nicht gerade annehmen, daß ein Grenzwert auch nicht existieren kann, wenn schlankweg dasteht "Aus dem X ergibt sich durch Grenzwertbildung der Y". Zumindest muß da relativiert werden, à la "Differentialquotienten haben bei vielen Funktion für Δx -> 0 einen Grenzwert, den man Differentialquotient nennt", "... bei den meisten praktisch auftretenden Funktionen...", o.ä. Aber nur nichts sagen, was falsch ist oder verstanden werden könnte. Die schlechte Saat geht leider oft besser auf als die gute.

Aber est ist totzdem nicht die Aufgabe eines Artikels über den Differenzenquotienten, hier die Existenzbedingungen für die Grenzwertbildung zu diskutieren - da gibt's doch wirklich bessere und ausführlichere Artikel, die nur einen Mausklick entfernt sind.

"Man kann auch schlecht "Differenzierbarkeit" als bekannt vorraussetzen, um den Begriff "Differentialquotient" zu erklären." - Durchaus einverstanden. Aber dann sollte man auch nicht im Schweinsgalopp gleich zur Ableitung kommen.

Naja, aber man muss auch nicht jeden einfachen Zusammenhang zugunsten der "reinen Mathematik" unnötig verkomplizieren. Man darf natürlich nichts falsches zugunsten der Anschaulichkeit behaupten, da bin ich völlig einig. Ich teile auch deine Meinung, dass man nichts Wesentliches unter den Tisch fallen lasen darf. Aber man muss nicht jedesmal, wenn man von einem Verhältnis oder Bruch redet, auch hinschreiben, dass der Nenner nicht Null sein darf oder dass der Zähler nicht über alle Grenzen wachsen darf.

Was aber nun konkret die Grenzwertbildung anbelangt, so ist es ja keineswegs so, dass der Grenzwertbegriff die Unterscheidung von "oberem" und "unterem" Grenzwert als bestandteil seiner Definition enthält. Ganz im Gegenteil baut der Grenzwertbegriff ganz explizit auf dem Begriff der $\varepsilon >0$-Umgebung auf. "Oberer" und "unterer Grenzwert" interessieren erst wenn's darum geht zwischen "differenzierbar" und "nicht-differenzierbar" zu unterscheiden. Für die Ableitung sieht das nochmals anders aus, denn eine stetige Funktion die in x0 nicht differenzierbar ist, hat trotzdem sehr wohl Ableitungen (nämlich die Rechtsseitige und Linksseitige). So gesehen ist die Gleichsetzung von "Differentialquotient" und "Ableitung" nicht richtig - ich werde das korrigieren; und vielleicht sogar noch kurz auf links- und rechtsseitige Grenzwerte bzw. Ableitungen eingehen.

"Einen expliziten Hinweis darauf, dass der Grenzwert nicht zwangsläufig existieren muss könnte man aber tatsächlich im Artikel unterbringen." - Nur zu.

Mal sehen, Steht aber auch Dir - und allen anderen frei, einzufügen.

"Δx auf ein bestimmtes Vorzeichen festzulegen ist eine unnötige und willkürliche Beschränkung. Die "aprupte" Vorraussetzung (Δx > 0) gilt hier ja nur im Kontext der Veranschaulichung der Begriffe Vorwärtsdifferenzenquotient' und Rückwärtsdifferenzenquotient' dazu, einen "Richtungswechsel" (auf dem Funktionsgraphen) zu vermeiden. Für Δx < 0 muss man beim Vorwärtsdifferenzenquotienten von $f\left(x\right)$ ausgehend "rückwärts" nach $f\left(x+\Delta x\right)$ gehen, um Δy zu ermitteln. Das ist mathematisch völlg korrekt, aber ich denke dem Leser sollte man diese unnötige Konfusion bei der Veranschaulichung des Begriffs wirklich ersparen - zumal die Definition davon ja unberührt bleibt." - Mir sind VDnQ, RDnQ, ZDnQ bisher nur in der Numerik begegnet(Diskretisierung und Differenzenmethode zur Lösung von DGL). Dort wird dann statt Δx meist h benutzt, und h bezeichnet die Schrittweite. Obgleich formal wohl anders möglich, wird h praktisch stets als positiv genommen, denn für Gitterweiten usw. nimmt man die Elementarlänge halt gerne positiv, damit "kleineres h" stets zu "feineres Gitter" synonym bleibt. Was die Bezeichnungsteile vorwärts und rückwärts motiviert, ist also wohl, daß das Steigungsdreieck an der Kurve in einem Fall nach rechts an die Stützstelle x anliegt ("vorwärts"), und im anderen nach links. Läßt man dagegen Δx bzw. h beliebiges Vorzeichen haben, dann geht diese Anschauung verloren, weil das Steigungsdreieck durch VZW umkippt. Eine Erklärung im Stile von "Der VorwärtsDnQ heißt vorwärts, weil er, wenn zudem noch Δx > 0 vorausgesetzt wird (also in der Hälfte der Fälle!), wirklich vorwärts ist (wohingegen er in der anderen Hälfte dann wohl rückwärts ist!)", die ist verwirrend. Da muß also dringends umformuliert werden.

Ein festlegen des Vorzeichens würde aber ebenfalls den gedanklichen Wechsel von f(x0) zu f(x0+Δx) erfordern, und das ist noch viel verwirrender - und ausserdem sogar falsch, denn f(x0+Δx) hat nach dem vollzogenen Grenzwertübergang einen anderen Wert (nämlich f(x0) weil das endliche Δx "verschwunden" ist) als vorher. Beim Differentialquotienten ist es egal, da nach der Grenzwertbildung f(x0+Δx) und f(x0) sowieso identisch sind, aber beim Differenzenquotienten kann der Unterschied von f(x0) und f(x0+Δx) z.B. den Unterschied zwischen Differenzierbarkeit und nicht-Differenzierbarkeit bedeuten.

Man darf auch nicht einfach klare formale Definitionen zugunsten der Anschauung "umbiegen" oder "einschränken"; es geht hier nämlich nicht um Geometrie.

Übrigens wäre den Laien unter den Lesern auch sehr geholfen, wenn sie nicht nur den Begriff Steigung läsen, sondern auch eine Graphik sähen vergleichbar der unter Differentialrechnung. Läßt man das VZ von Δx bei der Definition der speziellen DnQ allerdings offen, scheitert diese graphische Veranschaulichung.

Grafik ist ja inzwischen da... Dass man das Vorzeichen von Δx nicht festlegen darf scheint dir immer noch nicht klar zu sein. Damit würde man sich ja schon von vorneherein bei der Grenzwertbildung auf den linksseitigen oder rechtsseitigen Grenzwert festlegen, und sich damit jede Möglichkeit verbauen, den Differenzialquotienten überhaupt zu ermitteln, weil man ja nur einen der beiden Grenzwerte bestimmen könnte. Die Differenzierbarkeit einer Funktion wäre damit unendscheidbar.

Übrigens sollte bei der Definition von VDnQ, RDnQ, ZDnQ immer der ganze definierende Ausdruck stehen, und nicht nur der Zähler unter der Hand umdefiniert werden.

Einverstanden, könnte man besser darstellen.

"Das ist nämlich ein weiterer Grund, weshalb man den Vorwärts- oder Rückwärtsdifferenzenquotienen gerade nicht am Vorzeichen von Δx festmachen sollte. Denn das Vorzeichen von Δx bestimmt darüber, ob der Grenzwertübergang die rechtsseitige oder die linksseitige Ableitung liefert. Man kann nun aber selbstverständlich für den Vorwärts-, für den Rückwärts- und den zentralen Differenzquotienten jeweils sowohl die linksseitige als auch die rechtsseitige Ableitung bestimmen (natürlich nur wenn beide existieren) - das Eine ist vom Anderen völlig unabhängig." - Die linksseitige Ableitung an Stelle x, wenn existent, ist gleich dem rechtseitigen Grenzwert des VDnQ und dem linksseitigen des RDnQ (nur erlaubt, wenn der nicht VZbeschränkt definiert verstanden wird). Wenn rechte und linke Ableitung existieren, aber verschieden sind, dann sind die Limiten von VDnQ wie RVnQ - wenn h im Limes nicht VZbeschränkt sein soll - gar nicht existent.

Falsch, die Grenzwerte sind normalerweise sehr wohl vorhanden, sie sind nur nicht gleich. Linke und Rechte Ableitung sind nichts anderes als ebendiese links- bzw. rechtsseitigen Grenzwerte.

Eine Diskussion über rechtsseitige und linksseitige Ableitungen und Grenzwerte würde den Rahmen dieses Artikels wohl eindeutig sprengen - und ist sicher bei Artikeln über Grenzwerte und/oder Differentialquotienten besser aufgehoben. - Nun gut. Aber als reine Formelsammlung wäre der Artikel doch reichlich sinnlos. Man sollte im Text etwas darüber sagen, wo er vorkommt, etwa in der numerischen Lösung von DGL. Und zwar nicht nur, daß er dort vorkommt und unbestimmt wichtig ist, sondern etwas wie - ich improvisiere und skizziere aber wirklich nur - "DnQ finden bei der numerischen Lösung von DGL Verwendung. Dabei werden in den DGL statt der vorkommenden Ableitungen näherungsweise DnQs eingesetzt, womit die entstehenden Gleichungen einer Lösung mit einfachen algebraischen Methoden zugänglich werden." Die direkte Beziehung zu den einseitigen Ableitungen opfert man selbstredend, wenn man VDnQ und RDnQ nicht vorzeichenbeschränkt definiert.

Eine Erweiterung des Artikels halte ich auch für begrüssenswert.

"Dass die Analysis (unter anderem) auf dem Begriff des Differenzenquotienten aufbaut bedeutet ja nicht, dass sie auf nichts anderem als dem Differenzenquotienten beruht. Und dass eine Theorie über ihre Grundlagen hinausgeht, scheint mir auch kein Widerspruch zu sein, sondern sogar selbstverständlich. Auch in historischem Kontext ist die Entwicklung der Analysis durch Newton und Leibnitz eng mit den Begriffen Sekantensteigung (=Differenzenquotient) und Tangentensteigung (=Differentialquotient) verknüpft." - Dann sollte man ziemlich genau das sagen: DnQs waren in der geschichtlichen Entwicklung der Mathematik bedeutsam, weil ... Leibniz, Newton, ... Entstehung des Grenzwertbegriff, ... Begründung der Infinitesimalrechnung ..."

Man könnte darüber nachdenken, auch einen Abschnitt über die historische Entwicklung und Bedeutung einzufügen - halte ich aber für etwas übertrieben. Mit ging es eher darum dass die Differentialrechnung - und besonders der von dir genannte Artikel - "logisch" auf dem Bgriff des Differentenquotienten aufbaut, weil - wie im Artikel geschrieben - der Differentialquotient und die Ableitungen aus der Grenzwertbildung eines Differenzenquotienten hervorgehen.

Differenzen von Funktionswerten beliebiger mathematischen Funktionen können i.a. nicht den Zähler eines Bruches bilden. Der erste Satz muß umformuliert werden.

Zeig' mal ein Gegenbeispiel.

