Dirac-Gleichung

Die Dirac-Gleichung ist eine relativistische quantenmechanische Wellengleichung die von Paul Dirac 1928 eingeführt wurde. Sie beschreibt Elementarteilchen mit Spin-1/2 (wie zum Beispiel Elektronen). Sie steht in volligem Einklang mit den Prinzipien der Quantenmechanik und ist weitestgehend konsistent mit der speziellen Relativitätstheorie. Außerdem trägt sie auf natürliche Weise dem Spin von elementarteilchen und der Existens von Antiteilchen Rechnung.

Einleitung

Da die Dirac-Gleichung ursprünglich entwickelt wurde um das Elektron zu beschreiben, werden wir im Allgemeinen in diesem Artikel auch von Elektronen reden. Die Gleichung eignet sich ebenfalls zur Beschreibung anderer Spin-1/2 Teilchen wie Neutrinos und in einer leicht abgewandelten Form auch zur näherungsweisen Beschreibung von Protonen und Neutronen, welche aufgrund ihres Aufbaus aus kleineren Teilchen (den Quarks) keine Elementarteilchen sind

Die Dirac-Gleichung lautet:

$\left(E+c\sum _{j=1}^{3}{\hat {\alpha }}_{j}p_{j}+{\hat {\beta }}\,m_{e}c^{2}\right)\vert \psi (\mathbf {x} ,t)\rangle =0$

oder nach dem Korrespondenzprinzip:

$\left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}+i\hbar \,c\,{\hat {\alpha }}\,\nabla +{\hat {\beta }}\,m_{e}c^{2}\right)\vert \psi (\mathbf {x} ,t)\rangle =0$

wobei m die Ruhemasse des Elektrons, c die Lichtgeschwindigkeit, p (bzw. $-i\hbar \nabla$) der Impulsoperator, $\hbar$ das planksche Wirkungsquantum, x und t Orts- und Zeitvariablen und ψ(x, t) eine vierkomponentige Wellenfunktion sind. (Die Wellenfunktion muss als vierkomponentiger Spinor, und nicht als einfacher Skalar, auf Grund der Anforderungen der speziellen Relativitätstheorie eingeführt werden. Die physikalische Bedeutung der Komponenten wird später besprochen.) Die α's sind lineare Operatoren, die auf die Wellenfunktion wirken, und als Spaltenmatrizen (4×4 Matrizen) geschrieben werden Sie sind als Dirac-Matrizen bekannt. Es gibt mehrere Möglichkeiten Dirac-Matrizen zu definieren, eine viel verwendete Variante ist die Folgende:

${\hat {\beta }}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}\quad {\hat {\alpha }}_{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}\quad {\hat {\alpha }}_{2}={\begin{bmatrix}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&-i&0&0\\i&0&0&0\end{bmatrix}}\quad {\hat {\alpha }}_{3}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\end{bmatrix}}$

Die Dirac-Gelichung beschreibt die Wahrscheinlichkeitsamplitude eines einzelnen Elektrons. Diese Ein-Teilchen-Theorie liefert eine ziemlich gute Vorhersage des Spins und magnetischen Moments des Elektrons und erläutert viel über die Feinstruktur, die in Atomspektren (Spektrallinien) zu beobachten ist. Sie macht ausserdem die seltsame Vorhersage, dass es unendlich viele Quantenzustände gibt, in denen das Elektron eine negative Energie besitzt, was Dirac (über die bemerkenswerte Hypothese der "Loch-Theorie") dazu veranlasste, die Existens der Positronen vorherzusagen, welche sich exakt wie Elektronen mit positiver Ladung verhalten. Diese Vorhersage wurde 1932 mit der Entdeckung des Positrons bestätigt.

Ableitung der Dirac Gleichung

Elektromagnetische Wechselwirkung

Relativistische kovariante Formulierung

Artikel

• P.A.M. Dirac, Proc. R. Soc. A117 610 (1928)
• P.A.M. Dirac, Proc. R. Soc. A126 360 (1930)
• C.D. Anderson, Phys. Rev. 43, 491 (1933)
• R. Frisch and O. Stern, Z. Phys. 85 4 (1933)

Bücher

• Dirac, P.A.M., Principles of Quantum Mechanics, 4th edition (Clarendon, 1982)
• Shankar, R., Principles of Quantum Mechanics, 2nd edition (Plenum, 1994)
• Bjorken, J D & Drell, S, Relativistic Quantum mechanics

(Übersetzt aus der englischen Wikipedia) (MyKron)