Die Exponentialfunktion ist eine der wichtigsten Funktionen der Mathematik. Man schreibt sie als exp (x) oder ex (wo e der Eulersche Zahl ist).
Man kann die Exponentialfunktion auf zwei Arten definieren:
∞ xn
exp(x) = ∑ ---
n=0 n!
exp(x) = lim (1 + x/n)n
n→∞
(siehe Limes, Folgen und Reihen).
Das n! steht für Fakultät. x kann eine beliebige reelle Zahl sein.
exp(x) ist positiv und streng monoton wachsend.
Deshalb existiert die Umkehrfunktion, der natürliche Logarithmus ln(x), der für alle positiven reellen Zahlen x definiert ist.
Mit Hilfe des natürlichen Logarithmus kann man allgemeinere exponentielle Funktionen (reelle Potenzen) definieren:
- ax = exp(ln(a) x)
für alle a > 0 und alle reellen x.
Die Exponentialfunktion "verwandelt" Multiplikation in Addition.
Genauer zeigen das die folgenden Gesetze:
- a0 = 1
- a1 = a
- ax + y = ax ay
- a(xy) = (ax)y
- 1 / ax = (1/a)x = a-x
- ax bx = (ab)x
Diese Gesetze gelten für alle positiven reellen a und b und alle reellen x.
Ausdrücke mit Brüchen und Wurzeln können oft mit Hilfe der Exponentialfunktion vereinfacht werden:
- 1 / a = a-1
- √ a = a1/2
- n√ a = a1/n
Die große Bedeutung der Exponentialfunktion ist in der Tatsache zu finden, dass ihre Ableitung wieder die Exponentialfunktion ist. Allgemeiner:
- d/dx abx = ln(a) b abx.
Das bedeutet, dass man eine Größe, deren Wachstum proportional zu ihrem Wert ist (wie z.B. Bevölkerungswachstum oder radioaktiver Zerfall), als Konstante mal einer Exponentialfunktion der Zeit schreiben kann.
Exponentialfunktion auf den komplexen Zahlen
Wenn man die Exponentialfunktion auf den komplexen Zahlen definiert (über die gleichen Reihen), behält sie folgende wichtige Eigenschaften:
- exp(z + w) = exp(z) exp(w)
- exp(0) = 1
- exp(z) ≠ 0
- exp'(z) = exp(z)
für alle z und w.
Die Exponentialfunktion ist holomorph und periodisch mit einer imaginären Periode 2πi.
Deshalb ist die Umkehrfunktion im Komplexen, der komplexe Logarithmus, eine vielwertige Funktion ln(z).
Man kann auch hier eine allgemeine Potenz definieren:
- zw = exp(ln(z) w)
für alle komplexen z und w.
Das ist dann auch eine vielwertige Funktion.
Die obigen Gesetze für Potenzen gelten weiterhin, aber für vielwertige Funktionen.
Über die Eulersche Formel erzeugt die Exponentialfunktion die trigonometrischen Funktionen und die hyperbolischen Funktionen