Noch eine Bemerkung am Rande: Ernstgemeinte Kritik in allen Ehren, aber die etwas "herben" Ausdrücke hier und auf der QS-Seite, von wegen Die schlechte Saat geht leider oft besser auf als die gute, Schweinsgalopp, enthält Unrichtigkeiten, was dort steht und mit sehr viel gutem Willen als stimmig angesehen werden könnte finde ich etwas unangebracht. Dass der Artikel noch sehr rudimentär und verbesserungswürdig sowie ausbaufähig ist, steht ausser Frage. Trotzdem solltest Du nicht ausser Acht lassen dass hinter den Artikeln Menschen stehen (die Autoren (bisher hauptsächlich ich selbst) und die "Nachleser") die sich redlich Mühe gegeben haben einen inhaltlich Korrekten, leicht verständlichen und übersichtlichen Artikel zu gestalten. Konstruktive Mitarbeit und "harte" aber sachliche Kritik ist sehr willkommen, das lautstarke "Heruntermachen" und Phrasenschwingen ("die schlechte Saat") ist aber eher kontraproduktiv und wirkt auch nicht besonders glaubwürdig.

Aber wie gesagt, das bloß am Rande als (freundlicher) Wink mit dem Zaunpfahl.

Mschcsc 17:21, 12. Jan. 2008 (CET)

"Aber est ist totzdem nicht die Aufgabe eines Artikels über den Differenzenquotienten, hier die Existenzbedingungen für die Grenzwertbildung zu diskutieren - da gibt's doch wirklich bessere und ausführlichere Artikel, die nur einen Mausklick entfernt sind." - Sicher nicht. Es geht nicht darum, hier etwa hinreichende - oder gar notwendige, viel Glück! - Bedingungen für Diffbarkeit zu nennen, sondern nur zu sagen, daß es solche gibt. Darum ja auch die Vagheit der genannten Vorschläge "Differenzenquotienten (Schreibfehler von mir korrigiert!) haben bei vielen Funktionen...", "... bei den meisten praktisch auftretenden Funktionen...".

"Man kann auch schlecht "Differenzierbarkeit" als bekannt vorraussetzen, um den Begriff "Differentialquotient" zu erklären." - Durchaus einverstanden. Aber dann sollte man auch nicht im Schweinsgalopp gleich zur Ableitung kommen.

"Was aber nun konkret die Grenzwertbildung anbelangt, so ist es ja keineswegs so, dass der Grenzwertbegriff die Unterscheidung von "oberem" und "unterem" Grenzwert als bestandteil seiner Definition enthält." - Oben und unten sind Begriffe, die eine Ordnung ("größer", "kleiner" etc.) voraussetzen. Es besitzen aber bei weitem nicht alle Räume, in denen Differentialrechnung betrieben werden kann, oder in denen bestimmte Grenzwerte existieren, eine Ordnung, vgl. die komplexen Zahlen. Umgekehrt gibt es geordnete Strukturen, in denen keine Differentialrechnung betrieben werden kann. Der Zusammenhang - böse gesagt die Verquickung - von Ordnungseigenschaften mit Grenzprozessen ist ein Spezifikum der reellen Zahlen.

"Ganz im Gegenteil baut der Grenzwertbegriff ganz explizit auf dem Begriff der $\varepsilon >0$-Umgebung auf." - Ja, mehr braucht es gar nicht.

"denn eine stetige Funktion die in x0 nicht differenzierbar ist, hat trotzdem sehr wohl Ableitungen (nämlich die Rechtsseitige und Linksseitige)" - Gegenbeispiel: f(x) := x*sin(1/x) für abs(x) > 0, f(0) := 0 ist stetig und hat in x=0 weder linke noch rechte Ableitung.

Ein festlegen des Vorzeichens würde aber ebenfalls den gedanklichen Wechsel von f(x0) zu f(x0+Δx) erfordern, und das ist noch viel verwirrender - und ausserdem sogar falsch, denn f(x0+Δx) hat nach dem vollzogenen Grenzwertübergang einen anderen Wert (nämlich f(x0) weil das endliche Δx "verschwunden" ist) als vorher. Beim Differentialquotienten ist es egal, da nach der Grenzwertbildung f(x0+Δx) und f(x0) sowieso identisch sind, aber beim Differenzenquotienten kann der Unterschied von f(x0) und f(x0+Δx) z.B. den Unterschied zwischen Differenzierbarkeit und nicht-Differenzierbarkeit bedeuten. - Das Vorgehende habe ich, glaube ich, nicht verstanden. Geht es etwa um die asymmetrische Behandlung der beiden Stellen der Funktion beim Grenzübergang, daß man nämlich die eine - die Stelle, für die man dann den DlQ - hoffentlich - durch Grenzübergang erhält, festhält, die andere aber variieren läßt? - Es gibt ja auch eine Definition des DnQ für zwei Stützstellen x, y als ((f(y)-f(x))/(y-x), die diese Asymmetrie nicht aufweist. Der Ausdruck mit x+Δx statt y ist wohl als eine vorbereitende Formulierung für einen danach bald angestrebten Grenzübergang anzusehen, der Ausdruck mit h+Δx statt y bereitet aufs - i.W. - äquidistante Gitter vor. - Aber ich habe wohl doch nicht verstanden, was mit dem Einwand gemeint war.

"Dass man das Vorzeichen von Δx nicht festlegen 'darf' scheint dir immer noch nicht klar zu sein. Damit würde man sich ja schon von vorneherein bei der Grenzwertbildung auf den linksseitigen oder rechtsseitigen Grenzwert festlegen, und sich damit jede Möglichkeit verbauen, den Differenzialquotienten überhaupt zu ermitteln, weil man ja nur einen der beiden Grenzwerte bestimmen könnte. Die Differenzierbarkeit einer Funktion wäre damit unentscheidbar." - Ich hatte bei diesen Beschränkungen für Δx sebstredend immer nur VDnQ und RDnQ im Auge, wegen der dortigen Üblichkeiten. Nicht den "normalen" DnQ.

"Wenn rechte und linke Ableitung existieren, aber verschieden sind, dann sind die Limiten von VDnQ wie RVnQ - wenn h im Limes nicht VZbeschränkt sein soll - gar nicht existent." -> "Falsch, die Grenzwerte sind normalerweise sehr wohl vorhanden, sie sind nur nicht gleich. Linke und Rechte Ableitung sind nichts anderes als ebendiese links- bzw. rechtsseitigen Grenzwerte." - Beispiel: Setze f(x) := abs(x) und betrachte die Stelle x = 0. Dann ist für Δx verschieden von 0 stets VDnQ = abs(Δx)/Δx = sign(Δx). Also kann kein Grenzwert (schlechthin, also bei beliebiger Annäherung!) für Δx gegen 0 existieren; von links bzw. von rechts ist er aber -1 bzw. 1. Ganz allgemein: VDnQ(Δx) = RDnQ(-Δx). Dies alles ergibt sich so, wenn man für das Vorzeichen von Δx volle Freiheit hat.

Man könnte darüber nachdenken, auch einen Abschnitt über die historische Entwicklung und Bedeutung einzufügen - halte ich aber für etwas übertrieben. - Ein Traktat muß es ja nicht werden.

Mir ging es eher darum dass die Differentialrechnung ..."logisch" auf dem Begriff des Differentenquotienten aufbaut. - Siehe nächsten Punkt.

Differenzen von Funktionswerten beliebiger mathematischen Funktionen können i.a. nicht den Zähler eines Bruches bilden. Der erste Satz muß umformuliert werden. -> Zeig' mal ein Gegenbeispiel. - Sei f1 die Funktion, die jedem Buchstaben des Alphabetes seine Nummer zuordnet, sei f2 die Umkehrung dazu. Sei f3 die Funktion, die jeder Zahl zwischen 0 und 1 die unendliche Folge ihrer Dezimalziffern zuordnet ( wobei bei Zahlen der Gestalt m / 10^n der entsprechende nichtabbrechende Dezimalbruch auf ...999999... genommen werden soll). Sei f4 die Funktion, die jeder reellen Zahl r die Einermenge mit nur r als Element zuordnet. ... Keine dieser Funktionen ist diffbar, aus z.T. verschiedenen Gründen. Sei f5 die Funktion von n reellen Argumenten, die ihren Argumenten deren Summe zuordnet. Diese Funktion ist zwar (total) differenzierbar, aber die Ableitung entsteht nicht als Grenzwert eines Differenzenquotienten - man müßte dazu durch einen Vektor differenzieren können -, so daß ein solcher für sie auch nicht wie auch immer fundamental sein kann, oder die Ableitung logisch auf ihn aufbauen.

"Heruntermachen" und Phrasenschwingen ("die schlechte Saat") - Erstmals beim Nachhilfegeben in meiner Schulzeit habe ich festgestellt, das Wichtigste ist es, ja nie versehentlich etwas Falsches zu sagen oder zu verstehen zu geben. Denn genau das merkten sich dann fatalerweise die Mitschüler besonders gut, vulgo: meine schlechte Saat ging besser auf als meine gute. Oder: Mißverständnisse können fatale Wirkungen zeitigen. Mehr war da nicht intendiert.

-- Silvicola 02:45, 13. Jan. 2008 (CET)

Kritikpunkte II

Mal ein neuer Abschnitt, der Übersichtlichkeit halber. Mir scheint ja dass sich einige unserer Standpunkte annähern. In anderem scheinen die Meinungen noch auseinanderzugehen.

Zu -- Silvicola 02:45, 13. Jan. 2008 (CET):

• "Aber est ist totzdem nicht die Aufgabe eines Artikels über den Differenzenquotienten, hier die Existenzbedingungen für die Grenzwertbildung zu diskutieren - da gibt's doch wirklich bessere und ausführlichere Artikel, die nur einen Mausklick entfernt sind." - Sicher nicht. Es geht nicht darum, hier etwa hinreichende - oder gar notwendige, viel Glück! - Bedingungen für Diffbarkeit zu nennen, sondern nur zu sagen, daß es solche gibt. Darum ja auch die Vagheit der genannten Vorschläge "Differenzenquotienten (Schreibfehler von mir korrigiert!) haben bei vielen Funktionen...", "... bei den meisten praktisch auftretenden Funktionen...".

Einverstanden. Ich denke das kommt in der jetzigen Version klar zum Ausdruck, dass die Möglichkeit zur Grenzwertbildung nicht zwangsläufig gegeben ist. Sogar die Bedungung für Differenzierbarkeit ist erwähnt. Weiterführende Erklärungen gehören aber wirklich nicht mehr hierher, sondern zum Differentialquotienten, einverstanden?

• "Was aber nun konkret die Grenzwertbildung anbelangt, so ist es ja keineswegs so, dass der Grenzwertbegriff die Unterscheidung von "oberem" und "unterem" Grenzwert als bestandteil seiner Definition enthält." - Oben und unten sind Begriffe, die eine Ordnung ("größer", "kleiner" etc.) voraussetzen. Es besitzen aber bei weitem nicht alle Räume, in denen Differentialrechnung betrieben werden kann, oder in denen bestimmte Grenzwerte existieren, eine Ordnung, vgl. die komplexen Zahlen. Umgekehrt gibt es geordnete Strukturen, in denen keine Differentialrechnung betrieben werden kann. Der Zusammenhang - böse gesagt die Verquickung - von Ordnungseigenschaften mit Grenzprozessen ist ein Spezifikum der reellen Zahlen.

Daher steht da auch ausdrücklich ..Angewandt auf stetige, reellwertige Funktionen..! Wo liegt also das Problem? Wenn irgendjemandem an dieser Stelle trotz ausrücklicher Ewähnung und Bildchen nicht klar ist, dass hier von der "Steigung eines des Funktionsgraphen" die Rede ist, und nicht von irgendwelchen exotischen "Räumen", dann ist ihm wirklich nicht mehr zu helfen...

