Nach der Dreiecksungleichung ist im Dreieck die Summe der Längen zweier Seiten a und b stets größer als die Länge der dritten Seite c . Das heißt formal:
c
<
a
+
b
{\displaystyle c<a+b}
Man kann auch sagen, der Abstand von A nach B ist stets kleiner dem Abstand von A nach C und von C nach B zusammen, oder um es populär auszudrücken: "Der direkte Weg ist immer der kürzeste." (Was die Aussage im Grunde jedoch nicht korrekt wiedergibt. Korrekt müsste es lauten: "Es gibt keinen kürzeren Weg als den direkten.")
Wenn
a
+
b
=
c
{\displaystyle a+b=c}
Da aus Symmetriegründen auch
a
<
c
+
b
{\displaystyle a<c+b}
a
−
b
<
c
{\displaystyle a-b<c}
b
−
a
<
c
{\displaystyle b-a<c}
|
a
−
b
|
<
c
<
a
+
b
{\displaystyle \left|a-b\right|<c<a+b}
Die Dreiecksungleichung charakterisiert Abstands- und Betragsfunktionen. Sie wird daher als ein Axiom der abstrakten Abstandsfunktion in metrischen Räumen verwendet.
Für reelle Zahlen gilt:
|
|
a
|
−
|
b
|
|
≤
|
a
+
b
|
≤
|
a
|
+
|
b
|
{\displaystyle {\Big |}|a|-|b|{\Big |}\leq \left|a+b\right|\leq \left|a\right|+\left|b\right|}
Beweis
Weil alle Seiten nichtnegativ sind, ist Quadrieren eine Äquivalenzumformung :
a
2
−
2
|
a
b
|
+
b
2
≤
a
2
+
2
a
b
+
b
2
≤
a
2
+
2
|
a
b
|
+
b
2
{\displaystyle a^{2}-2\left|ab\right|+b^{2}\leq a^{2}+2ab+b^{2}\leq a^{2}+2\left|ab\right|+b^{2}}
Das ist äquivalent zur Ungleichung
−
2
|
a
b
|
≤
2
a
b
≤
2
|
a
b
|
{\displaystyle -2\left|ab\right|\leq 2ab\leq 2\left|ab\right|}
welche gilt, weil
−
|
x
|
≤
x
≤
|
x
|
{\displaystyle -|x|\leq x\leq |x|}
x
{\displaystyle x}
Für komplexe Zahlen gilt:
|
|
z
1
|
−
|
z
2
|
|
≤
|
z
1
+
z
2
|
≤
|
z
1
|
+
|
z
2
|
{\displaystyle {\Big |}\left|z_{1}\right|-\left|z_{2}\right|{\Big |}\leq \left|z_{1}+z_{2}\right|\leq \left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|}
Beweis
Da alle Seiten positiv sind, ist Quadrieren eine Äquivalenzumformung und man erhält
z
1
z
1
¯
−
2
|
z
1
z
2
|
+
z
2
z
2
¯
≤
z
1
z
1
¯
+
z
1
z
2
¯
+
z
1
¯
z
2
+
z
2
z
2
¯
≤
z
1
z
1
¯
+
2
|
z
1
z
2
|
+
z
2
z
2
¯
{\displaystyle z_{1}{\bar {z_{1}}}-2\left|z_{1}z_{2}\right|+z_{2}{\bar {z_{2}}}\leq z_{1}{\bar {z_{1}}}+z_{1}{\bar {z_{2}}}+{\bar {z_{1}}}z_{2}+z_{2}{\bar {z_{2}}}\leq z_{1}{\bar {z_{1}}}+2\left|z_{1}z_{2}\right|+z_{2}{\bar {z_{2}}}}
wobei der Überstrich komplexe Konjugation bedeutet. Setzt man
z
:=
z
1
z
2
¯
{\displaystyle z:=z_{1}{\bar {z_{2}}}}
−
2
|
z
|
≤
z
+
z
¯
≤
2
|
z
|
{\displaystyle -2\left|z\right|\leq z+{\bar {z}}\leq 2\left|z\right|}
Mit
z
=
u
+
i
v
{\displaystyle z=u+iv}
−
2
u
2
+
v
2
≤
(
u
+
i
v
)
+
(
u
−
i
v
)
=
2
u
≤
2
u
2
+
v
2
{\displaystyle -2{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}\leq (u+iv)+(u-iv)=2u\leq 2{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}
bzw.
