Natürliche Zahl

Natürliche Zahlen sind die dem mathematischen Laien wohl vertrautesten Zahlen. Die Menge der natürlichen Zahlen enthält je nach Kontext die Zahlen 0, 1, 2, 3, ... also die nichtnegativen ganzen Zahlen oder nur die Zahlen 1, 2, 3, ... also die positiven ganzen Zahlen. Diese beiden verschiedenen Definitionen haben historische Gründe. So rührt die Definition ohne die Null daher, dass ihre Einführung eine der ersten großen mathematischen Leistungen war und langezeit ohne sie gerechnet wurde, was dem Begriff "natürlich" entgegenspricht.
Für eine formale Definition der Menge der natürlichen Zahlen und der zugehörigen Rechenregeln ist es egal, ob man auch die Null als natürliche Zahl bezeichnet oder nicht. Im folgenden wird jedoch zugunsten der Verständlichkeit nur davon ausgegangen, dass 0 eine natürliche Zahl ist. Die behandelten Axiome und Rechenregeln lassen sich analog aber auch auf 1, 2, 3, ... (ohne 0) anwenden.

Die natürlichen Zahlen als Teilmenge der reellen Zahlen

Die Einführung der natürlichen Zahlen mit Hilfe der Peano-Axiome ist eine Möglichkeit, die Theorie der natürlichen Zahlen zu begründen. Dieser Weg wird im nächsten Abschnitt beschritten.

Als Alternative kann man bei den reellen Zahlen axiomatisch einsteigen und die natürlichen Zahlen als Teilmenge von $\mathbb {R}$ definieren. Dazu benötigt man zunächst den Begriff einer induktiven Menge.

Eine Menge M heißt induktiv, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

0 ist Element von M
Ist x Element von M, so ist auch x+1 Element von M

Dann ist $\mathbb {N}$ der Durchschnitt aller induktiven Teilmengen von $\mathbb {R}$

Peano-Axiome

Es folgt eine Definition der Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb {N}$ durch Axiome, die erstmals 1889 von Giuseppe Peano angegeben wurde. Diese Axiome werden Peano-Axiome genannt.

0 ist eine natürliche Zahl
Jede natürliche Zahl $n$ besitzt genau eine natürliche Zahl $n'$ als Nachfolger
0 ist nicht Nachfolger irgendeiner natürlichen Zahl
Zwei verschiedene natürliche Zahlen $n$ und $m$ besitzen stets verschiedene Nachfolger $n'$ und $m'$
Enthält eine Menge X die Zahl 0 und mit jeder natürlichen Zahl $n$ auch stets deren Nachfolger $n'$ , so enthält X bereits alle natürlichen Zahlen. (Ist X dabei selbst eine Teilmenge der natürlichen Zahlen, dann ist X gleich der Menge der natürlichen Zahlen.)

Das letzte Axiom nennt man auch das Induktionsaxiom, es bildet die Grundlage für die Beweismethode der vollständigen Induktion.

Hiervon ausgehend, werden auf $\mathbb {N}$ die Addition und Multiplikation definiert. Man setzt

$n+0:=n$
$n+m':=(n+m)'$

und dann

$n*0:=0$
$n*m':=(n*m)+m$

Das Induktionsaxiom garantiert jeweils, dass Addition und Multiplikation wohldefiniert sind.

Setzt man nun noch 1 := 0', zeigt das 2. Peano-Axiom die enge Verwandtschaft mit der obigen Definition der natürlichen Zahlen als Teilmenge von $\mathbb {R}$ . Peano selbst begann die natürlichen Zahlen in seinen Axiomen mit der 1 statt mit der 0 (laut dem Artikel auf [1]).

Die Peano-Axiome bilden ein Axiomensystem der Prädikatenlogik zweiter Stufe, da neben Variablen für Zahlen im Induktionsaxiom auch die Mengenvariable X vorkommt. Ersetzt man dieses Axiom durch die entsprechenden unendlich vielen Axiome erster Stufe, so gelangt man zur Peano-Arithmetik.

Ein Modell der natürlichen Zahlen

Peano beschrieb mit seinem Axiom-System zwar die Eigenschaften von natürlichen Zahlen, er bewies aber nicht deren Existenz. Erst John von Neumann lieferte ein Beispiel für ein Modell der natürlichen Zahlen, indem er sie aus der leeren Menge her aufbaute:

$0:=\emptyset$
$1:=\{0\}=\{\emptyset \}$
$2:=\{0,1\}=\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}$
.
.
.
$n+1:=\{0,1,...,n\}=n\cup \{n\}$

Zur Erklärung: Eins ist die Menge, die nur die leere Menge (= $\emptyset$ ) als Element enthält; das ist nicht die leere Menge selbst!

Bezeichnung der natürlichen Zahlen

Für die Menge der natürlichen Zahlen wird das Symbol N (fett dargestellt) verwendet. Weil dies handschriftlich nur schwer darstellbar ist, schreibt man dann ein "Doppelstrich-N". Mit der Zeit hat sich das Symbol $\mathbb {N}$ als Symbol für die natürlichen Zahlen (und ebenso die anderen Doppelstrich-Buchstaben für die anderen Zahlenbereiche) auch im Drucksatz durchgesetzt.

Da nicht überall die 0 als ein Element der natürlichen Zahlen angesehen wird, ist es sinnvoll, von positiven (1, 2, 3, ...) und nicht-negativen (0, 1, 2, ...) ganzen Zahlen zu sprechen.

In Texten, in denen die Menge der natürlichen Zahlen ohne Null als $\mathbb {N}$ bezeichnet wird, wird zur Unterscheidung das Symbol $\mathbb {N} _{0}$ oder $\mathbb {N} \cup \{0\}$ für die Menge der natürlichen Zahlen mit Null verwendet. Falls jedoch das Symbol $\mathbb {N}$ für die Menge der natürlichen Zahlen mit Null eingeführt wurde, wird meist $\mathbb {N} ^{+}$ , $\mathbb {N} _{>0}$ oder $\mathbb {N} \setminus \{0\}$ geschrieben, wenn die Null explizit ausgeschlossen werden soll.

Primzahlen

Die Primzahlen stellen die multiplikativen Grundbausteine der natürlichen Zahlen dar: Jede natürliche Zahl, außer der 0, lässt sich (von der Reihenfolge abgesehen) auf genau eine Art als Multiplikation von Primzahlen zusammensetzen. Die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung ist dabei die Aussage des Fundamentalsatzes der Arithmetik.

Die 1 ist keine Primzahl; ihre Primfaktorzerlegung ist das leere Produkt mit 0 Faktoren, welches definitionsgemäß den Wert 1 hat.

Die vielleicht einfachste Programmiersprache der Welt

$\mathbb {N}$ ist auch die Syntax einer Programmiersprache!

Denn Dank der Standardnummerierung der berechenbaren (1-stelligen) Funktionen $\varphi :\mathbb {N} \to P^{(1)}$ kann jeder natürlichen Zahl $i\in \mathbb {N}$ eine berechenbare (1-stellige) Zahlenfunktion $\varphi _{i}:\subseteq \mathbb {N} \to \mathbb {N}$ zugeordnet werden.