Ich finde im ganzen Artikel weder "stetig" noch "reell". Mir ist jetzt, glaube ich, klar, daß alle Funktionen, die nicht von R nach R gehen, im Artikel willentlich außer Betracht bleiben. Keine geringe Einschränkung, und eine, die dann wenigstens schon eingangs explizit genannt werden sollte, sonst bezieht wohl mancher Definitionen und Aussagen auf Allgemeineres, und dann werden sie falsch. Z.B. bei den vordem genannten Funktionen f1, f2, ... f5.

"Der Differenzenquotient, auch Differenzquotient genannt, ist ein Bruch, der sich aus einer beliebigen mathematischen Funktion f(x) wie folgt ergibt..." Nehmen wir f2. Die Rechenzeichen +, - und / operieren nur auf Zahlen, also ist völlig unklar, was denn etwa die Differenz zweier Buchstaben sein sollte, und im DnQ dann durch etwas zu dividieren, wovon schon die Art, der Datentyp unklar - wenn überhaupt festlegbar - ist, das ist gänzlich unmöglich. Ein Bruch ist nach meinem Sprachverständnis immer nur aus zwei skalaren Zahlgrößen gebildet (beim Ausdruck Quotient mag es da größere Freiheiten geben, er mag etwa die Division eines Vektors durch einen Skalar erlauben). Also kann sich der DnQ auch nicht aus einer beliebigen Funktion ergeben. Denn dividiert kann eben nie durch Dingsda–Weiß-nicht-was-das-überhaupt-ist werden.

Noch ein Beispiel: Sei f6 die Abbildung, die jedem Menschen seinen Vater zuordnet. Was ist der Differenzenquotient von x=Einstein mit Δx = 0,01? Da ergibt sich nun wirklich nichts!

• "Ganz im Gegenteil baut der Grenzwertbegriff ganz explizit auf dem Begriff der $\varepsilon >0$-Umgebung auf." - Ja, mehr braucht es gar nicht.

Dann sind wir uns ja einig. einseitige Genzwerte ergeben sich jedoch erst aus einer Zusatzbedingung - da braucht es eben trotzdem ein ganz klein wenig "mehr"...

Den Begriff des linksseitigen/rechtsseitigen Grenzwertes gibt es etwa im Komplexen gar nicht. (Das nur noch mal zum Thema Alles-ist-natürlich-immer-reell)

• "denn eine stetige Funktion die in x0 nicht differenzierbar ist, hat trotzdem sehr wohl Ableitungen (nämlich die Rechtsseitige und Linksseitige)" - Gegenbeispiel: f(x) := x*sin(1/x) für abs(x) > 0, f(0) := 0 ist stetig und hat in x=0 weder linke noch rechte Ableitung.

Gut, erwischt, richtig wäre, dass eine Funktion, die in x0 nicht differenzierbar ist, trotzdem sehr wohl Ableitungen haben kann, ums's ganz genau und unmissverstöndlich zu sagen nämlich entweder die Rechseitige oder die Linkseitige oder beide (oder halt eben gar keine).

Abgesehen von dieser Stelle habe ich im restlichen Text diesbezüglich aber besser aufgepasst und korrekt von "nicht notwendigem Fehlen der Ableitungen" gesprochen.

Ich verstehe diese Formulierung nicht, zumal im ganzen Artikel auch das Wort notwendig nicht vorkommt. Sollte damit auf die Formulierung "Vorausgesetzt, die beiden links- und rechtsseitigen Ableitungen existieren überhaupt und sind zudem identisch, so heißt ..." verwiesen werden? - Ja, das ist eine klare Verbesserung.

• Ein festlegen des Vorzeichens würde aber ebenfalls den gedanklichen Wechsel von f(x0) zu f(x0+Δx) erfordern, und das ist noch viel verwirrender - und ausserdem sogar falsch, denn f(x0+Δx) hat nach dem vollzogenen Grenzwertübergang einen anderen Wert (nämlich f(x0) weil das endliche Δx "verschwunden" ist) als vorher. Beim Differentialquotienten ist es egal, da nach der Grenzwertbildung f(x0+Δx) und f(x0) sowieso identisch sind, aber beim Differenzenquotienten kann der Unterschied von f(x0) und f(x0+Δx) z.B. den Unterschied zwischen Differenzierbarkeit und nicht-Differenzierbarkeit bedeuten. - Das Vorgehende habe ich, glaube ich, nicht verstanden. Geht es etwa um die asymmetrische Behandlung der beiden Stellen der Funktion beim Grenzübergang, daß man nämlich die eine - die Stelle, für die man dann den DlQ - hoffentlich - durch Grenzübergang erhält, festhält, die andere aber variieren läßt? - Es gibt ja auch eine Definition des DnQ für zwei Stützstellen x, y als ((f(y)-f(x))/(y-x), die diese Asymmetrie nicht aufweist. Der Ausdruck mit x+Δx statt y ist wohl als eine vorbereitende Formulierung für einen danach bald angestrebten Grenzübergang anzusehen, der Ausdruck mit h+Δx statt y bereitet aufs - i.W. - äquidistante Gitter vor. - Aber ich habe wohl doch nicht verstanden, was mit dem Einwand gemeint war.

"Vorbereitung auf den angestrebten Grenzwertübergang" könnte man vielleicht sagen, es geht aber eigentlich nicht darum, irgendwelche darauf aufbauende Definitionen vorwegunehmen oder "vorzubereiten", sondern darum, sie nicht durch willkürliche Definitionen schon im vorneherein zu erschweren oder zu verunmöglichen. Die Einschränkung von Δx auf positive Werte stünde im Widerspruch zur Operaton des liksseitigen Grenzwertes, denn wie kann ich den zweiten Sekantenstützpunkt x0+Δx "von links" an x0 annähern wnn ich Δx per Definition auf positive Werte einenge? Wennich x0+Δx "von links" an x0 annähern will, so muss Δx zwingend negativ sein!

• "Dass man das Vorzeichen von Δx nicht festlegen 'darf' scheint dir immer noch nicht klar zu sein. Damit würde man sich ja schon von vorneherein bei der Grenzwertbildung auf den linksseitigen oder rechtsseitigen Grenzwert festlegen, und sich damit jede Möglichkeit verbauen, den Differenzialquotienten überhaupt zu ermitteln, weil man ja nur einen der beiden Grenzwerte bestimmen könnte. Die Differenzierbarkeit einer Funktion wäre damit unentscheidbar." - Ich hatte bei diesen Beschränkungen für Δx sebstredend immer nur VDnQ und RDnQ im Auge, wegen der dortigen Üblichkeiten. Nicht den "normalen" DnQ.

Ich halte es keineswegs für selbstredend zu Wissen was Du "im Auge" hattest. Ausserdem scheinst Du immer noch einer Verwechslung aufzusitzen. Die Wahl von "Vorwärts-", "Rückwärts" oder "zentralem Differenzenquotienten" hat mit dem Vorzeichen von Δx erstmal überhaupt nichts zu tun!

Zur Ermittlung des Differentialquotienten muss einfach immer sowohl der linksseitige (Δx negativ) als auch der rechtsseitige (Δx positiv) Grenzwert des Differenzenquotienten bestimmt werden, ganz egal ob ich nun zur Berechnung vom Vorwärts- vom Rückwärts, vom zentralen oder meinetwegen von sonst irgendeinen Differenzenquotienten dazwischen ausgehe! Um den Differentialquotienten zu erhalten, muss Δx in jedem Falle sowohl "von rechts (aus dem Positiven)" als auch "von links (aus dem Negativen)" gegen 0 streben.

Siehe nächsten Punkt.

Wenn der rechtsseitige Differenzenquotient einem positiven Δx entspräche, und der linksseitige einem negativen Δx, was für ein Vorzeichen nähme Δx denn beim zentralen Differenzenquotienten an? Eine Festlegung des Vorteichens zur Definition der "Richtung" des Differenzenquotienen verbietet doch die Definition eines "zentralen Differenzenquotienten"! Oder willst Du dafür etwa Δx=0 setzen?

Interessanter Punkt. Der ZDnQ(x,Δx) ist invariant bei VZW im zweiten Argument. Also kann man sich bei der Grenzwertbestimmung auf entweder positive oder negative Wert von Δx beschränken. Das VZ ist also wurst. Also muß nicht, wie im vorigen Punkt behauptet einfach immer der linke wie der rechte GW bestimmt werden, die sind vielmehr nach Konstruktion des ZDnQ gleich.

• "Wenn rechte und linke Ableitung existieren, aber verschieden sind, dann sind die Limiten von VDnQ wie RVnQ - wenn h im Limes nicht VZbeschränkt sein soll - gar nicht existent." -> "Falsch, die Grenzwerte sind normalerweise sehr wohl vorhanden, sie sind nur nicht gleich. Linke und Rechte Ableitung sind nichts anderes als ebendiese links- bzw. rechtsseitigen Grenzwerte." - Beispiel: Setze f(x) := abs(x) und betrachte die Stelle x = 0. Dann ist für Δx verschieden von 0 stets VDnQ = abs(Δx)/Δx = sign(Δx). Also kann kein Grenzwert (schlechthin, also bei beliebiger Annäherung!) für Δx gegen 0 existieren; von links bzw. von rechts ist er aber -1 bzw. 1. Ganz allgemein: VDnQ(Δx) = RDnQ(-Δx). Dies alles ergibt sich so, wenn man für das Vorzeichen von Δx volle Freiheit hat.

Ganz genau, das ergibt sich alles ganz richtig wenn Δx nicht eingeschränkt wird. Hinter der Bedingung für Differenzierbarkeit, dass beide Grenzwerte (Ableitungen) sowohl existieren, als auch gleich sein müssen verbigt sich genau dieser Fakt, dass es die Ableitung "schlechthin" eben nur dann gibt, wenn es sich bei den "individuellen" Ableitungen tatsächlich um ein und die selbe handelt.

Ich meinte: Wenn rechte und linke Ableitung des DnQ =(!) VDnQ existieren, aber verschieden sind, dann ist der Limes des VDnQ - wenn h im Limes nicht VZbeschränkt sein soll - gar nicht existent. Und der Limes des RDnQ - wenn h im Limes nicht VZbeschränkt sein soll - ist auch nicht existent. Usw.

Ich folgere aus diesem Verständnischaos: Man muß im höchsten Maße darauf achten, von welchem (V-, R-, Z-) DnQ man redet, und von welchem (links-, rechts-, beidseitigem) Limes derselben. Das macht es nicht einfach. Daran sehe ich die Dringlichkeit, unbedingt distinkte

Bereichungen einzuführen, s.o. bei Kritik III.

Der derzeitige Abschnitt Differentialquotient kommt vor der definitorischen Aufspaltung ("in der Praxis") des DnQ in sozusagen drei Rassen, von denen die eine mit der schlechthinnigen, vorangehenden des DnQ übereinstimmt. (Das Allgemeine = das Spezielle, heikel!) Der Gebrauch des Artikels ist also eine heikle Sache. Wessen linksseitige bzw. rechtsseitige Ableitung ist nun im Abschnitt Differentialquotient wohl gemeint gewesen, im Nachhinein vom Leser betrachtet, wenn er den folgenden noch dazu gelesen hat? Es ist einem mathematisch Vorgebildeten einfach zu sehen, daß Existenz und Gelichheit des linken und rechten Limes irgendeines der XDnQ den des nicht VZbeschränkten Limes von XDnQ impliziert, und dann dasselbe auch für die anderen zwei YDnQ gilt. Aber der Laienleser sieht das bestimmt nicht, und möchte in Verwirrung geraten.