|
u
|
≤
u
2
+
v
2
{\displaystyle |u|\leq {\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}
was wegen
0
≤
v
2
{\displaystyle 0\leq v^{2}}
Mehrmalige Anwendung der Dreiecksungleichung bzw. vollständige Induktion ergibt
|
∑
i
=
1
n
x
i
|
≤
∑
i
=
1
n
|
x
i
|
{\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right|\leq \sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|}
für reelle oder komplexe Zahlen
x
i
{\displaystyle x_{i}\;}
Ist
f
:
I
→
R
{\displaystyle f:I\to {\mathbb {R}}}
I
=
[
a
,
b
]
{\displaystyle I=[a,b]\,}
Riemann-integrierbar , dann gilt
|
∫
I
f
(
x
)
d
x
|
≤
∫
I
|
f
(
x
)
|
d
x
{\displaystyle \left|\int _{I}f(x)\,dx\right|\leq \int _{I}|f(x)|\,dx}
[ 2] Dies gilt auch für komplexwertige Funktionen
f
:
I
→
C
{\displaystyle f:I\to {\mathbb {C}}}
[ 3]
α
{\displaystyle \alpha \;}
α
∫
I
f
(
x
)
d
x
=
|
∫
I
f
d
x
|
{\displaystyle \alpha \int _{I}f(x)\,dx=\left|\int _{I}f\,dx\right|}
|
α
|
=
1
{\displaystyle |\alpha |=1\;}
Da
|
∫
I
f
(
x
)
d
x
|
=
α
∫
I
f
(
x
)
d
x
=
∫
I
α
f
(
x
)
d
x
=
∫
I
Re
(
α
f
(
x
)
)
d
x
+
i
∫
I
Im
(
α
f
(
x
)
)
d
x
{\displaystyle \left|\int _{I}f(x)\,dx\right|=\alpha \int _{I}f(x)\,dx=\int _{I}\alpha \,f(x)\,dx=\int _{I}\operatorname {Re} (\alpha f(x))\,dx+i\,\int _{I}\operatorname {Im} (\alpha f(x))\,dx}
reell ist, muss
∫
I
Im
(
α
f
(
x
)
)
d
x
{\displaystyle \int _{I}\operatorname {Im} (\alpha f(x))\,dx}
Re
(
α
f
(
x
)
)
≤
|
α
f
(
x
)
|
=
|
f
(
x
)
|
{\displaystyle \operatorname {Re} (\alpha f(x))\leq |\alpha f(x)|=|f(x)|}
insgesamt also
|
∫
I
f
(
x
)
d
x
|
=
∫
I
Re
(
α
f
(
x
)
)
d
x
≤
∫
I
|
f
(
x
)
|
d
x
{\displaystyle \left|\int _{I}f(x)\,dx\right|=\int _{I}\operatorname {Re} (\alpha f(x))\,dx\leq \int _{I}|f(x)|\,dx}
Für Vektoren gilt:
|
|
a
→
|
−
|
b
→
|
|
≤
|
a
→
+
b
→
|
≤
|
a
→
|
+
|
b
→
|
{\displaystyle {\Big |}\left|{\vec {a}}\right|-\left|{\vec {b}}\right|\,\,{\Big |}\leq \left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|\leq \left|{\vec {a}}\right|+\left|{\vec {b}}\right|}
Die Gültigkeit dieser Beziehung sieht man durch Quadrieren
|
a
→
|
2
−
2
|
a
→
|
⋅
|
b
→
|
+
|
b
→
|
2
≤
|
a
→
|
2
+
2
a
→
⋅
b
→
+
|
b
→
|
2
≤
|
a
→
|
2
+
2
|
a
→
|
⋅
|
b
→
|
+
|
b
→
|
2
{\displaystyle \left|{\vec {a}}\right|^{2}-2\left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|+\left|{\vec {b}}\right|^{2}\leq \left|{\vec {a}}\right|^{2}+2{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}+\left|{\vec {b}}\right|^{2}\leq \left|{\vec {a}}\right|^{2}+2\left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|+\left|{\vec {b}}\right|^{2}}
und Anwendung der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung :
|
a
→
⋅
b
→
|
≤
|
a
→
|
⋅
|
b
→
|
{\displaystyle \left|{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\right|\leq \left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|}
Auch hier gilt
|
∑
i
=
1
n
a
i
→
|
≤
∑
i
=
1
n
|
a
i
→
|
.
{\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{n}{\vec {a_{i}}}\right|\leq \sum _{i=1}^{n}\left|{\vec {a_{i}}}\right|.}
|
a
−
b
|
≤
c
≤
a
+
b
{\displaystyle \left|a-b\right|\leq c\leq a+b}
In einem normierten Raum
(
X
,
‖
.
‖
)
{\displaystyle \left(X,\|.\|\right)}
‖
x
+
y
‖
≤
‖
x
‖
+
‖
y
‖
{\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|}
als eine der Eigenschaften gefordert, die die Norm für alle
x
,
y
∈
X
{\displaystyle x,y\in X\;}
‖
∑
i
=
1
n
x
i
‖
≤
∑
i
=
1
n
‖
x
i
‖
{\displaystyle \left\|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right\|\leq \sum _{i=1}^{n}\|x_{i}\|}
x
i
∈
X
{\displaystyle x_{i}\in X\;}
Im Spezialfall der Lp wird die Dreiecksungleichung Minkowski-Ungleichung genannt und mittels der Hölderschen Ungleichung bewiesen.
In einem metrischen Raum
(
X
,
d
)
{\displaystyle \left(X,d\right)}
Axiom für die abstrakte Abstandsfunktion verlangt, dass die Dreiecksungleichung in der Form
d
(
x
,
y
)
≤
d
(
x
,
z
)
+
d
(
z
,
y
)
{\displaystyle d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)}
x
,
y
,
z
∈
X
{\displaystyle x,y,z\in X}
|
d
(
x
,
z
)
−
d
(
z
,
y
)
|
≤
d
(
x
,
y
)
{\displaystyle \left|d(x,z)-d(z,y)\right|\leq d(x,y)}
x
,
y
,
z
∈
X
{\displaystyle x,y,z\in X}
x
i
∈
X
{\displaystyle x_{i}\in X\;}
d
(
x
0
,
x
n
)
≤
∑
i
=
1
n
d
(
x
i
−
1
,
x
i
)
{\displaystyle d(x_{0},x_{n})\leq \sum _{i=1}^{n}d(x_{i-1},x_{i})}
![{\displaystyle I=[a,b]\,}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc9bfaf40493a860365560850a25a4241628763)