Man muß klarhalten, wen man gerade immer meint, sonst tritt Verwirrung ein.

Angesichts dieser Fußeisen denke ich, daß es tunlich wäre, die genauere Beziehung von DnQ und DlQ tunlichst nur sehr dosiert 'und explizit auf den Standart-DnQ beschränkt zu erwähnen, und vielleicht die offensichtliche Tatsache DnQ = VDnQ gar nicht zu erwähnen, sondern diese beiden auch terminologisch zu scheiden. Etwa als $Delta2f(x)(h)$ und $Delta2^{<small>+</small>}f(x)(h)$. (zu Delta2 siehe unten)

• Man könnte darüber nachdenken, auch einen Abschnitt über die historische Entwicklung und Bedeutung einzufügen - halte ich aber für etwas übertrieben. - Ein Traktat muß es ja nicht werden.

Mal sehen. Vielleicht hast auch Du lesenswerte Informationen?

• Mir ging es eher darum dass die Differentialrechnung ..."logisch" auf dem Begriff des Differentenquotienten aufbaut. - Siehe nächsten Punkt.

Ich sehe da jetzt keinen Zusammenhang zum nächsten Punkt - aber siehe meine vorherigen Ausführungen betreffend den logischen Komplikationen eines willkürlich festgelegten Vorzeichens für Δx...

• Differenzen von Funktionswerten beliebiger mathematischen Funktionen können i.a. nicht den Zähler eines Bruches bilden. Der erste Satz muß umformuliert werden. -> Zeig' mal ein Gegenbeispiel. - Sei f1 die Funktion, die jedem Buchstaben des Alphabetes seine Nummer zuordnet,

(f1(x)-f1(x+Δx))/Δx

Was könnte Δx sein, wenn x durch die Buchstaben läuft?

• sei f2 die Umkehrung dazu.

(f2(x)-f2(x+Δx))/Δx

Hier geht Δx reell an, aber was ist f2(3,14159...)?

• Sei f3 die Funktion, die jeder Zahl zwischen 0 und 1 die unendliche Folge ihrer Dezimalziffern zuordnet ( wobei bei Zahlen der Gestalt m / 10^n der entsprechende nichtabbrechende Dezimalbruch auf ...999999... genommen werden soll).

(f3(x)-f3(x+Δx))/Δx

(f3(0,142857142857...)-f3(0,152857142857...+0,1))/0,1 = (0, .10, 0, 0, ...) , oder wie?

• Sei f4 die Funktion, die jeder reellen Zahl r die Einermenge mit nur r als Element zuordnet.

(f4(x)-f4(x+Δx))/Δx

(f4(1)-f4(1+0,01))/0,01 = (Menge(1)-Menge(0,1)) / 0,01 ????

• ... Keine dieser Funktionen ist diffbar, aus z.T. verschiedenen Gründen.

Stimmt. Ja und?

Ich bin's ja nicht, der Differenzierbarkart als Grundbedingung für den Differenzenquotienten behauptet.. ;-)

Will ich gar nicht. Aber der DnQ selbst sollte definiert sein!

• Sei f5 die Funktion von n reellen Argumenten, die ihren Argumenten deren Summe zuordnet. Diese Funktion ist zwar (total) differenzierbar, aber die Ableitung entsteht nicht als Grenzwert eines Differenzenquotienten - man müßte dazu durch einen Vektor differenzieren können -, so daß ein solcher für sie auch nicht wie auch immer fundamental sein kann, oder die Ableitung logisch auf ihn aufbauen.

Schön, aber was beweist das schon? Der Differentenquotient ist schlicht und bleibt trotrzdem schlicht (f5(x)-f5(x+Δx))/Δx

Das heißt, der DnQ ist fundamental für R^n -> R, taucht aber dort nie auf.

Ob's Sinn macht, die Summe von Buchstaben und Zahlen zu bilden steht auf einem anderen Blatt geschrieben, aber man sagt ja auch, ein Bruch mit dem Zähler 0 sei nicht definiert und nicht, dass ein Bruch mit Zähler 0 "eigentlich" gar kein Bruch sei.

Ein Bruch mit Nenner - buchstäblich - 0 ist kein Bruch. Wäre 1/0 ein Bruch, so wäre auch 1/0 + 1/0 ein Bruch, da jede Zahlenmenge bzgl. Addition abgeschlossen ist. Man könnte aber den Ausdruck nicht zu einem Bruch "zusammenrechnen". Man handelte sich also ein Termgebirge von Unsinn ein.

Oder willst Du den Begriff Bruch etwa auf Zahlen einschränken? Dann kannst Du aber den Differentialquotienten auch gleich mit abschreiben, denn Differentiale sind auch keine Zahlen.. Sowas wie $frac{\partial y}{\partial x}$ wäre sogar eine völlige Unmöglichkeit.

Ja, ich will. Diffentiale als "irgendwie ähnlich" zu Zahlen zu behandeln führt gewöhnlich in die Katastrophe. Es gibt, zugegeben, saubere Axiomatisierungen in der Nichtstandard-Analysis, aber das führt zu weit.

Ausserdem: Leser, die nicht mit jeden Abend mit einem Buch über abstrakte Mathematik oder Mengentheorie in's Bett gehen, verstehen unter "mathematischer Funktion" doch wohl das was in den Schulbüchern steht.

Dann besteht doch kein Problem, das zu Angang gleich zu sagen: "Wir betrachten hier nur Funktionen einer reeller Variablen in die reellen Zahlen" o.ä.

Die Anderen benutzen für den Vergleich von Buchstaben und/oder Mengen in der Regel lieber den Ausdruck Abbildung.

Lieber oder immer? Wenn nicht immer, bleibt die Möglichkeit des Mißverständnisses.

"Anfänger" bzw lernende und fachfremde kommen mit dem fett und deutlich hervorgehobenen Funktionsbegriff ganz am Anfang im verlinkten Artikel Funktion (Mathematik) wohl auch kaum in Konflikt mit dem Begriff beliebige matematische Funktion.

Dieser Artikel trifft damit Vorkehrung, daß es nicht zu Mißverständnissen kommt, er klärt seine Begriffe und setzt nicht stillschweigend etwas voraus. Jedenfalls ist es nicht hilfreich, in der eigenen Definition von einer "beliebigen mathematischen Funktion" zu reden, wenn man eine - salopp gesagt - eine "beliebige schulmathematischen Funktion" meint.

Will man mathematische Zusammenhänge auch noch eingermassen anschaulich beschreiben, so muss man bei der "mathematischen Vollständigkeit" eben gewisse Konzession eingehen. Sonst muss man man in einem kleinen Artikel, der nicht anderes als ein besonders Verhältnis (zwischen einer Funktion und einer Zahl) beschreibt auch noch den (algebraischen und Mengentheoretischen) Funktionsbegriff, den Zahlenbegriff, den Mengenbegriff, den Grenzwertbegriff, den Begriff der Abzählbarkeit bzw. Überabzählbarkeit erklärn und zudem noch die Grundlagen der Logik erläutern.

Mein Petitum ist allein: Nichts Falsches sagen, nichts Mißverständliches sagen. Was man liest, muß auch noch stimmen, wenn man einmal mehr weiß. Das manchen Lehrern eigene "Also eigentlich hab ich Euch da ja belogen, denn..." ist und bleibt ein Frevel.

Blöd für den Leser, der tatsächlich Informationen über den Differenzenquotienten sucht - der sucht nämlich wirklich, anstatt was zu finden...

Vergessen wir nicht, dass das eine online Enzyklopädie ist - da sind nicht nur Seitenlange Artikel mit Sternchen und vielen schönen Bildchen, die man sich gerne anschaut wichtig. Ich halte solche "Knotenpunkte", die das Wissen in kleinen "Dosierungen", aber an der Richtigen Stelle bereitstellen für genauso wichtig. Wenn jeder an Mathematik Interessierte gleich mit einem Wust an hochtheoretischen Definitionen und Links zu Artikeln, die vor "furchterregenden" Formeln und Sonderzeichen nur so strotzen, erschlagen wird, ist das für den Lernprozess und ein tieferes Verständnis nicht gerade förderlich.

Es ist wie im Straßenverkehr: Zuviele Schilder überfordern; zu wenige oder die falschen gefährden.

Es soll natürlich ausführliche und tiefergreifende mathematische Artikel geben, die naturgemäss dem Nicht-Fachmann nur sehr schwer zugänglich sind. Aber es soll auch Artikel geben, die einen mathematischen Sachverhalt - oder auch nur einen kleinen Aspekt - so erklären, dass auch ein Leser, der nicht in sämtlichen mathematischen Disziplinen studiert hat, nach der Lektüre nicht noch verwirrter ist als zuvor, weil ihm zwanzig neue Fachbegriffe um die Ohren geschlagen werden um einen einzigen, im Grunde einfachen Begriff erklärt zu bekommen. Und jeder dieser zwanzg Begriffe wird auf den entsprechenden Seiten wiederum durch ein Bündel noch abstrakterer Begriffe definiert, so dass einem am Ende eigentlich nur übrig bleibt, etwa zwanzig Jahre lang gründlich Mathematik zu studieren um die Erklärung, was ein Differenzenquotient sei, auch zu verstehen!

Nichts gegen einfache Formulierungen, Veranschaulichung und Beschränkung im Thema.

• "Heruntermachen" und Phrasenschwingen ("die schlechte Saat") - Erstmals beim Nachhilfegeben in meiner Schulzeit habe ich festgestellt, das Wichtigste ist es, ja nie versehentlich etwas Falsches zu sagen oder zu verstehen zu geben. Denn genau das merkten sich dann fatalerweise die Mitschüler besonders gut, vulgo: meine schlechte Saat ging besser auf als meine gute. Oder: Mißverständnisse können fatale Wirkungen zeitigen. Mehr war da nicht intendiert.

Wie gesagt, ich hab' auch keine wirklich bösen Absichten angenommen - ich halte solche Amerkungen einfach nicht für besonders dienlich in der Sache (und du hast ja auch sonst etwas "gepoltert") - und im Falle mathematischer Folgerungen auch nicht für richtig - da geht die "schlechte Saat" nicht wirklich besser auf; man könnte auch sagen dass bei der "schlechten Saat" eben am Ende buchstäblich die "Rechnung nicht aufgeht".. ;-)

Also nochmal, nix für ungut. Grüße Mschcsc 19:10, 13. Jan. 2008 (CET)

Kritik III

Abschnitt Grenzwertübergang–Ableitungen:

"Aus dem Differenzenquotienten ergibt sich durch beschränkte Grenzwertbildung ($\Delta x$ geht also von rechts bzw. links gegen null) die linksseitige bzw. die rechtsseitige Ableitung von $f\left(x\right)$." Begründung: Wenn es einen Grenzwert schlechthin gibt, so nur einen, also können sich keine zwei Dinge daraus ergeben. Also muß etwas variabel sein; es ist dies das beschränkte Vorzeichen von Δx beim Grenzübergang, einmal plus, einmal minus.

Gefällt mir eigentlich gut, allerdnings impliziert der Begriff beschränkt doch eher was ganz anderes und die Begriffe rechts- und linksseitiger Grenzwert sind im entsprechenden Artilel auch so definiert.

"Bezeichnet man die Ableitung einer Funktion $f$ mit $\ f'$, so gilt also ..." Was folgt, ist kein Ergebnis ("so gilt also"), sondern die Definition von linkem und rechtem Grenzwert. Da beide folgende Zeilen unterschiedliches Definieren, sollte das zu Definierende auch verschieden bezeichnet werden, sonst würde ja Gleichheit unterstellt. Etwa so:

$f_{+}'\left(x\right):=\lim _{\Delta x\downarrow 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}$ für die rechtsseitige Ableitung von $f$ in $x$

$f_{-}'\left(x\right):=\lim _{\Delta x\uparrow 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}$ für die linksseitige Ableitung von $f$ in $x$.

Abschnitt Grenzwertübergang–Differentialquotient:

Vorausgesetzt, die beiden links- und rechtsseitigen Ableitungen existieren überhaupt und sind zudem identisch, so heißt die Funktion an der Stelle x differenzierbar, und man nennt den gemeinsamen Grenzwert den Differentialquotienten oder einfach die Ableitung, ohne den Zusatz links- oder rechtsseitig.

"Das Berechnen des Differentialquotienten erlaubt nicht nur eine näherungsweise, sondern eine exakte Berechnung der Steigung eines Funktionsgraphen." - besser: "Der Differnetialquotient liefert nicht nur eine Näherung der Steigung des Funktionsgraphen an einer vorgegebenen Stelle, wie ein Differenzenquotient es tut, sondern vielmehr den exakten Wert."

Abschnitt Varianten: (Skizzenhafte Umformulierung)

Vorwärtsdifferenzenquotient

Der oben definierte DQ heißt auch Vorwärtsdifferenzenquotient, weil - jedenfalls, wenn wir einmal $\Delta x>0$ annehmen - die Differenz der Funktionswerte an einem Argument $x+\Delta x$ rechts von $x$ und bei $x$ selbst genommen wird.

$\partial ^{+}f(x)(h):={\frac {f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}}$,

Analog definiert man

Rückwärtsdifferenzenquotient

$\partial ^{-}f(x)(h):={\frac {f\left(x\right)-f\left(x-h\right)}{h}}$,

Zentraler Differenzenquotient

$\partial ^{0}f(x)(h):={\frac {f\left(x+h/2\right)-f\left(x-h/2\right)}{h}}$,

Achtung: Mit Delta2 meine ich das Runde Differentiationszeichen, wie etwa hier: [1] aufgeführt. Ich weiß leider nicht, wie man das Zeichen mit MATHML ausdrückt. Ohnehin ärgerlich genug, dieses Interface hier.

$\partial$ gefunden und eingesetzt.

Begründung für die vorgeschlagenen Änderungen: 1. Definitionen vollumfänglich hinschreiben. 2. In Definitionen stets die linke Seite mit einem distinktiven Bezeichner versehen. 3. "Gilt" geht in der Mathematik einer Aussage voran, aber nicht einer Definition. 4. "Vorwärts" mit "vorwärts" usw. zu erklären ist nicht sehr hilfreich.

Gute Kritik, werd' ich baldmöglichst versuchen - wenigstens ansatzweise - umzusetzen!

Mschcsc 21:13, 16. Jan. 2008 (CET)

Grüße -- Silvicola 17:35, 16. Jan. 2008 (CET)

Stetigkeit <-> Differenzierbarkeit

Für nicht oder unstetig differenzierbare Funktionen eine Näherung für die Steigung ermitteln zu wollen ist nicht möglich, da es keine gibt bzw. diese hin-und her springt. --Mathemaduenn 12:22, 12. Jan. 2008 (CET)

Das ist nicht ganz richtig, denn Differenzierbarkeit fordert sowohl die Existenz als auch die Gleichheit des linksseitigen und des rechtsseitigen Grenzwertes. Ist eine Funktion in f(x0) nicht differentierbar, so können dennoch die Sekanten durch f(x0) und f(x0±Δx) und deren Grenzwerte existieren. Daher kann der Differenzenquotient immer noch als Näherung für die Steigung des Funktionsgraphen benutzt werden, denn man erhält sowieso immer zwei meist verschiedene (richtige) Lösungen für die Sekantensteigungen, ganz egal ob f(x) in x0 nun differenzierbar ist oder nicht, je nachdem ob man Δx nun positiv oder Negativ wählt.

In diesem Beispiel sieht man sehr schön, dass die Sekantensteigung immer existiert, solange Δx wie vorrausgesetzt von Null verschieden ist. Die Existenz einer eindeutig definierten Tangentensteigung (=differenzierbarkeit) in f(x0) ist keine Vorraussetzung für die Existenz einer eindeutig definierten Sekantensteigung für f(x0+Δx)-f(x0) bzw. f(x0-Δx)-f(x0).

Umgekehrt ist schon richtig, die Existenz von Sekantensteigungen ist Vorraussetzung für die Existenz von Tangentensteigungen. Allerdings sind in der Regel die links- und rechtsseitigen Sekantensteigungen auch dann verschieden, wenn die links- und rechtsseitigen Tangentensteigungen zusammenfallen (und die Funktion somit dort differenzierbar ist).

Man darf auch nicht vergessen, dass der Differenzenquotient in der Praxis auch (und gerade) dann Verwendung findet, wenn die Funktionswerte durch Messungen ermittelt wurden und die mathematische Struktur der (aproximierten) Funktion gar nicht bekannt ist - und erst recht nicht Eigenschaften wie Differenzierbarkeit, Stetigkeit etc.

Man denke z.B. etwa an die Berechnung des durchschnittlichen Lohnzuwachses für die Budgetplanung, wo man es mit sehr "sprunghaften" und nicht differenzierbaren Funktionen zu tun hat.

Schliesslich werden auch in der Statistik Differenzenquotienten aus diskreten Zahlengrössen (Differenzen von Anzahlen) verwendet um Wachstumsraten und Ähnliches zu beschreiben - da entfällt dann sogar die Vorraussetzung der Stetigkeit. Und in der Differentialgeometrie wird sogar die Einschränkung auf reelwertige Funktionen hinfällig.

Wir sollten hier den Begriff des Differenzenquotienten nicht in das Kleid der Differentialrechnung hineinzwingen, der Begriff ist weit allgemeiner und "einfacher" als derjenige des Differentials.

Mschcsc 15:00, 12. Jan. 2008 (CET)

Für die Sekantensteigung ist der Diffquotient keine Näherung sondern er ist gleich der Sekantensteigung also geht es wohl im Satz "Angewandt auf stetige, reellwertige Funktionen kann der Differenzenquotiont als Näherung für die Steigung des Funktionsgraphen benutzt werden." um die Tangentensteigung gehen. Wenn diese nicht existiert weil die Funktion dort nicht differenzierbar ist was soll dann angenähert werden? Außerdem wäre der Fehler in der Umgebung einer solchen Unstetigkeit vergleichsweise groß.

Wenn man nur Funktionswerte hernimmt und darauf mittels Diffquotienten die Steigung ausrechnen möchte so steckt dahinter zumindest die Annahme das die zugrunde liegende Funktion stetig diffbar ist.

Grüße --Mathemaduenn 23:21, 12. Jan. 2008 (CET)

Ich habe den Artikel etwas überarbeitet - hoffentlich sind die Zusammenhänge dadurch etwas klarer geworden.

Doch noch ein Wort zu deinem Einwand:

• Für die Sekantensteigung ist der Diffquotient keine Näherung sondern er ist gleich der Sekantensteigung also geht es wohl im Satz "Angewandt auf stetige, reellwertige Funktionen kann der Differenzenquotiont als Näherung für die Steigung des Funktionsgraphen benutzt werden." um die Tangentensteigung gehen.

Die Sekantensteigung ist die Steigung der Sekante in einem bestimmten Intervall, die Tangentensteigung ist die Steigung der Tangente in einem bestimmten Punkt.

Die Steigung des Funktionsgraphen ist nun aber nicht dasselbe wie die Steigung der Sekante, und schon gar nicht dasselbe wie die Steigung der Tangente - sondern einfach die Steigung der Funktion!

Die Begriffe "Steigung" und "Wachstum" sind schliesslich nicht von der Analysis gepachtet; im Alltag, in der Technik - und nicht zuletzt in weiten Teilen der Mathematik - ist mit "Steigung" schlicht das Verhältnis zweier Intervalle bzw. Differenzen gemeint (Weg/Zeit, Höhe/Länge, Anzahl/Zeit etc.) und nicht die "Momentansteigung" bzw. das "Momentanwachstum" in einem Punkt im Sinne der Differentialrechnung.

Zugegeben, aus der Formulierung erschliesst sich nicht deutlich, was mit Näherung an die Steigung des Graphen gemeint ist - die Sekantensteigung ist zwar nicht die Näherung an die Steigung des Funktionsgraphen (sondern die Näherung an dir Tangentensteigung), sie ist auch nicht dasselbe wie die Steigung des Funktionsgraphen (der Verlauf der Steigung ist normalerweise unterschiedlich) - aber sie hat denselben Wert wie die Steigung des Funkionsgraphen im gewählten Intervall (weil sich der Funktionswert im Intervall um denselben Wert ändert).

So gesehen müsste es sinngemäss heissen: "Der Differenzenquotient entspricht der Steigung des Funktiongraphen im Interval (x0;x0+Δx)". Das ist aber einigermassen witzlos; interessant wird es schliesslich erst dadurch, dass wir Δx möglichst klein machen und die Steigung lokal in einem kleinen (aber immer noch von Null verschiedenen) Intervall betrachten. Solange wir den Grenzwertübergang nicht vollzogen haben können wir noch gar nicht von einer Tangentensteigung in einem Punkt sprechen. Wir können bestenfalls von einer Steigung in einem beliebig kleinen (aber von 0 verschiedenen) Intervall sprechen. Erst die Grenzwertbildung lässt das Intervall auf einen Punkt zusammenschrumpfen, und von da an dürfte man auch eigentlich nicht mehr von "Steigung" sondern von "Momentansteigung" oder eben von "Differential" oder "Ableitung" sprechen...

• Wenn diese [Tangentensteigungen] nicht existiert weil die Funktion dort nicht differenzierbar ist was soll dann angenähert werden?

Die (lokale) Steigung der Funktion (und nicht diejenige der Tangente). Ausserdem bedeutet nicht differenzierbar nicht, dass die Tangentensteigungen in diesem Punkt nicht existieren. Nicht differenzierbar kann auch bedeuten dass der links- und rechtsseitige Grenzwert einfach verschieden sind. Aber wie gesagt, um die Tangentensteigung(en) geht's hier gar nicht.

• Außerdem wäre der Fehler in der Umgebung einer solchen Unstetigkeit vergleichsweise groß.

Das ist tatsächlichg so, dass der Fehler u.U. recht gross werden kann. Allerdings nicht, wenn die Funktion an der Stelle x0 nicht differenzierbar ist, sondern dann, wenn zwischen x und Δx eine Unstetigkeit auftritt. Die Kur dagegen ist, Δx zu verkleinern, so dass die Unstetigkeit ausserhalb des Intervalls liegt.

Ist die Funktion an der Stelle x0 nicht differenzierbar, so bekommt man u.U. immer noch richtige und "genaue" (aber verschiedene) Werte für den linksseitigen bzw. rechtsseitigen Grenzwert.

Schliesslich sei auch erwähnt, dass einige Funktionen auch bei sehr ungenaue Werte wete liefer, wenn sie an der betrachteten Stelle stetig und differenzierbar sind.

• Wenn man nur Funktionswerte hernimmt und darauf mittels Diffquotienten die Steigung ausrechnen möchte so steckt dahinter zumindest die Annahme das die zugrunde liegende Funktion stetig diffbar ist.

Ich hoffe, es ist mir gelungen aufzuzeigen, dass die (lokale) "Steigung" einer Funktion nicht dasselbe ist wie die "Tangentensteigung", "Ableitung" oder "Momentansteigung". Erstere ist nichts anderes als die Zunahme bzw. Abnahme des Funktionswertes in einem (beliebig kleinen) Intervall, letztere ist die durch einen Grenzwertübergang ermittelte Tangentensteigung in einem bestimmten Punkt.

Grüße Mschcsc 05:08, 13. Jan. 2008 (CET)

Du definierst hier einfach eine "Steigung der Funktion(in x?)". Was soll denn das sein wenn nicht die Ableitung? Oder anders gesagt Was hat denn diese Funktion für eine Steigung, sagen wir mal um die 0?

Auf jeden Fall läßt sich meine Ansicht dass man mit Diffquotienten Ableitungen annähert auch belegen siehe z.B.hier Kannst Du auch eine Quelle angeben? Grüße --Mathemaduenn 07:48, 13. Jan. 2008 (CET)

Ich sage auch nicht, dass deine Ansicht falsch ist. Wenn eine stetige Funktion an der Stelle x differenzierbar ist, so ist der Differentenquotient für kleine Δx tatsächlich eine gute Näherung für den Differenzialquotienten. Da widerspreche ich nicht. Man kann daraus aber nicht schliessen, die Existenz des Differentialquotienten sei zwingende Vorraussetzung für die Existenz des Differenzenquotienten. Oder nenn' mir eine Quelle, wo das sinngemäss so geschrieben steht...

Dein Trugschluss besteht darin, dass Du Differenzierbarkeit mit Existenz einer Ableitung gleichsetzt. Das ist aber so nicht richtig, differenzierbar bedeutet, dass die Ableitungen existieren und identisch sind! Deshalb darf man nicht schliessen, dass eine Funktion an einer nicht-differenzierbaren Stelle keine Ableitung (und keine Steigung) besitzt. Bei stetigen Funktionen bedeutet nicht-differenzierbarkeit in aller Regel, dass die links- und rechtsseitigen Ableitungen in dem Punkt sehr wohl existieren - aber einfach verschieden sind.

Dass "Die Ableitung" (=der Differentialquotient) nicht existiert, bedeutet in diesen Fällen einfach, dass die beiden (rechts- und linksseitigen) Ableitungen nicht identisch sind.

• Du definierst hier einfach eine "Steigung der Funktion(in x?)". Was soll denn das sein wenn nicht die Ableitung?

Da gebe ich dir recht, die Formulierung (in x) impliziert dass damit eine Ableitung gemeint wäre. Tatsächlich ist aber die "Steigung einer Funktion" auch lokal nichts anderes als der Wertezuwachs im betrachteten Intervall. Lokal heisst ja schliesslich nicht, dass wir irgendeinen Grenzwertübergang machen, sondern nur, dass wir eine beliebig keine Umgebung (sozusagen eine ε-Umgebung) des Graphen betrachten.

• Was hat denn diese Funktion für eine Steigung, sagen wir mal um die 0?

Die Funktion im Beispiel ist aber sowohl stetig, als auch überall differenzierbar!! Hat also mit der hier disskutierten Frage was an einem Punkt passiert, an dem die Funktion nicht differenzierbar ist, überhaupt nichts zu tun; sie ist ja überall differenzierbar...

Die Funktion ist aber ein gutes Beispiel für die von mir weiter oben mal erwähnte Tatsache:

• "..Schliesslich sei auch erwähnt, dass einige Funktionen auch bei sehr ungenaue Werte wete liefer, wenn sie an der betrachteten Stelle stetig und differenzierbar sind..."

Zugegeben, da haben sich einige Tippfehler eingeschlichen (meiner Drahtlostastatur scheint der Saft auszugehen...), sollte natürlich sinngemäss heissen:

• "..Schliesslich sei auch erwähnt, dass einige Funktionen auch bei kleinem Δx sehr ungenaue Werte liefern, wenn sie an der betrachteten Stelle stetig und differenzierbar sind..."

• Auf jeden Fall läßt sich meine Ansicht dass man mit Diffquotienten Ableitungen annähert auch belegen siehe z.B.hier

Wie gesagt, dieser Aussage widerspreche ich in dieser Form auch gar nicht.

• Kannst Du auch eine Quelle angeben?

Kann ich so aus dem Stehgreif nicht, müsste erst etwas stöbern. Allerdings erachte ich es auch nicht wirklich für nötig, denn ist es nicht bereits die Logik und der gesunde Menschenverstand, der es verbietet, dem Begriff der "Näherung durch den Differenzenquotienten" den Begriff der Differenzierbarkeit zugrundezulegen, um dann danach durch den Grenzwertübergang den Begriff des Differentialquoutienten zu definieren? Das ist doch ein Begrifflicher Kurzschluss, wenn man zur exakten Definition des Differentialquotienten, schon vor dem Grenzwertübergang den Differentialquotienten in die Definition des Differenzenquotienten (bzw. dem Begriff der Steigung) reinstecken muss!!

Ich kann nicht deutlich genug darauf hinweisen, dass "(Momentan)Steigung" im Sinne der Differentialrechnung etwas ganz anderes ist als "Steigung" im althergebrachten und gebräuchlichen Sinne! Es fällt - oberflächlich betrachtet - anschaulich sehr leicht, den Grenzwertübergang im Geiste durch stetiges Verkleinern des Differenzenquotienten nachzuvollziehen, aber man darf sich dadurch nicht täuschen lassen und den Differenzenquotienten mit dem Differentalquotienten gleichsetzen. Der Grenzwertübergang ist in Wahrheit eine ziemlich subtile, aber trotzdem "massive" Operation, die beim Differenzenquotienten ausdrücklich vorrausgesetzte Bedingung, dass Δx von Null verschieden sei, wird durch die Bedingung ersetzt das Δx zu 0 wird! Damit wechselt man von der Betrachtung der Eigenschaften der Funktion innerhalb eines Intervalls zu der Betrachtung der Eigenschaften einer Funktion in einem bestimmten Punkt.

Und erst dadurch wird es dann ja auch notwendig, den althergebrachten Begriff der Steigung neu zu interpretieren, weil einem durch den Grenzwertübergang ja das Intervall (und damit auch die Wertedifferenz) abhanden gekommen ist!

Mschcsc 15:21, 13. Jan. 2008 (CET)

Wenn Du hier vom Differenzenquotienten zum Differentialkoeffizienten willst sollte imho einfach nicht "Näherung der Steigung" sondern "entspricht der Steigung der Sekante" da stehen. Ansonsten besteht eben Verwechslungsgefahr mit der Tangentensteigung. Dann kann man ja danach schreiben das dieser auch für eine Näherung der Tangentensteigung für stetig diffbare Funktionen genutzt werden kann. Grüße --Mathemaduenn 21:53, 13. Jan. 2008 (CET)

Ich verstehe deinen Einwand, und so wie's jetzt im Artikel steht (mit der Erwähnung der Sekantensteigung) finde ich's auch noch nicht ganz koscher.

Aber: wenn man's genau nimmt, so sagt doch Steigung der Sekante nicht mehr darüber aus, was die Steigung eigentlich ist, als Steigung der Funktion. Die Sekante ist doch auch nur eine Funktion, nur halt einfach eine linenare und besonders einfache; und vor allem normalerweise eine andere als die eigentliche Funktion! Es ist doch erstmal weder Begrifflich, noch mathematematisch noch anschaulich etwas damit gewonnen, wenn ich den Begriff "Steigung" von der Funktion, die mich interessiert, zu einer Sekante verschiebe. Erklärt ist dadurch doch erstmal gar nichts, der Leser könnte höchstens den (falschen!) Eindruck gewinnen, der Begriff "Steigung" mache nur bei Funktionen mit linearen Zuwachsraten einen Sinn.

Die Steigung einer Funktion ist doch nichts weiter als ihr Wertezuwachs im betrachteten Intervall (das ist fast schon eine wörtliche Übersetzung von Δy/Δx...). Das ist bei der Sekante ganz genauso wie bei jeder anderen Funktion - also warum sollte man den Begriff "Steigung" hier ohne Zwang auf "Sekantensteigungen" einengen? Vorher sollte er ja schonmal auf "Tangentensteigung" eingeengt werden... Die Gründe, die das Verbieten, sind zum Teil genau dieselben: Man kann nicht dem allgemeinen Begriff "Steigung" (bzw. "Wertezuwachs") einer Funktion den Begriff "Sekantensteigung" (oder gar "Tangentensteigung") zugrunde legen, weil die "Sekantensteigung" selbst erst als als Steigung (bzw. Wertezuwachs) einer (in diesem Falle linearen) Funktion definiert ist!

Auch hier würde sich die Katze also wieder in den Schwanz beissen; es sei denn man würde Begriffe wie "Steigung" und "Wertezuwachs" schon von Vorneherein per Definitionem ausschliesslich auf lineare Funktionen festlegen. Damit würde man aber praktisch die ganze Mathematik linearisieren und könnte sich von Grenzwertbetrachtungen schonmal ganz vferabschieden...

Vielleicht liegt's auch an dem weitverbreiteren Irrtum, erst die Infinitesimalrechnung habe den Begriff der Steigung und des Wertezuwachses definiert. Das ist definitiv nicht so, die Begriffe werden bereits bei der Betrachtung von Reihen und Folgen vorrausgesetzt - und damit werden sie auch für die Bildung des Grenzwertbegriffs vorrausgesetzt und dürfen nicht erst im Nachhinein durch diesen selbst definiert werden!

Mathematsche Begriffe, Definitonen und Sätze sind das Herzstück der Mathematik, man darf nicht - so verlockend es auch sein mag - klar definierte Begriffe zugunsten der Anschauung verbiegen. Einschänken darf man zugunsten der Anschaulichkeit zu einem gewissen Grad, allerdings sollte man dies dann jeweils austrücklich entsprechend deklarieren oder die Einschränkung später durch Verallgemeinerung auflösen. (Wenn's nicht gar zu offensichtlich ist; man muss natürlich nicht jedesmal hinschreiben dass man von Zahlen redet und darf auch allgemein übliche Konventionen und/oder Schreibweisen als bekannt vorraussetzen). Es gibt zweifellos auch Sachverhalte, wo es durchaus Sinn macht, zu anschaulichen Zwecken auch mal ausnahmsweise den Karren vors Pferd zu spannen und von der folgerichtigen Reihenfolge der Begriffsbildungen abzuweichen - natürlich auch mit entsprechender Deklaration. Man sollte meiner Meinung nach aber keinesfalls unnötige Einschränkungen einbauen oder noch gar nicht abgeleitete Begriffe vorrauszusetzen (wenn's nicht wirklich unumgänglich ist) um den Leser sozusagen "vorbereitend" irgendwo hinzudenken wo er womöglich überhaupt nicht hin will...

Grüße Mschcsc 14:49, 14. Jan. 2008 (CET)

Differentialquotient

@Mschcsc: Es ist nicht erlaubt, $x_{0}=x_{1}$ zu setzen, um einen Differentialquotienten zu erhalten. Dieser ist der Grenzwert für $x_{1}\rightarrow x_{0}$. Dies ist allgemein bekannt, und es gibt gute Gründe, warum man nicht durch null teilen darf.

Du tust so, als wäre das Vorgehen erlaubt: Differenzenquotienten bilden -> falls im Zähler $x_{1}-x_{0}$ ausfaktorisiert ist, darf man kürzen, und anschließend wäre in dem resultierenden Ausdruck $x_{1}=x_{0}$ zu setzen. Das Ergebnis nennst du Differentialquotient.

Diese Vorgehensweise ist natürlich falsch. Als einfachstes Gegenbeispiel von unendlich vielen könnte man $f(x):=|x|$ nehmen. Dann ist nämlich ${\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}={\frac {(x-0){\rm {sgn}}(x)}{x-0}}={\rm {sgn}}(x)$. Gemäß deiner Vorgehensweise wäre der Differentialquotient ${\rm {sgn}}(0)=0$, welches natürlich falsch ist. Der Differentialquotient der Betragsfunktion existiert nun mal nicht im Nullpunkt.

Und damit es nicht heißt, es hätte irgendwas mit einseitigen Grenzwerten zu tun, hier noch ein brutaleres Gegenbeispiel: Setze $g(x):=\left\{{\begin{array}{ll}\sin({\frac {1}{x}}),&x\neq 0,\\0,&x=0,\\\end{array}}\right.$ sowie $f(x):=x\cdot g(x)$. Dann ist ${\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}=g(x)$ für alle $x\neq 0$. Trotzdem ist der Differentialquotient nicht $0=g(0)$, er existiert schlichtweg nicht. --Tolentino 09:30, 18. Jan. 2008 (CET)

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Wo ist mein Text abgeblieben??

Und wieso ist er aus der History verschwunden?

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• Du tust so, als wäre das Vorgehen erlaubt: Differenzenquotienten bilden -> falls im Zähler $x_{1}-x_{0}$ ausfaktorisiert ist, darf man kürzen, und anschließend wäre in dem resultierenden Ausdruck $x_{1}=x_{0}$ zu setzen.

Und du tust so als sei alles verboten oder nicht erlaubt.. Diese Vorgehensweise ist "selbstverständlich" erlaubt, wieso auch nicht?

However - Diese Herleitung

• $f(x):=|x|$ nehmen. Dann ist nämlich ${\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}={\frac {(x-0){\rm {sgn}}(x)}{x-0}}={\rm {sgn}}(x)$.

musst Du mir schon mal vorrechnen!

Wie Du durch Umformen von $|x|-|0|$ auf $(x-0){\rm {sgn}}(x)$ kommen willst, ist mir ein völliges Rätsel.??

Wegen x = x - 0 und wegen abs(x) = x * sgn(x). Letzteres wiederum wegen 1 * 1 = -1 * -1 = 1 und 0 * 0 = 0. Ersteres, weil 0 das neutrale Element ist. -- Silvicola 16:32, 18. Jan. 2008 (CET)

Einfacher noch so: ((f(x)-f(0))/(x-0) = (abs(x)-0)/x = abs(x)/x = sgn(x). -- Silvicola

Was dein zweites Beispiel betrifft: was genau willst damit beweisen?

Dass der Differentialquotiont nicht existiert heisst eben einfach dass er nicht existiert. Es gibt halt eifach keine Lösung für x0=x0, egal ob der Differenzenquotient nun als Grenzwert oder als algebraischer Term mit der Zusatzbedingung x0=x1 hingeschrieben wird. Daraus dass man ihn mit Grenzwertbetrachtungen auch nicht ermitteln kann, kannst Du ja schlecht ableiten, dass man Grenzwerte braucht, um das momentane Wachstum zu beschreiben.

Es sollte Dir doch leicht fallen, bei unendlich vielen Gegeneispielen eins zu finden, das auch richtig gerechnet und nachvollziehbar ist.

Ansonsten müsstest Du dich schon fragen ob nicht doch was Wahres dran ist, dass das mit Grenzwerten an dieser Stelle noch gar nichts zu schaffen hat.

Also, ich erwarte ein echtes Gegenbeispiel!

Wenn Du keins findest, ist auch nicht so schlimm, dann zeig mir doch mal an einem einfachen Beispiel "den Grenzwertübergang", ich will gern mal schwarz auf weiss sehen, wo genau der Grenzwertprozess "zuschlägt"!

Mschcsc 15:42, 18. Jan. 2008 (CET)

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P.S: Ah ja, wollte noch am Rande anmerken: Als Schweizer stehe ich mit dem ß etwas auf Kriegsfuß, in der Beziehung musst Du etwas Nachsicht mit mir walten lassen.. ;-) Mschcsc 15:46, 18. Jan. 2008 (CET)

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An Silvicola: Also erstmal dankem dass Du dir die Mühe gemacht hast und meinen Einwand erst genommen hast;, das mein' ich ganz ehrlich.

Doch zur Sache:

Ein hübscher Versuch, das mit der Betragsfunktion, aber leider leider.... ist die Vorraussetzung falsch!

$abs(x)=x*sgn(x)$ ist leider falsch, umgekehrt ist's richtig definiert:

$x=abs(x)*sgn(x)$

... und das ist was ganz anderes. Man kann 's drehen und wenden wie man's will, ohne 'faule Tricks' kann man das eine nicht in's andere verwandeln.

Rechnen wir's mal richtig durch:

${\frac {abs(x)-abs(0)}{x-0}}={\frac {abs(x)-0}{x}}={\frac {1}{sgn(x)}}$

Und ${\frac {1}{sgn(x)}}$ schaut nach meiner Meinung überhaupt nicht differenzierbar aus.

Also, ich warte immer noch auf korrekte Gegenbeispiele! Oder wenigstens auf ein einziges von den unendlich vielen Gegenbeispielen... ;-)

Mschcsc 17:34, 18. Jan. 2008 (CET)

Ich fürchte, mit dir ist sachliches Diskutieren nicht möglich, siehe hierzu die furchtbar entartete Diskussion in Differentialrechnung. Es tut mir leid, du hast keinen mathematischen Fachverstand, glaubst aber, dass alle anderen im Unrecht und du allein die Wahrheit gepachtet hast trotz sachlicher Einwände. --Tolentino 19:45, 18. Jan. 2008 (CET)

Sachliche Einwände? Du meinst wohl eher Rechenfehler?

Ich geb' mir ja nun wirklich die allergrösste Mühe, sachlich zu bleiben, da wirkt dein Gepolter und die künstliche Empörung auf mich doch eher wie der (missglückte) Versuch für einen "eleganten" Abgang.

Find' ich schade, ganz ehrlich.

Von mathematisch Gebilteten Leuten hätte ich eigentlich etwas mehr Chuzpe erwartet und vor allem auch etwas mehr Bereitschaft mathematische Fragen mit den Mitteln der Mathematik anstatt der Rhetorik auszufechten...

Falls dir doch noch irgendein vermeintliches Gegenbeispiel oder ein Beweis für deine willkürlichen Verbotspostulate einfällt, oder du mir einen Grenzwertübergang konkret zeigen kannst, lass sehen. Ansonsten machs gut, Grüße Mschcsc 20:33, 18. Jan. 2008 (CET)

Es geht hier nicht um willkürliche Verbotspostulate, sondern um Logik und darum, dass die Division durch 0 nicht definiert ist. Damit der Differenzenquotient an der Stelle $x_{0}$ überhaupt definiert ist, muss $x\neq x_{0}$ gelten, weil die Division durch 0 nicht definiert ist. Die nachfolgende Umformung gilt deshalb auch nur unter der Voraussetzung $x\neq x_{0}$. Die letzte Umformung gilt aber nur unter der Voraussetzung $x\neq x_{0}$, denn Du setzt ja für $x_{0}$ für $x$ ein. Insgesamt erhältst Du also eine Gleichheitskette, die nur unter der Voraussetzung gilt, dass sowohl $x\neq x_{0}$ als auch $x\neq x_{0}$ beides gilt, was aber nicht möglich ist. Was Du damit zeigst ist also etwa "Wenn $0\neq 0$, dann ist $(x^{2})'=2x$. Diese Aussage hat keinerlei Wert, weil die Voraussetzung niemals erfüllt ist. --Digamma 21:07, 18. Jan. 2008 (CET)

Die Umformung einer Gleichung ist doch universell gültig, ganz egal ob die konreten Werte nun bekannt sind oder nicht. Man darf doch beim Umformen nicht irgendwelche Vorrausetztungen über die Beziehung zweier Variabler annehmen; von so einer Regel hab ich jedenfalls noch nie was gehört.

Zeig mir doch bitte ein Beispiel, (oder einen anderen mathematisch zwingenden Beweis) wie die Umformung zu einem falschen Resultat führen kann.

Mschcsc 21:24, 18. Jan. 2008 (CET)

Es befinden sich sogar zwei Beispiele, die ich zu Beginn dieses Abschnitts gepostet habe. --Tolentino 10:40, 19. Jan. 2008 (CET)

Dass dein erstes Beispiel falsch ist, weil du von der falschen Vorraussetzumg $abs(x)=x*sgn(x)$ ausgehst, habe habe ich doch gerade gezeigt - und sogar noch richtig nachgerechnet.

Nein, das Beispiel ist richtig. Man kann leicht mit einer Fallunterscheidung nachrechnen, dass $|x|=x\cdot \operatorname {sgn}(x)$ gilt:

1. Fall: $x<0$: Dann ist $|x|=-x$ und $\operatorname {sgn}(x)=-1$, also $x\cdot \operatorname {sgn}(x)=-x=|x|$
2. Fall: $x=0$: Dann sind beide Seiten der Gleichung gleich 0.
3. Fall: $x>0$: Dann ist $|x|=x$ und $\operatorname {sgn}(x)=1$, also $x\cdot \operatorname {sgn}(x)=x=|x|$

Dein "Beweis" oben war von der Art "2 + 7 kann nicht gleich 9 sein, denn 3 + 6 ist gleich 9.--Digamma 12:57, 19. Jan. 2008 (CET)

Man darf doch nicht einen Wertevergleich hernehmen um die Identität zweier formaler Ausdrücke zu beweisen um sie dann einfach generell durcheinander zu ersetzten!

Doch, denn genauso ist Gleichheit (oder "Äquivalenz") von Termen definiert. Und wenn man genau ist, dann muss man auch dazusagen, für welche Einsetzungen die Gleichheit gilt. Es geht hier nämlich nicht um "formale" Ausdrücke, sondern um reelle Zahlen. Gleicheit von zwei Ausdrücken heißt hier, dass sie für jede mögliche Einsetzung denselben Wert ergeben. --Digamma 20:49, 19. Jan. 2008 (CET)

Dazu müsste man zusätzlich noch stetigkeit nachweisen.

Ich kann auch durch so einen faulen Zauber nachweisen dass $x=-x$ ist:

Laut Wertevergleich ist$\displaystyle (-x)^{2}=x^{2}$ für alle x. Daraus folgt nun selbstverständlich nicht, dass x^2 dasselbe ist wie (-x)^2 und dass man einfach hingehen kann und in arithmetischen Ausdrücken (-x)^2 anstelle von x^2 hinschreiben darf!

Selbstverständlich darf man das. Der Fehler tritt erst im nächsten Schritt auf.--Digamma 20:49, 19. Jan. 2008 (CET)

Aus $(-x)^{2}=x^{2}$ folgt nämlich unmittelbar, dass $x=-x$

Das folgt eben gerade nicht. Weil nämlich das erste wahr ist und das zweite falsch (zumindest für $x\neq 0$). --Digamma 20:49, 19. Jan. 2008 (CET)

und das ist ja wohl ganz offensichtlich falsch!!

Erst kommst Du mit irgendwelchen Verbotsregeln und jetzt mit irgendwelchen selbsterfundenen "Umformungsregeln" auf Basis eines Wertevergleichs an, um aus $abs(x)=x*sgn(x)$ doch noch irgendwie den Ausdruck $x=abs(x)*sgn(x)$ "hinzubiegen"...

Wenn Du erst die Algebra neu defiieren musst, um mir einen Fehler nachzuweisen (oder den eigenen Fehler "richtigzustellen"), so ist das mathematisch nicht gerade sehr überzeugend...

Du bist derjenige, der hier die Algebra neu definierst. --Digamma 20:49, 19. Jan. 2008 (CET)

Eas das zweite "Gegenbeispiel" betrifft:

Da setzt Du noch ausdrücklich hin

• Dann ist ${\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}=g(x)$ für alle $x\neq 0$

und wunderst dich dann dass für $\displaystyle x=0$ logischerweise gerade gerade nicht $g(0)={\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}$ ist??? Was für eine Art Gegenbeweis soll denn das sein?

Es ist genau Deine Argumentation. --Digamma 12:57, 19. Jan. 2008 (CET)

Nichts da, ich käme bestimmt nicht auf den Gedanken, zu behaupten, man dürfe x=0 setzen, wo es ausdrücklich verboten ist. Das denkst Du dir bloß so, weil du meinst es gäbe irgendein ominöses Verbot dass es generell verbietet dass ein Ausdruck im Zähler eines Bruches Null wird - aber da irrst Du.

Also, ich warte immer noch auf einen richtigen Beweis, der nicht auf falschen oder unter den Teppich gekehrten Vorraussetzungen beruht.

Mschcsc 12:33, 19. Jan. 2008 (CET)

Ich warte weiter... Mschcsc 18:41, 19. Jan. 2008 (CET)

@

@

• Du bist derjenige, der hier die Algebra neu definierst. --Digamma 20:49, 19. Jan. 2008 (CET)

Ah ja? Schau'n wir mal, was wir mit deiner Kongruenztheorie über den Wertevergleich alles zaubern können... Du behautest also allen Ernstes, dass, wenn ein Wertevergleich zeige, dass zwei algebraische Ausdrücke, also z.B. ${\frac {x}{f(x)}}$ und ${\frac {x}{g(x)}}$, in allen Punkten numerisch übereinstimmen, sie auch formal gleichgesetzt werden dürfen, also dass gilt:
${\frac {x}{f(x)}}={\frac {x}{g(x)}}$
????
Das würde dann ja implizieren, dass $\displaystyle f(x)=g(x)$ und dass das nicht stimmen kann sieht man sofort wenn man für f() und g() setzt:

$f(x):={\begin{cases}\ \;\,27&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ x=0\\x&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ x\neq 0\end{cases}}$

$g(x):={\begin{cases}\ \;\,42&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ x=0\\x&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ x\neq 0\end{cases}}$

Das würde natürlich bedeuten, dass $\displaystyle f(0)=g(0)$ und also $\displaystyle 27=42$

Mit dieser Art von *Superalgebra* kann man natürlich alles widerlegen oder beweisen, ganz wie's beliebt... ;-)
Mschcsc 03:19, 20. Jan. 2008 (CET)

Die Behauptung "Das würde natürlich bedeuten..." trifft nicht zu. Denn wie käme man von ${\frac {x}{f(x)}}={\frac {x}{g(x)}}$ zur angeblichen Implikation? $\displaystyle 0/f(0)=0/g(0)$ trifft in der Tat zu, also 0/27 = 0/42. Wie aber sollte daraus $\displaystyle f(0)=g(0)$ folgen? Ich vermute, stillschweigend und unbedacht war die folgende Umformung im Sinn:

${\frac {x}{f(x)}}={\frac {x}{g(x)}}$, also

${\frac {1}{f(x)}}={\frac {1}{g(x)}}$ durch Division mit x, also

$f(x)=g(x)$ durch Reziprokenbildung.

Das geht gut unter der Voraussetzung, daß x nicht 0 ist, weil es eine Division durch x einschließt, für x=0 bekanntlich ein gewisses Problem und um die volle Wahrheit zu sagen: ein Fehler. Man sieht, es ist wichtig, gerade die stillschweigenden Voraussetzungen kritisch zu sehen und die gemachten Voraussetzungen unterwegs nicht zu verlieren.

Völlig einverstanden.

Und genau aus demselben Grund funktioniert die Gleichsetzung von $|x|=x*sign(x)$ nur unter der Vorraussetzung, dass x≠0!

Man darf nicht einfach sagen:

• Fall: $x=0$: Dann sind beide Seiten der Gleichung gleich 0. und daraus schliessen dass |x| auch formal dasselbe wie $x*sgn(x)$ ist - denn das würde implizieren dass $sgn(x)={\frac {|x|}{x}}={\frac {0}{0}}$\frac 0 0</math> ist nunmal nicht definiert. Man muss sich entscheiden, ob man sich auf die vorrausgesetute Definition bezieht, die ausdrücklich sagt $sign(0):=0$ (oder in meinen Beispielen x=27 bzw. x=42) oder ob man es implizit über die Betragsfunktion zu $sign(x)={\frac {|x|}{x}}$definiert. Man kann aber nicht hingehen und zwei sich widersprechende Definitionen gleichzeitig als wahr setzen; bzw. wie bei dem vermeintlichen Gegenbeweis aus der einen Definition etwas richtig ableiten und dann am Ende einfach die Definition wechseln und ausrufen: "Falsch, das ist ja gar nicht 0". Das Resultat ist völlig richtig, wenn man die Vorraussetzung beibehält, dass $sign(x)={\frac {|x|}{x}}$ sein soll; es ist dann nämlich einfach </math>\frac 0 0</math> und damit schlicht nicht definiert - und damit ist das ein richtiges Resultat für die Ableitung der Betragsfunktion.

Der ganze "Zaubertrick" besteht darin, die Definitionen Klammheimlich zu wechseln.

Das polemisch mit "Kongruenztheorie" bezeichnete Verfahren ist eine gängige Methode der Mathematik, sie heißt auch: Gleiches kann immer für Gleiches substituiert werden. Sie führte zu Fehlern nur, wenn man Definitionen aufstellte, die "natürlich nur gelten sollen, wenn sie Sinn machen", oder die ähnliche Laxheiten à la discrétion du maître einschließen, das sollte man deshalb lassen und in einer Theorie, Ableitung, einem Beweis von Anfang an genau sein, sonst platzt die eingeschlichene Widersprüchlichkeit später als Bombe.

Du sprichst mir aus der Seele!

Das Ableiten einer Funktion ist übrigens nur sekundär das Anwenden von Term-Transformationen auf die die Funktion beschreibende Formel. Weil die meisten Funktionen gar keine Formel besitzen. Und wenn die Ableitung nicht existiert, und die Formeltransformation gemäß Formelsammlung o.ä. trotzdem eine ergibt, hat man immer eine Voraussetzung vergessen; typischerweise eine Beschränkung des Definitionsbereichs.

Das ist völlig richtig, deshalb ist es auch vergebene Liebesmüh, irgendwelche Gegenbeispiele dafür finden zu wollen, dass man mit Formeltransformationen und Nullsetzen zu irgendwelchen falschen Ableitungen gelangen kann.

Differenzierbar sind Funktionen, nicht Formeln, die Differnzierbarkeit hängt nur vom - metaphorisch gesprochen - Wertverlauf der Funktion ab, nicht vom etwa angegebenen Rechenausdruck. Insofern ist formales Gleichsetzen auch kein Problem. Es gibt wohl so etwas wie "formales Differenzieren" in der Algebra (für gebrochen rationale Terme in einer Unbekannten o.ä), mit Anwendung etwa in der Kombinatorik ("Erzeugende Funktion"), das ist dann ein rein formales Vorgehen, das keine analytischen Aussagen trifft, etwa über die Existenz dieser "Ableitungen" nach analytischer Auffassung.

-- Silvicola 13:45, 20. Jan. 2008 (CET)

Der Werteverlauf ist ja nichts anderes als die Abbildungsvorschrift einer Funktion und letztlich können ja auch alle Zahlenausdrücke als konstante Funktionen hingeschrieben werden, also

null(x)=0, f(x)=1, ff(x)=2, fff(x)=3 etc.

Rein Formal gesehen sind die Zahlen (ausser der Null) und die Rechenoperationen ja auch nichts anderes als rekursive Funktionen. Im Grunde genommen ist doch alles in der Mathematik letztlich symbolisch und rein formal.

Differenzierbarkeit sagt aus, dass der beidseitige Grenzwert eines Ausdrucks der Form ${\frac {f(x1)-f(x0)}{x1-x0}}$ existiert und dass er nicht $+\infty$ oder $-\infty$ ist (welches beide definierte und gültige Grenzwerte sind) - nicht mehr und nicht weniger.

Die wichtigste "Aufgabe" der Grenzwerte ist es vor allem, den Widersprich zwischen $\displaystyle sgn(x):=0$ und $sgn(x):={\frac {|x|}{x}}$ und änlich gelagerter "sprunghafter" Funktionen zu entschärfen, indem explizit gefordert wird, dass $\lim _{x\to 0}(sgn(x))$ gar nicht existiert, weil der rechtsseitige Grenzwert $\lim _{x\searrow 0}=1$ mit dem linksseitigen $\lim _{x\nearrow 0}=-1$ nicht übereinstimmt.

Definiert man $\displaystyle sgn(0)$ konsistent, also z.B. dass $sgn(x):={\frac {|x|}{x}}$ gelten soll und damit für 0 nicht definiert ist, so tut sich auch da kein Widersprich mehr zwischen $\lim _{x\to 0}(sgn(0))={\frac {0}{0}}$ und $\displaystyle sgn(0)=0$ mehr auf.

In eine Grenzwert zu verwandeln braucht man den Ausdruck nur, wenn man keine (eindeutige) Lösung durch einsetzen von 0 finden kann (sgn(0) ist natürlich keine Lösung) - dann kann man links und rechts getrennt weiterrechnen und zeigen dass man beide male dasselbe Resultat bekommen hat.

Ich habe ja an anderer Stelle bereits erwähnt, dass man die Grenzwerte für die meisten Funktionen gar nicht benötigt, und dass wenn man den "Grenzwertprozess", der Differenzieren schon anhand von Grenzwerten erklärt, dann sollte man das Wichtigste, das "Zerfallen" von sgn(0) in einen rechts- und linksseitigen Teil zuallererst erklären - sonst muss gar nicht erst von Grenzwerten sprechen; das Umstellen von Gleichungen gehört in die Algebra.

Mschcsc 17:26, 20. Jan. 2008 (CET)

Die neue Definition am Kopf mit Variablen x0, x1 empfinde ich als Verbesserung. Denn die zweite Stützstelle wird damit gleichberechtigt, die begriffliche Entfernung zum Differentialquotienten wird deutlicher. -- Silvicola 15:38, 20. Jan. 2008 (CET)